CC BY
14
УДК 517.9 ББК 78.34
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СОСТОЯНИЯМИ ОДНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ МОДЕЛИ В ОТНОСИТЕЛЬНО РАДИАЛЬНОМ СЛУЧАЕ
Шулепов А. Н.,1 Сагадеева М. А.2,
(ФГБОУ ВПО Южно-Уральский государственный университет (НИУ), Челябинск)
Рассмотрена модель, описываемая неклассическим уравнением математической физики, с коэффициентами зависящими от времени. Такие уравнения часто называют уравнениями соболевского типа в относительно радиальном случае, т.е. стационарное уравнение обладает разрешающей сильно непрерывной вырожденной полугруппой. Показано существование единственного оптимального управления решениями задачи Шоуолтера-Сидорова для нестационарной модели.
Ключевые слова: оптимальное управление, нестационарные уравнения соболевского типа, относительно радиальный случай.
Введение
В ограниченной области Q с Rn с границей 0Q класса C Рассмотрим краевую задачу
(1) Ax(s,t)= x(s,t) = 0, (s,t) е dtt х [0,T], для уравнения в частных производных вида [1]
(2) (Л - A)xt = v(t) Ax - iv(t)dA2x + u.
Здесь коэффициенты Л, d е R описывают параметры системы, вектор-функция u отвечает внешним воздействиям на систему и является функцией управления.
1 Андрей Николаевич Шулепов, магистрант ([email protected]).
2Минзиля Алмасовна Сагадеева, кандидат физико-математических наук, доцент, ([email protected]).
Задачу оптимального управления для модели (1), (2) будем исследовать с помощью абстрактных результатов. Пусть X, ^ и й - гильбертовы пространства. Пусть операторы Ь е £(£;
И еС1(Х;
Рассмотрим задачу Шоуолтера-Сидорова [4]
(3) Р(х(0) - хо) = 0 для уравнения соболевского типа [5, 6]
(4) ЬхХ(Ь) = а(г)Их(г)+ п(г), (кегЬ = {0}), £ е [0, т]. Введем в рассмотрение функционал качества
1 }
3(П)= ^ / Ц^) - +
д=0
о
(5) +(1 - а) ^и^СОУ^(^ М,
я=00о й где к = 0,1, ...,р + 1; N е С(й), — самосопряженные и положительно определенные операторы; г = Сх, оператор С е £(£; 3), а = га{Ь, з) — плановое наблюдение из некоторого гильбертова пространства наблюдений 3- Отметим, что а е (0,1) и (1 — а) — весовые коэффициенты целей оптимального управления, заключающиеся в достижении плановых показателей наблюдаемой величины без скачкообразных изменений (первое слагаемое в (5)) и минимизации расходуемых для этого ресурсов управления (второе слагаемое в (5)). В работе приведено приложение абстрактных результатов, полученных в [2].
1. Абстрактные результаты
Доказательства утверждений этой части можно найти в работе [6].
Обозначим
рь(И) = {р е С : (рЬ-И)-1 е £(£;й)}, аь(И) = С\рь(И), Я£(И) = (рЬ-И)-1Ь, Ь^(И) = Ь(рЬ-И)-1, р е РЬ(И),
Т
К(Х(М) = П (М)' Ь?А ,Р) (М) = П (М)' к=0 к=0
Лк е рь(И) (к = 0"Р).
Определение 1. Оператор М называется р-радиальным относительно оператора Ь (или коротко (Ь,р)-радиальным), если (1) Зш е М V/ > ш ^ / е РЬ(М); (и) ЗК > 0 V/к >ш, к = 0"р, Уи е N
ъг
шаХ{||(^р)(М))ПУ£(Х), 11(Ь^Р)(М)Лкф)}
Также введем обозначения X° = lier ), Y° =
p
п - w)r k=°
RL
ker Lf/i>p)(M), L° = L
Через X1
domM ПХ°
, М0 = М
X0
(ф1) обозначим замыкание линеала тЕ^р)(М) (шЬ^р)(М)), а через X (ф) - замыкание линеала Х0-+1шЕ^^р)(М) (ф0-ИшЬ^ р)(М)) в норме пространства X (ф).
Определение 2. Сильно непрерывное отображение V• : М+ ^ ) называется сильно непрерывной полугруппой разрешающих операторов (или просто разрешающей С0-полугруппой), если
(1) V^4 = VVs,í > 0;
(и) -и(£) = V*у0 есть решение этого уравнения для любого -и0 из плотного в V линеала.
Полугруппу {V(*) е С^) : * е М+} будем называть экспоненциально ограниченной с константами С, ш, если
ЗС > 0 Зш е М V* е М+ IIV(¿)Ц£(у) < Свш4.
Теорема 1. Пусть оператор М (Ь,р)-радиален. Тогда существует экспоненциально ограниченная с константами К,ш из определения 1 и сильно непрерывная разрешающая полугруппа для однородного уравнения (4) при а = 1, рассматриваемого на подпространстве X
Замечание 1. Операторы разрешающей полугруппы для уравнения (4) при а = 1 и * > 0 можно представить в виде
X(t) = s - lim | (l - ум] L| = s - lim (kRLk (MЛ \\ k J I t L J
принимая во внимание поправки формулы, обсуждаемые в работе [3].
Замечание 2. Единицей полугруппы {X(t) £ L(X) : t £ R+} является проектор P вдоль X0 на X1.
Определение 3. Оператор M называется сильно (L,p)-радиальным, если при любых X, ß0, ß1,..., ßp > ш выполняются условия
о
(i) существует плотный в Y линеал Y такой, что для всех
y £Y
\\M(XL - M)-1 L^p)(M)y\\Y
<
const(y)
(ii) \\Rf/iiP)(M)(XL - M)-1\l(y;X)
p '
(X - ш)Ц (ßk - ш) k=0
K
<-
p
(X - ш) П (ßk - ш) k=0
Теорема 2. Пусть M сильно (L,р)-радиален. Тогда
(i) X = X0 ф x1, y = Y0 ф Y1;
(ii) Lk = L
£Cl(Xk; Yk),
domMk
£С(Хк] ), Мк = м
ёошМк = ёошМ П Хк, к = 0,1; (Ш) существуют операторы М—1 £ £(^0; X0) и Ь-1 £
¿(91; X1).
2. Оптимальное управление для модели в относительно радиальном случае
Определение 4. Вектор-функция х £ Н 1(Х) = {х £ Ь2(0, т; X) : X £ Ь2(0, т; X)} называется сильным решением уравнения (4), если она почти всюду на (0, т) обращает его в тождество. Сильное решение х = х(Ь) уравнения (4) называется сильным решением задачи Шоуолтера-Сидорова (3), (4), если оно удовлетворяет (3).
k
Обозначим N° = N и {0}. Построим гильбертово пространство Нр+1(^) = {у £ ¿2(0,т; %) : У(р+1) £ Ь(0,т;%), Р £ N0}
р+1 т
со скалярным произведением [у,г] = ^ / (у(11\ бЬ.
д=° о %
В силу результатов [2] при условии сильной (Ь,р)-радиальности оператора М для любых х° £ X и f £ Нр+1 (%) существует единственное сильное решение х £ Нзадачи Шоуолтера-Сидорова (3) для уравнения (4) вида
г г г
/а(СК Г ¡а(С Ж
]а(СЖ Г /а(С Ж ,
x(í) = X 0 Рх° + X - Ь-1 Q(f (в) + Ви(в))бв—
0
— £(м°-1 Ь°)кМ0-1(1 — Q)(AD)kA (f (*) + Ви(1)).
0 к=0
о .
Определим пространства X
=ж 2 (п), % = ^-1(п).
Пусть Л, б £ М фиксированы, тогда определим операторы соотношениями Ь = Л — А, М = Д — гйД2, где Д - оператор Лапласа. Как показано в [1], оператор Ь £ £(Я; #) и оператор М £ С1(й; £) с ёошМ = {х £ Ж23(П) : Дx(в,í) = х(в^) = 0, в £ дП}. Обозначим через {Лк} последовательность собственных значений однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа Д в области П. Последовательность {Лк} занумерована по невозрастанию с учетом кратности. Обозначим через {<^к} ортонор-мированную (в смысле Ь2(П)) последовательность соответствующих собственных функций, ^к £ Ск £ N.
Лемма 1. При любых Л, б, £ М оператор М сильно (Ь, 0)-радиален.
Доказательство Леммы приводится в [1].
Переопределим условие Шоуолтера-Сидорова:
Р (х(0) — х°) = Иш V" ((х(г) — х°),(рк )<£к г^°+ £—'
)
Определение 5. Вектор-функцию v G Hj(U) назовем оптимальным управлением модели (1), (2) решениями задачи (3), (4), если
(6) J (v) = min J (u),
(x,«)eïxHj(û)
где пары (ж, u) G X x Hj(U) удовлетворяют (3), (4) и Hq(U) — замкнутое, выпуклое подмножество в H 1(И).
Теорема 3. Пусть оператор M сильно (L, р)-радиален, p G No, функция a G Cp+1([0, т); R+). Тогда при любых ж0 G X существует единственное оптимальное управление v G Hp+1(U) модели (1), (2) задачи (3), (5), (6).
Литература
1. САГАДЕЕВА М.А., ШУЛЕПОВ А.Н. Об одной нелинейной модели на основе относительно радиального уравнения соболевского типа // Вестник Одесского национального университета. Математика и механика. — 2013. — Т. 18, вып. 2(18). — С. 35-43.
2. САГАДЕЕВА М.А., ШУЛЕПОВ А.Н. Задачи оптимального и жесткого управления решениями специального вида нестационарных уравнений соболевского типа // Вестник СамГТУ. Серия: Физико-математические науки. — 2014. — №2(35). — С. 33—38.
3. САГАДЕЕВА М.А., ШУЛЕПОВ А.Н. Аппроксимации вырожденных С0-полугрупп // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. -2013. - Т. 6, №2. - С. 133-137.
4. СВИРИДЮК Г.А., ЗАГРЕБИНА С.А. Задача Шоуолтера-Сидорова как феномен уравнений соболевского типа // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2010. - Т. 3, №1. - C. 104-125.
5. FAVINI A., YAGI A. Degenerate differential equations in Banach spaces. - New York, Basel, Hong Kong: Marcel Dekker, Inc, 1999. — 236 p.
6. SVIRIDYUK G.A., FEDOROV V.E. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators. - Utrecht, Boston: VSP, 2003.-216 p.
OPTIMAL CONTROL OF STATES FOR A NONSTATIONARY MODEL IN THE RELATIVELY RADIAL CASE
Minzilya Sagadeeva, South Ural State University, Chelyabinsk, Cand.Sc., associate professor ([email protected]). Andrew Shulepov, South Ural State University, Chelyabinsk, student ([email protected]).
Abstract: In this paper we prove the existence of a unique optimal and hard control over solutions of Showalter-Sidorov problem for the nonstationary model, which is described by Sobolev type equations. In this case, one of the operators in the equation is multiplied by a scalar function of the time-variable, besides stationary equation has a strong continuous degenerate resolving semigroup of operators.
Keywords: optimal control, nonstationary Sobolev type equations, relatively radial case.
Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии М.В. Губко.
Поступила в редакцию 29.05.2015. Дата опубликования 31.05.2016.
