Экспоненциальные дихотомии решений одного класса уравнений соболевского типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ДИХОТОМИИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

М.А. Сагадеева

Получены достаточные условия существования экспоненциальных дихотомий решений однородных стационарных уравнений соболевского типа с относительно ^радиальным оператором. Приведена начально-краевая задача, иллюстрирующая полученные абстрактные результаты.

Ключевые слова: уравнения соболевского типа, экспоненциальные дихотомии решений, полугруппа операторов.

1. Введение

Пусть Ни J - банаховы пространства, оператор L е -С (И; 3) (линеен и непрерывен), kerL ф {0}, оператор М £ Cl(Li; 30 (линеен, замкнут и плотно в 11 определен). Целью данной работы является получение достаточных условий существования экспоненциальных дихотомий решений операторно-дифференциального уравнения соболевского типа

L —и = Ми (1)

dt v ;

с (L,р)-радиальным оператором М. Разрешимость уравнений этого класса исследовалась в [1 - 4]. Показано, что существует сильно непрерывная разрешающая полугруппа такого уравнения. В работах [2; 4] рассмотрена более общая ситуация, когда полугруппа уравнения вырождается не только на собственных, но и на М-присоединенных векторах оператора L высоты не больше р.

В случае непрерывной обратимости оператора L уравнение (1) редуцируется к классическому эволюционному уравнению = Ли в банаховом пространстве. К настоящему времени вопросы существования экспоненциальных дихотомий решений уравнений такого вида, исследованы весьма подробно [5-8], Аналогичные исследования вырожденного уравнения (1) проводились Г,А, Свиридюком и А,В, Келлер [9; 10]. В этих работах исследованы более узкие, по сравнению с

рассмотренными в данной работе, классы уравнений соболевского типа - с (X, ¿^-ограниченным и с (X, р)-секториальным оператором М.

2. Предварительные сведения

Доказательства приведенных здесь утверждений, кроме теоремы

2, можно найти в [4].

Обозначим

рь(М) = {/,, е С : (¡Л - М)-1 е £(5; и)}, аЬ(М) = С \ рь(М),

п^м) = (Рь - м)-Ч. ь^(м) = цмь - му1.

Р Р

я^.Р)(м) = ПЯ‘ДМ)’ 1ЬАМ) = П ьим).

к=О к=О

гО _ оЬ ( Л/Г\ ъО _ Лгг.*. т ^

Ни = кегг = кегі^(М), и=Ь Замечание 1. Очевидно, что ітЬа С 3го, ітМо С 3го

, М0 = М

ДО

сІотМ ПДО

Определение 1. Оператор М называется (Ь,р) -радиальным, если

(i) Зое К (о,+оо) С р1(М);

(ii) 3К > О Уц = (цо, ці,, цр) Є (о, +оо)р+1 Уп Є N

тах{11 (Д(^5р){М))п11£(д), || (Ь(^,р){М))п11£(§)} < ~р-----.

П Ы - а)п

к=О

Лемма 1. Пусть оператор М (Ь,р)-радиален. Тогда

(i) длины всех цепочек М-присоединенных векторов оператора Ь ограничены числом р;

(ii) множество кегД^р^(М) совпадает с М-корневым пространством оператора Ь;

(iii) аь°(Мо) = 0, в частности существует оператор М$1 Є

с(д°-,й°).

При условии (X, р)-радиальности оператора М введем обозначения Н = Д/0 1 /,0. •/ = /*п.Ц| 1 • Через IIі ($') обозначим замыкание

линеала хтЩ^^М) (тЬ^^(М)), а через 11 (3) - замыкание линеала 11° + \тЩ^^(М) (3° + \тЬ^^(М)) в норме пространства 11 (3),

Лемма 2. Пусть оператор М (Ь,р)-радиален. Тогда

(I) операторы, П и 3 нильпотентны степени не больше р;

(П) 11 = 11" О =11'. 3 = 3" О^З'-

Решением уравнения (1) будем называть вектор-функцию и(¿) е С'1(К+;11), удовлетворяющую этому уравнению на К+ = {0} и 18+,

Отображение £/(•) : К+ —>• £(11) называется разрешающей полугруппой уравнения (1), если

(0 и(з)и(г) = и(з + ¿) V«, г е 1+;

(II) и(£) = и(£)щ есть решение этого уравнения для любого и,о из плотного в 11 линеала.

Полугруппу {и(£) е /3(11) : t е К+} будем называть экспоненциально ограниченной с константами С, и, если 3С > 0 Зш е К Ш е К+

Ц^Цдд) < Сё*.

Вместе с уравнением (1) рассмотрим эквивалентное ему при а £ рь(М) уравнение

ЦаР - М)-1^-д = М(п1. - М)~1д. (2)

иь

Теорема 1. Пусть оператор М (Ь,р)-радиален. Тогда существует экспонециально ограниченная с константами К, а {из определения 1) и сильно непрерывная разрешающая полугруппа уравнения (1) ((2)), рассматриваем,ого на, подпространстве 11 (3) •

Замечание 2. Операторы полугруппы уравнения (1) ((2)) можно представить в виде

и (г) = *- Шп (*(Р + 1)ДЬ,+1,(Д-/)) №+ (з)

к-)-оо у X г у

т^.,т (М^+ц(м)Г+чУ

к^оо у г * ) /

Замечание 3. Единицей полугруппы {и(£) е -С(И) : Ъ € К+} ({-^(¿) €

£(5):* е К+}) является проектор Р ((¿) вдоль 11° (3°) на И1 (З1)-

Определение 2. Замкнутое множество ф С 11 называется фазовым пространством уравнения (1), если

(i) любое решение u(t) уравнения (1) лежит в ф (поточечно);

(и) для любого щ из линеала, плотного в ф, существует единственное решение задачи Коши

и( 0) = щ (4)

для уравнения (1),

Теорема 2. [11]. Пусть оператор М (Ь,р)-радиален. Тогда фазовым, пространством уравнения (1) ((2)) является, множество И1 (З1)-

Замечание 4. В качестве плотного в И1 ($1) линеала допустимых начальных значений задачи Коши для уравнения (1) ((2)) можно взять множество imR^p+lj(M) (imp+l^(M)), на котором полугруппа {/.'(/) е £(й) : t Е R+} ({F(t) Е С($) : t Е R+}) дифференцируема в сильной топологии.

3. Основные результаты

Определение 3. Решение и = u(t) уравнения (1) называется монотонно стремящимся, к нулю относительно нормы || • ||, если функция \\u{t)\\ стремится к нулю монотонно при t —>• +оо.

Лемма 3. Пусть оператор М (Ь,р)-радиален с константой а < 0. Тогда, существует норм,а, эквивалентная исходной норме пространства 11, относительно которой решения уравнения (1) монотонно стремятся, к нулю.

Доказательство. В силу теорем 1 и 2 любое решение уравнения (1) представимо в виде

u(t) = и(£)щ, (5)

где {U(t) : t Е R+} - полугруппа (3), вектор щ = и(0) е И1.

Введем в фазовом пространстве И1 норму

||м||д1 = sup ||L/(s)ii||it Vu е it1.

se*+

Покажем, что || • Цщ - норма, эквивалентная исходной. Очевидно, что IIмЦд1 > \\U°u\k = ||«||я. В силу теоремы 1 при t > 0 выполняется оценка ||i7(i)|| < Keat. Отсюда ЦиЦдх < sup Keas||u||it = К||м||д, поскольку

seS+

а < 0,

Пусть t Е М_|_, тогда в силу (5) имеем

im^llit1 = SUP ll^(s)M(^)l|it = SUP \\U(s)U(t)u0\\u =

se*+ seS+

= sup ||?7(s + t)v,o\\u = sup ||t/(s)uo||ii < ^еа*||м0||д. (6)

se5+ s£[t;+oo)

Отсюда следует, что решения стремятся к нулю в силу отрицательности О, Кроме ТОГО, ДЛЯ ti < ¿2 имеем

IKil)||ili = sup 11 ¿7(s) u01 lit > sup \\U (s)uQ\\u = \\u(t2)\\ui ■

s£[ti;+oo) se[i2i+oo)

□

Пусть теперь оператор M (L,p)-радиален с константой о > 0 и существует ш > 0 такое, что oL(M) П {¡л Е С : < Re/i < ш} = 0,

Обозначим С+ = {¡л Е С : Re/i > 0}, С_ = {¡л Е С : Re/i < 0}, а± = aL(M) П С± и потребуем ограниченности множества а+. В силу замкнутости относительного спектра существует конечный контур Г+ С рь{М) П С+, ограничивающий область, содержащую <т+.

Согласно относительно спектральной теореме [12] пространства И1 и $1 расщепляются: И1 = il+ ®il_, ф . Этому расщепле-

нию соответствуют проекторы

I’ = ——. I (//L — М) 1 IjI/i. I’ = Р — I’ .

. — I I* (// /* А /) (i/x, Q— — Q Q-\-‘ 2-7Г lj

г+

Обозначим L± = L

, М± = М f±.

, (loin.U. = domM П 11 , По

domM±

лемме 2 [12] L± Е £(il : : ). М± Е СЦИ': : ). Кроме того, в силу

теоремы 1 [12] имеем оь±(М±) = о±, поэтому оператор М+ (Ь+,а)-ограничен с устранимой особой точкой или полюсом порядка не выше р у Ь+-резольвенты оператора М+ в бесконечности [13], а оператор М_ (Ь_, р)-радиален с константой о < —ш < О,

Построим полугруппы операторов {І7±(і) Є ¿^(Н1*1) : і Є К+}

= «- і™ (к('Р^1)Пп*п(М±)) ІР+ ’ ■ Р)

к^-ос \ Т —і— /

В силу (Ь+, ^-ограниченности оператора М+ полугруппу {£/+(£) Є £(ІІ+) : і Є К+} можно продолжить до группы {£/+(£) Є £(И+) : і Є К}. Понятно, что семейство {У(ї) = и+(—і) : і Є К+} также является полугруппой. Операторы У(і) строятся по формуле (7) с заменой оператора М+ на —М+ (подробнее см, в [14]), Поскольку а1+(—М+) = —а1+(М+), то оператор —М+ (Ь+,р)-радпален с константой о < —ш.

Зададим новые нормы на подпространствах 11 и 11 :

ОО

||и||_ = вир \\и~(з)и||іс, «6ІІ .

Норма ||и||_ эквивалентна индуцированной из пространства 11 норме по лемме 3, Из (. />)-ра. іпальносі п оператора — М+ и теоремы 1 следует, что

+оо +оо

О О

С другой стороны, так как {£/+(£) е £(Н+) : £ е К} - группа операторов, при 5 е К+, и е 11+

1Ы|д < ||^+(5)1и(я)||^+(-5)и11я < Кеаз\\и+(-з)и\\ш

то

+оо +оо

О О

Итак, мы показали, что ||и||+ эквивалентна индуцированной из пространства 11 норме,

В силу замечания 3 разрешающая полугруппа уравнения (1) может быть представлена в виде

U(t) = U(t)P = U(t)(P+ + Р-) = ( (/)/'. + U-(t)P.

Выражением

ОО

||m||i = sup ||£/_(5)Р_и||д+ \\U+(^s)P+u\\nds = ||F_u||_ + ||Р+и||+

seK+ J

определим эквивалентную исходной норму в II1.

Определение 4. Пусть ф - фазовое пространство уравнения (1), Множество ф1 С ф называется инвариантным подпространством этого уравнения, если при любом щ из плотного в ф1 линеала существует единственное решение и = u(t) задачи (1), (4), причем u(t) £ ф1 Vt е R+.

Определение 5. Пусть ф - фазовое пространство уравнения (1), причем ф = ф1 ® ф2. где - инвариантные подпространства, к = 1,2, Будем говорить, что решение и = u(t) уравнения (1) имеет экспоненциальную дихотомию, если выполняются следующие условия:

(i) тъух > 0 Цад1 (i)|| < iV1e_,/l(e_i)||M1(s)||, s > t;

(И) 3N2,u2 > 0, \\u2(t)\\ < Nie-^-^Wu2^, t > s, где uk{t) = Pku(t), Pk G £(ф) - проектор на подпространство фk, k = 1,2.

Замечание 5. Иначе говоря, наличие экспоненциальных дихотомий решения означает, что решения, лежащие в одном инвариантном подпространстве, экспоненциально возрастают, а в другом - экспоненциально убывают.

Теорема 3. Пусть оператор М (Ь,р)-радиален, существует ui > О такое, что aL(M) П {ц е С : —ui < Re/i < ui] = 0, и множество а+ = aL(M) П {ц е С : Rец > 0} ограничено. Тогда любое решение уравнения (1) является, экспоненциально дихотомическим.

Доказательство. В силу расщепления действий операторов L и М, а потому и поетроеных по ним полугрупп, ивариантными подпространствами уравнения (1) являются множества 11 . 11 .

Норма ||и||_ эквивалентна норме, индуцированной из пространства 11, и в силу (6) \\P-u(t)\\n < ||F_M(i)||_ < Ке-ш(г-3Ц\Р-и(з)\\ш t>s> 0.

Далее

+оо +оо

\\P+u(t)\\+= j \\U+(t — s)P+v,o\\iids = J \\U+(—s)P+Uo\\uds.

о -t

Следовательно,

^||P+u(i)||+ = \\U+(t)P+u0\\u = \\P+u(t)\\u > ^||P+u(i)|| + . Интегрируя это неравенство, получаем

||P+u(i)||+ > \\Р+и(з)\\+е^-3\ t>s> 0.

Теорема доказана, □

4. Пример

Рассмотрим начально-краевую задачу

(Л — А)щ(х, t) = аАи(х, t) — ßA2u(x, t), (х, i) 6 О х 1,

■§^и{х, t) = ¿¡¿Аи(х, t) = 0, (х, t) е дП х Е, (8)

и(х, 0) = щ(х), а: 6 fi,

где А е 1, a,/i > 0, О С ls — ограниченная область с границей dil класса С°°. Эта задача моделирует эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости [15].

Пространства 11 и $ зададим следующим образом:

11 = | // е Wf(fi) : = 0. .г е ДО j . $ = L2(0).

Возьмем в качестве L = X —А и М = aA^ßA2. А область определения оператора М есть

domМ = |u Е И?(П) : Щ =»,««1

ап ап

Потребуем, чтобы X ф {) и X ф (\/ >. тогда, как показано в [4], оператор М (£,0)-радиалеп.

Обозначим {(рк : к G N} — ортонормированные в смысле скалярного произведения (•, •) в L2(0) собственные функции задачи §^|0П = О для уравнения Au = 0 в области О, занумерованные по невозрастанию собственных значений {Хк : к G N} с учетом их кратности. Здесь учитывается, что спектр задачи вещественный, дискретный и ограничен справа.

Имеем aL(M) = {рк = aX^fk, Хк ф X : к G N} С R. Тогда, если все А к Ф 0 и Хк ф et/ß, то в обозначениях теоремы 3 <т_ = {fj,k G 1 : Hk < 0}, множество а+ = {fik G 1 : f¿k > 0} ограничено, поскольку lim //¿. = ^оо, а ш = min \ fj>k\- Инвариантные подпроетран-

fc^oо feeN

ства при этом имеют вид il = span{<^fc : ///, G а. }■. il = *pan{ r'/, : fj,k G a-}.

При выполнении всех этих условий любое решение задачи (8) является экспоненциально дихотомическим.

Список литературы

1. Свиридюк Г.А. Линейные уравнения типа Соболева и сильно непрерывные полугруппы разрешающих операторов с ядрами // ДАН. 1994. Т. 337, № 5. С. 581-584.

2. Федоров В.Е. Линейные уравнения типа Соболева с относительно р-радиальными операторами // ДАН. 1996. Т. 351, № 3. С. 316-318.

3. Favini A., Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces. New

York, Basel, Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 1999.

4. Федоров В.E. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов // Алгебра и анализ. 2000. Т. 12, вып. 3. С. 173-200.

5. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

6. Массера Ж., Шеффер Ж. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970.

7. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во Моск. гос. ун-та, 1978.

8. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985.

9. Свиридюк Г.А., Келлер A.B. Инвариантные пространства и дихотомии решений одного класса линейных уравнений типа Соболева // Изв. вузов. Математика. 1997. Вып. 5. С. 60-68.

10. Келлер A.B. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Челябинск: ЧелГУ, 1997.

11. Федоров В.Е. О гладкости решений линейных уравнений соболевского типа // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, № 12. С. 1646-1649.

12. Келлер A.B. Относительно спектральная теорема // Вестн. Челяб. гос. ун-та, Сер. 3. Математика. Механика. 1996. № 1 (3). С. 62-66.

13. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49, № 4. С. 47-74.

14. Федоров В.Е. Вырожденные сильно непрерывные группы операторов //

Изв. вузов. Математика. 2000. Вып. 3. С. 54-65.

15. Дзекцер Е.С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью // ДАН СССР. 1972. Т. 202, № 5. С. 1031-1033.

Челябинский государственный университет sam@csu.ac.ru