Оптимальное проектирование стержневых конструкций РЭС Текст научной статьи по специальности «Физика»

Селиванов В.Ф.

Пензенский государственный университет

ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ РЭС

Большой интерес представляет задача оптимизации проектируемой конструкции по выбранному критерию при заданных ограничениях. Одним из таких критериев оптимизации является масса конструкции, а в качестве ограничений выступают прочностные характеристики.

Отправным пунктом оптимизации является базовая модель, соответствующая исходному варианту проекта .

Моделирование процессов внешнего воздействия позволяет проводить проверку ограничений и определить направление поиска, т.е. выбор новых значений переменных проектирования.

Для расчета механических процессов конструкция блока радиоаппаратуры представляется в виде некоторой модели, которую можно условно разделить на две части: физическую модель и расчетную схему. Физическая модель представляется в виде дискретной модели - сетки, расчетная схема является математическим описанием процессов в модели - сетке.

Модель - сетка сложной конструкции представляет собой сочетание дискретных элементов прямоугольной формы с размерами hx, hy, hz в направлении трех координатных осей. От размеров элементов зависит точность расчета, поэтому относительные размеры элементов должны быть достаточно малыми. С другой стороны, завышение числа элементов в модели сверх требуемого из условия точности приводит к большим затратам времени на вычисление и снижает надежность расчета.

Каждый элемент в модели - сетке находится под действием сил, таковыми являются силы упругости, действующие на стороны соседних элементов, силы инерции и силы тяжести.

Проекции ускорения на координатные оси можно выразить через перемещения какой - либо точки элемента. В качестве такой точки разумно выбрать центр тяжести элемента или его геометрический центр. В этой точке и помещается узел сетки и определяются его функции перемещений.

Аналогичные условия движения получаются и в том случае, когда в узлах сосредотачивается вся масса элементов и эти массы соединяются упругими элементами (связями), сила которых равна силам упругости.

Таким образом, замена сплошной среды конечным числом сосредоточенных масс дает возможность получить дискретную модель - сетку блока радиоэлектронной аппаратуры.

Оборудование и устройства учитываются в модели в виде сосредоточенных масс, добавленных к массе соответствующих узлов модели - сетки.

Модель разрабатываемой несущей конструкции представляет собой совокупность сосредоточенных масс (узлов), соединенных упругими связями. Для математического описания модели используется ее графическое представление (рис. 1).

В связи с сокращенными сроками выполнения расчетов и высокой сложностью конструкции, расчеты будут максимально упрощенными, т.е. расчетами в первом приближении. Поэтому положение такой модели при рассмотрении колебаний в любой момент времени будет определяться одной координатой, т. е. каждый узел модели будет иметь одну степень свободы - перемещение по оси z. Остальные степени свободы в расчете не учитываются.

Для каждого узла составляется одно уравнение динамического равновесия, которое без учета диссипативных сил представляется в виде:

д2Ш(

У Рц = т,

dt2

(1.1)

где F,; - силы упругости примыкающих стержней; i, j - номер данного и соседнего узла соответст-

венно; т, - масса узла (элемента), т.е. масса входящих в элемент половинок стержней дополнениями в виде других навесных масс; - перемещение узла по оси z.

с возможными

• - узел модели - стоики;

• - узел модели - стойки с навесноИ массоИ; 0 - закрепленный узел модели - стойки;

-К

- упругая связь;

- связь на амортизаторе;

Рисунок 1 - Графическое представление модели

Упругие силы, возникающие в стержнях при перемещении узлов, выражаются через деформации в общем виде:

F = М(М - “Л (1.2)

где C,j - жесткость стержня связи между узлами i, j.

При перемещении узлов модели по оси z вертикальные стержни будут растягиваться, горизонтальные изгибаться, а наклонные и растягиваться, и изгибаться. Чтобы вывести общее выражение упругих сил для любого узла модели, рассмотрим наклонный стержень в принятой системе координат, расположенный под произвольным углом к одной из осей (рис. 2).

В i- том узле стержня введем локальную систему координат, направив ось х' по оси стержня, а ось z' - перпендикулярно к ней.

Рисунок 2

Воздействуя на стержень в i - том узле растягивающей силой Fx,x, и изгибающей силой Fz,x,, выразив их согласно (1.2) через перемещения узлов в локальной системе:

Fx'x' = cp(uj-u;)# (1.з)

Fz/x/ — Ги(^' — ^i),

определяется по формулам:

г -El.r - 12Е}и

ГР LU ,3 /

ll] 4j

где £—модуль упругости материала стержня в Н/м2; S- площадь поперечного сечения стержня в м2; lij - длина стержня в метрах; Ju - момент инерции сечения стержня относительно оси, перпендикулярной стержню, в м4.

Поскольку расчет осуществляется в системе координат xyz, спроектируем действующие силы из локальной системы в принятую систему координат

(рис. 2 ).

Fzz = Fx

> sin a,

(1.4)

Также выразим перемещения локальной системы через перемещения узлов модели в системе xyz: uj — Wi sin а; (1.5)

uj — Wj sin а; wj — Wi cosa;

Подставив эти перемещения в (1.3), из (1.4) получим выражение сил, действующих в общем случае на любой узел модели:

Fzz — Гp sin2 a (Wj — Wi); (1.6)

Fzx — ги cos2 a (Wj — Wi);

С учетом (1.6) уравнение динамического равновесия узла запишется как

д2ш,-

7 [гР sin2 a (Wj — Wi) + Ги cos2 a (Wj — Wi) ] — mi

где Гр и Ги - жесткость стержня на растяжение и изгиб соответственно. Величина каждой жесткости

или

7 [rofj(Wj — W0] — т*ттг, (1.7)

где Г0.. — Гр. sin2 a + rij(1 — sin2 a) .

Учитывая, что при резонансных колебаниях конструкции на первой частоте все точки ее колеблются синхронно и синфазно, по гармоническому закону

w — ? sin wt, (1.8)

где W - амплитуда колебаний узла; w - собственная частота.

Для учета вибраций и ударов необходимо учесть диссипативные силы, и тогда система (1.7) приводится к виду:

7 [%(wj— W0] + Aij [4(wi— Wj)]— mii^fi, (1.9)

где в левой части обозначены суммы сил, действующих на массу узла, а Пу - коэффициент вязкости .

Поделив левую часть (1.9) на mi, получим в левой части выражение для ускорения узла, которое обозначим как az. Выразим вторую производную по времени в конечных разностях с шагом дискретизации по времени с.

Тогда (1.7) можно записать в виде

a — рг(£+т)-2р.(0+р.(£-т) (1 10)

где w - перемещение узла в три момента времени.

Отсюда получим уравнение для расчета перемещений в узлах модели:

Wi(t + с) — c2az + 2Wi(t) — Wi(t — с) . (1.11)

Это уравнение, дополненное начальными и граничными условиями, составляет разностную схему, где значения перемещений (при колебаниях узла во времени) на данном временном слое определяется по известным значениям на предыдущих временных слоях. По найденным перемещениям каждого узла рассчитываются ускорения и перегрузки, возникающие в массах от действия внешних динамических воздействий, а также определяются деформации и напряжения во всех элементах несущей конструкции, т. е. в каждом стержне. Полученные значения перегрузок и напряжений сравниваются с допустимыми, что и является контролем соответствия динамических свойств по предельным состояниям предъявляемым к конструкции.

Во многих случаях интерес представляет оценка прочности и перегрузок при резонансе системы. Выше было отмечено, что собственная форма определяется с точностью до постоянного коэффициента. Положим, что истинная амплитуда колебаний i- го узла определяется по формуле ?i — I?c,

где A - масштабный множитель.

Опуская промежуточные выкладки, запишем формулу для определения коэффициента A:

I =

DWoZimiWi

(1.12)

ZjJijWf

где W0- амплитуда внешнего гармонического воздействия.

Таким образом, определив W,, по описанным выше формулам можно определить элементах стержня, и, соответственно, вычислить напряжения. Перегрузки же в ляются

силы, действующие в i - том узле опреде-

p2Wj

(1.13)

где g - ускорение свободного падения. Отметим, в заключение, особенности расчета уравнений имеет вид:

g

статического напряжения

в этом случае система

2, c=(ij)Kw-?д\=р1 (1.14)

Система (1.14) решается итерационным методом, в результате чего определяются силы и напряжения .

К числу основных конструкторских задач при проектировании несущих конструкций относится задача оптимизации по выбранному критерию при заданных ограничениях. Критерий оптимизации (целевая функция) выбирается, как правило, единым для конкретной задачи. Обычно в качестве целевой функции принимается основная характеристика конструкции.

В тех случаях, когда затруднительно или невозможно выбрать основную из множества характеристик, формируется обобщенный критерий, выражаемый в аддитивной или мультипликативной форме с определенными весовыми коэффициентами.

Для несущих конструкций, работающих в условиях нестационарных механических воздействий, целесообразно в качестве критерия оптимизации выбрать массу, а остальные характеристики (условия прочности) задать в виде ограничений.

Задача оптимального проектирования сводится к нахождению вектора а переменных проектирования из множества допустимых векторов, составляющего минимум целевой функции при заданном векторе b внешних воздействий и принятых ограничениях.

Компонентами вектора аявляются геометрические и физико-механические параметры модели: площади и моменты инерции сечений связей, плотность и модуль упругости материалов. Вектор внешних воздействий включает в себя силовые и кинематические возмущения, которым подвергается конструкция при эксплуатации или испытаниях.

Переменные и связаны с переменными проектирования и внешними воздействиями системой уравнений состояния модели:

(1.15)

R Си + Дй — Мй = ^ ш(0) = й(0):й(0) = й(0)

где С, Д, М - соответственно матрицы жесткости, демпфирования и инерции. В общем виде задача формируется следующим образом:

т1пФ{^,Ъ,и) b 6 'сйс{^(0Си = Д“):^М)й = й(0), U.^

где Ф(^,Ъ,й) - целевая функция (масса), В - множество допустимых значений вектора b мерное действительное пространство, точкой которого является вектор b.

Rn

n -

lf(OI =

|i(t)| = — 0^, (1.17)

IQ(<)I = KfQBon

где - соответственно деформация, напряжение, ускорение; Kg,K—,KQ - соответствующие допус-

тимые коэффициенты запаса.

Отправным пунктом оптимизации является базовая модель, соответствующая исходному варианту проекта .

Моделирование процессов ударов, вибраций, оценка резонансных характеристик позволяет произвести проверку ограничений и определить направления поиска, т. е. выбора новых значений переменных проектирования.

Применительно к рассматриваемой задаче речь идет о выборе геометрических параметров и механических характеристик упругих связей модели (размер уголка, модуль упругости материала).

В зависимости от расчетного значения коэффициента запаса прочности

Кпр = —, (1.18)

для связей сечения уголков изменяются так, чтобы все значения Кпр были бы, по возможности, ближе к максимально допустимому значению, выбранному конструктором. В тех случаях, когда значения Кпр слишком велики, т. е. связь практически не нагружена, соответствующие связи могут быть исключены.

Таким образом, в процессе оптимального проектирования происходит, в определенном смысле, адаптация модели в внешним воздействиям и к заданной перегрузке.

Решена конкретная задача выбора оптимальных сечений несущих конструкций блока РЭС. По сравнению с базовой конструкцией масса уменьшилась в 1,5 раза.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тартаковский А.М. Математическое моделирование в конструировании РЭС: Монография Пенза:

Изд-во Пенз.гос.техн.ун-та, 1995. - 112с.

2. Бабаков И.М. Теория колебаний. М - М.: Наука, 1968. - 560с.