Проекционный метод оптимизации динамики управления в конечномерных и функциональных пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция 2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА И УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.5

Козлов Владимир Николаевич1,

д-р техн. наук, профессор, Ефремов Артём Александрович ,

канд. физ.-мат. наук, доцент

ПРОЕКЦИОННЫЙ МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ ДИНАМИКИ УПРАВЛЕНИЯ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ

ПРОСТРАНСТВАХ

Россия, Санкт-Петербург,

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого,

1 2 v1945kozlov@yandex.ru, eartm@mail.ru

Аннотация. В работе представлено обобщение проекционного метода квадратичной локально-оптимальной стабилизации на случай пространства векторных функций.

Ключевые слова: оптимальная стабилизация, проекционные методы, квадратичная локально-оптимальная стабилизация

Vladimir N. Kozlov1, D-r of Technical. Sc., Professor, Аrtyom А. Efremov , Cand. Ph.-mat. Sc, Assistant Professor

PROJECTIONAL METHOD OF OPTIMIZATION OF CONTROL DYNAMICS IN FINITE-DIMENSIONAL AND FUNCTIONAL SPACES

Russia, Saint-Petersburg,

Peter the Great Saint-Petersburg Polytechnic University, 12 v1945kozlov@yandex.ru, eartm@mail.ru

Abstract. The paper presents a generalization of the projection method of quadratic locally optimal stabilization for the case of a space of vector functions.

Keywords: optimal stabilization, projection methods, quadratic local optimal stabilization

Задачи локально линейной и квадратичной оптимальной стабилизации в конечномерных и функциональных пространствах на основе

проекционного метода исследованы в ряде работ [1, 2, 4, 5], а также в цикле других исследований. В данной статье сформулирована задача квадратичной локально оптимальной программной стабилизации в функциональном пространстве, из которой следует задача квадратичной локально оптимальной стабилизации положения равновесия динамической системы.

1. Постановка задачи. Пусть динамика управляемого объекта в пространстве вектор-функций Я" (Ь2[0,Т ]) представлена линейным диф-ференци-альным оператором

х(г) = Ах(г) + Ви(г), х(г0 ) = х0, (1)

где класс вектор-функций задан равенствами

х(г)е Я"(Ь2[0,т]), и(г)е Ят(Ь2[о,Т]),

числовые матрицы объекта управления (1) принадлежат пространствам

А е Япхп, В е Япхт.

Пусть для матриц и выполнен, например, ранговый критерий управляемости по Р. Калману, гарантирующий существование непустого множества управлений, стабилизирующих исследуемый объект управления. Другими словами, указанные матрицы образуют асимптотически стабилизируемую пару.

Требуется синтезировать вектор оптимальных управлений в заданном классе функций для оптимальной стабилизации положения равновесия данной системы в смысле минимума заданного локального функционала

1/ Ч 2

2(г)11ь2[0,т]е Я (2)

который задается на обобщенном векторе

2(г) □ [х(г)| и(г)]е Яп+т(Ь2[0,т]),

который включает вектор координат состояний и управлений модели динамического объекта типа (1).

2. Общая постановка задач синтеза локально оптимальных управлений. Для синтеза стабилизирующих управлений будет использован обратный оператор для оператора (1) в виде интегрального оператора Коши, который определяет прогнозы оптимизируемых координат состояний и управлений на основе решения задачи для оператора (1) в виде

X (г ) = Л0 + (г -т) Бы (т) йт.

(3)

Задача синтеза формулируется на основе минимизации функцио-

нала

2

Н 2 (г) - С (г) 11(,2[0.Г]) = |0 [г(г) - С (г)]Т[г(г) - С (г)] Л (4)

при ограничениях типа равенств и неравенств

II II 2

Аг (г)=Ь (') • II2 «11811.М)£ г 2-

(5)

которые в Яп (Ь2 [ 0, т ]) определены пересечением линейного многообразия и шара.

При этом в пространстве обобщенных векторов г(г) = [х(г)|ы(г)]те яп+т(Ь2[0,т])

линейное многообразие определено следующим соотношением

Аг(г) = А X(г) -\^еА(г-т)Бы(т)йт

= еАгх0 = Ь (г)

(6. а)

конечномерного пространство вектор-функций.

Шар ограничений-неравенств этого пространства определен квадратичным неравенством

(011 V (Ь2[0,т])= £ 2 (г) 2 (г) Г 2 <¥- (6-5)

г

Тогда квадратичный функционал качества, определенный на обобщенных векторах для задачи локально оптимальной программной стабилизации будет иметь вид

(р = \\г( г)-Сг (г)|

кп+т (Ь2 [0,т ])

[ X (г) |ы (т) ]т - Схы (г)

кп+т (Ь2[0,т ])

, (7. а)

где С2 (г) = Схы ( г)е Яп (Ь2 [0,т])- целевой стабилизируемый обобщенный

вектор задачи локально оптимальной программной стабилизации. Если вектор-функция программного воздействия удовлетворяет условию

Сг ( г) = Схы (г) = 0п+т е яп+т(Ь2[0,т]) (7.б)

то задача (3) преобразуется из «задачи квадратичной программной стабилизации» в задачу «оптимальной стабилизации нулевого положения равновесия» динамического объекта (1) для системы с обратной связью.

2

2

Таким образом, на основе соотношений (3) - (7) можно формулировать две основные задачи вычисления управлений:

1. Задача синтеза управлений для локально оптимальной системы программной стабилизации в дискретно-непрерывном времени, которая может конструироваться в виде задач конечномерной (аппроксимирующей) оптимизации и для этого варианта эта задача сформулирована на основе соотношений типа (3) - (7) и решена далее в п. 3.

2. Задачи вычисления управлений для локальной или интервальной оптимальной стабилизации нулевого положения или заданного программного вектора С2 (г), которые также конструируются на основе соотношений (3) - (7) в бесконечномерном пространстве для стабилизации нулевого положения равновесия, анализируемые в п. 4.

На основании целей задачи локально оптимальной стабилизации формулируется задача синтеза: вычислить оптимальный обобщенный вектор типа 2 (г ), определенный равенством (2), заданный на траекториях объекта (3) при ограничениях (4) в форме, которые в ^п+т (Ь2 [0,т]) имеют вид (6).

3. Вычисление оптимальных управлений на основе конечномерных проекторов оптимизации. Оптимальные управления вычисляются на основе оператора объекта, который для кусочно-постоянных управлений

и с учетом свойства аддитивности интеграла в (3) принимает вид

В результате задача синтеза как задача конечномерной условной минимизации имеет вид: вычислить счетное множество управлений в виде кусочно-постоянных вектор-функций и*( рк), которые на дискретном интервале прогноза [0, р] е N, обеспечивают минимум функционала

х(рк)-А"1 (еАрк -Е")и(г,) = еАркх0, ||2(рк)||<г2 }, (10)

(8)

(9)

и*(рк) = тиа^тт{^ = || 2(рк)- С(рЮЦ*п(Ь2[0,т]) |А2(рк) = Ь(2(рк)),

i Т-. г, rax(n+m) /- r-

где «фильтрующая» матрица Tu е R у ' «выделяет» из обобщенного вектора z (ph) управлений u*( ph).

Конечномерная задача условной минимизации (10) для стабилизации вектора программных воздействий может быть решена на основе сведения к экстремальной задаче и проекционных операторов конечномерной минимизации типа (12. а) и (12. б), рассмотренных в [3, 4].

Как отмечено выше, для вычисления оптимальных управлений будут использованы квазианалитические операторы оптимизации, доставляющие решения в виде конечных соотношений. Оператор минимизации для решения конечномерной неклассической экстремальной задачи имеет вид: вычислить вектор

x* = argmin{ j (x) = \\x - C\\ 21 Ax = b, A е Rmxn, rang A = m, xTx < r2 }е Rn, (11)

где вектор программных воздействий управлений отделен от нуля, т.е. удовлетворяет неравенству

0 <£ <||C| 12 <d < r2 - C

разделяющему ресурсы системы для программной и стабилизирующей составляю-щих управления. В задаче (10) функционал качества

||x - C||2 =(x - C )T (x - C )е R задан квадратом евклидовой нормы, а допустимое множество определено непустым пересечением линейного многообразия и шара, аппроксимирующего паралле-лепипед (шар) [3, 4].

Утверждение о квазианалитическом проекционном операторе квадратичной оптимизации для неклассической задачи (11). Пусть (11) -корректная задача и пересечение линейного многообразия и шара - не пусто и выполнены условия:

1. Решение задачи оптимизации (11) в силу «принципа граничных лагранжевых экстремумов» и «сужения допустимой области» представлено выпуклой линейной комбинацией образов для регуляризован-ных ортогональных проекторов [1 - 5]

x* = (1 -q*) x3 (h+) + q* x3 (h-) = = P+b (t) + (1 - 2q*) P°C (t )h. (12.а)

2. Лагранжевы векторы x3 (h+) и x3 (h-) в (12.а), принадлежащие пересечению линейного многообразия (подпространства) и сферы как границе шара в (11), определены ортогональными проекторами

х± = х3 (±7) = Р+Ь (г) ± Р°С (г) р(а/р )12,

(12.5)

где операторы имеют вид

Р + = Ат(ААт)-1, Р° = Еп -Р+А, 7] = (а/р) Р С

12

Р =

а = г -

Р+Ь

, Р =

Р 0С

Тогда, как показано в [4, 5, 8], для оптимальности решения (12.а), (12.5) необходимо и достаточно, чтобы оптимальный параметр в (12) был задан равенством

в* = Р (0О ) = 0,5 (\0О\-\0О -1 + 1)е[0, 1],

(12.в)

где

00 = 0,5(1 - 7"1), 7"1 =а = (р/а)1/2, а = г2 - Ьт (ААт )-1 Ь, р = СтР°С.

Операторы, сформулированные в утверждении, далее используются для проекционно-операторного представления задач оптимальной стабилизации положения равновесия или программного задания, исследуемых в данной работе.

4. К вычислению управлений для задачи вычисления локально оптимальных стабилизирующих управлений положения равновесия. В этом случае на основе соотношений (3) - (7) необходимо использовать функцию Лагранжа, которая для программной оптимальной стабилизации имеет вид [5, 8]

Ь =

II 2

(г) , +1 х (г)

-}И(г-г)Ви(г)Сг-еАгх0 +1(|| 7(г)|| 2 - г2). (13)

Для задачи локально оптимальной стабилизации положения равновесия функционал качества следует из (11.а) при С (г) = 0. Как показано в [4, 5] вектор оптимальных управлений вычисляется оператором, следующим из (12.а), (12.б), имеющим вид

х

= Р+Ь (г),

(14)

поскольку второе слагаемое в равенстве (12.б) равно нулю в силу С (г ) = 0.

Заключение. Таким образом, сформулированы принципы вычисления оптимальных управлений в пространствах «состояний-

2

2

2

7

управлений» для объектов с моделями типа (1) или (3) для задач оптимальной стабилизации положения равновесия и задач оптимальной стабилизации программных воздействий. В отличии от классических методов оптимизации оптимальные управления вычислены на основе решения задач математического программирования, которые представлены в квазианалитических проекционных проекторов, позволяющих выполнить качественный анализ динамики систем с обратной связью.

Результаты исследований использованы для оптимизации систем управления частотой и активной мощностью энергетических объединений, для управления передачей углеводородов по линиям магистральных трубопроводных сетей, а также при исследовании процессов многослойной теплопроводности в твердых многослойных объектах.

Список литературы

1. Козлов В. Н. Метод нелинейных операторов в автоматизированном проектировании динамических систем. - Л.: Изд-во Ленингр. гос. ун-та им. А. А. Жданова, 1986. - 166 с.

2. Козлов В. Н., Куприянов В. Е., Заборовский В. С. Вычислительные методы синтеза систем автоматического управления. - Л.: Изд-во Ленингр. гос. ун-та им. А. А. Жданова, 1989. - 220 с.

3. Kozlov V. N. The Metod of Minimization of Linear Functionals Based on Com-pakt Sets // Proceedings of the 12th international workshop on computer science and information technologies (CSIT 2010), Russia, Moscow-Saint-Petersburg, Russia, 2010. Volume 2. pp. 157-159.

4. Козлов В. Н. Негладкие системы, операторы оптимизации и устойчивость энергообъединений. - СПб: Изд-во Санкт-Петербургского политехнического уни-верси-тета, 2012. 177 с.

5. Козлов В. Н. Проекционный метод оптимизации оптимальных ограниченных управлений динамических систем. - СПб: Издательско-полиграфическая ассоциация высших учебных заведений, 2018. - 190 с.

6. Козлов В. Н. Операторы минимизации линейных и негладких функционалов на компактных множествах // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки, N 1(165), 2013. C. 164 - 170.

7. Козлов В. Н. Операторы минимизации нормы на компактных множествах евклидова пространства // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки, N 3 (167), 2013.

8. Козлов В. Н., Ефремов А. А. Введение в функциональный анализ. - СПб: Издательско-полиграфическая ассоциация вузов, 2018. - 79 с.