Оптимальное управление безопасностью промышленных объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 630.36

Е. Н. Окладникова, Е. В. Сугак, Д. А. Игнатьев

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ БЕЗОПАСНОСТЬЮ ПРОМЫШЛЕННЫХ ОБЪЕКТОВ

Рассмотрено определение вероятности состояния готовности при различных сочетаниях параметров системы технического обслуживания для установившегося и неустановившегося режимов эксплуатации, а также решение задач оптимизации системы технического обслуживания по графу состояний технического объекта, использование экономико-математических критериев для определения продолжительности работы объекта между отказами.

Обеспечение безопасности человека, объектов и окружающей среды представляет собой многокритериальную проблему, требующую для своего решения учета многочисленных факторов, обстоятельств, условий и параметров, часто конкурирующих и противоречивых, имеющих разную масштабность, разную значимость, по-разному проявляющихся и действующих во времени. В этой сфере человеческой деятельности существуют определенные законы, управляющие взаимодействием человека и окружающей среды, которые, к сожалению, до настоящего времени остаются малоизученными [1].

В числе основных причин роста числа аварий и техногенных катастроф - высокий уровень износа основных фондов и исчерпание проектных ресурсов машин и оборудования, низкий уровень инвестиций и недостаточная нормативно-правовая база в области природно-техногенной безопасности [2]. Особенностью развития техногенной среды за последнее время является также принципиальное изменение ее системных свойств [2; 3]: возникновение рисков, обусловленных длинными причинно-следственными связями, междисциплинарный характер рисков, глобальные изменения техногенного характера, высокая чувствительность к «слабым воздействиям», сокращение возможностей прогнозирования развития аварий и катастроф традиционными методами и др.

В настоящее время разрыв между потенциальной опасностью техносферы и возможностью противостоять техногенным угрозам существенно возрос и поэтому система знаний о закономерностях в состояниях защищенности человека и окружающей среды от опасностей, сопутствующих развитию цивилизации, фактически стала самостоятельной научной дисциплиной. Наметился переход от анализа опасностей к анализу рисков, от изучения явлений, не зависящих от человека, (природных катастроф) к анализу техногенных, экологических и социальных катастроф, непосредственно связанных с деятельностью человека и являющихся следствием принимаемых решений. Это с неизбежностью приводит к необходимости использования системного подхода при проектировании и эксплуатации потенциально опасных технических объектов, анализу техногенных рисков и промышленной безопасности с использованием методов системного анализа, теории надежности, исследования операций, теории принятия решений, многокритериальной оптимизации [4-6].

Новые методы анализа и проектирования, исходя из определяющих требований безопасности и рисков, потребуют развития дополнительных разделов в традици-

онных теориях. При этом в анализ безопасности и рисков войдут нормы проектирования и расчетов с учетом аварийных и катастрофических ситуаций (проектных, зап-роектных и гипотетических) [1].

Научные исследования и некоторые организационноправовые решения последнего времени подготовили условия для создания системы управления риском возникновения аварийных ситуаций, перехода к оптимизации и нормированию допустимых рисков [5; 6].

Во многих практически значимых случаях оптимальность параметров системы технического обслуживания объекта может быть оценена решением одной из двух задач:

- обеспечением требуемого уровня безопасности (т. е. значения какого-либо показателя надежности, например вероятности отказа) при минимальных потерях и затратах на техническое обслуживание (прямая задача оптимизации);

- обеспечение максимального из возможных уровня безопасности при ограниченных потерях и затратах (обратная задача оптимизации).

Для наиболее сложных и дорогостоящих технических объектов, отказ которых может привести к серьезным последствиям, показатели надежности и безопасности, как более важные характеристики, обычно рассматриваются в качестве ограничения, а затраты - как целевая функция оптимизации. Поэтому в большинстве случаев решается прямая задача оптимизации.

Решение задач оптимизации техногенного риска включает, как правило, построение графа состояний, составление модели функционирования и определение таких параметров системы, при которых затраты на техническое обслуживание будут минимальны.

Оптимизация техногенного риска и определение оптимальных параметров системы технического обслуживания потенциально опасных технических объектов определяется видом и сложностью самого объекта, характером и важностью выполняемых функций, числом и видом его возможных состояний, тяжестью последствий отказов, а также стратегией эксплуатации и технического обслуживания.

Например, в модели нерезервированного объекта с периодическим техническим обслуживанием возможны три состояния и переходы четырех видов (рис. 1):

- из работоспособного состояния (или состояния готовности к применению) 1 в состояние технического обслуживания 2 с периодичностью гто и, соответственно, с интенсивностью переходов Х12 = 1/гто);

- из состояния готовности 1 в состояние отказа 3 с интенсивностью переходов, равной интенсивности отказов Х (или параметру потока отказов): Х13 = Х;

- из состояния технического обслуживания 2 в состояние готовности 1 с интенсивностью, которая определя- Р1(0) = 1, Р2(0) = Р3(0) = 0. ется продолжительностью технического обслуживания т : Х = 1/т

Так как система (2) линейно зависима, то для решения одно из уравнений необходимо заменить нормирующим условием вида: Р (г) + Р2(г) + Р3(г) = 1. Кроме того, необходимо задаться начальными условиями, например

Пусть Р1(г) имеет изображение Р1(х), тогда в соответствии со свойством дифференцирования оригинала -свойство преобразования Лапласа: если/(г),/(г),/'(г), ..., служивания 2 (переход, обусловленный обнаружением /п)(г) - оригинал и его производные, и / (г)——— ^ (х),

«то- -»21 кто,

- из состояния отказа 3 в состояние технического об-

скрытого отказа при техническом обслуживании) с интенсивностью переходов Х32.

Х32 =■

1

ґ —

4то

1

1 + Хґто Х ґ 2

то

- - « + Х13 )Р1 (ґ)+ Х21Р2 (ґ ) -

Х +

1

1

Рі (ґ )+— Р2 (;);

-Хі2Р (ґ)-Х2іР2 (ґ) + Хз2Рз (ґ)-

ш

- ^Р (')--кР2 (')+І#0Рз ();

МР3 (ґ)

-ХізРі (ґ)-Хз2Рз (ґ)-

м

-ХР (ґ )-І+2‘т Рз (,).

Д/Тп

то /' (ґ )-

(X)-/(0):

МР1 (ґ )

>ХР1 (х)-Р (0).

(3)

Рис. 1. Граф состояний объекта с периодическим техническим обслуживанием:

1 - работоспособное состояние (готовность к работе);

2 - техническое обслуживание; 3 - скрытый отказ (до проведения технического обслуживания)

Основным показателем надежности можно считать вероятность работоспособного состояния (состояния готовности) Р, а при анализе безопасности основным параметром является вероятность отказа (технический риск) 2=Р3. Периодичность гто и продолжительность технического обслуживания или диагностики тто, а также интенсивность отказов Х и, соответственно, интенсивности переходов Х12, Х13, Х21 задаются регламентом или могут быть получены по результатам экспериментальных исследований и испытаний, и при построении модели их можно считать известными. Для нахождения неизвестной интенсивности переходов Х32 можно воспользоваться свойствами марковских процессов с непрерывным временем [4].

Р1 (Х) -

Х32 X + X2 + Х21Х + Хз2Х2!

X (<32 ( + Х32Х12 + Х32Х13 + X + Х12 х + Х13 X + Х21Х + Х21Х13 + Х32Х21)

Р2 (X)-

Х12 +Х32Х12 +Х32Х13

X ^Х32 х + Х32Х12 + Х32Х13 + X + Х12 X + Х13 X+Х21x + Х21Х13 + Х32Х21)

Р3 (x) -

X + Х2!

(1)

Система дифференциальных уравнений для ориентированного графа состояний (рис. 1) имеет вид

" ёР1 (г ) ёг

(2)

Применив преобразование Лапласа и к другим вероятностям, задаваясь начальными условиями при г=0 Р1(0) =1, Р2(0) = Р3(0) = 0и учитывая, что 1 ——— 1/х , система (2) принимает вид

ХР1 (Х)- 1 +(Х12 +Х13 )Р (Х)-Х21Р2 (Х)= 0 ХР2 (Х) Х12Р1 (Х)+Х21 Р2 (Х)-Х32Р3 (Х) = 0 (4)

Р (Х)+ Р2 (Х)+ Р3 (Х)- 1 = 0

Х

Решение системы линейных алгебраических уравнений (4) имеет вид

Р1 (х) =

(5)

(6)

= Х3 . (7)

Х (Х32 Х + Х32Х12 + Х32Х13 +Х +Х2 х + Х13 Х + Х21Х + Х21Х13 + Х32Х21 )

Для нахождения вероятностей Р1(г), Р2(г) и Р3(г) необходимо произвести обратное преобразование Лапласа. Однако полином в знаменателе формул (5)-(7) при х1 = 0 обращается в нуль, т. е. в точке х = 0 происходит разрыв функций. Кроме того, оставшаяся часть полинома знаменателя (в скобках) имеет вторую степень и, следовательно, имеется еще две точки разрыва (полюса):

Х2 = _0> 5 [Х32 + Х13 + Х21 + Х12 - (Х32 - 2Х32Х13 - 2Х32Х21 - 2Х32Х12 +

+х2з—2Х21Х13+2Х13Х12++2Х21Х12+Х^2) ^, (8)

Х3 = —0,5 [Х32 +Х13 +Х21 +Х12 +(Х22 — 2Х32Х13 — 2Х32Х21 — 2Х32Х12 +

+Х23 — 2Х21Х13 + 2Х13Х12 + Х2! + 2Х21Х12 + Х;22 ) ^ . (9)

Для устранения данной проблемы использовался метод теории вычетов [7]. Так как Р1(х), Р2(х) и Р3(х) - правильные рациональные дроби, вероятности определяются как сумма вычетов в полюсах:

Р (7) = Яе5[р (х)ехр(х7)] ,

к=1 Х

где Яе5[р (х)ехр(хг)] = 11т ГР1 (х)ехр(хг)(х—хк)] , (10)

Хк Х—— Хк

3

Р2 (г) = Е Яе 5 [Р2 (Х) ехр (хг )],

к=1 Хк

где Яе5[Р2 (х)ехр(хг)]= 11т [Р2 (х)ехр(хг)(х—хк )] , (11)

ґ

то

Рз (t) = ХRe5[Рз (x)exP(xt)] ,

k=1 Xk

где Res[P3 (x)exp(xt)] = lim[P3 (x)exp(xt)(x-xk)], (12)

где n - количество полюсов (точек разрыва).

После преобразований по выражениям (10)-(12) с использованием пакета System solve Mathcad v13 получено аналитическое решение системы (2), которое позволяет рассчитывать вероятности состояний объекта при различных сочетаниях заданных параметров периодичности и продолжительности технического обслуживания и интенсивности отказов.

Графические зависимости вероятности состояния готовности от времени (срока эксплуатации объекта) при различных значениях продолжительности и периодичности технического обслуживания представлены на рис. 2.

Pi

0,53

0,51

0,49

0,47

0,45

1" 1 “ Тто = 10 ч Тто = 100 ч

\ \\Ч

\\Л % — Тто - 400 ч

*> N

Рис. 2. Зависимость вероятности состояния готовности объекта от срока эксплуатации: а - тт0 = 10 ч, Х = 10-4 ч-1;

- 2 года, X = 10-4ч 1

Результаты расчетов (табл. 1) показывают, что вероятность состояния готовности и, соответственно, технический риск определяются, в первую очередь, интенсивностью отказов объекта и периодичностью технического обслуживания (рис. 2, а), в незначительной степени зависят от продолжительности технического обслуживания (рис. 2, б).

Кроме того, результаты расчетов позволяют судить о продолжительности переходных процессов, в течение которой вероятность состояния готовности снижается до некоторой «финальной» вероятности, и, соответственно, о возможности использования для расчетов стационарной модели. Так, например, при Х = 10-4ч-1 и гт0 = 2 года после 2,5-3 лет эксплуатации значение Р1 в дальнейшем практически не меняется (рис. 2).

Для установившегося режима эксплуатации dP1/dt = 0, dP2/dt = 0, dPJdt = 0 система дифференциальных уравнений (2) превращается в систему линейных алгебраических уравнений:

(Х12 + Х13 )р + Х21Р2 =

= -(О +Х) + Тго Р2 = 0

Х12Р1 - Х21Р2 + Х32Р3 =

:?ТОр -ТТОР2 + ^ТО -(о +Х) ] Р3 = 0

Х13 Р -Х32 Рз =

Хр _^ТО -(то +Х) ] Р3 =°-

При дополнении системы (13) нормирующим условием Р1 + Р2 + Р3 = 1 решение для финальных вероятностей состояний имеет вид

^ТО (1 + ^ТОХ)

(13)

P =

P2 =

Рз =

2 О Т н О + Тто + 2XtтоТто о Г3Н + + tто + Xt2 то

Тто (2XtTO + X 2t 2 +1' то )

X 2f2 Т X tTOТто + Тто 1 2Xtто Тто + 2 тз 0 + tто + t т2 0

X 21 з Л, <то

2 T2 о Т н О + Тто + 2XtтоТто о Г3Н + + tто + t т2 0

(14) . (15) (16)

Некоторые результаты расчетов по формулам (14)-( 16) приведены в табл. 1 (финальные вероятности Р1) и в виде графиков зависимости вероятности состояния готовности объекта Р1 от периодичности технического обслуживания при различных значениях интенсивности отказов Х и длительности технического обслуживания тт0

Таблица 1

Вероятность состояния готовности объекта (тто = 10 ч)

гто> лет X, ч-1 Срок эксплуатации t, лет Финальная вероятность

0,1 0,5 1 2 5 10

0,5 10-4 0,935 8 0,882 6 0,879 8 0,879 7 0,879 7 0,879 7 0,879 7

10-5 0,995 8 0,995 8 0,995 8 0,995 8 0,995 8 0,995 8 0,995 8

10-6 0,997 7 0,997 7 0,997 7 0,997 7 0,997 7 0,997 7 0,997 7

1 10-4 0,923 2 0,772 8 0,722 8 0,709 3 0,708 6 0,708 6 0,708 6

10-5 0,993 8 0,991 8 0,991 8 0,991 8 0,991 8 0,991 8 0,991 8

10-6 0,998 8 0,998 8 0,998 8 0,998 8 0,998 8 0,998 8 0,998 8

2 10-4 0,918 7 0,702 0 0,572 4 0,491 4 0,473 4 0,472 4 0,472 4

10-5 0,992 0 0,978 5 0,974 7 0,973 9 0,973 9 0,973 9 0,973 9

10-6 0,999 1 0,999 1 0,999 1 0,999 1 0,999 1 0,999 1 0,999 1

(рис. 3). Обращает на себя внимание наличие экстремума (максимума), т. е. при заданных значениях X и тто существует оптимальная периодичность технического обслуживания и, соответственно, предельное максимальное значение вероятности состояния готовности объекта [8].

: - “ - Г- X = 10-6 ч-1

[/ :Г5=ГВВГ=Н

ч|/10 )-5 ч-1 • — -

1 ь х = 10 -4 ч-1

а' /чЧ

%!Г п/ ч* N. —Оч Тто ~ Ю ч “ • ~~ ■ Тто = 20 ч

Рис. 3. Зависимость вероятности состояния готовности от периодичности технического обслуживания

Полученные аналитические решения для неустано-вившегося и решения (14)-(16) для установившегося режимов эксплуатации дают возможность решать задачи оптимизации техногенного риска.

Наряду с критерием предельно допустимой вероятности отказа для определения продолжительности работы изделия между очередными техническими обслужи-ваниями используются также экономико-математические критерии. При этом требования надежности выполняют роль ограничений.

На современном этапе развития промышленного производства безопасность техносферы трактуется как степень защищенности человека (материальных объектов) от опасностей, исходящих от функционирования технических систем. Для определения уровня безопасности используется интегрированный риск непосредственного воздействия опасности, отражающий конечный предполагаемый эффект в виде ожидаемого ущерба.

Все большее распространение получает подход к определению риска неблагоприятного события, который учитывает не только вероятность этого события (технический риск), но и все его возможные последствия. При этом вероятность события выступает одним из компонентов риска, а мера последствий (ущерб) - другим. Такое «двумерное» определение техногенного риска используется при его количественном оценивании: риск может быть определен как произведение вероятности рассматриваемого события на величину ожидаемых негативных последствий (ущерба).

Тогда задача управления техногенным риском на конкретном техническом объекте при проектировании и эксплуатации может быть формализована как минимизация функции, представляющей собой сумму рисков всех возможных событий в жизни технического объекта:

^ = ±Я, =Ър,и, , (17)

1=1 1=1

где р. - вероятность г-го события, Ц - убытки (потери) при реализации г-го события.

Соответственно, задача минимизации функции должна решаться для всего жизненного цикла объекта с уче-

том наложенных ограничений как на величину вероятности отдельных событий р, так и возможных убытков Ц.

Таким образом, разработка алгоритма управления риском на основе количественно-стоимостной оценки ущерба является актуальной в настоящее время и в долговременной перспективе.

Роль экономических показателей в вопросах анализа надежности технических систем делает весьма актуальным вопрос их достоверного определения как на этапах планирования, так и во время эксплуатации технической системы. Ущерб от отказов является важнейшим экономическим показателем надежности и служит связующим и дополняющим звеном, позволяющим учесть сопряженные затраты, зависящие от уровня надежности, при расчете экономической эффективности капитальных вложений и новой техники.

Для установившегося режима и финальных вероятностей состояний оптимальная периодичность технического обслуживания, обеспечивающая минимальное значение величины техногенного риска, определяется, в первую очередь, отношением ущерба от аварийного отказа Ци затрат на техническое обслуживание С (или их отношения Ц/С) (рис. 4).

Рис. 4. Зависимость техногенного риска от периодичности технического обслуживания и отношения затрат Ц/С

(X = 10-7ч-1, ттО = 100 ч): 1 - Ц/С = 10; 2 - 100; 3 - 500;

4 - 1 000; 5 - 5000; 6 - 10 000

Результаты расчетов оптимальной периодичности технического обслуживания Г , обеспечивающие минимальное значение величины техногенного риска 5 . при

А тш А

заданных параметрах интенсивности отказов X, продолжительности технического обслуживания ф и отношения убытков (потерь) при аварийном отказе к затратам на техническое обслуживание Ц/С представлены в табл. 2.

Например, при заданных X = 10-7 ч-1 и т = 100 ч, отношении затрат Ц/С = 100 с учетом финальных вероятностей состояний величина минимального техногенного риска 5 . = 0,061 3 и оптимальная периодичность технического обслуживания = 3 066 ч ~ 5 мес.

Полученные аналитические решения для различных режимов эксплуатации позволяют повышать степень готовности системы, решать задачи оптимизации надежности и техногенного риска.

Приведенная методика и результаты расчетов оптимальной периодичности технического обслуживания с использованием экономико-математических критериев позволяют минимизировать техногенный риск и обеспечить оптимальное управление безопасностью потенци-

ально опасных промышленных объектов, дают исходные данные для продления остаточного ресурса систем и для сокращения затрат на техническое обслуживание.

Библиографический список

1. Махутов, М. А. Правовое и нормативное определение и регулирование безопасности объектов техносферы / М. А. Махутов // Безопасность и живучесть технических систем : тр. II Всерос. конф. Красноярск : ИВМ СО РАН, 2007. С. 5-12.

2. Шокин, Ю. И. Проблемы природно-техногенной безопасности регионов Сибири / Ю. И. Шокин [и др.] // ЭКО. 2003. №8.

3. Владимиров, В. А. Управление риском. Риск. Устойчивое развитие. Синергетика / В. А. Владимиров [и др.]. М., 2000. 431с.

4. Сугак, Е. В. Надежность технических систем / Е. В. Су-гак [и др.]. Красноярск : МГП «Раско», 2001. 608 с.

Таблица 2

Оптимальная периодичность технического обслуживания

т, ч U/C Периодичность технического обслуживания Гоо4, ч

Л = 1О-8 ч 1 Л = 1О-7 ч 1 Л = 1О-6 ч 1

1О 1О 9 992 З 154 992

1ОО З 152 99О ЗО7

1 ООО 99О ЗО6 91

1О ООО ЗО6 91 2З

2О 1О 14 126 4 456 1 З98

1ОО 4 45З 1 З95 428

1 ООО 1 З94 428 12З

1О ООО 428 12З 29

5О 1О 22 З21 7 ОЗ1 2 196

1ОО 7 О22 2 188 66О

1 ООО 2 187 659 179

1О ООО 659 179 З7

1ОО 1О З1 54З 9 92О З О8З

1ОО 9 9О2 З О66 9О7

1 ООО З О64 9О5 2З2

1О ООО 9О5 2З2 41

E. N. Okladnikova, E. V. Sugak, D. A. Ignatev OPTIMUM SAFETY CONTROL OF INDUSTRIAL OBJECTS

It is considered the definition ofready status probability under various combinations ofmaintenance system parameters for steady and unsteady operating regime. Also successive sweep of maintenance system at state graph of technical object, and economic mathematical criteria for definition of operating period between failures are reviewed.

5. Сугак, Е. В. Системный анализ экологических рисков / Е. В. Сугак // Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф : тр.УШ Всерос. конф. Кемерово, 2005. С. 303-321.

6. Сугак, Е. В. Информационные технологии анализа и оценки социально-экологического риска / Е. В. Сугак // Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании : тр. Междунар. конф. Т. 2. Павлодар, 2006. С. 226-235.

7. Пантелеев, А. В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах / А. В. Пантелеев, А. С. Якимова. М. : Высш. шк., 2001. 445 с.

8. Окладникова, Е. Н. Системный анализ и оптимизация техногенных рисков / Е. Н. Окладникова, Е. В. Сугак // Безопасность и живучесть технических систем : тр. II Всерос. конф. Красноярск : ИВМ СО РАН, 2007. С. 204-209.