Секция 2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА И УПРАВЛЕНИЯ
УДК 517.5
Козлов Владимир Николаевич1,
д-р техн. наук, профессор, Ефремов Артём Александрович ,
канд. физ.-мат. наук, доцент
ПРОЕКЦИОННЫЙ МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ ДИНАМИКИ УПРАВЛЕНИЯ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ
Россия, Санкт-Петербург,
Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого,
1 2 v1945kozlov@yandex.ru, eartm@mail.ru
Аннотация. В работе представлено обобщение проекционного метода квадратичной локально-оптимальной стабилизации на случай пространства векторных функций.
Ключевые слова: оптимальная стабилизация, проекционные методы, квадратичная локально-оптимальная стабилизация
Vladimir N. Kozlov1, D-r of Technical. Sc., Professor, Аrtyom А. Efremov , Cand. Ph.-mat. Sc, Assistant Professor
PROJECTIONAL METHOD OF OPTIMIZATION OF CONTROL DYNAMICS IN FINITE-DIMENSIONAL AND FUNCTIONAL SPACES
Russia, Saint-Petersburg,
Peter the Great Saint-Petersburg Polytechnic University, 12 v1945kozlov@yandex.ru, eartm@mail.ru
Abstract. The paper presents a generalization of the projection method of quadratic locally optimal stabilization for the case of a space of vector functions.
Keywords: optimal stabilization, projection methods, quadratic local optimal stabilization
Задачи локально линейной и квадратичной оптимальной стабилизации в конечномерных и функциональных пространствах на основе
проекционного метода исследованы в ряде работ [1, 2, 4, 5], а также в цикле других исследований. В данной статье сформулирована задача квадратичной локально оптимальной программной стабилизации в функциональном пространстве, из которой следует задача квадратичной локально оптимальной стабилизации положения равновесия динамической системы.
1. Постановка задачи. Пусть динамика управляемого объекта в пространстве вектор-функций Я" (Ь2[0,Т ]) представлена линейным диф-ференци-альным оператором
х(г) = Ах(г) + Ви(г), х(г0 ) = х0, (1)
где класс вектор-функций задан равенствами
х(г)е Я"(Ь2[0,т]), и(г)е Ят(Ь2[о,Т]),
числовые матрицы объекта управления (1) принадлежат пространствам
А е Япхп, В е Япхт.
Пусть для матриц и выполнен, например, ранговый критерий управляемости по Р. Калману, гарантирующий существование непустого множества управлений, стабилизирующих исследуемый объект управления. Другими словами, указанные матрицы образуют асимптотически стабилизируемую пару.
Требуется синтезировать вектор оптимальных управлений в заданном классе функций для оптимальной стабилизации положения равновесия данной системы в смысле минимума заданного локального функционала
1/ Ч 2
2(г)11ь2[0,т]е Я (2)
который задается на обобщенном векторе
2(г) □ [х(г)| и(г)]е Яп+т(Ь2[0,т]),
который включает вектор координат состояний и управлений модели динамического объекта типа (1).
2. Общая постановка задач синтеза локально оптимальных управлений. Для синтеза стабилизирующих управлений будет использован обратный оператор для оператора (1) в виде интегрального оператора Коши, который определяет прогнозы оптимизируемых координат состояний и управлений на основе решения задачи для оператора (1) в виде
X (г ) = Л0 + (г -т) Бы (т) йт.
(3)
Задача синтеза формулируется на основе минимизации функцио-
нала
2
Н 2 (г) - С (г) 11(,2[0.Г]) = |0 [г(г) - С (г)]Т[г(г) - С (г)] Л (4)
при ограничениях типа равенств и неравенств
II II 2
Аг (г)=Ь (') • II2 «11811.М)£ г 2-
(5)
которые в Яп (Ь2 [ 0, т ]) определены пересечением линейного многообразия и шара.
При этом в пространстве обобщенных векторов г(г) = [х(г)|ы(г)]те яп+т(Ь2[0,т])
линейное многообразие определено следующим соотношением
Аг(г) = А X(г) -\^еА(г-т)Бы(т)йт
= еАгх0 = Ь (г)
(6. а)
конечномерного пространство вектор-функций.
Шар ограничений-неравенств этого пространства определен квадратичным неравенством
(011 V (Ь2[0,т])= £ 2 (г) 2 (г) Г 2 <¥- (6-5)
г
Тогда квадратичный функционал качества, определенный на обобщенных векторах для задачи локально оптимальной программной стабилизации будет иметь вид
(р = \\г( г)-Сг (г)|
кп+т (Ь2 [0,т ])
[ X (г) |ы (т) ]т - Схы (г)
кп+т (Ь2[0,т ])
, (7. а)
где С2 (г) = Схы ( г)е Яп (Ь2 [0,т])- целевой стабилизируемый обобщенный
вектор задачи локально оптимальной программной стабилизации. Если вектор-функция программного воздействия удовлетворяет условию
Сг ( г) = Схы (г) = 0п+т е яп+т(Ь2[0,т]) (7.б)
то задача (3) преобразуется из «задачи квадратичной программной стабилизации» в задачу «оптимальной стабилизации нулевого положения равновесия» динамического объекта (1) для системы с обратной связью.
2
2
Таким образом, на основе соотношений (3) - (7) можно формулировать две основные задачи вычисления управлений:
1. Задача синтеза управлений для локально оптимальной системы программной стабилизации в дискретно-непрерывном времени, которая может конструироваться в виде задач конечномерной (аппроксимирующей) оптимизации и для этого варианта эта задача сформулирована на основе соотношений типа (3) - (7) и решена далее в п. 3.
2. Задачи вычисления управлений для локальной или интервальной оптимальной стабилизации нулевого положения или заданного программного вектора С2 (г), которые также конструируются на основе соотношений (3) - (7) в бесконечномерном пространстве для стабилизации нулевого положения равновесия, анализируемые в п. 4.
На основании целей задачи локально оптимальной стабилизации формулируется задача синтеза: вычислить оптимальный обобщенный вектор типа 2 (г ), определенный равенством (2), заданный на траекториях объекта (3) при ограничениях (4) в форме, которые в ^п+т (Ь2 [0,т]) имеют вид (6).
3. Вычисление оптимальных управлений на основе конечномерных проекторов оптимизации. Оптимальные управления вычисляются на основе оператора объекта, который для кусочно-постоянных управлений
и с учетом свойства аддитивности интеграла в (3) принимает вид
В результате задача синтеза как задача конечномерной условной минимизации имеет вид: вычислить счетное множество управлений в виде кусочно-постоянных вектор-функций и*( рк), которые на дискретном интервале прогноза [0, р] е N, обеспечивают минимум функционала
х(рк)-А"1 (еАрк -Е")и(г,) = еАркх0, ||2(рк)||<г2 }, (10)
(8)
(9)
и*(рк) = тиа^тт{^ = || 2(рк)- С(рЮЦ*п(Ь2[0,т]) |А2(рк) = Ь(2(рк)),
i Т-. г, rax(n+m) /- r-
где «фильтрующая» матрица Tu е R у ' «выделяет» из обобщенного вектора z (ph) управлений u*( ph).
Конечномерная задача условной минимизации (10) для стабилизации вектора программных воздействий может быть решена на основе сведения к экстремальной задаче и проекционных операторов конечномерной минимизации типа (12. а) и (12. б), рассмотренных в [3, 4].
Как отмечено выше, для вычисления оптимальных управлений будут использованы квазианалитические операторы оптимизации, доставляющие решения в виде конечных соотношений. Оператор минимизации для решения конечномерной неклассической экстремальной задачи имеет вид: вычислить вектор
x* = argmin{ j (x) = \\x - C\\ 21 Ax = b, A е Rmxn, rang A = m, xTx < r2 }е Rn, (11)
где вектор программных воздействий управлений отделен от нуля, т.е. удовлетворяет неравенству
0 <£ <||C| 12 <d < r2 - C
разделяющему ресурсы системы для программной и стабилизирующей составляю-щих управления. В задаче (10) функционал качества
||x - C||2 =(x - C )T (x - C )е R задан квадратом евклидовой нормы, а допустимое множество определено непустым пересечением линейного многообразия и шара, аппроксимирующего паралле-лепипед (шар) [3, 4].
Утверждение о квазианалитическом проекционном операторе квадратичной оптимизации для неклассической задачи (11). Пусть (11) -корректная задача и пересечение линейного многообразия и шара - не пусто и выполнены условия:
1. Решение задачи оптимизации (11) в силу «принципа граничных лагранжевых экстремумов» и «сужения допустимой области» представлено выпуклой линейной комбинацией образов для регуляризован-ных ортогональных проекторов [1 - 5]
x* = (1 -q*) x3 (h+) + q* x3 (h-) = = P+b (t) + (1 - 2q*) P°C (t )h. (12.а)
2. Лагранжевы векторы x3 (h+) и x3 (h-) в (12.а), принадлежащие пересечению линейного многообразия (подпространства) и сферы как границе шара в (11), определены ортогональными проекторами
х± = х3 (±7) = Р+Ь (г) ± Р°С (г) р(а/р )12,
(12.5)
где операторы имеют вид
Р + = Ат(ААт)-1, Р° = Еп -Р+А, 7] = (а/р) Р С
12
Р =
а = г -
Р+Ь
, Р =
Р 0С
Тогда, как показано в [4, 5, 8], для оптимальности решения (12.а), (12.5) необходимо и достаточно, чтобы оптимальный параметр в (12) был задан равенством
в* = Р (0О ) = 0,5 (\0О\-\0О -1 + 1)е[0, 1],
(12.в)
где
00 = 0,5(1 - 7"1), 7"1 =а = (р/а)1/2, а = г2 - Ьт (ААт )-1 Ь, р = СтР°С.
Операторы, сформулированные в утверждении, далее используются для проекционно-операторного представления задач оптимальной стабилизации положения равновесия или программного задания, исследуемых в данной работе.
4. К вычислению управлений для задачи вычисления локально оптимальных стабилизирующих управлений положения равновесия. В этом случае на основе соотношений (3) - (7) необходимо использовать функцию Лагранжа, которая для программной оптимальной стабилизации имеет вид [5, 8]
Ь =
II 2
(г) , +1 х (г)
-}И(г-г)Ви(г)Сг-еАгх0 +1(|| 7(г)|| 2 - г2). (13)
Для задачи локально оптимальной стабилизации положения равновесия функционал качества следует из (11.а) при С (г) = 0. Как показано в [4, 5] вектор оптимальных управлений вычисляется оператором, следующим из (12.а), (12.б), имеющим вид
х
= Р+Ь (г),
(14)
поскольку второе слагаемое в равенстве (12.б) равно нулю в силу С (г ) = 0.
Заключение. Таким образом, сформулированы принципы вычисления оптимальных управлений в пространствах «состояний-
2
2
2
7
управлений» для объектов с моделями типа (1) или (3) для задач оптимальной стабилизации положения равновесия и задач оптимальной стабилизации программных воздействий. В отличии от классических методов оптимизации оптимальные управления вычислены на основе решения задач математического программирования, которые представлены в квазианалитических проекционных проекторов, позволяющих выполнить качественный анализ динамики систем с обратной связью.
Результаты исследований использованы для оптимизации систем управления частотой и активной мощностью энергетических объединений, для управления передачей углеводородов по линиям магистральных трубопроводных сетей, а также при исследовании процессов многослойной теплопроводности в твердых многослойных объектах.
Список литературы
1. Козлов В. Н. Метод нелинейных операторов в автоматизированном проектировании динамических систем. - Л.: Изд-во Ленингр. гос. ун-та им. А. А. Жданова, 1986. - 166 с.
2. Козлов В. Н., Куприянов В. Е., Заборовский В. С. Вычислительные методы синтеза систем автоматического управления. - Л.: Изд-во Ленингр. гос. ун-та им. А. А. Жданова, 1989. - 220 с.
3. Kozlov V. N. The Metod of Minimization of Linear Functionals Based on Com-pakt Sets // Proceedings of the 12th international workshop on computer science and information technologies (CSIT 2010), Russia, Moscow-Saint-Petersburg, Russia, 2010. Volume 2. pp. 157-159.
4. Козлов В. Н. Негладкие системы, операторы оптимизации и устойчивость энергообъединений. - СПб: Изд-во Санкт-Петербургского политехнического уни-верси-тета, 2012. 177 с.
5. Козлов В. Н. Проекционный метод оптимизации оптимальных ограниченных управлений динамических систем. - СПб: Издательско-полиграфическая ассоциация высших учебных заведений, 2018. - 190 с.
6. Козлов В. Н. Операторы минимизации линейных и негладких функционалов на компактных множествах // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки, N 1(165), 2013. C. 164 - 170.
7. Козлов В. Н. Операторы минимизации нормы на компактных множествах евклидова пространства // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки, N 3 (167), 2013.
8. Козлов В. Н., Ефремов А. А. Введение в функциональный анализ. - СПб: Издательско-полиграфическая ассоциация вузов, 2018. - 79 с.