Оптимальное подкрепление шпангоутами цилиндрической оболочки Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Афанасьев В. А. Поточная организация строительства / В. А. Афанасьев. - Л. : Стройиздат, 1990. - 302 с.

2. Гусаков А. А. Системотехника в строительстве / А. А. Гусаков. - М. : Стройиздат, 1993. -439 с.

3. Павлов I. Д. Оптимальш моделi оргашзаци будiвельного виробництва: Навч. пошбник / I. Д. Павлов. - К. : 1СДО, 1993. - 220 с.

4. Торкатюк В. И. Взаимосвязь эффективности проектных решений и качественных показателей строительства / В. И. Торкатюк, В. Н. Марюхин, О. В. Тремполец // Науковий вюник будiвництва. - Харюв : ХДТУБА, ХОТВ АБУ. - 1999. - Вип. 7. - С. 210-215.

5. Тян Р. Б. Организация производства: Уч. пособие / Р. Б. Тян, Н. М. Чернышук. -Днепропетровск : Наука i освгга, 1999. - 264 с.

6. Ушацкий С. А. Выбор оптимальных решений в управлении строительством. - К. : Будiвельник, 1998. - 200 с.

УДК 539.3

ОПТИМАЛЬНОЕ ПОДКРЕПЛЕНИЕ ШПАНГОУТАМИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

А. А. Дисковский, к. т. н.,доц., Е. И. Прудъко, асс.

Ключевые слова: деформированное состояние, шпангоуты, конструктивно-ориентированное решение, цилиндрическая оболочка.

Предлагается модификация метода осреднения для расчета осесимметричной цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами, жесткости которых неодинаковые и определяются произвольной функцией. Эта функция принимается в качестве управляющей для обратной задачи, которая решена в нулевом приближении, соответствующем конструктивно-ортотропному решению, и сформулирована для первого приближения, учитывающего дискретность расположения шпангоутов.

Введение. Оптимизации подкрепления ребрами упругих пластин и оболочек посвящено большое число публикаций, в которых, как правило, такого рода задачи сводились к выбору оптимального соотношения жестокостей шпангоутов и оболочки, шага подкрепления, формы шпангоутов. Малоизученной остается возможность повышения несущей способности подкрепленных конструкций путем применения ребер неодинаковой жесткости. Во многом это объяснялось отсутствием приемлемых для оптимизации решений прямых задач для таких конструкций.

Методы решения задач расчета подкрепленных пластин и оболочек можно разделить на два направления. Первое основано на дискретизации конструкции, например, методы прогонки конечных элементов. Другое основано на осреднении дифференциальных уравнений [1]. Эффективность второго подхода возрастает с увеличением N - числа шпангоутов. В работе [2] на основе метода осреднения была рассмотрена задача исследования деформированного состояния осесимметричной цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами неодинаковой жесткости. Была показана возможность повышения таким путем общей жесткости оболочки.

Подобное разделение можно провести и для методов решения обратных задач. К дискретным можно отнести методы математического программирования. Трудности реализации таких подходов существенно возрастают с увеличением N. Для неравномерно подкрепленной оболочки N будет равно числу параметров проектирования. В этом случае выгоднее применять методы теории оптимального управления, которые применительно к задачам механики были развиты, в частности, в работах [3; 4]. В работе [5] на основе такого подхода была рассмотрена задача оптимального подкрепления осесимметричной цилиндрической оболочки шпангоутами, жесткости которых определяются функцией к = к(х), которая принимается в качестве управляющей. Было получено необходимое условие оптимальности, однако неполный анализ этого условия привел к решению, не удовлетворяющему граничным условиям. Ниже такая задача решается в иной постановке.

Прямая задача. Запишем, следуя работе [5], дифференциальное уравнение для прогиба рассматриваемой оболочки между шпангоутами:

^ + = 4 , (1)

где р = 12(1 -у2)/Я2И2;д = Р(х)/В;Б = ЕИ3 /12(1 -у2);

Я - радиус оболочки;

И - ее товщина;

Е, у - коэффициенты упругости и Пуассона материала оболочки и шпангоутов.

Принимая предположение о контакте по линии шпангоутов с обшивкой, условия сопряжения на I -м шпангоуте можно записать:

п- = ;(п') = (п');(п')- = (п')+;(п''')+ -(п')- = к2(х)пх=и . (2)

Здесь ( )+, ( )- - соответственно предел справа и слева в точке;

5 - расстояние между шпангоутами;

к2( х ) = Е¥( х)/ Я2 Б,

¥(х) - площадь поперечного сечения шпангоута.

Граничные условия на краях оболочки х = 0,Ь примем, не ограничивая общности, в виде шарнирного опирания:

п = = 0. (3)

Если число шпангоутов велико (з/Ь = £« 1), то для решения задачи (1-3) можно применить асимптотический метод осреднения [1]. Введем переменную:

£ = х/8, (4)

которую будем считать независимой от х , при этом оператор дифференцирования запишется так:

п' = п'х + (5)

Прогиб п представим в виде следующего асимптотического разложения:

п = п0(х) + 84п1(х,£) + 85п(х,£) +..., (6)

где (/ = 1, 2...) - периодические по £ функции с периодом Ь.

Подставляя соотношения (5), (6) в (1-4) и произведя асимптотическое расщепление по степеням 8 , получим с учетом периодичности функции wi по £, такие соотношения:

< + < + №о = ч; (7)

(п ; ^; £)£=о = ;м>] 4)?=1; (8)

-<£=0 = ~2(х)по; (9)

™0/х=0,1 = п0/х=0,Ь = 0 (10)

При выводе соотношения (9) предполагается, что соотношения жесткостей шпангоутов и оболочки таково, что k2(x) = Lk2/S ~ 1. Ниже значок ~ для к опускается.

Интегрируя уравнение (7) по £, получим:

Wi = (q - < - ßw0)Z4 / 24 + Ci3£ + C2^2 + + C4,

где C = C(x).

Определяя C1 - C4 из условий (8), будем иметь:

w1=(q~wl£t- ßv0)Z2(Z-L) (ii)

Подставляя выражение (11) и (9), получаем осредненное уравнение для определения w0:

w1Vx + (k2(x) + ß)Wo = q. (12)

Уравнение (12) описывает осесимметричную деформацию конструктивно-ортотропной оболочки, у которой жесткости шпангоутов непрерывно распределены по всей длине. Поправка (11) учитывает дискретность расположения шпангоутов, ее с учетом уравнения (12) можно записать так:

Wi = (q -wV-ßWo)£2(£-L) . (13)

Обратная задача. Рассмотрим задачу оптимизации. В качестве минимизируемого функционала выберем податливость оболочки:

J = i qwdx ^ min k . (14)

о

В качестве ограничения естественно выбрать условие постоянства суммарной жесткости шпангоутов:

N 1

N k2(ns) = С (15)

n=1

Это условие можно с помощью формулы вычисления сумм Эйлера-Маклорена [6] привести к изопериметрическому виду:

N k2(ns) = Lk2(x)dx + l(k2(0) + k2(L)) -—(k2'(0) - k2(L)) +—(k2"'(0) - k2"(L)) -.... n=10 2 12 720

Если ограничиться случаем медленно меняющейся жесткости шпангоутов (к' ~ 1) и учитывать, что число шпангоутов велико, то неинтегральными слагаемыми в этом выражении можно пренебречь. Тогда ограничение (15) принимает вид:

L 2

i k2 (x)dx = C

о

(16)

В работе [1] показано, что конструктивно-анизотропное приближение позволяет с большой точностью определять прогиб подкрепленных пластин и оболочек. Поэтому для задачи (14) ограничимся нулевым приближением для прогиба (12). Следуя методам теории оптимального управления [3], получим условие оптимальности в задаче (3), (12), (14), (16). Для

этого запишем выражение для первых вариаций интегралов (14), (16) и уравнение в вариациях, соответствующее (12):

1.ь

53 = |q5w0dx; 531 = 2jк5к ёх; (17)

0 0

5м'0Ух + (к2 + р)дм0 + 2км>05к = 0. (18)

Уравнение (18) получено путем подстановки в (12) вместо м>0 и к выражений м>0 + 5\ч0 и к +5к и выделения членов линейных относительно 5м0 и 5к.

Выразим вариацию минимизируемого функционала через 5к*. С этой целью введем сопряженную переменную У(х), которую определим из условия, чтобы выражения для минимизируемого функционала не содержало вариации 5м0. Умножим уравнение (17) на У(х) и проинтегрируем от 0 до Ь:

Ь

|У50У + (к2 +Р)5м0 + 2км05к = 0. (19)

0

Выполняя затем интегрирование первого слагаемого четыре раза по частям с учетом граничных условий для м>0 (3) и уравнения (12), преобразуем интеграл (19) к виду:

1У

|[(У + (к2 +Р)У)5\>0 + 2кУм>05к ]ёх, (20)

при этом на сопряженную переменную накладываем граничные условия

Ух==0,ь = У;==0,Ь = 0. (21)

Присоединим к вариации минимизируемого функционала 53 вариацию 531 с помощью множителя Лагранжа Л и выражение (20):

ь 1У

53 = |[(У + (к2 +Р)У + q)5w0 + 2к(Л + Уw0)5k ]ёх , (22)

0

Для того чтобы 53 не зависела бы от 5Ж0 сопряженная переменная У должна удовлетворять уравнению:

У1У + (к2 +Р)У = - q (23)

Тогда придем к искомому выражению для вариации оптимизируемого функционала через вариацию 5к*:

53 = 2Ьк (Л + УЖ0)5к*ёх.

Отсюда получаем необходимое условие оптимальности:

к (Л + УЖ0) = 0. (24)

Сравнивая краевые задачи для Ж0 (3), (12) и для V (21), (23), получаем, что V = —Ж0. Тогда условие оптимальности (22) принимает вид:

к (Л — Ж02) = 0. (25)

Решение сингулярной задачи оптимизации. Типичным свойством оптимальных проектов многих элементов конструкций является появление на них сингулярных точек [3]. В этих точках обращаются в ноль слагаемые, содержащие старшие производные определяющих дифференциальных уравнений. Нетрудно видеть, что подобная ситуация возникает и в рассматриваемом случае. Задача (12), (10), (14), (16) не имеет решения в классе непрерывных функций. Поэтому решение к (х) приходится разыскивать в классе кусочно-непрерывных функций, имеющих разрывы первого рода. Указанная выше задача будет иметь решение, если на интервалах (0,х1) и (х2,1) к = 0, а на интервале (х1,х2) Ж0 = у[Л. Тогда из уравнения равновесия (12), получаем что на интервале (х2,х2 ):

к2 = ±~Л~Р, (26)

Координаты точек разрывов х1,х2 находим из условий непрерывности в этих точках функции прогиба Ж и ее производных Ж',Ж" , Ж" — перерезывающая сила будет иметь разрыв:

Ж = ж,+; (Ж") = (ж1') +; Ж") = (Ж)+, (27)

здесь значками "-" и "+" отмечаются значения величин, вычисляемых, соответственно, при х = х{ — 0 и х = х{ + 0 , / = 1,2 . В рассматриваемой задаче:

ж/ = Ж2 =4Л; (Ж")+=(Ж") = 0; (Ж") =(Ж") = 0. (28)

— +

Выражения для Ж" и Ж2 найдем из решений соответственных краевых задач на интервалах (0,х1) и (х2,1) для уравнения (12) при к2 = 0 и граничных условий (10), и условий сопряжения (28). Эти десять условий позволяют найти восемь постоянных интегрирования, по четыре для каждого интервала, и выразить координаты точек разрыва х",х2 через Л. Постоянная Лагранжа Л определяется из изопериметрического условия (16), которое при этом принимает вид:

1—х2

| к2ёх = с . (29)

х1

Координаты х", х2 являются координатами размещения первого и последнего шпангоута оболочки.

Учет дискретности расположения шпангоутов (11) существенно усложняет задачу. В этом случае с учетом (4), (6) выражение для прогиба будет:

Ж = (1 + к2 р)Ж0

где p = ■

x2(x - s)2

24

Тогда минимизируемый функционал (14) принимает вид:

L

J = J (1 + k2 p )W0qdx

^ mm,..

k

(30)

Запишем выражение для вариации интеграла (30):

L л

8J = J [(1 + k2 p)SW0 + 2xpW0Sk * ]qdx.

Уравнения равновесия в вариациях (18) и интеграл для сопряженной переменной V (20) не изменяются. Поэтому выражение для расширенной вариации Ш (22) принимает вид:

J = J

'(v1V + (k2 +P)V + (1 + k2p)q ^pW0 + 2 к (Л + (V + p)W0)Sk

dx = 0

Отсюда получаем уравнение для сопряженной переменной V :

V1V + (k2 + P)V + (1 + k2p )q = 0,

и условие оптимальности

(31)

k(A + (V + p )W0) = 0

(32)

Условие оптимальности (32) совместно с уравнением равновесия (12), уравнением для сопряженной переменной (32) и граничными условиями (3), (21) составляют замкнутую краевую задачу для определения оптимального распределения жесткостей шпангоутов k( x ) и прогиба W(x) с учетом дискретности расположения шпангоутов. Множитель Лагранжа Л при этом находится из ограничения (16).

Числовой пример. Рассмотрим частный случай нагружения оболочки - q = const. Ограничимся нулевым, конструктивно-анизотропным приближением. В этом случае из-за симметрии xt = x2 и для их определения получаем краевую задачу для уравнения равновесия (12) при к = 0 с граничными условиями (3) и условиями сопряжения (28). Решение уравнения равновесия (12) выразим через функции А. Н. Крылова К - К4 [7]:

W0 = C1K1 + C2K2 + C3K3 + C4K4 + q /р, (33)

где С1 - С4 - произвольные постоянные.

Из граничных условий (3) имеем:

C1 = q, C3 = 0. (34)

Подставляя выражение для прогиба (33) с учетом (34) в условия сопряжения (28) получаем систему уравнений для определения С2, С4 и х1 Найдя из второго и третьего уравнения системы (28) выражения для С2, С4 и подставляя их в первое уравнение после упрощений получаем уравнение для определения х1:

Вюник ПДАБА До 80 -ргччя ПриднтровсъкоИ державноi академП будгвництва та архтектури sh( ] )ch( ]) + cos( г) )sin( ])- ch( r) )sin( 7])- sh( 7] )cos( 7] ) p4I

sh( ] )ch( ]) + cos( ] )sin( ] )

q

(35)

здесь ] =

P

xi •

Разлагая левую часть уравнения (35) в ряд по степеням получаем:

рЛ

0,167]4 - 0,021] + O(79) =

q

(36)

X,

Учитывая, что 0<Х!<£/2, оставим в уравнении (36) только первое слагаемое, получаем = 24 у[Я ^. Тогда, с учетом выражения (26), из условия (29), получаем уравнение для

определения х1 :

2pxi5 - (P/+ c)xi4 - 48xi + 24/= 0.

(37)

Решения уравнения (37) были получены в пакете Maple. При этом принималось, что / = 100, P = 0,1, c = 0,1...1. Решения приведены на рисунке 1. Отметим, что для всех рассмотренных значений с задача определения х\ решалась однозначно, поскольку в каждом из пяти корней уравнения (37), соответствующих значению с, имелся только один действительный меньший //2.

4

4

Рис. 1. График зависимости длины свободных от шпангоутов участков оболочки

(0,X1) = (x2,l) (в % от длины оболочки / от суммарной жесткости шпангоутов с для

равномерной нагрузки q = const

Приведенная на рисунке 1 зависимость вполне отвечает физике задачи. Чем больше суммарная жесткость шпангоутов с, тем меньше значение равномерного прогиба на интервале (x1,x2 ) и тем быстрее это значение достигается прогибом на граничных, свободных от шпангоутов участков оболочки (0,X1),(X2,l).

Равномерный прогиб оптимально подкрепленной оболочки на интервале (x1,x2 )

определяется из формулы W = VI = qXj /24. Сравним этот прогиб с прогибом оболочки, равномерно подкрепленной шпангоутами одинаковой жесткости. В рамках конструктивно анизотропной теории в этом случае k2 = c/l = 10 2 с . Как известно, в случае достаточно длинной оболочки прогиб в её средней части можно определять из частного решения уравнения (1) W = q/(k2 + P) . Результаты сравнения приведены на рисунке 2.

Рис. 2 График зависимости уменьшения прогиба оболочки в средней её части при оптимальном подкреплении (Delta = (W-W)/ W %) от суммарной жесткости шпангоутов с

для равномерной нагрузки q = const

Выводы. Таким образом, оптимизация подкрепления шпангоутами цилиндрической оболочки происходит двумя путями: выделением свободных от шпангоутов участков по краям оболочки и перераспределением жестокостей шпангоутов по закону, совпадающему с изменением нагрузки. Для q = const действует только первый механизм, поскольку k = const уже является оптимальным. Для других видов нагрузки задействованы оба механизма, что приводит к большему выигрышу. Интересно, что при оптимальном основании для любого вида нагрузки и любых граничных условий прогиб балки будет иметь одинаковый вид. Влияние нагрузки, граничных условий и соотношения жестокостей оболочки и шпангоутов выражается в законе изменения жесткостей шпангоутов, в размерах граничных участков оболочки, свободных от шпангоутов, и в величине равномерного прогиба средней части.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Andrianov I. V., Manevitch L. I.,Oshmyan V. O. Mechanics of Periodically Heterogeneous Structures. - Springer-Verlag, Berlin, 2002. - 386 p.

2. Andrianov I. V., Diskovsky A. A. Homogenization and Pertuvbation Prosedures in the Theory of Ring-Stiffened Shells // Technische Mechanik, Band 17. Heft 1, 1997. - Р. 67-71.

3. Banichuk N. V. Introduction to Optimization of Structures Springer. - New York,1990. - 326 p.

4. Lurie K. A. Applied Optimal Control of Distributed Systems. -New York : Plenum Press, 1993. - 316 p.

5. Дисковский А. А., Прудько Е. И. Исследования влияния перераспределения жссткостсй шпангоутов на общую жесткость подкрепленной цилиндрической оболочки // Методи розв'язування прикладних задач мехашки дсформiвного твердого тша: Зб. наук. пр. Дшпропетр. нац. ун-ту. - Дшпропетровськ : ДНУ, 2003. - Вип. 5. - С. 47-53.

6. Хемминг Р. В. Численные методы. - Москва : Наука, 1969.

7. Бидерман В. Л. Механика тонкостенных конструкций. - Москва : Машиностроение, 1977.

УДК 69.05:658.5124

К ПЯТИЛЕТИЮ БОЛОНСКОГО ПРОЦЕССА В УКРАИНЕ

А. А. Мартыш, асп.

Ключевые слова: кредитно-модулъная система, Болонский процесс, компетентностный подход.

Постановка проблемы. Большинство кредитных систем были разработаны и начали внедряться на определенном этапе социально-экономического развития стран, главная особенность которого - существование и глубокое проникновение рыночных отношений во все области общественной жизни. Такие системы нашли широкое применение и стали неотъемлемым инструментом рыночных национальных моделей образования. Поэтому преимущества, недостатки и перспективы развития кредитных систем, ориентированных на