Задачи оптимизации упругого основания для фундаментных плит Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 624.131.524

ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ УПРУГОГО ОСНОВАНИЯ ДЛЯ ФУНДАМЕНТНЫХ ПЛИТ

А. А. Дисковский, к. т. н., доц. * *Национальная металлургическая академия Украины Е. И. Прудько, асс.

Введение. Фундаментные плиты широко используются в современном строительстве. В свою очередь, эти плиты лежат на упругом основании. При проектировании конструкций, «плита на упругом основании», как правило, исследуется соотношение жесткости плиты и основания, рассматривались и задачи для плит переменной толщины [1]. В настоящей работе рассматривается задача оптимального распределения жесткости основания по длине плиты. Переменность жесткости основания может достигаться путем использования для основания материалов различной плотности или для однородного материала переменной толщины подушки. В обоих случаях такой механизм повышения жесткости плитного фундамента является экономически предпочтительнее использования плит переменной толщины.

Постановка задачи. В ряде работ показано, что в случае плиты на упругом слое в статике можно использовать модель основания Винклера, при этом контактные давления будут пропорциональны прогибу для всех точек области контакта, исключая границу. Оценка области применимости такой модели приведена в работе [2].

Рассмотрим цилиндрический изгиб плиты с шарнирно закрепленными краями X = 0,1 под

действием распределенной внешней нагрузки д(х). Распределение жесткости основания к2 (х) также предполагается независимым от координаты у. В этом случае задача становится одномерной.

Ограничимся рассмотрением тонких плит, для которых остаются справедливыми гипотезы Киргофа-Лява.

Дифференциальное уравнение изгиба такой плиты, лежащей на упругом винклеровском основании переменной жесткости к2 (х), запишется в виде:

+ к2 (х) Ж = д(х) .

(1)

Граничные условия на краях плиты х = 0,1 примем, не ограничивая общности, в виде шарнирного опирания:

W = W " = 0

(2)

В качестве минимизируемого функционала вначале выберем податливость (энергию упругой деформации) плиты, при этом в качестве управляющей функции выбираем k(x)

l

I = J q ■ W dx ® mink. (3)

0

В рассматриваемой задаче в качестве ограничения естественно выбрать изопериметрическое условие постоянства суммарной жесткости основания

Ij = J k 2 dx = i

(4)

о

Таким образом, рассматривается задача выбора такого закона распределения жесткости основания по длине плиты к(х), который обеспечил бы наибольшую жесткость плиты при заданной суммарной жесткости основания.

Условие оптимальности. Для получения условия оптимальности применим классический вариационный подход, описанный, например, в работах [3; 4]. Запишем выражения для первых вариаций интегралов (3), (4) и уравнение в вариациях, соответствующее дифференциальному уравнению равновесия (1):

i i 8 I = J qdW dx; 8 = 2J kdkdx; (5)

о 0

8WIV + k 28W + 2kW 8k = 0. (6)

Уравнение в вариациях (6) получается путем подстановки в (1) вместо Ж и к величин Ж + ЗЖ, к + дк и выделения членов, линейных относительно ЗЖ и 8к .

Выразим вариацию минимизируемого функционала через 8 к . Для этого введем сопряженную переменную V(х), которую определим из условия, чтобы выражение для минимизируемого функционала не содержало вариации 8 Ж . Умножим уравнение (6) на V (х) и проинтегрируем по длине балки:

I V(8Ж!1/ + к28Ж + 2ИЖ8к)с!х = 0. (7)

Выполняя затем интегрирование первого слагаемого в интеграле (7) четыре раза по частям с учетом граничных условий (2), преобразуем интеграл к виду

| + кV)8Ж + 2кЖ -V8к) ах, (8)

при этом на сопряженную переменную накладываются граничные условия

V = V" = 0 при х = 0,1. (9)

Присоединив к вариации минимизируемого функционала 8I вариацию 811 с помощью множителя Лагранжа 1 и выражения (8), получаем:

| ^ + кV + д)8Ж + 2к(Ж-V + 1)8к ]ах. (10)

Для того, чтобы вариация расширенного функционала (10) не зависела от сопряженная

переменная V должна удовлетворять уравнению

VIV + к^ = -д . (11)

Тогда необходимое условие оптимальности принимает вид:

к (Ж-V + 1) = 0. (12)

0

0

0

Сравнивая краевые задачи (1), (2) и (11), (9) получаем, что V = —Ж . С учетом этого, условие оптимальности (12) будет таким:

к (ж 2-л)= 0.

(13)

Решение сингулярной задачи оптимизации. Типичным свойством оптимальных проектов многих элементов конструкций является появление на них сингулярных точек [1]. В этих точках обращаются в ноль слагаемые, содержащие старшие производные в определяющих дифференциальных уравнений. Нетрудно видеть, что подобная ситуация возникает и в рассматриваемом случае. Задача (1), (2), (4), (13) не имеет решения. Поэтому решение к (х) приходится разыскивать на классе кусочно-непрерывных функций, имеющих разрывы первого рода. Указанная выше задача будет иметь решение, если на интервалах (0, х1) и (х2,1) к = 0,

а на интервале (х1 ,х2 ) Ж = 41 (см. рис.1).

0 х1

Х2 I

Рис.1. Форма прогиба плиты при оптимальном распределении жесткости основания

Подставляя последнее выражение для прогиба Ж в уравнение (1) находим, что на интервале (х1, х2 )

, 2 Я (х)

к = Ж ■ (|4)

Координаты точек разрывов х1 , х2 находим из условий непрерывности в этих точках функции прогиба Ж и ее производных Ж ,Ж , Ж - перерезывающая сила будет иметь разрыв:

Ж ~ = +; (ж; )' = № ) +; (ж; )' = (щ" )+ , (15)

здесь значками «-» и «+» отмечаются значения величин, вычисляемых, соответственно при х = х, — 0 и х = х, + 0, / = 1,2 . В рассматриваемой задаче

ж + = ж2 '=41; (ж; )+ = (ж' )— = 0; (ж" )+ = № )— = 0. (16)

— +

Выражения для Ж1 и Ж2 найдем из решений соответствующих краевых задач на

интервалах (0,х1) и (х2,1) для уравнения (1) при к2 ° 0 и граничных условий (2) с

учетом условий сопряжения (15), (16). Эти десять условий позволяют найти восемь постоянных интегрирования, по четыре для каждого интервала, и выразить координаты точек разрыва х1, х2 через 1. Постоянная Лагранжа 1 определяется из изопериметрического условия (4), которое при этом принимает вид:

I—х2

I к2 а х = с . (17)

х1

5. Числовые примеры. Рассмотрим два частных случая нагружения плиты для задачи (1) -(4). Первый - q = const. В этом случае из-за симметрии x1 = x2 , и из краевой задачи (1), (2),

(15), (16) для интервала (0 ,x1) имеем x4 = 24 -Д/q. Тогда, с учетом выражения (14), из условия (17) получаем уравнение для определения xt:

cx4 + 48x1 - 24/ = 0.

(18)

Решения уравнения (18) были получены в радикалах в пакете Maple. При этом принималось,

что l = 100, c = 0.1___1. Отметим, что для указанных параметров, среди каждых четырех корней

алгебраического уравнения (18) имелся только один действительный, положительный корень. Решения приведены на Рис.2.

Рис. 2. График зависимости длины свободных от основания участков плиты (0, x^ = (x2, /)

(в % от длины плиты /) от суммарной жесткости основания с для равномерной нагрузки q = const.

Приведенная на рисунке 2 зависимость вполне отвечает физике задачи. Чем больше суммарная жесткость основания с, тем меньше значение равномерного прогиба на интервале (х1 ,х2 ) и тем быстрее это значение достигается прогибом на граничных, свободных от основания участков плиты (0, х1), (х2,1) .

Равномерный прогиб плиты на интервале (х1 ,х 2) определяется из формулы

ж = 4я = яхх / 24 . Сравним этот прогиб с прогибом Ж плиты, лежащей на упругом

основании постоянной жесткости, распределенной по всей длине плиты. В этом случае

2 I _2

коэффициент упругости основания будет к = СI = 10 с. Как известно, в случае достаточно длинной плиты прогиб в её средней части можно определять из частного решения

уравнения (1) Ж = Я к2 = 100Я / С . Результаты сравнения приведены на рисунке 3.

Рис. 3 График зависимости уменьшения прогиба плиты в средней её части при оптимальном

основании (Delta = (W -W)/ W %) от суммарной жесткости основания с для равномерной нагрузки q = const.

В качестве другого числового примера рассмотрим параболическую нагрузку q = х (х — l). В этом случае, так же как и для постоянной нагрузки q = const, симметрия задачи позволяет уменьшить вдвое количество неизвестных в краевой задаче (1), (2), (15), (16), получив в результате для определения х1 = х 2 алгебраическое уравнение:

5cx6 - 6clx5 - 360lx2 + 6013 = 0 . (19)

Решения уравнения (19) были также получены для l = 100, c = 0.1.. .1 в пакете Maple. Отметим, что и для указанной нагрузки задача решалась однозначно, поскольку среди каждых шести корней алгебраического уравнения (19) имелся только один действительный, положительный корень, меньший 1. Решения приведены на рисунке 4.

Рис. 4. График зависимости длины свободных от основания участков плиты (0, х^ = (х2,/)

(в % от длины плиты /) от суммарной жесткости основания с для параболической нагрузки д = х (х — /).

Было проведено сравнение прогиба середины плиты при оптимальном основании, который для

рассматриваемой нагрузки выражается формулой Ж = л/1 = д(/^ — 6/х2)/6с, с

прогибом плиты с, лежащей на упругом основании постоянной жесткости, распределенной по

— /2 3

всей длине балки Ж = д(//2)/Г = V /4 с . Этот прогиб, как и раньше, определялся с

помощью частного решения уравнения (1). Результаты сравнения приведены на рисунке 5. Интересно отметить, что по сравнению с постоянной нагрузкой для параболической нагрузки эффект повышения жесткости балки за счет оптимального основания вдвое больше и увеличивается с ростом суммарной жесткости основания.

Рис. 5 График зависимости уменьшения прогиба середины плиты при оптимальном основании

(De/ta = (W - W)/ W %) от суммарной жесткости основания с для параболической нагрузки q = x (x - /).

Двойственная задача. Так называемой двойственной задачей [1] к рассмотренной будет задача определения закона распределения жесткости основания к(х), обеспечивающего минимальную суммарную жесткость основания

I = | к2 dx ® шт к 0

при заданной податливости плиты

I

11 = | я . Ж dx = с. (21)

0

В этом случае вариация расширенного минимизируемого функционала (10) будет иметь вид:

|[(г1Г + кV + 1я+ 2к(Ж . V + 1)3к ]dx.

0

Отсюда получаем уравнение для сопряженной переменной

VIV + к V = _1я (22)

и необходимое условие оптимальности

к(Ж. V +1 ) = 0. (23)

Как и ранее, сравнивая краевые задачи для Ж и для сопряженной переменной (22), (9), получаем, что V = _1Ж . Тогда условие оптимальности (23) примет вид:

к (ЛЖ2 — 1 )= 0. (24)

Отметим, что, из-за сингулярности, решения рассматриваемых двойственных задач оптимизации не будут отличаться, как это происходит для линейных функционалов, только масштабными множителями. Как и для двойственной задачи, в рассматриваемой задаче на

интервалах (0, х1 ) и (х2,1) к = 0, а на интервале (х^х2) Ж — (см. рис.1).

л/ Л

Подставляя последнее выражение для прогиба Ж в уравнение (1) находим, что на интервале

(х1 , х2 )

к 2 = л/Л я( х).

Координаты точек разрывов х1 , х2 находим из краевых задач для интервалов (0, х1 ) и ,1) с учетом условий сопряжения (16). Существенным отличием от двойственной задачи является то, что постоянная Лагранжа Л определяется из ограничения (21), которое при этом принимает вид:

fW1 qdx + f—^dx + fW2 qdx = c.

0 x V l x

Выводы. Таким образом, оптимизация упругого основания фундаментной плиты происходит двумя путями: выделением свободных от основания участков по краям балки и перераспределением жесткости основания по закону, совпадающему с изменением нагрузки. Для q = const действует только первый механизм, поскольку к = const уже является оптимальным. Для других видов нагрузки задействованы оба механизма, что приводит к значительно большему выигрышу. Интересно, что при оптимальном основании, для любого вида нагрузки и любых граничных условий прогиб плиты будет иметь одинаковый вид, представленный на рисунке 1. Влияние нагрузки, граничных условий и соотношения жестокостей балки и основания выражается в законе изменения жесткости основания, в размерах граничных участков плиты, свободных от основания, и в величине равномерного прогиба средней части.

xi

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА:

1. Bunichuk N. V. Introduction to Optimization of Structures. Springer-Verlag, New Yourk, 1990.

2. Дисковский А. А., Прудько Е. И. О выборе модели основания при расчете фундаментных плит // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. - 2006. -№ 1 (19). - С. 97-100.

3. Andrianov I. V., Awrejcewicz I., Diskovsky A. A. Optimal design of ring-stiffened shells. Fakta Universitatis. Series: Mechanics, 2007, vol. 6, (1),р. 75 - 80.

4. Andrianov I. V., Awrejcewicz I., Diskovsky A. A. Homogenization of quasipeodic structures. Trans. ASME I. Vibr. Acounstics, 2006, vol. 128 (4),р. 532-534.

УДК 624.131.524

Задачи оптимизации упругого основания для фундаментных плит /А. А. Дисковский, Е. И. Прудько //Вкник ПридншровськоТ державноТ академп будiвництва та арх^ектури. -Днiпропетровськ: ПДАБА, 2009. № 5. - С. 10-16. - рис. 5. - Бiблiогр: 4 назв.

Рассматривается изгиб плиты, лежащей на упругом основании переменной жесткости. В качестве целевой функции в задачах оптимизации выбирается закон изменения жесткости основания. Решены двойственные задачи при ограничениях на податливость плиты и на суммарную жесткость основания. Получены условия оптимальности. Решены сингулярные задачи оптимизации. Приводятся числовые примеры.