CC BY
11Далее для вычисления управлений требуется минимизировать функционал (4.б) на сужении Б множества Б по параметру ве[0;1],
в два этапа. На первом этапе вычисляется параметр в0 из условия минимума
дЬ (в)/дв = 0, (16)
на сужении области Б в виде отрезка прямой с граничными элементами и(х,\) и и(х,А2).
Выводы
Таким образом, полученные результаты позволяют синтезировать квазиоптимальные ограниченные управления для стабилизации линейных динамических объектов с ограниченными управлениями. Оценки области притяжения синтезированной системы могут быть получены с омощью предлагаемых моделей.
Список литературы
1. Козлов В.Н. Проекционный метод синтеза ограниченных оптимальных управлений динамических систем. Изд-во Санкт-Петербургского политехнического университета. - СПб.: 2019, - 170 с.
УДК 517.9: 656 doi:10.18720/SPBPU/2/id23-47
Козлов Владимир Николаевич 1,
д-р техн. наук, профессор;
л
Ефремов Артём Александрович ,
канд. физ.-мат. наук, доцент;
ОПТИМАЛЬНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ЦИФРОВЫХ ТРАНСПОРТНЫХ СИСТЕМ
1 2
' Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский политехнический
университет Петра Великого,
Институт компьютерных наук и технологий;
1 2
kozlov_vn@spbstu.ru, artem.efremov@spbstu.ru, saiu@ftk.spbstu.ru
Аннотация. В работе рассмотрены вопросы оптимальной стабилизации локально оптимальных систем для управления нелинейными объектами. Для синтеза и качественного анализа сложных систем управления предложены проекционно-операторные квазианалитические методы решения задач условной минимизации линейных и квадратичных функционалов на пересечении линейного многообразия и эллипсоида (шара). При этом линейные многообразия позволяют использовать линеаризованные или нелинейные модели, учитывающие операторы типовых нелинейностей динамических объектов. Ограничения-неравенства в проекционных
операторах оптимизации учитываются с помощью эллипсоидов или шаров, аппроксимирующих интервальные ограничения на координаты и управления. Указанные классы проекционных операторов позволяют сформулировать соответствующие управления с обратной связью по состояниям или выходам динамических объектов.
Ключевые слова, динамические системы, проекционные операторы, разностные операторы динамических систем, проекционные операторы оптимизации, транспортные системы.
Vladimir N. Kozlov 1,
Professor, Doctor of Technical Sciences, Professor;
л
Artem A. Efremov ,
Candidate of Physical and Mathematical Sciences,
Associate Professor
OPTIMAL STABILIZATION OF DIGITAL TRANSPORT SYSTEMS
1 2
, Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University,
St. Petersburg, Russia;
1 2
kozlov_vn@spbstu.ru, artem.efremov@spbstu.ru, saiu@ftk.spbstu.ru
Abstract. The paper considers the issues of optimal stabilization of locally optimal systems for controlling nonlinear objects. For the synthesis and qualitative analysis of complex control systems, projection-operator quasi-analytical methods are proposed for solving problems of conditional minimization of linear and quadratic functionals at the intersection of a linear manifold and an ellipsoid (ball). At the same time, linear manifolds allow the use of linearized or nonlinear models that take into account the operators of typical nonlinearities of dynamic objects. Constraints-inequalities in projection optimization operators are taken into account using ellipsoids or balls approximating interval constraints on coordinates and controls. These classes of projection operators allow us to formulate appropriate feedback controls on the states or outputs of dynamic objects.
Keywords: dynamic systems, projection operators, difference operators of dynamic systems, projection optimization operators, transport systems.
Введение
Интеллектуальная транспортная система — это интеллектуальная система, интегрирующая информационные и коммуникационные технологии и средства автоматизации с транспортной инфраструктурой, транспортными средствами и их пользователями. Основное назначение интеллектуальных транспортных систем — повышение безопасности и оптимизация дорожного движения.
Любая интеллектуальная транспортная система базируется на корректной математической модели транспортного потока. В [1] приводится достаточно подробная классификация математических моделей транспортных потоков и выделяется три основных подхода к моделированию: макроскопический, микроскопический и мезоскопический.
В макроскопических моделях принимается, что плотность транспортного потока достаточно велика и размеры потока существенно превышают размеры отдельных элементов транспортной системы. Водители вынуждены придерживаться одинаковых стратегий поведения и подчиняться общим правилам и закономерностям. В такой ситуации транспортные потоки рассматриваться как движение слабосжимаемой жидкости [2]. К макроскопическим моделям относят модели моделью Лайтхил-ла-Уизема-Ричардса (LWR) [2-4], Модель Танака [5], Модель Уизе-ма [3], Модель Пэйна [6] и др. Развитие идеи макроскопических транспортных моделей приведены в работах [7-9].
В микроскопических моделях описывается движение каждого транспортного средства в отдельности [10]. Такой подход позволяет подробно описать всех участников транспортного потока, но требует выделение больших вычислительных мощностей. К микроскопическим моделям относятся модели оптимальной скорости Ньюэлла [11], следования за лидером [12] и модели клеточных автоматов [13, 14]. Примеры применения микроскопических моделей приведены в работах [15, 16].
Мезоскопические модели являются комбинацией макро- и микромоделей. В мезоскопических моделях определяется движение каждого транспортного средства, а взаимодействия между ними рассматривается на макроскопическом уровне [17]. К мезоскопическим моделям относят гравитационную [18] и энтропийную [19] матрицы корреспонденций и модели равновесного распределения [20]. Применение мезоскопических моделей можно посмотреть в работах [15, 21, 22].
Интеллектуальная транспортные динамические системы характеризуются сложностью задач оптимизации в связи с ограничениями на траектории движения и расширенными функциональными требованиями. Методы и алгоритмы управления, синтезированные на основе динамического и математического программирования, описаны в [23-30]. Рассмотренные математические модели транспортных потоков можно «погрузить» в базовые задачи интеллектуально-оптимального управления используя операторы оптимизации в качестве математической программируемой среды, расширяющей приложения базовых задач для задания интеллектуальных программируемых проекционных операторов оптимизации.
В статье сформулированы модели и стратегии управления движением ТДС на основе проекционного метода оптимизации с «погружением» задач синтеза управлений в задачи математического программирования, разрешаемые ортогональными проекционными операторами [31-33].
2. Модели и проекционные операторы программных управлений для стабилизации ТДС
Предлагаемые модели и стратегии управления данного типа относятся к двум классам задач. Первый класс стратегий и моделей реализует координацию динамики движения ТДС на основе оптимального управления автономными объектами с учетом ограничений на координаты и управления. Указанные модели и стратегии реализуются на основе упомянутых выше проекционных операторов оптимизации, задающих операторы управлений для стабилизации программных движений. При этом учитываются ограничения на координаты и управления [31, 33]. Модели и стратегии цифрового управления ТДС можно реализовать в двух формах:
- операторами оптимальной стабилизации программных движений автономных или связанных ТДС при ограничениях на положения;
- оптимальной стабилизацией положения равновесия с заданным убыванием функции А.М. Ляпунова и минимальных затратах на управление.
Математическая форма программируемого качества стабилизации определена функционалами и ограничениями подсистем в классе задач минимизации линейных или квадратичных функционалов на пересечениях семейства программируемых ограничений [31, 33], задающих линеаризованные модели объектов и квадратичные неравенства, ограничивающие динамику цифровых ТДС с соответствующей степенью универсальности.
Второй класс стратегий и моделей реализует автономное управление для выделенной совокупности цифровых ТДС на основе заданной степени убывания функции Ляпунова с минимизацией качества управления для функционалов на траекториях выделенных групп подсистем объектов. Указанная стратегия также реализуется на основе квазианалитических проекционных операторов [31, 33].
Вычисление управлений на основе «погружения» в базовые задачи оптимизации позволяет использовать операторы оптимизации в качестве математической программируемой среды, расширяющей возможности приложений базовых проекционных операторов оптимизации для задач синтеза управлений.
3. Базовые задачи и проекционные операторы для стабилизации программных движений транспортных систем
Задачи и операторы для оптимизации динамики ТДС могут использовать для вычисления оптимальных управлений операторы для решения базовых задач квадратичной условной минимизации вида [31, 33]: вычислить вектор
() = argminx) = ||х - С f2 \Ax = b
e
A e Мих<?, rang A = m, r2 j В задаче (1) составной вектор х = (xk+l
) п+т
согласован с
моделями объектов задач управления, поскольку векторы
X
к+1
>щ
п + т = q,
определяют модель ТДС в виде разностного конечномерного оператора
хк+i = Нхк + Fuk ■
(2)
«Погружение» модели (2) в линейное многообразие Ах = Ь определяет соответствующую структуру линейного многообразия вида [31,33]
Ax±{E,\-F)
= (Хк+1
X
X.
к+1
V ик J
- Нхк = Ь,
(3)
и,,
ж
п+т
где составной вектор
Решение задачи (1) с учетом моделей объектов цифровых ТДС приведено в утверждении.
Утверждение [4, 5]. Пусть (1) является корректной задачей на непустом пересечении линейного многообразия и шара. Тогда:
1. Решение задачи задано выпуклой линейной комбинацией пары г(^+) и гобразов ортогональных проекторов
^ = (1 - 6*) г3 3 ) + 6 * г3 3 ) = Р+Ъ + (1 - 26*) Р°Сг/. (4)
2. Векторы г(^+) и гв (6), принадлежащие пересечению линейного многообразия и шара, определены ортогональными проекторами
г3± = г (±^) = Р+Ъ ± Р°Ср~ 1а1/\ (5)
где операторы и параметры в (5) заданы равенствами
Р° = Еп - Р+А, Р + = АТ (ААТ )-', 7 = (ар )12,
а = r -
||2 II п ||2
P, р = \р0с\\ ■
\\2 r II 112
Тогда для конструктивного задания оптимальных решений задачи (1) необходимо и достаточно, чтобы оптимальные параметры в (5) были регуляризованы, т. е. представлены форме, не требующих введения предикатных соотношений. В частности, параметр с регуляризацией
q
г
= Их, + К ТТ
к и и
в* = Р (Щ ) = 0,5 (Щ -\в0 -1 + 1)е[0, 1],
где
в0 = 0,5(1 -г!~1), г!~1 =а = (Р1а) 1/2, а = г2 - ьт (аат )-1 Ь, р = стр°с,
где функционально обеспечивается его включение в указанный выше интервал. Аналогичной операции подвержены и другие параметры, которые реализуют условия Липшица, необходимые при анализе устойчивости [31,33].
Оптимальная цифровая ТДС с объектом типа (2), (3) и квазианалитическими операторами оптимизации (4), (5), задающими решения задач типа (1) - (3), c квадратичными функционалами, определяется моделью динамики в виде задачи Коши для разностного нелинейного оператора [31, 33]
хк+1 = Ихк + К Тик* (хк ) =
~РАсНхк + (1 - 2вк*)Р°Скр-та1:2 ], = (4)
где параметр оптимальности 6к*, определяющий минимальные отклонения координат состояний от программных воздействий С = (С С) , имеет вид
К = рв (0ок)е [0,1], 0„* = агвшш[(р{в) = ||(1 - + вг\ - СкЦ} е Ж. (5)
Обобщения задач оптимизации и их аналогов, а также проекционных операторов далее могут быть ориентированы на задачи синтеза систем управления двух классов:
1. Системы обобщенной оптимальной «стабилизации положения равновесия» ТДС для координат состояний на основе минимизации квадратичных функционалов и ограничений, которые программируются в математической форме в базовой задаче типа (1). Системы этого класса предназначены для стабилизации координат объектов в стационарных положениях равновесия.
2. Системы управления ТДО с оптимальной «программируемой динамикой» синтезируются на основе минимизации квадратичных функционалов с линейными ограничениями задачи типа (1) - (3). Эти системы минимизируют отклонения координат и управлений от программных вектор-функций. Числовые векторы программных заданий для координат и управлений определяют целевые значения координат и управлений
как заданные вектор-функции дискретного времени Ск £ Ки, к е N.
Условия устойчивости указанных классов цифровых ТДС с операторами объектов типа (4) с проекционными операторами управления, разрешающими задачи типа (1), сформулированы в [31, 33].
Таким образом, «принцип математического программирования целей и ограничений» для синтеза цифровых ТДС, реализованный в конечномерных пространствах, определяет обобщенные требования к системам управления при сохранении класса операторов оптимизации. При этом управления могут быть вычислены на основе базовых проекционных методов для задач с квадратичным функционалом качества.
Обобщенная задача (5), (6) может быть решена оператором минимизации типа (1) [26]. Можно также заметить, что рассмотренная методика обобщена на случай применения моделей ТДО в виде дифференциальных операторов [33].
Пример. Представлена формализация задачи вычисления векторов управлений на основе проекционных операторов для стабилизации относительного движения двух транспортных объектов. Требуется вычислить управления для обеспечения двух объектов с заданными дистанциями. Уравнения и проекционные операторы ТДС формируются из уравнений отдельных объектов. Тогда динамика движения группы ТДО, управляемых по Р. Калману, например, для продольной оси может быть определена задачей Коши для разностных операторов
4+1 = НА + , х0 = хог-, 1 =1,2 (6)
Пусть для объектов введено общее для ТДС программное управление С и оптимизирующие управления и'к, с учетом которых результирующее управление примет вид
<+1 = С + и[, г = 1,2. (7)
Тогда задача синтеза формулируется следующим образом: вычислить векторы управлений, обеспечивающие минимум квадратичного функционала отклонений от программных заданий по координатам и управлениям в виде вектора С на траекториях объектов при ограничениях на их относительные положения, задаваемые функционалом и ограничениями задачи оптимизации.
Математические модели объектов ТДС с учетом изложенных выше требований могут быть «погружены» в линейные ограничения задачи (1) так, что вектор управлений является решением задачи оптимизации: вычислить векторы г , которые минимизируют заданный функционал ка-
чества при ограничениях так, что обобщенный вектор «координат х^+1 * и
управлений и » определен равенством
к*
z
к*
X
= (
А £
к+1,*
и
) пхд
*)Т = а^тт zk ) = гащ а = п, 2тк2к < г21
zí,
е
С
= К.
(8)
при ограничениях в (8), которые для сформулированной на основе «погружения» задачи управления имеют следующий вид
Г X 1 Хк +1
(Е1 0 - ъ 0 0 1 Х 2 Хк +1 Г ях 1
0 е2 0 - f2 0 X и! = н2 Хк
и -е2 0 0 е ик 12 V Хк +1 J
Ч-
(9)
Ограничения (9) включают модели двух динамических объектов транспортной системы с прогнозом векторами состояний х'к+1,1 = 1,2, для отдельных объектов, а также требования к стабилизации относительного движения указанных объектов, заданного вектором х\:+] - х2к+1 = соотношениях (9).
в
Выводы
1. Предлагаемые результаты можно использовать для синтеза оптимальных управлений транспортных динамических систем с управляемыми по Р. Калману дискретными объектами, которые являются линейными по фазовым координатам и нелинейными по управлениям в связи с ограничениями на управления.
2. Применение предлагаемого метода в силу структуры проекционных операторов оптимизации позволяет выполнить синтез нелинейных локально оптимальных управлений, поскольку не требует вычисления приращений или производных функции Ляпунова в силу моделей нелинейных объектов, затрудняющих разрешение необходимых условий динамического программирования в виде уравнения Р. Беллмана.
3. Проекционный метод синтеза может быть использован для оптимизации нелинейных транспортных и энергетических систем, а также в других приложениях.
2
2
Ч
Список литературы
1.van Wageningen-Kessels Femke, Hoogendoorn Serge P., Vuik Kees. Hans van Lint. Traffic Flow Modeling: a Genealogy // EURO Journal on Transportation and Logistics, 2015. - 4(4). - Pp. 445-473.
2. Lighthill M.H., Witham G.B. On kinematic waves: A theory of traffic flow on long crowded roads // Proc. Royal. Soc. Ser. A. 1955, 229(1178). - Pp. 317-345.
3. Richards P. I. ShockWaves on the Highway // Oper. Res., 1956. - 6. - Pp. 42-51.
4. Uizem Dzh. Lineynyye i nelineynyye volny. Publisher: Moscow, Mir, 1977.
5. Inose KH.; Khamada T. Upravleniye dorozhnym dvizheniyem. Publisher: Moscow, Transport,1983.
6. Payne H. J. Title of Presentation. Models of freeway traffic and control // In: Bekey, G.A., Ed., Mathematical Models of Public Systems, Simulation Council, La Jolla, 1971. - 1. - Pp. 51-56.
7. Ciotir I.; Fayad R.; Forcadel N.; Tonnoir N. A non-local macroscopic model for traffic flow // ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 2021. - 2. -Pp. 689-711.
8. Piacentini G.; Goatin P.; Ferrara, A. A macroscopic model for platooning in highway traffic // SIAM Journal on Applied Mathematics, 2020. - 80(1). -Pp. 639-656.
9. D. Frejo J.R., Papamichail I., Papageorgiou M., De Schutter B. Macroscopic modeling of variable speed limits on freeways // Transportation Research Part C: Emerging Technologies, 2019. - 100. - Pp. 15-33.
10. Ligthill M.J.; Whitham F.R.S. On kinetic waves II. A theory of traffic flow on crowded roads // Proc.of the Royal Society Ser.A., 1995. - 229(1178). - Pp. 317-245.
11. Newell G. F. Nonlinear effects in the dynamics of car - following // Oper. Res., 1961. - 9. - Pp. 209-229.
12. Helbing D. Traffic and related self-driven many particle systems // Reviews of modern physics, 2001. - 73(4). - Pp. 1067-1141.
13. Cremer M., Ludwig J. A fast simulation model for traffic flow on the basis of Boolean operations // Math. Comp. Simul., 1986. - 28. - Pp. 297-303.
14. Nagel K.; Schreckenberg M. A cellular automation model for freeway traffic. // Phys. I France, 1992. - 2. - Pp. 2221-2229.
15. Ferrara A.; Sacone S.; Siri S. Microscopic and mesoscopic traffic models // Advances in Industrial Control, 2018. - 9783319759593, 113-143.
16. Cardaliaguet P.; Forcadel N. From heterogeneous microscopic traffic flow models to macroscopic models // SIAM Journal on Mathematical Analysis, 2021. - 53(1). -Pp. 309-322.
17. Branston D. Models of Single Lane Time Headway Distributions // Transportation Science, 1976. - 10(2). - Pp. 125-148.
18. Reilly W. J. The law of retail gravitation. - Publisher: Knickerbocker Press, New York, 1931.
19. Wilson A.G. A statistical theory of spatial distribution models // Transportation Research, 1967. - 1. - 253-270.
20. Wardrop J.G. Some theoretical aspects of road traffic research // Proc. Institution of Civil Engineers II. 1952. - 1. - Pp. 325-378.
21. Shvetsov V.I. Matematicheskoye modelirovaniye transportnykh potokov // Avtomatika i Telemekhanika, 2003. - 11. - Pp. 3-46.
22. Tesselkin A.; Khabarov V. Estimation of Origin-Destination Matrices Based on Markov Chains // Procedia Engineering. 2017. - 178. - Pp. 107-116.
23. Bryson A.E.; Yu-Chi Ho Applied Optimal Control. - Publisher: Taylor Francis, New York, 1975.
24. Moiseev N.N. Elementy teorii optimal'nykh system. - Publisher: Science, Moscow, 1975.
25. Astrom K.J., Wittenmark B. Computer Controlled Systems: Theory and Design. -Publisher: Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, 1984.
26. Stengel R.F. Optimal Control and Estimation. - Publisher: Dover Publications Inc., New York, 1994.
27. Golub G.H., Van Loan C.F. Matrix Computations. - Publisher: The John Hopkins Press Ltd, London, 1996.
28. Kirk D.E. Optimal Control Theoriy. - Publisher: Dover Publications Inc., New York, 1998.
29. Pedregal P. Optimal feedback control, linear first-order PDE systems, and obstacle problems // Journal of the Franklin Institute, 2017. - 354(8). - Pp. 3225-3236.
30. Afanas'yev V.N. Optimal'noye upravleniye dvizheniyem. - Publisher: FIZMAT-LIT, Moscow, 2005.
31. Козлов В.Н. Негладкие системы, операторы оптимизации и устойчивость энергообъединений. - СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского политех-нического университета, 2012. - 177 с.
32. Kozlov V.N. The Metod of Minimization of Linear Functionals Based on Com-pakt Sets // Proceedings of the 12th International workshop on computer science and information technologies (CSIT 2010), Moscow-Saint-Petersburg, Russia, 2010. Volume 2. -Pp. 157-159.
33. Козлов В. Н. Проекционный метод оптимизации оптимальных ограниченных управлений динамических систем энергетики. - СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского Политехн. университета Петра Великого, 2019. - 170 с.
УДК 330.1
doi:10.18720/SPBPU/2/id23-48
Итс Татьяна Александровна 1,
доцент, канд. техн. наук; Сурина Алла Валентиновна 2,
доцент, канд. техн. наук, доцент;
УПРАВЛЕНИЕ УСТОЙЧИВЫМ РАЗВИТИЕМ МЕГАПОЛИСА МЕТОДАМИ СИСТЕМНОЙ ДИНАМИКИ
1, 2
' Россия, Санкт-Петербург, ФГБОУ ВО «Санкт-Петербургский
политехнический университет Петра Великого»,
1 2
its_ta@spbstu.ru, surina_av@spbstu.ru
Аннотация. Концепция «умного города» — одна из наиболее востребованных моделей управления современным мегаполисом как сложной социо-технической системой. Одним из ключевых элементов данной концепции является рациональное управление процессом миграции. Предложен подход к прогнозированию изменения численности различных групп населения мегаполиса, которые определяются в соответствии с такими критериями как возраст, пол, принадлежность к различным миграционным потокам (антропотокам). С практической точки зрения наиболее перспективным является использование имитационных моделей миграционных
