Устойчивость кольцевой пластинки под действием радиальных сжимающих усилий Текст научной статьи по специальности «Физика»

УСТОЙЧИВОСТЬ КОЛЬЦЕВОЙ ПЛАСТИНКИ

ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАДИАЛЬНЫХ СЖИМАЮЩИХ УСИЛИЙ*

В. Ю. Слесаренко1, А. Б. Степанов2, С. Б. Филиппов3

1. С.-Петербургский государственный университет, студент, 2sl@inbox.ru

2. С.-Петербургский государственный университет, студент, leshastepanoff@gmail.com

3. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, s_b_filippov@mail.ru

1. Введение. Кольцевая пластинка может рассматриваться как модель шпангоута, подкрепляющего круговую цилиндрическую оболочку. Увеличение давления, действующего на подкрепленную оболочку, может привести к потере ее устойчивости. Если ширина пластины мала, то форма потери устойчивости подкрепленной оболочки близка к форме потери устойчивости гладкой оболочки. Для этой формы, называемой в дальнейшем формой потери устойчивости первого типа, характерно наличие на поверхности оболочки нескольких вмятин, вытянутых вдоль образующих цилиндра. Потеря устойчивости подкрепленной цилиндрической оболочки по форме первого типа исследовалась в работах [1] и [2] с помощью асимптотических методов. При увеличении ширины пластинки форма потери устойчивости первого типа сменяется формой второго типа, локализованной на поверхности пластинки [3].

Рис. 1. Шпангоут, расположенный снаружи оболочки.

Рис. 2. Шпангоут, расположенный внутри оболочки.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №10-01-00244). © В.Ю.Слесаренко, А.Б.Степанов, С.Б.Филиппов, 2010

Шпангоут может быть расположен как снаружи оболочки (рис. 1, a), так и внутри нее (рис. 2, a). При наружном расположении шпангоута действующее на оболочку внешнее давление вызывает появление растягивающих радиальных напряжений на внутреннем контуре пластины (рис. 1, 6), в то время как внутреннее давление приводит к развитию сжимающих напряжений на этом контуре (рис. 1, с). Если шпангоут находится внутри оболочки, то в результате действия внешнего или внутреннего давления на внешнем контуре возникают соответственно сжимающие (рис. 2, 6) или растягивающие напряжения (рис. 2, с).

Использование асимптотического метода [4] позволяет в первом приближении свести решение линейной задачи устойчивости подкрепленной оболочки к решению двух независимых задач, первая из которых описывает потерю устойчивости оболочки, а вторая — потерю устойчивости пластинки. Решение первой задачи дает форму потери устойчивости близкую к форме первого типа, а решение второй задачи — близкую к форме второго типа. Если толщина оболочки не слишком мала по сравнению с толщиной пластинки, то при решении второй задачи на краю пластинки, прикрепленной к оболочке, следует задать условия жесткой заделки.

В работе [5] получено приближенное решение задачи об устойчивости кольцевой пластинки под действием растягивающих напряжений на внутреннем контуре (см. рис. 1, 6). Потеря устойчивости пластинки происходит благодаря появлению в ней сжимающих окружных напряжений. Изображенные на рис. 2, с растягивающие напряжения не могут привести к потере устойчивости пластинки, так как в этом случае окружные напряжения оказываются тоже растягивающими.

В данной работе исследуется потеря устойчивости пластинки под действием сжимающих радиальных напряжений, изображенных на рис. 1, с (случай I) и рис. 2, 6 (случай II). Предполагается, что нагруженный край пластинки заделан, а второй край свободен или подкреплен кольцом. В инженерных конструкциях часто используются шпангоуты с тавровым поперечным сечением. Пластинка с прикрепленным к ней круговым стержнем может рассматриваться как модель такого шпангоута.

2. Постановка задачи устойчивости. Введем на поверхности кольцевой пластинки полярные координаты r и у>. После разделения переменных систему уравнений устойчивости запишем в виде [5]

«1+ ;«. + ”% = г,»"+

1 m rm 2

Q1 = M[ + -(M1-M2) + 2-H, Q2 =------------М2 + -Я,

r r r r (1)

Ml = D(ki + VK2 ), M2 = D(k2 + vki), H = D(1 — v)ki2,

2 /

.. m w fm '

H\ = —W , Ж2 = —2~W--------, ^ —w

где штрих означает дифференцирование по r, m — число волн в окружном направлении, Qi, Q2 —перерезывающие усилия, Mi, M2, H — моменты, ki, K2, K12 —изменения кривизн, w — прогиб, D = Eh3/[12(1 — v2)] —изгибная жесткость, E — модуль Юнга, h — толщина пластинки, v — коэффициент Пуассона, Tl, T2 —начальные усилия.

Граничные условия, соответствующие условиям закрепления шпангоута имеют вид

w = w/ = 0 при r = ro, Mi = Qi — Tiw/ = 0 при r = ri, (2)

где г = го и г = г і —нагруженный и свободный края пластины соответственно (см. рис. 1, с, рис. 2, 6).

Для определения начальных усилий используем уравнения, описывающие осесимметричную деформацию кольцевой пластинки в ее плоскости:

Т{ + -{Т1-Т2)=0, Ті = В (V + и-) , Т2 = В (- + м,') , (3)

г V г / V г /

где и — радиальное перемещение, В = ЕЛ./(1 — V2). Общее решение системы (3) имеет вид

«, = 6^+-^, Т1,2=В^С1Т7^)> (4)

где £ =1 + V, 7 =1 — V

Будем считать положительными сжимающие усилия. Если сто — радиальное напряжение на контуре пластинки г = го, то для случаев I и II

Ті(го) = Лсто- (5)

Предположим, что ненагруженный край пластинки г = гі подкреплен кольцом. Тогда

Е Я

Ті(п) =----^(п), (6)

г2

где Я — площадь поперечного сечения кольца.

Подстановка решения (4) в граничные условия (5), (6) дает систему уравнений для определения постоянных Сі и С2:

(<5 + 750)6*1 - 7(1 /о)С2 = 0, 5СХ - ^С2 =

г2 г2 Е

1 'о

где $о = (1 + ^)5/(^Г1). Решение этой системы имеет вид

п _ (1 - 5'о)(1 - _ (¿ +7б'о)(1 - г/2)а0 (1-50)£ б + 7^0

С1 - ’ 3’-Принимая во внимание формулы (4), получаем

Ьар ґ (1 - Бр)б 6 + 7^

й V г

Рассмотрим два важных частных случая. При отсутствии кольца 5 = 0, и граничное условие (6) превращается в условие Т1(г1) = 0. Полагая $о = 0 в формулах (7), приходим к следующим выражениям для начальных усилий

Л.стог2(г2 — г2) Л.стог2(г2 + г2)

-11 = —

В случае

1 г2(г2—г2) ’ 2 г2(г2—г2) ^ ^

^0 = 1, 5 = (9)

1 + V

начальные усилия определяются по формулам

г2

Т1 = -Т2 = ка0^. (10)

В статье Мансфилда [6] для усилий (10) решение уравнений устойчивости кольцевой пластинки получено в явном виде. Однако выполнение условия (9) для реальной конструкции маловероятно.

3. Устойчивость узкой пластинки в случае I. Выберем за единицу длины радиус го и сведем систему (1) к одному безразмерному дифференциальному уравнению относительно прогиба ад:

сі4«; 2 сРги 2то2 + 1 —/Зіі ¿2ад 2т2 + I +/Зі2 <1и) то2(то2 — 4 — ¡Зі2)

¿гА г ¿г3 г2 ¿г2 г3 ¿г г4 ’

где

*-1,2, ,3

Л-сто^2 Б

Параметр нагрузки в является искомой величиной.

Предположим, что безразмерная ширина пластинки мала, т. е. е = Г1 — 1 ^ 1. Будем называть такую пластинку узкой. Шпангоуты, которые используются в реальных конструкциях, можно считать узкими кольцевыми пластинками.

В уравнении (11) сделаем замену переменной г = 1 + еж. Считая, что то ~ 1, и

отбрасывая малые слагаемые, получаем приближенное уравнение устойчивости узкой

пластинки:

¿4ад „ 2 ¿2ад „ 3 ¿ад

— +(ЗеЧ1—+ /Зе%— = 0. (12)

аж4 аж2 аж

Если начальные усилия заданы формулами (8), то приближенные выражения для функций ¿1 и ¿2 имеют вид

= 1 — Ж, ¿2 -•

е

Подстановка этих выражений в формулу (12) дает уравнение

0, во = ве2. (13)

¿4ад

¿2ад ¿ад

»-«»яг-л

После перехода к безразмерным величинам, замены переменной г = 1 + еж и отбрасывания малых слагаемых граничные условия (2) приобретают вид

ад = ад/ = 0 при ж = 0, ад” = ад'" = 0 при ж =1. (14)

Вычислив с помощью метода прогонки наименьшее собственное значение во = 7.84 краевой задачи (13), (14), для критического значения вс параметра нагрузки получаем приближенную формулу:

/Зс = § = ^. (15)

Для определения во, как указал А. Л. Смирнов, можно использовать также выражение решения уравнения (13) через специальные функции.

Приближенное значение вс, найденное асимптотическим методом, не зависит от числа волн по параллели т. Это свидетельствует о том, что при малых е точные значения вс, соответствующие значениям т ~ 1, близки между собой. Численное интегрирование системы уравнений (1) с граничными условиями (2) показало, что наименьшего значения вс достигает при т = 0. Таким образом, в рассматриваемом случае форма потери устойчивости является осесимметричной.

Во втором столбце табл. 1 приведены значения вс, полученные путем решения краевой задачи (1), (2) методом прогонки. В третьем столбце содержатся значения вс, найденные по асимптотической формуле (15). Погрешность формулы (15) уменьшается с уменьшением ширины пластинки.

Таблица 1

£ Значения [Зс Погрешность, %

Прогонка Асимптотика

0.3 107 87.1 18

0.2 225 196 13

0.1 839 784 6.5

Предложенный метод можно использовать при произвольных однородных граничных условиях на краях пластинки. В частности, в случае шарнирного опирания, когда

т = М1 = 0 при г = го, г = Г1,

граничные условия (14) следует заменить условиями

т = ш" = 0 при ж = 0, ж =1,

а приближенная формула, аналогичная формуле (15), примет вид

е2

Рассмотрим теперь узкую пластинку, свободный край которой г = г1 подкреплен

кольцом, причем для площади поперечного сечения кольца выполняется условие (9).

Подставив соответствующие начальным усилиям (10) значения ¿1 = 1 и ¿2 = —1 в формулу (12), получим приближенное уравнение

2 ¿2т 2 2 „ .

+ = 7”=£'9' (1в) Граничные условия для уравнения (16), соответствующие заделке края пластинки г = го, имеют вид

т = т ' = 0 при ж = 0. (17)

Предположим, что форма потери устойчивости является осесимметричной, а центр тяжести поперечного сечения кольца принадлежит срединной плоскости пластинки. Используя результаты [7], находим условия на линии сопряжения кольца и пластинки:

М\ = —С)\ = Тх'ш',

го2

где Зх — момент инерции поперечного сечения стержня относительно оси Ож (рис. 3).

a ------- I h I ^ x

b

Рис. 3. Поперечное сечение пластинки, подкрепленной кольцом.

Из последних условий путем перехода к безразмерным величинам, замены переменной r = 1 + еж и отбрасывания малых слагаемых получаем еще два граничных условия для уравнения (16):

w" + cw ' = 0, w'" + Y^w ' = 0 при ж = 1, (18)

где

12е(1 - v2)Jb Jx h

С 7 q i Jb 4 j Mb •

hg rg r0

Подстановка общего решения уравнения (16)

w(x) = Ci sin Yox + C2 cos Yox + С3Ж + C4

в граничные условия (17), (18) дает систему однородных линейных уравнений с неизвестными Ck. Условием наличия нетривиальных решений этой системы является равенство нулю ее определителя:

Y0 cos y0 + c sin y0 = 0. (19)

Приближенная формула для критического значения параметра нагрузки имеет вид

Yc2

13с = (20)

е2

где Ye — наименьший положительный корень уравнения (19).

В качестве примера рассмотрим кольцевую пластинку с параметрами hb = 0.01, е = 0.1, V = 0.3, подкрепленную стержнем с прямоугольным поперечным сечением.

Пусть a и b — безразмерные высота и ширина сечения (см. рис. 3). Тогда Sb = S/r2 = ab,

Jb = a3b/12,

е(1 — v2)a3b

C = P ' hb

После перехода к безразмерным переменным и отбрасывания малого слагаемого условие (9) приобретает вид ab = hb/(1 + v). Следовательно,

(1 — v)ea2

с =

^ •

В табл. 2 приведены значения с, 7с и вс для различных а. Величина вс из первой строчки, соответствующая с = 0, в несколько раз меньше остальных критических значений параметра нагрузки. Это свидетельствует о том, что учет жесткости кольца на изгиб в граничных условиях для системы (1) может привести к значительному увеличению критической нагрузки. В работе [6] жесткость кольца на изгиб игнорировалась. Результаты, приведенные в табл. 2, показывают также, что увеличение высоты сечения кольца при сохранении площади сечения повышает значение критической нагрузки.

а с 7с Рс

0 0.06 0.08 0.10 0.12 0 2.52 4.48 7.00 10.08 1.57 2.38 2.61 2.76 2.86 247 568 683 764 822

Формула (20) имеет весьма ограниченную область применимости, так как при ее выводе предполагалось, что площадь поперечного сечения кольца 5 удовлетворяет равенству (9). Для начальных напряжений (7) данное ограничение отсутствует, однако алгоритм определения приближенного значения вс оказывается слишком сложным. Критическую нагрузку при начальных напряжениях (7) целесообразно находить численным методом. При этом формулу (20) можно использовать для контроля численных результатов.

4. Устойчивость узкой пластинки в случае II. Будем искать нетривиальные решения уравнения (11), удовлетворяющие граничным условиям (2), при начальных усилиях (8). Считая, что ширина пластинки е = 1 — Г1 ^ 1 безразмерная, сделаем в уравнении (11) замену переменной г =1 — еж, х € [0,1]. Предполагая, что т ~ 1, получаем приближенное уравнение устойчивости узкой пластинки

¿2ад ¿ад

= 0, во = М (21)

и граничные условия

ад = ад 1 = 0 при х = 0, ад'1 = ад'" = 0 при х =1. (22)

Краевая задача (21), (22) не имеет собственных значений в > 0. Действительно,

умножив уравнение (21) на ад и проинтегрировав полученное равенство по частям с

учетом условий (22), получим

2 Г01(ад' О2 ¿х

/Зо = ¡Зє =-----г^----- ------- < о.

/о (1 — х)(ад')2 ¿х

В случае т ~ 1/е приближенное уравнение устойчивости узкой пластинки, полученное из уравнения (11) заменой переменной г =1 — ех, имеет вид

^—2є2то2-^—^ + є2т2(є2т2 — є/3)іл = 0, (23)

а граничным условиям (2) соответствуют приближенные условия

ад = V = 0 при х = 0, ад" — ^є2т2ад = 0, V)"' — е2т2(2 — ^)ад ' = 0 при х = 1.

(24)

Приближенная краевая задача (23), (24) совпадает с краевой задачей, рассматриваемой в работе [5]. Если

/3» = ^1= > 1,

те

то общее решение уравнения (23) имеет вид

w = Ci sin ax + C2 cos ax + C3 sh yx + C4 ch yx, (25)

где Ck —произвольные постоянные,

a = em\J во — 1, y = £'т-\/ во + 1-

При во ^ 1 краевая задача (23), (24) не имеет нетривиальных решений.

Подстановка общего решения (25) в граничные условия (24) дает систему линейных однородных алгебраических уравнений для определения произвольных постоянных. Условием существования нетривиальных решений такой системы является равенство нулю ее определителя:

F sh y sin a + G ch y cos a + H = 0, (26)

где

F = /?o(l - 2z/) - (1 - v)2, G = [/?o + (1 - i/)2]\j(32 — 1, H = \(32 + (1 — v)2]\J(3^ - 1.

В работе [5] приближенное значения параметра критической нагрузки вс определялось по формуле

вс = £ min ш2во(т), (27)

т

где наименьшие положительные корни во(т) уравнения (26) при различных значениях m находились численным методом.

Более удобно вычислять вс с помощью приближенной формулы [3]

вс = —, Г]с = пйп[шово(то)], то = ет. (28)

£ то

Значения пс и то, которые зависят только от коэффициента Пуассона v, получены путем численного решения уравнения (26) и приведены в табл. 3.

Таблица 3

V Ve т0

0.0 15.1 1.99

0.1 14.4 1.96

0.2 13.6 1.93

0.3 12.6 1.92

0.4 11.6 1.92

0.5 10.4 1.93

Погрешность приближенной формулы (28) возникает из-за того, что т = то/е не является, вообще говоря, целым числом. Эта погрешность мала при е ^ 1, так как в этом случае т ^ 1. Значения вс, найденные по формулам (27) и (28) для V = 0.3, приведены в табл. 4.

В скобках указано число т. При е = 0.3 погрешность формулы (28) по сравнению с формулой (27) составляет 5% и эта погрешность быстро уменьшается с уменьшением е.

В табл. 5 для V = 0.3 приведены результаты, полученные методом прогонки и по асимптотической формуле (27).

£ Формула (27) Формула (28)

0.3 0.2 0.1 42.3 (6) 63.3 (10) 126.4 (19) 42.1 (6.4) 63.2 (9.6) 126.4 (19.2)

Таблица 5

£ Значения [Зс Погрешность, %

Прогонка Асимптотика

0.3 43.7(6) 42.3(6) 3.2

0.2 64.7(8) 63.3(10) 2.2

0.1 127.4(17) 126.4(19) 0.8

Сравнение этих результатов показывает, что для рассматриваемых значений е погрешность вычисления вс асимптотическим методом не превосходит 3.2%.

Литература

1. Макаренко И. Н., Филиппов С. Б. Устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной кольцевой пластиной // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2005. Вып. 1. С. 94-102.

2. Кобченко М.Е., Филиппов С. Б. Устойчивость цилиндрической оболочки, сопряженной с кольцевой пластиной, под действием внешнего давления // Асимптотические методы в механике деформируемого твердого тела. СПб., 2006. С. 60-74.

3. Filippov S. B. Buckling of circular ring joint with cylindrical shell // Shell Structures Theory and Applications. Proc. of the 9th SSTA Conference. Jurata, Poland, 2009. P. 109-112.

4. Filippov S. B. Optimal design of stiffened cylindrical shells based on an asymptotic approach // Technische Mechanik, 2004. Band 24. Heft 3-4. P. 221-230.

5. Филиппов С. Б. Устойчивость кольцевой пластинки под действием радиальных растягивающих усилий на внутреннем контуре // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2009. Вып. 2.

С. 112-121.

6. Mansfield E. H. On the buckling of an annular plate // Quart. J. Mech. and Applied Math. Vol. 13. 1960. P. 16-23.

7. Филиппов С.Б. Теория сопряженных и подкрепленных оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1999. 196 с.

Статья поступила в редакцию 6 апреля 2010 г.