Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для линейных уравнений соболевского типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.9

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯМИ НАЧАЛЬНО-КОНЕЧНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

Н.А. Мапакова, А.Г. Дыльков

OPTIMAL CONTROL OF SOLUTIONS OF INITIAL-FINISH PROBLEM FOR THE LINEAR SOBOLEV TYPE EQUATIONS

N.A. Manakova, A.G. Dylkov

В работе исследовано оптимальное управление решениями начальноконечной задачи для линейного уравнения соболевского типа с (Ь,р)~ секториальным оператором.

Ключевые слова: оптимальное управление, начально-конечная задача, уравнения соболевского типа.

An optimal control of solutions of an initial-finish problem for the linear Sobolev type equations with (L,p)-sectorial operator are investigated in this work.

Keywords: optimal control, initial-finish problem, Sobolev type equations.

Пусть 3£,2) и il - гильбертовы пространства, операторы L e £(£; 2)), M € Cl(X;2)), a оператор В E £(il; 2)), функции и : [0, г) С М+ —» Д, у : [0, т) С М+ —> 2} (т < сю) подлежат дальнейшему определению. Введем в рассмотрение L-резольвентное множество рь{М) =

{fj, ЕС : (jj,L — M)~l Е £(%);%)} и ^-спектр aL(M) — С\рь(М) оператора М (см. [1, гл. 4]).

Пусть вдобавок оператор М (L, р)-секториален, р Е {0}UN (см. [1, гл. 5]), тогда существуют вырожденные аналитические полугруппы операторов X* = ^ /г Rjl (М) efl 1 d/j, и Y1 — Jr ^(M)eutd/j,, где I E M+. а контур Г С S^e(M) такой, что | arg/i| —> 0 при // —> oo, ц E Г, 0 E (f,7r)- Положим X°(2)°) = kerX*(kerY*), Xx(2)x) = imI*(imF*) и обозначим через Lfc(Mfc) сужение оператора L(M) на Xk(Xk П dom М), k = 0,1. В дальнейшем нам потребуются два условия:

X0©*1 = Х (2)0©?)1 =2)), (А1)

существует оператор L^1 Е £(2)1;Х1). (А2)

Пусть L-спектр оператора М представим в виде

aL(M) = afm(M)Uai(M), (АЗ)

где a^in(M) содержится в ограниченной области fi С С с кусочно гладкой границей 7, причем 7 П aL(M) = 0.

Построим относительно спектральные проекторы [2] Pjin — ^ / R^(M)dp, Pin = Р — Pfin- Итак, пусть выполнены условия (А1)-(/13). Для уравнения соболевского типа

Lx = Mx + y + Bu (1)

Серия «Математическое моделирование и программирование», вып. 8 113

Н.А. Манакова, А.Г. Дыльков

рассмотрим начально-конечную задачу

РгпШ ~ Xq) = 0, Р}Ы(х{т) - Хт) = 0, (2)

где т G R+, хо, хт G X.

Определение 1. Вектор-функцию х G Нх(Х) = {ж G L2(0,t;X) : х G 1-2(0, т;£)} назовем сильным решением уравнения (1), если она п. в. на (0, т) обращает его в тождество. Сильное решение х = x(t) уравнения (1) назовем сильным решением начально-конечной задачи, если Pfin(x(0) — жо) = 0 и ^lim Pin(x(t) — хт) = 0.

Построим пространство Нр+1(2)) = {t)G £2(0, т; 2)) : щ(р+1) G Ь?(0, т; 2)),р G {0} UN}.

Теорема 1. Пусть оператор М (Ь,р)-секториален, и выполнены условия (Л1)-(АЗ). Тогда для любых хо, хТ G X и у G £Гр+1(2)) существует единственное сильное решение задачи (2) для уравнения (1).

Пространство управлений Hp+1(iX) гильбертово, в силу гильбертовости Д. Выделим в пространстве НР+1(Ш) замкнутое и выпуклое подмножество Hg+1(U) - множество допустимых управлений. Введем в рассмотрение 3 ~~ некоторое гильбертово пространство наблюдений и оператор С G С(Х\Ъ), задающий наблюдение z(t) = Cx(t). Заметим, что если х еН^Х), то zEH1^).

Определение 2. Вектор-функцию щ G Hq+1(H) назовем оптимальным управлением решениями задачи (2.1), (0.2), если

J(u0) = mmueffp+i (u)J(u). (3)

Нашей целью является доказательство существования единственного управления щ G Hq+1(5X), минимизирующего функционал стоимости

1 Р~\~ 1

J(«) = E / 11^-4^113^ + Е [ (Nqu{q\u^) dt.

9=0 ' 9=0 '

Здесь Nq G £(il), = 0, 1, р + 1, - самосопряженные и положительно определенные

операторы, ZQ — zij(t) - желаемое наблюдение. Справедлива

Теорема 2. Пусть оператор М (Ь,р)-секториален, и выполнены условия (Л1)-(ЛЗ). Тогда для любых у G Нр+1(2)), xq,xt G X существует единственное оптимальное управление решениями задачи (1), (2).

Литература

1. Sviridyuk G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Koln; Tokyo, 2003.

2. Загребина С.А. Начально-конечная задача для эволюционных уравнений соболевского типа на графе / С.А. Загребина, Н.П. Соловьева // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер. «Мат. моделирование и программирование». - 2008. - №15 (115), вып. 1. - С. 23 - 26. Манакова Наталья Александровна, кандидат физ.-мат. наук, доцент, кафедра

уравнений математической физики, Южно-Уральский государственный университет, manakova@hotbox.ru.

Дыльков Андрей Геннадьевич, кафедра математического анализа, Магнитогорский государственный университет, dylkov@masu.ru.

Поступила в редакцию 11 марта 2011 г.

114

Вестник ЮУрГУ, №17(234), 2011