CC BY
40
£1—
УДК 519.687
ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА ПЕРЕДАЧИ ДАННЫХ О СИСТЕМАХ СО СЛУЧАЙНЫМ МНОЖЕСТОЕННЫМ ДОСТУПОМ
В. А. Жевнеров
Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова, г. Москва
Изложен математический аппарат описания однофазовых систем с наиболее распространенным видом случайного множественного доступа — АЬОНА. Рассмотрены варианты с произвольным законом распределения длительности сеанса передачи и возможностью успешной передачи сообщений одновременно несколькими абонентами.
Протоколы передачи данных, основанные на применении случайного множественного доступа — ALOHA, в настоящее время достаточно широко применяются в локальных сетях и системах связи [1—3].
Доступ ALOHA является простейшей дисциплиной передачи сообщения (заявки) по каналу связи. В соответствии с этой дисциплиной абонент (источник) передает сообщения по каналу без учета информации об его занятости другими абонентами. Сообщение считается успешно переданным, если кроме него в канале находилось одновременно не более G других абонентов. Требования к значению G определяются особенностями используемых каналов связи. Известные аналитические соотношения [2] описывают только случай передачи сообщений одинаковой длительности при G = 0. В то же время на практике встречаются более общие режимы передачи.
Первоначально рассмотрим случай “чистой” системы ALOHA, когда сообщения передаются абонентами в произвольный момент времени. Функция >(P) — плотность распределения вероятностей (п. р. в.) длительности времени передачи сообщения по каналу — полагается произвольной. Поток передаваемых сообщений полагается пуассоновским с интенсивностью 1. Обозначим через lc вероятность успешной передачи сообщения за одну попытку. Очевидно, что lc = C *(o)Is = 0, где с *(о) — преобразование Лапласа функции g(P) — п. р. в. полного времени передачи сообщения в системе.
Далее для простоты изложения приводятся соотношения только для описания значения lc. Способ получения выражений для с *(о) на основе описания lc будет показан далее на примере для G = 0.
При G = 0 величина lc представима в виде
pp,
(l)
где — — вероятность отсутствия абонентов в канале к моменту начала передачи сообщения; —+ — вероятность
того, что в течение времени передачи в канал не поступят сообщения от других абонентов. Выражения для —+ и имеют следующий вид:
p+ = J b(t)exp(-1t)dt = b*(1),
(2)
Р = 15(Р1)1ехр(-1Р1)@Р1... |В £ 1ехр(-1?л)@?л..., (3)
О О V г = 1 /
Р
где В(Р) = | >(т)@т.
О
Так как сложение пуассоновских потоков всегда дает пуассоновский поток, то справедливо соотношение р (1 + @ 1) = р (1)р (@1), откуда с учетом равенства — (О) = 1 получим уравнение
p (і) + ЭLЭA;1] = p (і)
Т + Э? ( 1 ) Э1
і = О.
d 1,
решение которого
p-(1) = exp
/Э^ ( 1 ) Э1
і = О
Значение ^p ,( 1 ) Э1
можно определить из выраже-
ния (3), причем достаточно учитывать вклад в значение — (1) только от первого интеграла, т. е.
Э? ( 1 ) Э1
J B(tl)1exp(-1tl)dtl
где m = J b(t)tdt.
О
82
CONTROL SCIENCES № Е • 2005
Окончательно имеем
—■(1) = exp(-y), (4)
где y = 1/m.
Отсюда следует, что значение — (1) зависит только от первого момента распределения длительности передачи сообщения.
В соответствии с формулами (1), (2) и (4) получим
pc = exp(-y)b*(1).
(5)
Для описания преобразования с*(о) на основе соотношений для вероятности lc, очевидно, необходимо внести
дополнения только в вычисляемое значение —+ = —+(о).
Соотношение (2) примет вид: l+(o) = J >(P)exp(- 1P) х
0
х exp(-oP)@P = >*(1 + о), тогда с*(о) = exp(-1)>*(1 + о).
Известно [4], что при одинаковых значениях m минимальные значения >*(1) и >*(о), а, следовательно, lc и С*(о) достигаются при постоянной длительности передачи сообщений
>(p) = s(p - 1/m), (6)
а максимальное — при
>(р) = (1 - a)S(p - pmin) + aS(p - грах^
ственно минимально и максимально допустимые длительности передачи. Закон (7) обеспечивает наибольшую дисперсию распределения длительности передачи.
Если в канал поступают ( разнородных пуассонов-ских потоков с характеристиками , mE, >E(P), E = 1, (, то выражение для вероятности успешной передачи сообщения у-го потока в соответствии с формулой (5) примет вид
(Т)
где a = (l/m - Рріп)/( 'max ‘mm-
min и tmax — соответ-
p = b;
cFF
L
Iі/
V і = l
exp
L A
- I “
V і IT im 4
При к ! О выражения для рс, составляемые аналогично выражениям (2)—(4), являются довольно громоздкими. Поэтому для простоты изложения дальнейшее описание будет производиться для функций >(Р) вида (8) и (9), обеспечивающих экстремальные значения рс и с *(о). Для удобства аналитического описания функция (7) в дальнейшем заменяется приближением >(Р) = техр(—цР).
Для показательного распределения >(Р) = цехр(—цР) значение рс ищется в виде
c
I S«pn ,
n = О
(8)
где ^п — вероятность наличия в канале п сообщений в
момент поступления очередного сообщения; ^П — вероятность одновременного появления в канале за время передачи отдельного сообщения не более к сообщений при условии наличия в канале к началу передачи п сообщений.
Графики зависимостей р (j)
Значения sn находятся из решения прямых уравнений Колмогорова—Чэпмена
(9)
Обратные уравнения Колмогорова—Чэпмена, со-
ставляемые для вероятности pn , имеют вид:
l
pJ (1 + n + У)- pJ -1n - pJ +1У
n = О, С, pJ + i = pci = О.
(1О)
Выражения для вероятности рс при к = 1, 4 , полученные в соответствии с формулами (8)—(1О), приведены в табл. 1, а графические зависимости рк (у) представлены на рисунке сплошными линиями.
При описании процесса передачи сообщений одинаковой длительности >(Р) = 5(Р — 1/т) учитывается, что моменты окончания передачи будут образовывать также
кк
пуассоновский поток. Тогда рс = ^ рп, где рп — веро-
п = О
ятность одновременного присутствия в канале не более к сообщений за время передачи выделенного сообщения при условии наличия к началу передачи в канале п других сообщений.
Значение рп ищется в виде
pn
т
J .
tl = О
J 1nexp(—1T) pn (ti, ..., J, T)dti...dtn,
tn = О
ПРОБЛЕМЫ УПРАОЛЕНИЯ № Е • 2005
83
1
1 Lc A_V- 1 1 + y
2 Lc е_у .2 + 4 у + v2 2 + 2 у + у2
з Lc е_у, 6 + 1 2 у + 12 у 2 + 5 у 3 + у 4 2 3 6 + 6 у + Зу + у
4 Lc е-у , 144 + 28 8 у + 28 8 у2 + 1 92 у3 + 66 у4 + 1 2 у5 + у 6 6 24 + 24у + 12 у2 + 4у3 + у4
5 L? е-у . 288 + 5760 у + 5760 у2 + 3840у 3 + 1 8 О О у4 + 624у5 + 12 8 у 6 + 16 у7 + у 8 24 120 + 120 у + 60 у2 + 20у3 + 5 у4 + у5
где E = 1, и — моменты окончания передачи сообщений, ранее присутствующих в канале; р^г (P1, ..., J, 0) — вероятность одновременного присутствия в канале не более G других сообщений при заданный значениях P1, ..., J.
Значения lJ определяются из решения системы дискретный прямыгх уравнений Колмогорова—Чэпмена, опи-сытающих процесс размножения-гибели [5]. Такой процесс состоит из и + 1 шагов (моменты времени P1, ..., J, 0); переходы в состояния с номером, большим G (номер состояния равен числу одновременно присутствующих в канале других сообщений), запрещены.
Вероятность pi перехода из состояния E P G в состояние j P G за интервал времени _ 1 вы-
ражается как
^-l 1 ) ! СХР(-j ' E - 1 О, j < E - 1.
Выражения для вероятностей lJ имеют вид рекуррентных соотношений и достаточно громоздки. Окончательные аналитические соотношения для вероятности
2
1 Lc е—2у
2 Lc е_2у- (1 + 2 у + у)
3 Lc е 2у • 1 + 2у + 2у2 + 2у3 + 12у4
4c L —2у (1П ,2435433 1 4^ е К- (1 + 2 у + 2 у + 3 у + - у + - у + — у J
при к = 1, 4 приведены в табл. 2, а соответствующие зависимости рк (у) показаны на рисунке пунктиром.
Из сравнения зависимостей р\\ (у) видно, что постоянная длителыносты передачи обеспечивает всегда мены-
к
шие значения рс.
При “синхронной” системе АЬОНА передачу сообщений разрешено начинаты толыко в определенные моменты времени, разделенные равными промежутками времени 0 = 1/т- Для этого случая, очевидно, значение
^к определяется по известным формулам Эрланга
рк = ехр(-10) £ м,
п = О
а значение с*(о) определяется как с*(о) = рк>*(о), при
этом полагается, что | >(Р)@Р = О.
0
ЛИТЕРАТУРА
1. ке—дсекас Д., Галлаге— Сети передачи данных. — М.: Мир, 1989.
2. Хлейя—ок X. Вычислителыные системы с очередями. — М.: Мир, 1979.
3. Хусгоов 1. Г., Суцеяко С. Л. О пропускной способности метода случайного множественного доступа // Автоматика и телемеханика. — 2ОО1. — № 1 — С. 91 — 1О1.
4. Хо—я Г., Хо—я Г. Справочник по математике. — М.: Наука, 1974. — 832 с.
5. Сайгой Г. Элементы теории массового обслуживания и её приложения. — М.: Сов. радио, 1971.
в /095;
!-даш7: гйеуп@гри.ги □
84
CONTROL SCIENCES № 0 • 2005
