Существование и устойчивость решений полулинейных уравнений соболевского типа в относительно радиальном случае Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

2013. Т. 6, № 1. С. 78-88

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

УДК 517.9

Существование и устойчивость решений полулинейных уравнений соболевского типа в относительно радиальном случае

М. А. Сагадеева

Южно-Уральский государственный университет

Аннотация. В статье изучена однозначная разрешимость задачи Коши для полулинейного уравнения соболевского типа с относительно р-радиальным оператором и устойчивость решений этого уравнения в окрестности точки нуль в случае, когда оператор при производной по выделенной переменной необратим.

Ключевые слова: полулинейные уравнения соболевского типа; теорема Адамара -Перрона; устойчивые и неустойчивые многообразия решений.

Пусть И и $ — банаховы пространства; операторы Ь е С(И; д) (т. е. линеен и непрерывен), М е С 1(И; $) (т. е. линеен, замкнут и плотно определен), N е Сте(Яа; $). Здесь Иа — банахово пространство, причем вложение иа И плотно и непрерывно. Рассмотрим полулинейное

уравнение соболевского типа ([10]-[15])

Нашей целью является изучение однозначной разрешимости задачи Коши для уравнения (0.1), а также устойчивости решений уравнения (0.1) в окрестности точки нуль. При этом заметим, что, во-первых, решения задачи Коши для уравнения (0.1) при любых начальных данных пусть даже из плотного в И множества существуют не всегда (см. например, [6], [7]), а во-вторых, эти решения, даже если существуют, зачастую сильно неустойчивы. Несуществование решений объясняется тем, что уравнение (0.1) необходимо рассматривать не на всем пространстве И, а на некотором его подмножестве, понимаемом как фазовое пространство. Неустойчивость же решений объясняется расщеплением фазового пространства на инвариантные пространства, порождающие дихотомии решений. Изучение линейного случая

LU = Mu + N (и).

(0.1)

LU = Mu,

(0.2)

упрощается в силу того, что фазовым пространством уравнения служит подпространство в И. Поэтому для полулинейных уравнений вида (0.1), фазовые пространства которых диффеоморфны некоторому подпространству в И, удается перенести результаты об устойчивости решений. А именно, используя результаты из [5] об устойчивости решений линейных уравнений соболевского типа вида (0.2) рассматривается вопрос устойчивости решений полулинейных уравнений (0.1) в относительно радиальном случае.

Если существует оператор Ь-1 є С($;И), то уравнение (0.1) тривиально редуцируется к уравнению

и = Би + Г (и), (0.3)

где операторы Б є Ь-1М є С1(И), Г є Ь-1Ы є С^(Иа;И). Если

(A) оператор Б секториален, то при любом и0 є Иа и некотором т є М+, т = т(и0) существует единственное решение и є С^([0,т); И) задачи Коши и(0) = и0 для уравнения (0.3) [8], п.3.3;

(B) спектр а(Б) оператора Б таков, что а(Б) П {Ж} = 0, а оператор Г таков, что Г(0) = 0 и Г = О,

то в некоторой окрестности точки нуль существуют устойчивое и неустойчивое многообразия уравнения (0.3) [8], п.5.2.

Кстати сказать, в [1] предложено утверждения вида (В) называть «теоремой Адамара - Перрона>. Мы будем придерживаться этого термина. В случае относительной ограниченности теорема Адамара -Перрона для уравнения соболевского типа вида (0.1) доказана в работе [3], а в случае относительной секториальности — в работе [2]. Мы же докажем эту теорему в случае, когда оператор М сильно (Ь, р)-радиален.

1. Относительно р-радиальные операторы

Доказательства утверждений этого пункта можно найти в [15]. Обозначим

рь(М) = {^ є С :(рЬ - М)-1 є С($;И)}, аь(М) = С \ рь(М),

(М) = (»Ь - М)-1Ь, ЬI(М)= Ь(^Ь - М)-1, » є рь(М),

р р

^а;Р)(^ = ПЕа,(М)> Ь^р)(М) = 1\ЬьХк(М), \керь(М)(к = 0^). к=0 к=0

Определение 1. Оператор М называется р-радиальным относительно оператора Ь (коротко, (Ь,р)-радиальным), если

(і) Зв є М (в, +гс>) С рь(М);

80 М. А. САГАДЕЕВА

(іі) ЭК > 0 Уц = (ц0,ц1, • ••, Цр) Є (в, +^)р+1 Упє N тах{||(Е^)Р)(М))га||£(я), |\{Ь^р){М))п\\ст} <

М0 = М

П (^к — вУ к=0

Также введем обозначения и0 = кег (М), З = кег Ь\ (М), Ьа = Ь

и0 асшмпя0

Через И1 (З1) обозначим замыкание линеала \тК^р)(М) (шЬ^ р)(М)), а через И (З) — замыкание линеала И0+1тК^ р)(М) (З°-ИтЬ^ р)(М)) в норме пространства И (З) •

Определение 2. Решением уравнения (0.2) назовем вектор-функцию иеС'1(М+;11), удовлетворяющую этому уравнению на М+ = {0} иМ+.

Определение 3. Замкнутое множество ф С И называется фазовым пространством уравнения (0.2), если

(1) любое решение и(Ь) уравнения (0.2) лежит в ф (поточечно);

О

(п) для любого и0 из некоторого линеала ф, плотного в ф, существует единственное решение задачи Коши

и(0) = и0 (1.1)

для уравнения (0.2).

Теорема 1. Пусть оператор М (Ь,р)-радиален. Тогда фазовым пространством уравнения (0.2) является множество И1 (З1).

Определение 4. Отображение [/(•) : М+ —> С(11) называется разрешающей полугруппой уравнения (0.2), если (1) и(«)£/(£) = II(в + £) У,в, Ь € М+;

(п) и(£) = и(£)и0 есть решение этого уравнения для любого и0 из некоторого плотного в И линеала;

(ш) сужение единицы полугруппы на фазовое пространство ф уравнения есть и(0)

= I.

Р

Полугруппу {С/(і) Є С(11) : і Є М+} будем называть экспоненциально ограниченной с константами С, /3, если ЗС > 0 3/3 є К \/£ Є М+ \Р(*)ІІ£(Я) < Свв*^

Теорема 2. Пусть оператор М (Ь,р)-радиален. Тогда существует экспоненциально ограниченная в константами К, в из определения 1 и сильно непрерывная разрешающая полугруппа уравнения (0.2), рассматриваемого на подпространстве Я.

Замечание 1. Операторы разрешающей полугруппы уравнения (0.2) при Ь > 0 можно представить в виде

17Ш = в- Ит ( (Ь — ум\ Ь | Ит (-Е^(М)

\Д к ) I к^оо\Ь 7

Замечание 2. Единицей полугруппы {£/(£) € £(Й) : ^ € ^+} ({-^(£) € £(30 : ^ ^ М+}) является проектор Р (О) вдоль 11° (3°) на И1 (З1)-

Определение 5. Оператор М называется сильно (Ь,р)-радиальным, если при любых Х,^0,^1, > в выполняются условия

О О

(1) существует плотный в 3 линеал 3 такой, что для всех f е3

\\М(ХЬ - МГ1Ьь^р)(М)/||у <

СОП8І(/)

(Х — в) П (Рк — в) к=0

-и- К

(іі) IIК(р,р)(м)(^ -м) ІІ£№Я) < р ■

(Х — в) П (Рк — в)

к=0

Теорема 3. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Тогда

(і) И = И0 ф И1, 3 = 3° Ф З1;

(іі) Ьк = Ь

єві(Ик; Зк),

(^ошЫ^

е£(Ик; 3к), Мк = М

и

ёошМк = ёошМ П Ик, к = 0,1;

(ш) существуют операторы М-1 е £(д°;и0) и Ь_1 е С(Ъ1;И1).

2. Устойчивость решений линейных уравнений

Доказательства утверждений этого пункта можно найти в [5], [9]. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален с константой в > 0 и выполнено условие

ф) Существует ш > 0, что аь(М)П{^еС : —ш <И,е^ <ш} = 0. Обозначим С+ = {^ е С : И,е^ > 0}, С_ = {^ е С : И,е^ < 0}, а± = аь(М) П С± и потребуем ограниченности множества а+.

Замечание 3. В случаях (Ь,р)-ограниченности и (Ь,р)-секориальнос-ти оператора М это условие имеет вид: аь(М) П {Ж} = 0 (например, в подобном виде оно присутствует в условии (В)) .

В силу замкнутости относительного спектра существует конечный контур Г+ С рь(Ы) П С+, ограничивающий область, содержащую а+.

Согласно относительно спектральной теореме [4] пространства И1 и З1 расщепляются: И1 = И+ ® И-, З1 = З+ ® З-. Этому расщеплению

1 '

I I .. I 1\// \ — ± I л . . II II I .

-1та.. р_ = р_р.

соответствуют проекторы Р+ = —— [ ЫЬ — М) 1Ьс1/л

2пг]

Г+

и <^)+ = ----- Ь(цЬ — М)_1с?/х, — <3+. Обозначим Ь± = Ь

2п%]

I — ш'' 1

Г

и± = м

И±

, ёошМ± = ёошМ П И±. По лемме 2 [4] Ь± Е С(И±; З±),

ёо тМ±

М± Е С 1(И±; З±). Кроме того, в силу теоремы 1 [4] имеем аь± (М±) = а±, поэтому оператор М+ (Ь+ ,р)-ограничен [15], а М- (Ь-,р)-радиален с константой /3 < —ш < 0.

Построим полугруппы операторов {Е/±(£) <5 ^С^) ■ £ € ^+}

и±(1) = з- Ит (^Цьк±(М±)) . (2.1)

«—>■ сю \ £ £ /

В силу того, что оператор М+ является (Ь+,р)-ограниченым, полугруппу {£/+(£) € £(^1+) : Ъ Е М+} можно продолжить до группы {и+ (Ь) Е £(И+) : Ь Е М}. В силу замечания 2 разрешающая полугруппа уравнения (0.2) может быть представлена в виде

и (ь) = и (ь)р = и С0(р+ + Р-) = и+(ь)р+ + и- (ь)Р-. (2.2)

Определение 6. Пусть р — фазовое пространство уравнения (0.2). Множество р1 С р называется инвариантным подпространством этого уравнения, если при любом щ из плотного в р1 линеала существует единственное решение и = и(Ь) задачи (0.2), (1.1), причем и(Ь) = и(^зд € р1 УЬ Е М+.

Теорема 4. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален и выполнено ф), тогда подпространства И+ и И- являются инвариантными пространствами уравнения (0.2).

Следующее определение и теорема являются переформулировкой понятия и теорем об экспоненциальной дихотомии решений [5].

Определение 7. Пусть р1 - инвариантное пространство (0.2). Пусть и(Ь,и0) = и(Ь)и0 — решение задачи (1.1), (0.2) с и0 Е р1. р1 называется устойчивым (неустойчивым), если Эш,С Е М+, что ||и(Ь,и0)||я < Се-ш1\\ио||и при Ь Е М+ (||и(Ь,и0)||и < Св^^Ци при Ь Е М-).

Теорема 5. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален и выполнено ф). Тогда И- — устойчивое, а И+ — неустойчивое инвариантные пространства уравнения (0.2).

Если оператор М сильно (Ь,р)-радиален с константой в > 0 и выполнено условие ^), то И± — инвариантные пространства радиального оператора 5 = Ь-1М\ є С/(И1). Поскольку спектр а(Б) = аь(М), то пространство И- (И+) является устойчивым (неустойчивым) пространством уравнения и1 = 5-й1. Заметим еще, что если аь(М) П[/л є С : И,е^ > 0} = 0, то неустойчивое инвариантное пространство И+ = {0}. В таком случае фазовое пространство И1 = И- называется асимптотически экспоненциально устойчивым пространством.

3. Существование решений полулинейного уравнения

Итак, пусть оператор М сильно (£,р)-радиален с константой в > 0 из определения 1. Тогда полагая И0 = И1, И1 = ёош М П И1 с "нормой графика", аналогично [7] построим интерполяционные пространства Иа = [И0, И1]а, а Е [0,1]. Далее, положим И0 = ёош М П И0 с "нормой графика" и построим пространства Иа = И ® Иа, а Е [0,1]. Имеют место непрерывное и плотное вложение Иа ^ И, а Е [0,1], и равенство И1 = ёош М с "нормой графика". Фиксируем а Е [0,1), и пусть оператор N Е С^ (Иа; З).

Определение 8. Вектор-функцию и Е Сте((0,Т);И1), удовлетворяющую при некотором Т Е М+ уравнению (0.1), назовем решением этого уравнения. Решение и = и(Ь) уравнения (0.1), удовлетворяющее соотношению ^Игп ||и(Ь) — и0= 0 при некотором и0 Е Иа, назовем решением

задачи Коши для уравнения (0.1) (коротко решением задачи (0.1), (1.1)).

Поскольку оператор М сильно (£,р)-радиален, то уравнение (0.1) эквивалентно системе из двух уравнений

Яи° = и0 + М-1(1 — Q)N (и), (3.1)

и1 = Би1 + L-lQN (и), (3.2)

где оператор Н = M0“1L0 Е £(И0) нильпотентен степени р, а оператор Б = L-1М1 Е С1 (И1) радиален в силу теоремы 3.

Определение 9. Решение и = и(Ь) уравнения (0.1) называется ква-зистационарной полутраекторией, если

Ни(Ь) = 0, Ь Е (0,Т). (3.3)

Решение задачи (0.1), (1.1) называется квазистационарной полутраекторией уравнения (0.1), выходящей из точки и0, если верно (3.3).

Если ограничиться рассмотрением только квазистационарных по-лутраекторий, то мы с необходимостью прийдем к рассмотрению множества

М = {и Е Иа : (I — Q)(Mu + N (и)) = 0},

на котором они лежат в силу (3.1).

Пусть М = 0; будем говорить, что множество М в точке зд Е М является банаховым С^-многообразием, если существуют окрестности

0 С М и О1 С Иа точек и0 и и^ = ри0 Е Иа соответственно и Сте-

диффеоморфизм С : О1 ^ О такой, что С-1 есть сужение проектора р на М. Множество М называется банаховым С^ -многообразием, если оно является таковым в каждой своей точке. Связное банахово Сте-многообразие называется простым.

Теорема 6. Пусть в точке и0 Е М множество М является банаховым С^ -многообразием, тогда существует квазистационарная по-лутраектория уравнения (0.1), выходящая из точки и0.

Доказательство. В условиях теоремы уравнение (3.2) в окрестности

01 ^ Иа точки и0 можно привести к виду

и1 = Би1 + Г (и1), (3.4)

где оператор Г = L-1QNС Е Сте(О1;И). В силу теоремы 6.1.5 [12],

решение и1 Е Сте((0,Т);Иа) задачи Коши и1(0) = и0 для уравнения

£

(3.4) имеет вид: и1(Ь) = и(Ь)и0 + J и(Ь — в) Г(иг(в))&в. Вектор-функция

0

и(Ь) = Си1(Ь) + и1(Ь) будет решением задачи (0.1), (1.1), причем будет выполнено (3.3). □

В дальнейшем нас будут интересовать случаи, когда фазовое пространство р уравнения (0.1) будет совпадать со множеством его ква-зистационарных полутраекторий М. Отметим, что это заведомо имеет место, если оператор N = О (см. теорему 5), или если р = 0 [6], [7].

4. Устойчивость решений полулинейных уравнений

Пусть, как и выше, оператор М сильно ^,р)-радиален с константой в > 0 и выполнено условие ф). Положим теперь И± = И± П Иа. Пусть множество М — простое банахово Сте-многообразие, а фазовое пространство уравнения (0.1) р = М. Через и(Ь,и0) обозначим квазистационарную полутраекторию уравнения (0.1), выходящую из зд.

Определение 10. Множество вида

Мз(и) = {^0 е М : ||Р_(+)ИоУи < Е1, \\и(Ь,По)||я < #2, Ь е М+(-)} :

(1) М5(и) диффеоморфно замкнутому шару в И-(+) с центром в начале координат радиуса Я1;

(п) М5(и) касается И-(+) в начале координат;

(ш) при любом и0 е Мв(и) \\и(Ь,и0)|и ^ 0 при Ь ^ +ж(—ж) называется устойчивым (неустойчивым) инвариантным многообразием уравнения (0.1).

Теорема 7. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален;

(1) существует ш > 0, что аь(М) П{/л е С : —ш < И,е^ < ш} = 0 и множество а+ — ограничено;

(п) фазовое пространство уравнения (0.1) ф = М — простое банахово С Ю-многообразие;

(Ш) оператор N таков, что N(0) = 0, N0 = О.

Тогда при некоторых Кк, к = 1, 2, существуют устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия уравнения (0.1). Причем, если для некоторого и0 е М имеет место \\Р-и0||я < Я1 или ||Р+ и0||я < Я1 и \\и(Ь, и0)|и < ^2 при Ь ^ +ж или при Ь ^ —ж, то и0 е и Ми.

Здесь с помощью N0 обозначена производная Фреше в начале координат пространства Яа.

Доказательство. Сначала покажем, что для уравнения (3.4) существуют устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия.

Предположим сначала, что устойчивое инвариантное многообразие N уравнения (3.4) существует. Пусть точка щ е Ш8, тогда, в силу (2.2) и(Ь,и0) = и-(Ь,и0) + и+(Ь,и0) = Р-и(Ь,и0) + Р+и(Ь,и0), причем,

в силу теоремы 6, и+(Ь,и0) = и+ (Ь)Р+ и0 + J и+(Ь — s)P+ Е(и(в,и0))(1в.

0

Отсюда, с учетом того, что {и+ (Ь) е £(Я+) : Ь е М} — группа (см.

п.2), выполняется и+ (—Ь)и+(Ь,и0) = Р+ и0 + J и+(—в)Р+ Е(и(в,и0))(!в,

0

где левая часть и+(—Ь)и+ (Ь,и0) ^ 0 при Ь ^ +ж, а следовательно,

СЮ

Р+ и0 = —J и+(—в)Р+ Е(u(s,u0))ds.

Итак, если п(Ь) = п(Ь,п0) — решение задачи Коши (1.1) для уравнения (3.4), то оно с необходимостью должно иметь вид:

£ СЮ

п(Ь) = и-(Ь)Р-по+Уи-(Ь — ,в)Р_Р(п(8))с18—Уи+ (Ь — в)Р+ Е(п(в))(1в. (4.1) о £

Причем, в силу п.2, ясно, что это решение п(Ь,п0) ^ 0 при Ь ^ +ю.

Обратно, фиксируем точку а € 11“ и рассмотрим полное метрическое пространство © = {и € С(М+;11) : эир^ ||«(£)||я < р, Р-и{0) = а}, где р € М+ — константа, обеспечивающая сжатие оператора в правой части (4.1) на полуоси М+. Итак, существует единственное решение и £ ©

уравнения (4.1), причем п(0) = а — ^ и+ (8)Р+ Е(п(8,а))с18. Ясно, что

_ о

и € С'°°(М+;11), и рассмотрим предыдущее равенство, представленное

в виде а — ! и+(8)Р+ Е(п(8,а))й,8 = (I + 5)(а). Как нетрудно видеть, о

Щ3 = {п0 € и : п0 = (I + 5)(а), а € я_, ||а||я < р(2М)-1} — устойчивое инвариантное многообразие уравнения (1.1).

Покажем существование неустойчивого инвариантного многообразия Щи. Для этого рассмотрим при малом а € и Ь < 0 уравнение

£ £

п(Ь,а) = и+ (Ь)а+ ^+(Ь — 8)Р+ Е (п(8,а))с18 + ^ и_(Ь — 8)Р- Е (п(8,а))с18,

0 —ю

которое является аналогом (4.1). Очевидно, что п(Ь, а) ^ 0 при Ь ^ —сю, а также является решением задачи Коши (1.1) для уравнения (3.4). Далее, с помощью рассуждений, аналогичных случаю устойчивого многообразия, строится представление многообразия Щи.

Итак, существует устойчивое Щ3 и неустойчивое Щи инвариантные многообразия уравнения (3.4). Положим

М3 = {п € М : п = (I + п)(п1), п1 € Щ3},

и покажем, что М3 - искомое устойчивое многообразие уравнения (0.1). Прежде всего заметим, что для любого п0 € М3 ||Р_п0||я = ||Р— п^Ня < р(2М) — 1, где п\ € Щ3. Отсюда, если положить К1 = р(2М)_1, то требуемый С ^-диффеоморфизм шара в Я— и М3 задается формулой С =

I + п(1 + 5). Далее, поскольку любое решение п(Ь,п0) уравнения (0.1) имеет вид п(Ь,п0) = (I + п)п1(Ь,Рп0), причем п(п) = о(п) при ||п||я ^ 0, то ||п(Ь,п0)||я = II(I + П)п1 (Ь,Рп0)Ця ^ 0 при Ь ^ +ю. Кроме того, отсюда вытекает существование константы такой, что Цп(Ь,п0)||я < К2, Ь € М+. Наконец, касание М3 пространства я_ в начале координат вытекает из того, что (I — С)(п) = о(п) при ||п||я ^ 0.

Существование неустойчивого инвариантного многообразия М“ доказывается аналогично. □

Аналогично п.2 заметим, что если аь(М) П{ц € С : И,е ц > 0} = 0, то фазовое пространство уравнения (0.1) совпадает с устойчивым инвариантным многообразием.

Список литературы

1. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко // Итоги науки и техники. Соврем. проблемы математики. Фундамент. направление. — 1985. - Т. 1. - С. 7-149.

2. Загребина С. А. Существование и устойчивость решений одного класса полулинейных уравнений соболевского типа / С. А. Загребина, М. М. Якупов // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Мат. моделирование и программирование. - 2008. -Вып. 2. - С. 10-18.

3. Китаева О. Г. Устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия уравнения Осколкова / О. Г. Китаева, Г. А. Свиридюк // Неклас. уравнения мат. физики : тр. семинара, посвящ. 60-летию проф. В. Н. Врагова / Ин-т математики им. С. Л. Соболева СО РАН. - Новосибирск, 2005. - С. 161-166.

4. Келлер А.В. Относительно спектральная теорема / А.В. Келлер // Вестн. Челяб. гос. ун-та. Сер. Мат. механика. - 1996. - № 1 (3). - C. 62-66.

5. Сагадеева М. А. Дихотомии решений линейных уравнений соболевского типа: монография / М. А. Сагадеева. - Челябинск : Издат. центр ЮУрГУ, 2012. -139 с.

6. Свиридюк Г. А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк // Изв. РАН. Сер. мат. - 1993. -Т. 57, № 3. - С. 192-207.

7. Свиридюк Г. А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильно секториальным оператором / Г. А. Свиридюк // Алгебра и анализ. - 1994. - Т. 6, № 5. - С. 252-272.

8. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. - М. : Мир, 1985. - 376 с.

9. Федоров В. Е. Существование экспоненциальных дихотомий некоторых классов вырожденных линейных уравнений / В. Е. Федоров, М. А. Сагадеева // Вычисл. технологии. - 2006. - Т. 11, № 2. - С. 82-92.

10. Demidenko G. V. Partial differential equations and systems not solvable with respect to the highest — order derivative / G. V. Demidenko, S. V. Uspenskii. -N. Y. ; Basel ; Hong Kong : Marcel Dekker, Inc., 2003. - 239 p.

11. Favini A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi. -N. York ; Basel ; Hong Kong : Marcel Dekker, Inc, 1999. - 236 p.

12. Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations / A. Pazy. - N. Y. : Springer-Verlag, 1983. - 446 p.

13. Pyatkov S. G. Operator theory. Nonclassical problems / S. G. Pyatkov. - Utrecht ; Boston ; Koln ; Tokyo : VSP, 2002. - 353 p.

14. Lyapunov - Shmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinithyn and M. Falaleev. - Dordrecht ; Boston ; London : Kluwer Academic Publishers, 2002. - 548 p.

15. Sviridyuk G. A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. - Utrecht, Boston : VSP, 2003. -216 p.

M. A. Sagadeyeva

A Existance and a Stability of Solutions for Semilinear Sobolev type Equations in Relatively Radial Case

Abstract. The unique solvability of the Cauchy problem for a semilinear Sobolev type equation with respect to p-radial operators studied in this paper. Stability of the solutions in the neighborhood of zero has been studied for these equations.

Keywords: semilinear Sobolev type equations, theorem of Hadamar-Perron, stable and unstable manifold of solutions

Сагадеева Минзиля Алмасовна, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра Информационно-измерительной техники, ЮжноУральский государственный университет, 454080, Челябинск, пр. Ленина, 76 тел.: (351)2679001 (sagadeeva_ma@mail.ru)

Sagadeyeva Minzilya, Information-Measuring Technique Department, South Ural State University, 76, Lenina Av., Chelyabinsk, 454080, associate professor, Phone: (351)2679001 (sagadeeva_ma@mail.ru)