CC BY
24
ОПТИМАЛЬНОЕ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ УПРАВЛЕНИЕ ДВУМЕРНОЙ МОДЕЛЬЮ ПРОЦЕССА ПЕРИОДИЧЕСКОГО ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА
Шарапова Ольга Юрьевна
аспирант, СамГТУ, г. Самара E-mail: o sharapova@mail. ru
Индукционные нагревательные установки (ИНУ) периодического действия широко применяются на практике для индукционного нагрева металлов перед последующей обработкой давлением, поскольку они обладают рядом технико-экономических преимуществ по сравнению с конкурентоспособными технологиями.
В статье представлены результаты моделирования и оптимизации температурных полей по объему заготовки в ходе индукционного нагрева с использованием численной двумерной электромагнитно-тепловой модели процесса. Сформулирована и решена задача оптимального управления (ЗОУ) ИНУ периодического действия по критерию быстродействия.
Численная двумерная модель процесса индукционного нагрева металла (ПИНМ)
Для численного моделирования ПИНМ был использован конечно-элементный специализированный программный продуктов Cedrat FLUX, предназначенный для многопараметрического электромагнитного, теплового анализа, для построения сетки детали и витков индуктора использовались треугольные элементы и четырёхугольные в области скин-эффекта, а для сетки окружающего пространства - треугольные элементы [2, с. 180]. Алгоритм решения задачи моделирования представляет собой последовательную итерационную процедуру, включающую гармонический электромагнитный анализ и переходный тепловой анализ.
Постановка и решение задачи оптимального по быстродействию управления двумерной численной моделью ПИНМ.
Процесс периодического индукционного нагрева однозначно определяется пространственно-временным распределением температуры нагреваемого тела
Т(l,y,t), где t это время, а l,y пространственные координаты, учитывающие неравномерное распределение температуры как по радиусу (lе [0;R]), так и вдоль оси цилиндрического слитка конечной длины (y е [0;L]). При этом температурное поле заготовки, моделируется с помощью описанной выше двумерной нелинейной численной модели [2, с. 180],
В качестве управляющего воздействия рассматривается напряжение источника питания u(t). Ограничение на управляющее воздействие u(t) вводится, исходя из некоторой заранее известной максимальной величины Umax, определяемой энергетическими возможностями ИНУ, и имеет вид:
0 < u(t) < Umax (1)
В качестве критерия оптимальности для обеспечения максимальной производительности установки рассматривается минимальное время нагрева г0. .
min
Применительно к исследуемому в данной статье классу задач оптимизации индукционная установка в конечный момент времени гк должна обеспечивать нагрев металлической заготовки до заданной температуры Т*(l, y) = Т* = const с допустимым температурным отклонением по сечению заготовки e0:
max т (i, у,г к) - r\ <e (2)
ye[0; L]
Задача оптимального по быстродействию управления ИНУ может быть сформулирована следующим образом:
Необходимо найти такое переменное во времени управляющее воздействие u(t) = uonm(г), стеснённое ограничением (1), которое обеспечивает перевод нагреваемого изделия с начальным распределением температуры T0(l,y) = Т0 = const в заданное целевое множество (2), за минимально возможное
время Гк = Гш.
Для общей нелинейной задачи оптимального по быстродействию управления процессами нестационарной теплопроводности с внутренним тепловыделением [1, с. 149], стандартные процедуры принципа максимума
определяют А( ю -параметризованное представление управляющего воздействия и опт (Г) в форме кусочно-постоянной функции времени:
и г 1 1-1 1 _
-пт Г) = [1 + (-1)1+1 Л X Аг <Т< £ А г , 1 = 1, N (3)
однозначно задаваемой с точностью до числа N и длительностей Аг, i = 1, N интервалов своего постоянства, выступающих в роли искомых параметров и зависящих только от требуемой точности нагрева е0 в (2), где N может быть найдено по заданной величине е0 по общей методологии альтернансного метода [1, 149]. В итоге осуществляется процедура редукции исходной задачи к задаче полубесконечной оптимизации:
/(А) = ¿Аг ® min; А = (А1,А2,...,А5), Ф(А) = max|T(l,y, А) - Т* < е, (4)
i=1 Уб[[ед
где зависимости T (l, y, А) находятся по численной FLUX - модели объекта при управлении вида (3).
Ниже приводятся примеры решения ЗОУ по критерию быстродействия процесса индукционного нагрева стальных цилиндрических заготовок. Некоторые исходные данные по конструктивным характеристикам нагревателя и параметрам заготовки: радиус заготовок 52,5 мм, длина 900, начальная 20 °C и заданная 1250 °C температура заготовки, длина индуктора 1,046 м, частота питающего тока 2300 Гц, напряжение источника питания 470 В.
Рассмотрим случай, когда заданная точность нагрева совпадает с предельно достижимой точностью е0 = е^Щ при одноинтервальном управлении. Согласно альтернансным свойствам форме кривых результирующего распределения температур соответствует следующая система уравнений:
T(0, L, А0) - T* =-emn;
Т(/Э2, y э 2, А0) - t * = +emn; (5)
дТ(1Э2,yЭ2, Ар) = ЭТ(Э2,УЭ2, А0) = 0 dl Эу .
решаемая относительно искомой длительности АО интервала нагрева, минимакса и координат точки экстремума 1Э2, уЭ 2.
Рисунок 1. Результирующее распределение температур при одноинтервальном управлении: а - по объему заготовки; б - в сечениях с максимальными температурными отклонениями
а б
На рис. 1 представлен результат расчета температурного распределения по объему стальной цилиндрической заготовки в конце оптимального по быстродействию процесса нагрева. Длительность процесса нагрева составляет 541,6 с., минимальное температурное отклонение на выходе е) = 78°С. Полученная точность нагрева не соответствует технологическим требованиям, предъявляемым к данному процессу. Поэтому необходимо применение двухинтервального алгоритма оптимального управления.
Данному случаю соответствует двухпараметрическое представление управляющего воздействия при N=2 в (3). В качестве оптимизируемых параметров выступают длительности интервалов нагрева и выравнивания температур, а максимальное абсолютное отклонение распределения температуры по объему заготовки от заданного значения представляет собой минимакс е° = . Результирующая система уравнений имеет вид:
T(0, L, A0,A°2)-T* T(lЭ 2, yЭ 2, A0, A02) - T * = +e<£;
T(R, L, A0, A°) - T* = -e^m; (6)
dT (l Э 2, У Э 2, A0, A02) = dT (l Э 2, У Э2, AQ, A° ) = Q dl dy '
Рисунок 2. Результирующее распределение температур при двухинтервальном управлении: а - по объему заготовки; б - в сечениях с максимальными температурными отклонениями
max
80 -60 -40 -20 -0 --20-40-60-
: ишь
о о
а
гит,
50 40 30 20 10 О -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70
■ДЧ
ПШ1
——^ у = у Э2
V
У = У i = У
б
На рис. 2 представлено температурное распределение по соответствующим сечениям заготовки в конце оптимального процесса управления. Длительность интервала нагрева составляет 563,85 с., интервала выравнивания температур -13,3 с., еп = 66,4° с.
Пусть далее заданное значение е° удовлетворяет неравенству еШ > е° > етП. В результате для решения задачи быстродействия имеем систему четырех уравнений:
T(0, L, AQ,A02)-T* =-e0;
:+eo;
t(1э2, УЭ2, A0,A02) -t* dT(1э2,Уэ2, A0,A02) _ dto2,Уэ2, A0,A02)
dl
dy
При заданном значении е° эту систему следует решать относительно четырех неизвестных - длительностей А°1, А°2 двухинтервального управления и координат внутренней точки максимума 1Э2, уЭ 2.
В данном случае максимальное отклонение в конце оптимального процесса соответствует е° = 74,6°С. Длительность интервала нагрева с максимальным напряжением составляет 556 с., продолжительность интервала выравнивания температур - 6,6 с.
Анализ результатов, полученных при решении задачи оптимального по быстродействию управления процессом индукционного нагрева заготовки, показывает, что применение альтернансного метода приводит к повышению точности нагрева в классе управляющих воздействий с фиксированным числом интервалов постоянства, обеспечивает сокращение времени процесса и позволяет найти технически реализуемые решения задачи быстродействия для обусловленных технологическими требованиями величин е° для которых она становится неразрешимой стандартными способами
Список литературы
1. Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. -М.: Металлургия, 1993. - 279 с.
2. Шарапова О.Ю. Численное моделирование процесса периодического индукционного нагрева на базе конечно-элементного программного пакета FLUX // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Технические науки. - 2011. - №7 (28). - C. 180 - 185.
