Математические модели управления динамикой устойчивого развития в условиях глобализации Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ю. С. Васильев, В. Н. Козлов, М. П. Федоров

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИКОЙ УСТОЙЧИВОГО РАЗВИТИЯ В УСЛОВИЯХ ГЛОБАЛИЗАЦИИ

Глобализация мирового сообщества по совокупности природно-экологических [1, 2], возобновляющихся [2], энергетических [2, 3], экономических, финансовых, кадровых, интеллектуальных, социальных и других видов ресурсов требует координации внутригосударственного и межгосударственного управления ими. Для синтеза методов координации устойчивого развития ресурсами необходимы математические модели, целевые условия и ограничения, описывающие динамику взаимодействия по ресурсам. Далее рассматриваются вопросы постановки и математические формулировки задачи координации на основе локально-оптимальных стратегий, приближенных моделей связи между ресурсами и управлениями с учетом ограничений.

Постановка задач координации. Постановка задачи координации определяется совокупностью требований к классам используемых моделей, целевым функционалам и ресурсным ограничениям. Математические модели проблем взаимодействия по перечисленным группам ресурсов могут быть сформулированы на основе требований к универсальности представления целевых условий, моделей влияния управлений (координации) на ресурсы государств-участников процесса и ограничений по ресурсам. Данным требованиям удовлетворяют модели, представленные в виде дифференциальных или разностных уравнений, описывающих динамику стратегий государств.

Координирующие управления должны обеспечивать требования, заданные решениями задач математического программирования. Последнее условие определяется известной универсальностью постановок задач математического про-

граммирования, однако требует для конструктивного синтеза разработки методов и алгоритмов для аналитического представления оптимальных решений. Ниже рассматривается математическая формулировка задачи локально-оптимального управления ресурсами на основе операторного представления численно-аналитических решений проекционного типа [3, 4].

Математическая формулировка задачи координации. Формулировка проблемы координации может быть дана следующим образом (при этом рассматриваются уравнения динамики систем, управляющих ресурсами, минимизирующих функционал качества на конечном интервале и асимптотически устойчивых на полубесконечном интервале). Общий вид минимизируемого функционала и ограничения на координаты и управления приводят к необходимости решения задачи математического программирования на каждом шаге процесса управления. Учитывая дискретность управления, можно представить уравнения объекта разностными кусочно-линейными системами, адекватными в дискретном времени одной из канонических форм [3, 4]. Уравнения координатора должны быть представлены операторами оптимизации, описывающими алгоритмы координации на основе операторов конечномерной оптимизации.

Системы координации с операторами оптимизации на целевом многообразии могут формулироваться следующим образом. Структура и алгоритмы управления систем должны обеспечивать асимптотическую устойчивость в условиях минимизации локального критерия качества. Объекты межгосударственного координированного управления можно описать каноническими урав-

нениями, удовлетворяющими условию управляемости [3, 4]:

х' = ЛФХ (х) + ВФи (и), х(¿о) = х0, у = сх. (1)

Как и ранее, х е К", и е Кт, у е К5 — векторы состояний, управлений и выходных координат (5 < п); Л, В и С — числовые матрицы размера (пх п), (пх т)и (5х п); Фх (х)е Кпи Фи (и)е Кт — операторы с кусочно-линейными координатными функциями фг- (•), такими, что Фх (о ) = о и Фи (0) = 0 . Предположим, что в силу последних свойств операторов система (1) может быть представлена следующим образом:

х' = Л^х + Вхи + у0 (х,и),х(¿о) = х0, у = сх, (2)

где у0 (х,и) — кусочно-линейный оператор, такой, что Нш || у0 (х, и)|| / (||х|| +1 Н||) = 0, || х|| +1 Н|| ^ 0. Предполагается, что в уравнениях первого приближения

х' = Л^х + Вхи, х(¿0) = х0, у = сх, (3)

матрица Л имеет собственные числа с отрицательными вещественными частями, т. е. Яе < 0, I = 1,2,..., п. Выполнение последних предположений создает предпосылки для существования стабилизирующих управлений, синтезированных на основе уравнений первого приближения, когда и = и (х) .

Дискретный характер управления в управляемых системах приводит к необходимости адекватного описания объекта (1) разностными уравнениями:

хк+1 = Т [хк, Фх (хк ), Фи (ик ), A],

хк0 = х° Ук = схк, (4)

где хк, ик, Ук — векторы состояний, управлений и выходных координат (ресурсов) в дискретные моменты времени кк, к е N ; Т (•) — оператор с кусочно-линейными координатными функциями. Стабилизация системы (4) с координирующей обратной связью, заданной операторами оптимизации проекционного типа при ограничениях на координаты и управления, может оказаться невозможной в классе статических регу-

ляторов. Для обеспечения асимптотической устойчивости управляемых систем координации целесообразно использовать динамические устройства управления. Поэтому управление будет задано в классе разностных уравнений:

ик+1 = Оик + Ьик (•) ик0 = и^ (5)

где О и Ь — соответственно, (т х т) и (т х т) —

числовые матрицы, а вектор (•) = Р (ик, х^ определяется векторным кусочно-линейным оператором управления, обеспечивающим выполнение заданных целевых условий. Пусть векторы состояний хк и выходов Ук — текущие значения ресурсов, определяются непосредственно (или оцениваются) и необходимо определить координирующие управления ик для достижения интервальных целевых условий:

Ук+1 е Я/, I = 1,2,3,4, (6)

при некотором к > к * > к0 . Одновременно должен приближенно минимизироваться один из суммарных функционалов:

1 (Ук и ) = Х(луГ^ ) (Гд)+

да

+ X иТ Шк, О = 0Т > 0, Я = Ят > 0, (7,а)

к=0

Лугд = Ук - уКкоорд,

где ук°°рд, Ук — векторы заданных координирующих требований по совокупности ресурсов и текущие значения ресурсов. Смысл функционала состоит в том, что первое слагаемое определяет отклонение от координации текущих значений ресурсов, а второе — затраты на координирующие управления. В частном случае, для иллюстрации методики решения задачи стабилизации устойчивого развития на заданных значениях ресурсов, можно использовать квадратичный функционал

да да

1 (Ук ,ик) = X УкТОУк + XикТяик, к=1 к=0

о = ОТ > 0, Я = Ят > 0. (7,б)

Приближенную минимизацию (7,б) можно выполнить минимизацией отдельных слагаемых на каждом шаге процесса координации. С этой

целью вектор )к =

1 * ~ * у ((+1 ,"к )

должен вычис-

ляться в соответствии с условием локальной минимизации:

)к = ащ Ш1п

(+1 0Ук+1 + ЧТЫк), (8)

' Ук+1 ^

го1/2 0 1

0 V Я1/2 У

' Ук+1 ^

в котором квадратные корни из числовых матриц О и Я представляют собой диагональные матрицы с элементами О|/2 и Я]-2 . Тогда задача квадратичного программирования формулируется следующим образом: найти пару, задаваемую вектором Т

^ =

((к+л)Т = аг§Ш1п(||ук+1( + 1 \ч\|2) (10)

при ограничениях на выходные координаты и управления:

ук+1 е Б/, I = 1,2,3,4, ик+1 е Б", I = 1,2,3,4.

Множества Б/ и Б" могут представлять собой многомерный параллелепипед ((= 1) , «полосу» ((= 2}, полупространство ((= 3} или шар ((= 4} . При окончательной формулировке ограничений задачи используются разностные уравнения:

хк+1 = н1хк + Ш, (9, а)

адекватные в дискретном времени системе первого приближения (3). Прогнозирование значений выходных координат будет осуществлен на основе алгебраической системы:

Ук+1 = схк+1. (9,б)

В результате задача пошаговой минимизации формулируется в виде отыскания вектора

гк , определенного равенством (8), при ограничениях:

Ук+1 - ЩЧ = СНххк, Ук+1 е Б{ , йк е Б",

сформулированных с учетом целевых условий (6) и уравнений (9.а) и (9.б). Для использования операторов оптимизации при решении сформулированной задачи необходимо преобразовать функционал в (8) к виду, представляющему норму в некотором пространстве. Предположим,

что матрицы О и Я функционала диагональные:

О = diagОii ф 0, I = 1,2,..., и Я = diag Яjj■ ф 0,

] = 1,2,..., т. В соответствии с методикой преобразования вводятся новые переменные, определенные равенством:

при ограничениях

у*+1- РА = нН1хк,

^к+1 е БУ , йк е Б" , где р = О1/2СР1 (Я11/2 )-1, Нх = О1/2СН1,

(11) (12)

а множе-

ства Б/ и Б" соответствуют Б/ и Б" в новом пространстве. Ограничения (11) определяют линейное многообразие в расширенном пространстве, а (12) — простейшие множества этого пространства. Поскольку функционал в (10) представляет собой сумму квадратов норм, то точка условного минимума определяется оператором оптимизации, если множества Б/ и Б" одинакового типа. Тогда уравнения алгоритмически управляемой системы с динамическим регулятором при наблюдаемом векторе хк можно представить следующим образом [3, 4]:

хк+1 = *[хк,Фх (хк),("к], хк0 = х0,

ук

= Схь

где

"к+1 = +Щ* ((К "к0 = "0,

"к* (■)=тГр0 (к0 0 (Р —0 ()

(13)

- Р

())

оператор оптимизации, согласо-

ванный с рассматриваемой задачей. Последнее

Т

0

( А°)

приводит к тому, что вектор )к =

нулевой, что соответствует совпадению точки безусловного минимума с началом координат;

матрица Т = 1 0

(я1/2 )-1

выделяет вектора "к

из вектора 2 к . Оператор проецирования 2к0 на линейное многообразие (11) имеет вид:

Р0 (к0 ) = Лт (ЛЛТ )-1Нххк , (14)

причем матрица Л = (Е \ -Д). Оператор Р{

в (13) осуществляет проецирование вектора Р0 (к° ) на одно из множеств Бг2 с учетом преобразования Б/ и Б1и в пространство векторов 2к . Скалярный параметр ак определяется как наименьшее значение шага из точки Р0 (¿к )

в направлении Р0 (р (р0 ( ))- Р0 ( )) в сторону допустимой области, а оператор:

Р>° (г) = [Е - ЛТ (ЛЛТ )-1 Л\ (15)

осуществляет ортогональное проецирование вектора 2 на линейное подпространство

D 0 = |z| A z =

0} •

связанное с линейным многооб-

разием Б0 типа (11). Если г = 1, то Л е Я5х(5+1).

Уравнения (13) описывают динамику координированного управления при различных видах областей, ограничивающих изменения выходных координат и управлений. Конкретизация операторов управления для отдельных видов областей будет дана ниже при рассмотрении систем с управлениями, синтезированными с использованием уравнений квазистационарных состояний для описания объекта координации.

Как следует из приведенных выше уравнений, вычисление управлений на каждом шаге процесса предполагается на основе известных уравнений первого приближения (9). Для многих задач управления характерно отсутствие информации о матрицах динамической модели. В ряде случаев можно пользоваться оценками указательных матриц, полученными в процессе одновременной идентификации и управления.

Идентификация матриц в условиях замкнутой системы управления возможна при соблюдении условий идентифицируемости. Поскольку в данном случае должна осуществляться

идентификация кусочно-линейного объекта, то необходимо выполнение условий идентифицируемости по отношению ко всему семейству линейных систем, локально адекватных идентифицируемой кусочно-линейной системе. Условия идентифицируемости, формулируемые в терминах невырожденности матриц, зависящих от параметров объекта и текущих значений координат, и использующие условия управляемости, являются труднообеспечиваемыми в замкнутом контуре, поэтому в практике управления могут применяться характеристики квазистационарной чувствительности. Этот вид характеристик задает связь между управлениями и координатами для квазистационарных состояний объекта. Идентификация таких характеристик объекта в ряде случаев возможна в замкнутом контуре управления при использовании дополнительной информации, позволяющей построить оценки независимо от вида обратной связи благодаря измерению взаимосвязей стационарно связанных групп координат объекта.

Используя уравнения (9) и полагая хк+1 = хк, можно качественно определить характеристики квазистационарной чувствительности:

хк+1 = Рик , (1б,а)

где Р = (Е -Н\) 1 — (п х т) — матрица характеристик объекта в квазистационарных состояниях. При синтезе управлений будем допускать, что приближенное описание выходных координат в окрестности текущего состояния у к может быть представлено системой:

У к+1 = Ук + CßUk

(16,б)

Вектор ик в уравнении регулятора (5) можно определить равенством:

Uk = arg min |\uk

при ограничениях:

A0Uk = b0 >

Ук+1 = Ук + CBUk е Diy =

= |+i |y Ук+i ^ У

(17)

"к+1 е Б" ={"к+1

" < 0"к + Шк < , (18)

"к = ащшт шк\

(19)

где у , у + и " , — допустимые значения выходных координат, а управлений А0 е кт'хт. Вычисление координирующих управлений, минимизирующих затраты в рамках приближенного описания объекта квазистационарными уравнениями, не позволяет учесть динамику процессов. Поэтому целесообразно отыскивать управления, которые одновременно с минимизацией затрат «стремятся» поддерживать координаты на оптимальном (в некотором смысле) расстоянии от границ допустимой области.

Достижение этой обобщенной цели управления возможно введением вектора рк , характеризующего расстояние ук+1 от верхней границы Б/, и вектора д к , определяющего расстояние этого вектора от нижней границы области. Тог -да для минимизации функционала на шаге процесса необходимо вычислить вектор:

)=

(— * * * \ "к,Рк ,дк ) =

= ащшт I щ

ц2 11 * II2 II * ||2

"Л + \Рк + Щк

той алгоритмически управляемой системы будут аналогичны (13) и представляют собой разностные уравнения:

хк+1 = * [хк, Фх (хк ), ("к ], хк0 =x0,

У к = Сх к ,

"к+1 = +Lйk(), "к0 ="^

(22)

в которых вектор координирующих воздействий ";(■)=^ [р0 ()к0 )+«к р0 ())],

где гк =((,рк,Щк)Т — расширенный вектор; ) к — точка безусловного минимума функционала в (20), причем )к = 0 — нулевой вектор.

Матрица S = (Е,0,0) необходима для выделения

~ *

вектора " из расширенного вектора оптимального решения — г* . Как и в (13), параметр о* определяет наименьшую длину шага из точки Р0 (гпо направлению Р0 ()) до границы до-

(20)

при ограничениях (18), (19), преобразованных для обобщенной задачи к виду:

с$4 + Рк = У +- Ук , -с$4 + Щк =

= Ук - у ^ АА = К

"- - 0"к < Lйk < " + - 0"к , рк > 0,

> 0, т1 = т -1, (21)

из (20) и (21) следует, что вектор управления вычисляется при использовании информации о наблюдении только вектора выходных координат. Для определения г * — решения задачи обобщенной оптимизации — можно воспользоваться оператором минимизации нормы, использованным выше. Тогда уравнения замкну-

пустимой области, причем поскольку г * = 0 , то Р0 (гк ) = Ат ( ААТ) Ь, а матрицы оператора

Р0(г*0) равны: А = (( | А)Т, Ь = (( | Ь)Т,

А0Т =(Ao!0!0), А1Т =С$\-Е-

ЬТ =

0 ^ Е

У - у к

,у к - у

в соответствии с ограничениями (21). Вектор Р0 (г ) в (22) представляется следующим образом:

Р0 (г ) = (Е - АТ (ААТ ) А^ г, г = Р1-(Р0 (0 ))-Р0 (0), где Р-(Р 0 (г к 0 )) =

= 0.

.5(|Р0 (°)-2-|-|Р0 (°)-2+

+ 2 + 2 —

оператор ортогонального проектирования на множество Б1- . В последнем равенстве модули векторов вычисляются покомпонентно, и в целом оператор осуществляет покоординатное проектирование. Векторы 2- и 2 + , согласованные с рассматриваемой задачей, равны:

( 1-й..-

2 =

(и -Оик)

0

Г Г1 (и+- Оик ) М ~е

М > 1,

если матрица Ь диагональная. Матрица Ь определяется с учетом знаков диагональных элементов матрицы Ь , а вектор е — единичный

е = (1,...,1)Т .

Оператор Р представляет собой оператор ортогонального проецирования на линейное подпространство Л2 = 0 и задается равенством, аналогичным (15). Обобщенные методы аналитического решения задач квадратичного и линейного программирования приведены в [5].

Таким образом, уравнения алгоритмически управляемых локально-оптимальных систем при ограничениях на выходные координаты и управления представляют собой систему кусочно-линейных разностных уравнений в расширенном пространстве.

Таким образом, задача синтеза межгосударственной координации по ресурсам для устойчивого развития сформулирована как задача экономической динамики на основе разностных уравнений динамики формирования ресурсов и операторов математического программирования. Для описания моделей влияния управлений на формирование ресурсов или их компонентов можно воспользоваться стационарными моделями. Предложенная методика позволяет исследовать свойства устойчивого развития на основе подходов, сформулированных в [1—4].

2+ =

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Васильев Ю. С. Оценки ресурсов возобновляемых источников энергии в России: учеб. пособие / Ю. С. Васильев, П. П. Безруких, В. В. Елистратов, Г. И. Сидоренко — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2008. — 250 с.

2. Экологические основы управления природ-но-техническими системами / под ред. М. П. Федорова. — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2008. - 506 с.

3. Козлов В. Н. Метод нелинейных операторов

в автоматизированом проектировании динамический систем. / В. Н. Козлов - Л.: Изд-во ЛГУ им. А. А. Жда -нова, 1986. - 170 с.

4. Козлов В. Н. Управление энергетическими системами и объединениями. / Козлов В. Н. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2008. - 398 с.

5. Козлов В. Н. Системный анализ, оптимизация и принятие решений. / Козлов В. Н. - М.: Изд-во «Проспект», 2010. - 170 с.