Устойчивость кольцевой пластинки под действием радиальных растягивающих усилий на внутреннем контуре Текст научной статьи по специальности «Физика»

УСТОЙЧИВОСТЬ КОЛЬЦЕВОЙ ПЛАСТИНКИ

ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАДИАЛЬНЫХ РАСТЯГИВАЮЩИХ УСИЛИЙ НА ВНУТРЕННЕМ КОНТУРЕ*

С. Б. Филиппов

С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, s_b_filippov@mail.ru

Задача о потере устойчивости кольцевой пластинки представляет интерес в связи с тем, что такая пластинка может рассматриваться как модель шпангоута, подкрепляющего оболочку вращения. В работах [1] и [2] исследовалась устойчивость цилиндрической оболочки, сопряженной с кольцевой пластинкой, под действием внешнего давления. Рассматривалась потеря устойчивости, при которой вмятины расположены на поверхность оболочки. Однако при определенных соотношениях между параметрами пластинки и оболочки возможна форма потери устойчивости, локализованная на поверхности пластинки. Данная работа является первым шагом в изучении таких форм потери устойчивости. Ввиду того, что в реальных конструкциях шпангоуты имеют небольшую ширину, главное внимание уделяется узким пластинкам.

В статье Мансфилда [3] предложены аналитические решения задач об устойчивости кольцевой пластинки под действием радиальных напряжений, приложенных к внутреннему контуру пластинки. Работа [3] имеет существенный недостаток. Используемые в ней начальные напряжения, называемые в дальнейшем напряжениями Мансфилда, не удовлетворяют граничным условиям, которые обычно встречаются на практике. В данной работе получены уравнения устойчивости пластинки с реальными начальными напряжениями, равными нулю на внешнем контуре пластины. Для таких уравнений краевые задачи не имеют аналитических решений. В общем случае они решаются методом прогонки. Для узких и широких пластин с помощью асимптотических методов получены простые приближенные формулы для вычисления параметра критической нагрузки. Показано, что замена напряжений Мансфилда реальными напряжениями может привести к уменьшению критической нагрузки в 20 раз.

1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о потере устойчивости кольцевой пластинки под действием радиальных растягивающих усилий а о, равномерно распределенных по внутреннему контуру пластинки. Введем на поверхности пластинки полярные координаты г и ^ (рис. 1). После разделения переменных систему уравнений устойчивости кольцевой пластинки запишем в виде

1 т 2

Ях = М[ + -{Мх-М2) + 2—Н, д2 = —м2 + -я,

Мі = В(я1 + УК2 ), М2 = В(к2 + УК\), Н = П(1 — ^)к12,

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №07-01-00250). © С. Б. Филиппов, 2009

Рис. 1. Кольцевая пластинка под действием радиальной нагрузки.

где штрих означает дифференцирование по г, т — число волн в окружном направлении, (^і, ^2 —перерезывающие усилия, аг, а^ —начальные напряжения, Мі, М2, Н — моменты, кі, К2, кі2 —изменения кривизны, т — прогиб, О = (ЕН3)/[12(1 — V2)] —из-гибная жесткость, Е — модуль Юнга, Н — толщина пластинки, V — коэффициент Пуассона [4].

Будем рассматривать два варианта граничных условий на краях пластинки:

1) шарнирное опирание, при котором

т = Мі =0 при г = го, г = гі; (2)

2) случай заделки внутреннего контура г = го и свободного внешнего контура г = гі , для которого

т = т' = 0 при г = го, Мі = <^і — Наг т' = 0 при г = гі. (3)

Для первого варианта граничных условий приближенные уравнения устойчивости узкой пластинки имеют простое аналитическое решение. Второй вариант соответствует пластинке, выступающей в роли шпангоута.

2. Начальные напряжения. Осесимметричную деформацию кольцевой пластинки в ее плоскости описывают уравнения

Т{ + -{Т1-Т2)= о, Тг = В (и'+ V-) , Т2 = в(-+шЛ, (4)

г V г / V г /

где Ті, Т2 —усилия, и — радиальное перемещение, В = ЕН/(1 — V2). Общее решение системы (4) имеет вид

С2

и = С\г Н----, Т1і2 = В

г

На внутреннем контуре пластинки

Ті(го) = —Нао. (6)

(1 + іу)С\ т (1 - у)%

(5)

Предположим, что на внешнем контуре

Т1(г1)=0. (7)

Подставляя выражения (5) для Т1 и Т2 в граничные условия (6) и (7), находим постоянные С1 и С2. Принимая во внимание формулы Т1 = Ьаг, Т2 = Ьа^, получаем

<7ог2 (г2 - г2) <тог2 (^ + г2)

= „(Л ~г. = _____________

г г2(г2 — г2) ’ ^ г2(г2—г2)

Пусть теперь внешний контур пластинки подкреплен кольцом. Тогда

(8)

Е

Ті(п) =----^М(п), (9)

г1

где $ — площадь поперечного сечения кольца. Выберем

5=гтт- (10)

В этом случае С1 = 0, и выражения для начальных напряжений имеют вид

г2

(7/р — 0> — (То ^. (11)

В статье Мансфилда [3] напряжения (11) используются при решении задачи устойчивости, что позволяет получить решение системы (1) в явном виде. Однако выполнение условий (9) и (10) для реальной конструкции маловероятно. С другой стороны, условие (7) выполняется, например, для подкрепляющего оболочку вращения шпангоута с прямоугольным поперечным сечением.

3. Устойчивость узкой шарнирно опертой пластинки. В систему уравнений устойчивости (1) подставим начальные напряжения (8), выберем за единицу длины радиус внутреннего контура г о и сведем систему (1) к одному безразмерному дифференциальному уравнению относительно прогиба ш. Это уравнение можно записать в виде

(¿4и> 2 (¿Зи> 2то2 + 1 +/Звг (¿2и> 2т2 + 1 + ¡Зя^ ¿ли гг?(то2 — 4 — /Зв^)

(¿Г4 г (1г3 г2 (1г2 г3 (1г г4 ’

где

г2 — г2 г2 + г2 Ьаог2

г 9 Т~ > 2 Т~ ’ I '

г2 — 1 г2 — 1 и

Безразмерный параметр нагрузки в является искомой величиной. Для начальных напряжений Мансфилда (11) в уравнении (12) следует положить вг = = 1.

В случае шарнирного опирания краев пластинки

С2 и V Си

и) = , -\-— = 0 при г = 1, г = г і. (13)

Сг2 г аг

Предположим, что безразмерная ширина пластинки мала, т. е. є = г і — 1 ^ 1. Будем называть такую пластинку узкой.

Рассмотрим сначала напряжения Мансфилда (11). В уравнении (12) положим вг = = 1, сделаем замену переменной г = 1 + еж и отбросим малые слагаемые. Считая, что т ~ 1, в нулевом приближении получим

d4w 2 d2w

d^“^ d^ = °’

d2w

w = = 0 при x = 0, x = 1.

dx2

(14)

(15)

Краевая задача (14), (15) не имеет нетривиальных решений при в > 0, поэтому при т ~ 1 не происходит потери устойчивости пластинки.

Если т ~ 1/є, то уравнение нулевого приближения имеет вид

- є2(2m2 + + є4то2(то2 - /3)w

dx4 dx2

0.

(16)

Функция ш = вт(пх) удовлетворяет граничным условиям (15) и уравнению (16) при условии

ß = f (m)

(є2ш2 + п2)

22

є2(є2ш2 — п2)

Критическая нагрузка соответствует

ßc = min f (m).

m

Если рассматривать f(rri) как функцию вещественного аргумента, то при m = %/37г/є она достигает минимума fm = 8п2/є2. Число fm можно использовать в качестве приближенного значения ßc:

ßc ^ Ц-. (17)

є2

Ввиду того, что m ~ 1/є ^ 1, погрешность формулы (17) имеет такой же порядок, как погрешность формул нулевого приближения.

Во втором и третьем столбцах таблицы 1 приведены значения ßc, полученные методом прогонки и найденные по асимптотической формуле (17). В скобках указано число волн m, при котором ß имеет минимальное значение. Относительная погрешность формулы (17) уменьшается вместе с уменьшением безразмерной ширины пластины є.

Таблица 1.

є Значения ßc Погрешность, %

Прогонка Асимптотика

0.2 2377 (30) 1974 (27) 17

0.1 8693 (57) 7896 (54) 9

Пусть теперь начальные напряжения определяются по формулам (8). Для узкой пластины

— 1 — X, — 1/є, и уравнение нулевого приближения имеет вид

d4w 2 2 d2w 2 2 . 2 2

----2є то -—г- + є то (є то — eß)w = 0.

dx4 dx2

(18)

Подстановка в уравнение (18) функции ш = вт(пж), удовлетворяющей граничным условиям шарнирного опирания (15), дает формулу

(1.)

е3т2

Правая часть равенства (19) имеет минимум при т = п/е. Подставив это значение т в формулу (19), получим

4п2

вс ------• (20)

е

При е = 0.1 значение вс, найденное по формуле (20), в 20 раз меньше значения, полученного по формуле (17).

Таблица 2.

є Значения f3c Погрешность, %

Прогонка Асимптотика

0.3 149 (13) 132 (10) 11

0.2 215 (19) 197 (16) 8

0.1 414 (34) 395 (31) 4

Результаты, приведенные в таблице 2, позволяют сравнить значения вс, полученные численным и асимптотическим методами для разных значений є. В скобках указано число волн, образующихся при потере устойчивости.

4. Устойчивость узкой пластинки при других граничных условиях. Подстановка в уравнение (16) решения w = еЛх дает для определения Л биквадратное характеристическое уравнение

Л4 — є2(2т2 + в)Л2 + є4т2(т2 — в) = 0, (21)

корни которого определяются по формулам

Аі;2 = ієт^Ьо — «о, Аз;4 = ±em\Jbo + ао, где ________

ао = \/2во + ~г, Ьо = 1 + ^, во = ^-V 4 2 т2

Если во ^ 1, то bo ^ ао, все корни уравнения (21) вещественны, краевые задачи для уравнения (16) не имеют нетривиальных решений, и пластина не теряет устойчивости. Будем искать значения во > 1. В этом случае общее решение уравнения (16) имеет вид

w = Ci sin ax + C2 cos ax + C3 sh yx + C4 ch yx, (22)

где Ck —произвольные постоянные,

а = em\J ао — b о, 7 = em\J ао + бо-

Рассмотрим случай заделанного внутреннего контура пластинки и свободного внешнего контура. После перехода к безразмерным величинам, замены переменной r = 1+єх

и отбрасывания малых слагаемых граничные условия (3) при начальных напряжениях Мансфилда (11) приобретают вид

w = и>' = 0 при ж = 0 («/ = ,

w'' — ve2m2w = 0, w''' — £2[(2 — v)m2 + в]ад/ = 0 при x =1.

Подстановка решения (22) в граничные условия (23) дает систему четырех линей-

ных однородных уравнений с неизвестными Ck. Приравняв нулю определитель этой системы, получим уравнение для определения во:

F sh y sin а + G ch y cos a + H = 0, (24)

где

F = во + во(1 — 4г/ — г/2) — 2(1 — г/)2, G = [во + 2во(3 — v) + 2(1 — г^)2 ] %/ во — 1,

Я = 2[(во(1 + ^ - (1 - v)2]y/fo=l.

Для определения приближенного значения параметра критической нагрузки вс следует найти наименьшие положительные корни во(т) уравнения (24) при различных значениях т и выбрать наименьшее из чисел в(т) = т2во(т).

В таблице 3 для v = 0.3 приведены значения вс, полученные методом прогонки и найденные асимптотическим методом. В скобках указано число волн т. Величина критической нагрузки для граничных условий (23) значительно меньше, чем в случае шарнирного опирания (см. табл. 1).

Таблица 3.

£ Значения [Зс Погрешность, %

Прогонка Асимптотика

0.2 766 (18) 613 (16) 20

0.1 2751 (34) 2451 (32) 11

Для начальных напряжений (8) уравнение нулевого приближения имеет вид (18). Корни характеристического уравнения

Л4 - 2е22т2А2 + е3т2(ет2 - в) = 0

определяются по формулам

= ±£т\/1 — во, Аз;4 = ±£т-\/1 + во,

где

В случае во > 1 общее решение уравнения (18) имеет вид (22), где

а = ет\/ во — 1, 7 = £т\/ во + 1-

Подстановка общего решения уравнения (18) в граничные условия

ш = ш' = 0 при ж = 0, ш'' — ^е2т2ш = 0, ш''' — е2т2(2 — ^)ш' = 0 при ж = 1,

соответствующие заделанному внутреннему контуру пластинки и свободному внешнему контуру, дает систему линейных однородных алгебраических уравнений для определения произвольных постоянных. Условием существования нетривиальных решений такой системы является равенство нулю ее определителя:

F sh y sin а + G ch y cos а + H = 0, (25)

где

F = /?о(1 - 2г/) - (1 - v)2 i ^ = \ßo + (1 - v)2]\lßl - 1; H = \ßo + (1 - v)2]\lßl - 1-

Численное решение уравнения (25) позволяет найти зависимость наименьшего положительного корня ßo уравнения (25) от числа волн m. Параметр критической нагрузки определяется по формуле

ßc = £ min m2ß2 (m).

Таблица 4.

£ Значения ßc Погрешность, %

Прогонка Асимптотика

0.3 41.8 (8) 42.3 (6) 1.2

0.2 62.7 (12) 63.3 (10) 1.0

0.1 125.6 (21) 126.4 (19) 0.6

Приведенные в таблице 4 результаты показывают, что для V = 0.3 и рассматриваемых значений £ погрешность вычисления вс асимптотическим методом не превосходит 1.2%. Полученные для начальных напряжений (7) значения параметра критической нагрузки значительно меньше, чем для напряжений Мансфилда (см. табл. 3).

5. Устойчивость широкой пластинки. В работе Мансфилда [3] утверждается, что для пластинки с заделанными или шарнирно опертыми краями

вс ^ 3 при Г1 ^ то, (26)

где Г1 — безразмерный внешний радиус пластины, причем форма потери устойчивости, соответствующая большим значениям гх, имеет две волны в окружном направлении. Формула (26) со ссылкой на статью [3] приводится и в книге Вольмира [4].

Покажем, что формула (26) верна, но при увеличении гх параметр критической нагрузки вс приближается к предельному значению вс = 3 очень медленно.

Общее решение уравнения (12) в случае вг = = 1 имеет вид [3]

4

™ = Х) Ск А,

к=1

где Ск —произвольные постоянные,

Л1,2 = 1 ±га, а= ^ Л/2^2(2 + в) + вЩ - т2 - 1 - /3/2,

Л3,4 = 1 ± Y, 7 = у/\/2т2(2 + в) + /?2/4 + т2 + 1 + /3/2.

Подстановка общего решения в граничные условия заделки

w = —— = 0 при г = 1, г = г 1, dr

дает систему линейных алгебраических уравнений для определения постоянных C. Приравняв нулю определитель этой системы, получим следующее уравнение [3] для определения параметра в:

(а2 — y2) sh Zsin z + 2«7(chZcos z — 1) = 0, (28)

где Z = Y ln ri, z = а ln ri,

Аналогичное уравнение для граничных условий шарнирного опирания (13) имеет вид [3]

'2 2 («2+72)2

а — 7 +

| эЬ Свіп 2; + 2а7(с1і Ссоэ 2 — 1) = 0, (29)

Корню а = 0 уравнений (28) и (29) соответствует в = во = т2 — 1- Покажем, что во не является собственным значением рассматриваемых краевых задач. Действительно, при в = во общее решение уравнения (12) имеет вид

ш = С\г + С2г 1пг + С’зг1+7 + Сцг1 г, 7 = л/ Зто2 + 1.

Подстановка этого решения в граничные условия (13) или (27) приводит к системе линейных алгебраических уравнений, которая не имеет нетривиальных решений.

Будем называть пластинку широкой, если г і ^ 1. Для широкой пластинки отбрасывание малых слагаемых в уравнениях (28) и (29) приводит к одному и тому же приближенному уравнению

1Є-=0, (30)

м

где м = 1п-1 гі — малый параметр. Положительные корни уравнения (30) определяются по формуле

а = ак = мп&, к =1, 2, . .. (31)

Подставив в равенство (31) выражение для а, получим уравнение для определения приближенных значений параметра в:

2т2(2 + в) +у-т2-1-^ = а2. (32)

Решения уравнения (32) имеют вид

Д=(а‘ + ’"2 + 1)2:4т2, к = 1,2,...

т2 — 1 — ак

Наименьшим из чисел вк является въ поэтому параметр критической нагрузки запишем в виде

, ч , ч (а? + т2 + 1)2 — 4т2

вс = ттв1(т), РЛт) = --------о-;-------9--------------------------, «1 = М71"- (33)

т т2 — 1 — а1

Если Г1 ^ то, то ^ ^ 0, в1(т) ^ т2 — 1. Наименьшему предельному значению вс = 3 соответствует т = 2.

Кривая 1 на рис. 2 представляет собой график зависимости параметра критической нагрузки вс от величины 1п Г1 для пластины с заделанными краями, полученный путем

Рис. 2. Зависимость параметра вс от внешнего радиуса заделанной пластины г 1.

численного решения уравнения (28). Кривая 2 построена с помощью приближенной формулы (33). Прямая 3 соответствует предельному значению вс при г 1 ^ то.

Формула вс = 3 имеет точность менее 10% только при Г1 > 105. При Г1 = 10 критическая нагрузка более, чем в 6 раз превосходит свое предельное значение, приведенное в работах [3] и [4]. Относительная погрешность формулы (33) при увеличении Г1 от 10 до 1000 уменьшается от 18 до 4%.

Результаты, приведенные в таблице 5 для шарнирно опертой пластины, показывают, что в этом случае формула (33) дает хорошее приближение к точному значению параметра критической нагрузки для пластинок любой ширины. В скобках приведено число волн, образующихся при потере устойчивости.

Таблица 5.

г 1 Точное решение Формула (33)

1000 3.96(2) 3.98(2)

100 5.40(2) 5.47(2)

50 6.62(2) 6.73(2)

10 16.9(2) 17.1(2)

5 32.8(2) 33.0(2)

2 167(8) 166(8)

1.5 484(14) 484(14)

1.2 2377(30) 2377(30)

1.1 8694(57) 8694(57)

Универсальность формулы (33) для шарнирно опертой пластинки связана с тем, что для узкой пластинки отбрасывание в уравнении (29) малых слагаемых приводит к тому же самому уравнению (30), что и для широкой пластинки. Для узких пластинок формула (33) является более точным приближением к значению вс, чем полученная в разделе 3 формула нулевого приближения (17). Принимая во внимание, что для узких пластинок Г1 = 1 + е, е ^ 1, т ^ 1, можно показать, что формула (17) получается из формулы (33) путем отбрасывания малых величин.

С увеличением Г1 разница между начальными напряжениями (8) и (11) уменьшается, поэтому уменьшается и разница между критическими нагрузками, которые со-

Рис. 3. Зависимость ßc от r 1 для напряжений (8) и (11).

ответствуют этим напряжениям. Кривые 1 и 2 на рис. 3 представляют собой графики зависимостей ßc от r 1 для напряжений (8) и (11) в случае шарнирного опирания.

Следовательно, для широкой пластинки значения ßc, полученные при воздействии на пластинку напряжений (11), могут служить оценкой сверху для параметров критической нагрузки, соответствующих напряжениям (8). В частности, при шарнирном опирании или заделке краев пластинки для такой оценки годятся значения ßc, полученные по формуле (33).

Литература

1. Макаренко И. Н., Филиппов С. Б. Устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной кольцевой пластиной // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2005. Вып. 1. С. 94-102.

2. Кобченко М.Е., Филиппов С. Б. Устойчивость цилиндрической оболочки, сопряженной с кольцевой пластиной, под действием внешнего давления // Асимптотические методы в механике деформируемого твердого тела. СПб., 2006. С. 60-74.

3. Mansfield E. H. On the buckling of an annular plate // Quart. J. Mech. and Applied Math. Vol. 13. 1960. P. 16-23.

4. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.

Статья поступила в редакцию 18 декабря 2008 г.