CC BY
37
УДК 519.687
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ВХОДЯЩИМ ПНТНКНМ НАГРУЗКИ В СИСТЕМАХ С ПОВТОРАМИ ПЕРЕДАЧ
В. А. Жевнеров Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, г. Москва
Предложена методика оптимального управления потоком нагрузки для систем с повторами передач. Приведен пример для системы с наиболее распространённым вид ом множественного доступа АЬОНА.
Рассматривается задача определения значения Оо интенсивности входящего потока, обеспечивающего оптимальное значение целевой функции :, т. е. :л(0°) = ех1г:л(0).
Так как для потоковых систем целевая функция обычно представляется в виде :^(О) = 0:(0), где :(О)— значение критерия качества обработки (передачи) единицы потока нагрузки, то задача может быть представлена в виде
ехггощо) = о°:(о°). (1)
Для обеспечения оптимального значения О = О° должно выполняться следующее необходимое условие
[О :(О)Ю| = 0о (оо) + :(оо) = о,
1о = о0
откуда следует
оо = - :(оо)/ (оо). (2)
Уравнение (2) позволяет определить значения О = Оо, обеспечивающие экстремальные значения :(О) за исключением случаев, когда решения находятся на границах области определения О. Обычно такие случаи хорошо известны. Решения уравнения (2) удобно находить методом последовательных приближений, используя в качестве начального приближения минимальное значение О.
В задаче (1) рассматривается случай изменения интенсивности входящего в некоторый узел системы внешнего потока. В действительности суммарный поток, входящий в этот узел, может быть увеличен путем дополнительного поступления потоков, приходящих по ветвям от других узлов системы, т. е. благодаря обратным связям. Учёт такого влияния показан ниже на примере однофазовой
системы с обратной связью для наиболее общего случая зависимости вероятности рос обратной связи от суммарной интенсивности потока. Структурная схема рассматриваемой системы показана на рис. 1, где О — интенсивност ь вне шнего входящего
потока; О----интенсивность выходящего потока;
О — суммарная интенсивность потока, поступающего на вход системы.
Поток на выходе системы с вероятностью рн получает полную обработку в приборе и с вероятностью тн = 1 — рн нужд ается в повторной обработке. Величина рн может трактоваться как надёжность процесса обработки собственно в приборе. Кроме того, поток на выходе прибора с вероятностью
Рос( О) отправляется повторно на вход системы, а с вероятностью рс( О) = 1 — рос( О) покидает систему. Величина рс( О) может трактоваться как готовность прибора к обработке потока. Вероятности рн и рс( О)
X Прибор обработки р„,рс(Х)
Вход Л к * Щ1) г Выход
Передача не более К раз
Рис. 1. Структурная схема однофазовой системы с обратной связью
ПРОБЛЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ № 4 • 2004
79
Рис. 2. Зависимости интенсивности выходящего потока от интенсивности внешнего входящего потока
полагаются взаимно независимыми. Максимальное число повторных передач ограничено числом К — 1.
Для рассматриваемой системы справедливы следующие уравнения связи между значениями интенсивностей потоков:
(3)
о" = [1 - (1 - Sh Sc( о )).]о.
Значение целевой функции на выходе системы определяется как : = О-:(О).
Из условия обеспечения равенства д: /дО = 0 в соответствии с уравнением (3) имеем:
-Sc( о):(о)/
s с (о) :(о)]
(4)
о = о *
где О * — критическое значение О, обеспечивающее наибольшее значение О-. Нетрудно убедиться, что, как правило, для реальных систем уравнение (4) имеет единственное устойчивое решение, поскольку по физическому смыслу рс( О ):(О) является монотонной выпуклой или вогнутой функцией. Заметим, что величина О * не зависит от значений рн и К.
В соответствии с изложенным оптимальное управление доступом потоков сообщений сводится к следующему.
1. Определяется значение О*, соответствующее
значениям О * и К о ад, удовлетворяющее соотношению О* = рнрс( О *) О *.
2. Если О < О*, то система при любых К в область насыщения не попадает, т. е. значение К в этом случае необходимо выбирать как можно большим. Ограничениями сверху могут быть либо требование достижения определённого значения вероятности доставки, либо среднего времени доставки сообщений.
3. Если О* < О < О *, то при больших К система переходит в неустойчивый режим работы, что приводит к катастрофическому росту среднего времени доставки сообщений. В этой ситуации значение К необходимо устанавливать таким образом, чтобы выполнялось условие О = О *. Расчёт требуемого числа повторений производится по следующему соотношению:
К = In
г1 - ShSс (о* )о *
/ln[1 - ShSc( о *)].
Очевидно, что при О = О * К = 1.
4. Если О ! О *, то полагается К = 1, и часть входящего потока должна получать отказ в передаче. Вероятность отказа ротк определяется из условия обес-
печения равенства о = о *, откуда ро
1 - о */о.
Для простоты изложения примера ниже рассматривается случай требования обеспечения максимального значения интенсивности выходящего потока 0— для системы множественного доступа ALOHA [1—3], когда :(0) = 1 и при любом наложении все сообщения считаются потерянными.
Зависимости 0—(0) при передаче сообщений одинаковой длительности 7 в канале с синхронной системой ALOHA не более К раз (сплошные линии) и ровно К раз (пунктирные линии) представлены на рис. 2. Зависимости построены на основе соотношения из работы [2] рс = ехр(—07).
При обязательной передаче каждого сообщения
ровно К раз значение о*: о * следующим соотношением:
о (о*) определяется
о* = - -
1 - [ 1 - рс (о * К)Sн ]
К
Крн [ 1 - Рс (о * К) р н ]К -1 ар с (о * К) / ао'
Для “чистой” системы ALOHA масштаб значений о- и о на рис. 2 нужно уменьшить в два раза, т. е. о- о 2о- и о о 2о.
Аналогичный подход применяется при оптимизации систем с обратной связью общего вида.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гердсекяс Д, /ялшгер С. Сети передачи данных. — М.: Мир, 1989.
2. Доярок; Вычислительные системы с очередями. — М.: Мир, 1979.
3. Дустот #. С. Л. О пропускной способности метода случайного множественно го доступа // Автоматика и телемеханика. — 2001. — № 1. — С. 91—101.
Ш ^95; JJ4-65-79 (-pd/7: ]Khvq@/Sx.ux
□
80
CONTROL SCIENCES № 4 • 2004
