Научная статья на тему 'Описание процесса передачи данных в системах со случайным множественным доступом'

Описание процесса передачи данных в системах со случайным множественным доступом Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

CC BY
194
43
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям, автор научной работы — Жевнеров В. А.

Изложен математический аппарат описания однофазовых систем с наиболее распространенным видом случайного множественного доступа ALOHA. Рассмотрены варианты с произвольным законом распределения длительности сеанса передачи и возможностью успешной передачи сообщений одновременно несколькими абонентами.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

THE DESCRIPTION OF DATA COMMUNICATION PROCESS IN MULTIPLE RANDOM ACCESS SYSTEMS

The paper discusses the mathematical tool for describing single-phase systems with the most popular type of multiple random access ALOHA. The variants with arbitrary distribution law of data call time and an opportunity of successful message transfer from several users simultaneously are investigated.

Текст научной работы на тему «Описание процесса передачи данных в системах со случайным множественным доступом»

£1—

УДК 519.687

ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА ПЕРЕДАЧИ ДАННЫХ О СИСТЕМАХ СО СЛУЧАЙНЫМ МНОЖЕСТОЕННЫМ ДОСТУПОМ

В. А. Жевнеров

Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова, г. Москва

Изложен математический аппарат описания однофазовых систем с наиболее распространенным видом случайного множественного доступа — АЬОНА. Рассмотрены варианты с произвольным законом распределения длительности сеанса передачи и возможностью успешной передачи сообщений одновременно несколькими абонентами.

Протоколы передачи данных, основанные на применении случайного множественного доступа — ALOHA, в настоящее время достаточно широко применяются в локальных сетях и системах связи [1—3].

Доступ ALOHA является простейшей дисциплиной передачи сообщения (заявки) по каналу связи. В соответствии с этой дисциплиной абонент (источник) передает сообщения по каналу без учета информации об его занятости другими абонентами. Сообщение считается успешно переданным, если кроме него в канале находилось одновременно не более G других абонентов. Требования к значению G определяются особенностями используемых каналов связи. Известные аналитические соотношения [2] описывают только случай передачи сообщений одинаковой длительности при G = 0. В то же время на практике встречаются более общие режимы передачи.

Первоначально рассмотрим случай “чистой” системы ALOHA, когда сообщения передаются абонентами в произвольный момент времени. Функция >(P) — плотность распределения вероятностей (п. р. в.) длительности времени передачи сообщения по каналу — полагается произвольной. Поток передаваемых сообщений полагается пуассоновским с интенсивностью 1. Обозначим через lc вероятность успешной передачи сообщения за одну попытку. Очевидно, что lc = C *(o)Is = 0, где с *(о) — преобразование Лапласа функции g(P) — п. р. в. полного времени передачи сообщения в системе.

Далее для простоты изложения приводятся соотношения только для описания значения lc. Способ получения выражений для с *(о) на основе описания lc будет показан далее на примере для G = 0.

При G = 0 величина lc представима в виде

pp,

(l)

где — — вероятность отсутствия абонентов в канале к моменту начала передачи сообщения; —+ — вероятность

того, что в течение времени передачи в канал не поступят сообщения от других абонентов. Выражения для —+ и имеют следующий вид:

p+ = J b(t)exp(-1t)dt = b*(1),

(2)

Р = 15(Р1)1ехр(-1Р1)@Р1... |В £ 1ехр(-1?л)@?л..., (3)

О О V г = 1 /

Р

где В(Р) = | >(т)@т.

О

Так как сложение пуассоновских потоков всегда дает пуассоновский поток, то справедливо соотношение р (1 + @ 1) = р (1)р (@1), откуда с учетом равенства — (О) = 1 получим уравнение

p (і) + ЭLЭA;1] = p (і)

Т + Э? ( 1 ) Э1

і = О.

d 1,

решение которого

p-(1) = exp

/Э^ ( 1 ) Э1

і = О

Значение ^p ,( 1 ) Э1

можно определить из выраже-

ния (3), причем достаточно учитывать вклад в значение — (1) только от первого интеграла, т. е.

Э? ( 1 ) Э1

J B(tl)1exp(-1tl)dtl

где m = J b(t)tdt.

О

82

CONTROL SCIENCES № Е • 2005

Окончательно имеем

—■(1) = exp(-y), (4)

где y = 1/m.

Отсюда следует, что значение — (1) зависит только от первого момента распределения длительности передачи сообщения.

В соответствии с формулами (1), (2) и (4) получим

pc = exp(-y)b*(1).

(5)

Для описания преобразования с*(о) на основе соотношений для вероятности lc, очевидно, необходимо внести

дополнения только в вычисляемое значение —+ = —+(о).

Соотношение (2) примет вид: l+(o) = J >(P)exp(- 1P) х

0

х exp(-oP)@P = >*(1 + о), тогда с*(о) = exp(-1)>*(1 + о).

Известно [4], что при одинаковых значениях m минимальные значения >*(1) и >*(о), а, следовательно, lc и С*(о) достигаются при постоянной длительности передачи сообщений

>(p) = s(p - 1/m), (6)

а максимальное — при

>(р) = (1 - a)S(p - pmin) + aS(p - грах^

ственно минимально и максимально допустимые длительности передачи. Закон (7) обеспечивает наибольшую дисперсию распределения длительности передачи.

Если в канал поступают ( разнородных пуассонов-ских потоков с характеристиками , mE, >E(P), E = 1, (, то выражение для вероятности успешной передачи сообщения у-го потока в соответствии с формулой (5) примет вид

(Т)

где a = (l/m - Рріп)/( 'max ‘mm-

min и tmax — соответ-

p = b;

cFF

L

Iі/

V і = l

exp

L A

- I “

V і IT im 4

При к ! О выражения для рс, составляемые аналогично выражениям (2)—(4), являются довольно громоздкими. Поэтому для простоты изложения дальнейшее описание будет производиться для функций >(Р) вида (8) и (9), обеспечивающих экстремальные значения рс и с *(о). Для удобства аналитического описания функция (7) в дальнейшем заменяется приближением >(Р) = техр(—цР).

Для показательного распределения >(Р) = цехр(—цР) значение рс ищется в виде

c

I S«pn ,

n = О

(8)

где ^п — вероятность наличия в канале п сообщений в

момент поступления очередного сообщения; ^П — вероятность одновременного появления в канале за время передачи отдельного сообщения не более к сообщений при условии наличия в канале к началу передачи п сообщений.

Графики зависимостей р (j)

Значения sn находятся из решения прямых уравнений Колмогорова—Чэпмена

(9)

Обратные уравнения Колмогорова—Чэпмена, со-

ставляемые для вероятности pn , имеют вид:

l

pJ (1 + n + У)- pJ -1n - pJ +1У

n = О, С, pJ + i = pci = О.

(1О)

Выражения для вероятности рс при к = 1, 4 , полученные в соответствии с формулами (8)—(1О), приведены в табл. 1, а графические зависимости рк (у) представлены на рисунке сплошными линиями.

При описании процесса передачи сообщений одинаковой длительности >(Р) = 5(Р — 1/т) учитывается, что моменты окончания передачи будут образовывать также

кк

пуассоновский поток. Тогда рс = ^ рп, где рп — веро-

п = О

ятность одновременного присутствия в канале не более к сообщений за время передачи выделенного сообщения при условии наличия к началу передачи в канале п других сообщений.

Значение рп ищется в виде

pn

т

J .

tl = О

J 1nexp(—1T) pn (ti, ..., J, T)dti...dtn,

tn = О

ПРОБЛЕМЫ УПРАОЛЕНИЯ № Е • 2005

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

83

1

1 Lc A_V- 1 1 + y

2 Lc е_у .2 + 4 у + v2 2 + 2 у + у2

з Lc е_у, 6 + 1 2 у + 12 у 2 + 5 у 3 + у 4 2 3 6 + 6 у + Зу + у

4 Lc е-у , 144 + 28 8 у + 28 8 у2 + 1 92 у3 + 66 у4 + 1 2 у5 + у 6 6 24 + 24у + 12 у2 + 4у3 + у4

5 L? е-у . 288 + 5760 у + 5760 у2 + 3840у 3 + 1 8 О О у4 + 624у5 + 12 8 у 6 + 16 у7 + у 8 24 120 + 120 у + 60 у2 + 20у3 + 5 у4 + у5

где E = 1, и — моменты окончания передачи сообщений, ранее присутствующих в канале; р^г (P1, ..., J, 0) — вероятность одновременного присутствия в канале не более G других сообщений при заданный значениях P1, ..., J.

Значения lJ определяются из решения системы дискретный прямыгх уравнений Колмогорова—Чэпмена, опи-сытающих процесс размножения-гибели [5]. Такой процесс состоит из и + 1 шагов (моменты времени P1, ..., J, 0); переходы в состояния с номером, большим G (номер состояния равен числу одновременно присутствующих в канале других сообщений), запрещены.

Вероятность pi перехода из состояния E P G в состояние j P G за интервал времени _ 1 вы-

ражается как

^-l 1 ) ! СХР(-j ' E - 1 О, j < E - 1.

Выражения для вероятностей lJ имеют вид рекуррентных соотношений и достаточно громоздки. Окончательные аналитические соотношения для вероятности

2

1 Lc е—2у

2 Lc е_2у- (1 + 2 у + у)

3 Lc е 2у • 1 + 2у + 2у2 + 2у3 + 12у4

4c L —2у (1П ,2435433 1 4^ е К- (1 + 2 у + 2 у + 3 у + - у + - у + — у J

при к = 1, 4 приведены в табл. 2, а соответствующие зависимости рк (у) показаны на рисунке пунктиром.

Из сравнения зависимостей р\\ (у) видно, что постоянная длителыносты передачи обеспечивает всегда мены-

к

шие значения рс.

При “синхронной” системе АЬОНА передачу сообщений разрешено начинаты толыко в определенные моменты времени, разделенные равными промежутками времени 0 = 1/т- Для этого случая, очевидно, значение

^к определяется по известным формулам Эрланга

рк = ехр(-10) £ м,

п = О

а значение с*(о) определяется как с*(о) = рк>*(о), при

этом полагается, что | >(Р)@Р = О.

0

ЛИТЕРАТУРА

1. ке—дсекас Д., Галлаге— Сети передачи данных. — М.: Мир, 1989.

2. Хлейя—ок X. Вычислителыные системы с очередями. — М.: Мир, 1979.

3. Хусгоов 1. Г., Суцеяко С. Л. О пропускной способности метода случайного множественного доступа // Автоматика и телемеханика. — 2ОО1. — № 1 — С. 91 — 1О1.

4. Хо—я Г., Хо—я Г. Справочник по математике. — М.: Наука, 1974. — 832 с.

5. Сайгой Г. Элементы теории массового обслуживания и её приложения. — М.: Сов. радио, 1971.

в /095;

!-даш7: гйеуп@гри.ги □

84

CONTROL SCIENCES № 0 • 2005

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.