ПРОЕКЦИОННЫЙ МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ: СОСТОЯНИЕ И ПЕРСПЕТИВЫ РАЗВИТИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция 6

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА

Председатель - Фирсов Андрей Николаевич,

доктор технических наук, профессор, Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

Ученый секретарь - Сорокина Наталья Владимировна,

старший преподаватель высшей школы киберфизических систем и управления, Санкт-Петербургский политехнический университет

Петра Великого

УДК 517.5

аоЫ0.18720/8РБРШМ21-150

Васильев Юрий Сергеевич1,

научный руководитель университета, профессор,

д-р техн. наук, академик РАН; Ефремов Артем Александрович1, доцент, канд. физ.-мат. наук, доцент;

Козлов Владимир Николаевич3, профессор, д-р техн. наук, профессор

ПРОЕКЦИОННЫЙ МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ: СОСТОЯНИЕ И ПЕРСПЕТИВЫ РАЗВИТИЯ

12 3

' ' Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого,

saiu@ftk.spbstu.ru

Аннотация. Рассмотрены математические модели стационарных и переходных состояний динамических систем, определенные линейными и негладкими дифференциальными, разностными или алгебраическими уравнениями объектов. Ограниченные управления для объектов формируются проекционными операторами математического программирования, преобразующими «целевые векторы» функционалов и ограничения в векторы управлений с обратной связью.

Проекционные операторы минимизируют линейные или квадратичные функционалы на компактных множествах при ограничениях типа равенств и неравенств на переменные, определяющие координаты и управления. На основе проекционных операторов синтезированы дискретные системы с ограниченными локально или интервально допустимыми и оптимальными управлениями. Сформулированы условия устойчивости на основе условий сжатия операторов систем и метода функций Ляпунова для линейных, нелинейных локально и интервально оптимальных дискретных систем. Результаты иллюстрированы примерами управления регулярными и хаотическими режимами энергосистем.

Ключевые слова: проекционный метод оптимизации; операторы минимизации функционалов; системы автоматического управления; устойчивость систем управления.

Yuriy S. Vasiliev\

SPbPU Scientific Supervisor, Professor, Doctor of Technchnic Sciences, Academician of RAS;

Artem A. Efremov , PhD, Associate professor;

Vladimir N. Kozlov3, Doctor of Technchnic Sciences, Professor

PROJECTION METHOD FOR OPTIMIZING DYNAMIC SYSTEMS: STATE AND DEVELOPMENT PROSPECTS

12 3

' ' Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, St. Petersburg, Russia, saiu@ftk.spbstu.ru

Abstract. Mathematical models of stationary and transient states of dynamical systems, determined by linear and no smooth differential, difference, or algebraic equations of objects, are considered. Restricted controls for objects are formed by projection operators of mathematical programming that transform the "target vectors" of functionals and constraints into vectors of feedback controls.

Projection operators minimize linear or quadratic functionals on compact sets under equality and inequality constraints on variables defining coordinates and controls. Based on projection operators, discrete systems with locally or interval-limited admissible and optimal controls are synthesized. The stability conditions are formulated based on the conditions of contraction of system operators and the method of Lyapunov functions for linear, nonlinear locally and interval optimal discrete systems. The results are illustrated by examples of control of regular and chaotic regimes of power systems.

Keywords: projection optimization method; operators of functionals minimization; automatic control systems; stability of control systems.

Введение

В настоящее время для синтеза оптимальных динамических систем с ограничениями на управления и координаты используется ряд методов [1-9]:

- метод функций и неравенств А.М. Ляпунова;

- принцип максимума Л.С. Понтрягина;

- метод Гамильтона-Якоби-Беллмана;

- методы математического программирования;

- методы функционального анализа.

Синтез управлений динамическими объектами с 80-х годов прошлого столетия используюет интеграцию методов теории управления и ма-

тематического программирования. При этом важный этап связан с применением функционального анализа в восьмидесятые годы прошлого столетия, когда появились робастные методы Н2 - и И - теорий.

Методы оптимизации ограниченных управлений динамических систем на основе методов математического программирования обладают высокой универсальностью, что обеспечивает их широкое применение в прикладных и теоретических задачах. Квазианалитическая форма представления решений задач конечномерной оптимизации определяет в явной форме оптимальные управления с обратной связью. Это позволяет выполнить качественное исследование оптимальных динамических систем с обратной связью, поскольку имеет место адекватная форма операторов обратной связи по состояниям или выходам. Это стало возможным на основе численных или численно-аналитических методов оптимизации, начиная от методов безусловной минимизации функционалов Ферма, продолжения развития в рамках методов Ферма-Лагранжа на основе функции Лагранжа. Важный этап связан с методом Куна-Таккера, использующим знакоопределенность множителей в неравенствах седловой точки функции Лагранжа.

Проекционный метод оптимизации использует лагранжевы граничные экстремальные точки компактных допустимых множеств, в котором выделено «выпуклое однопараметрическое сужение» указанного множества. Это позволяет свести задачу к однопараметрической минимизации на основе «принципа сужения» допустмых множеств на основе проекционных операторов, образы которых задают операторные реша-ния конечномерных задач оптимизации. Канонические формы проекционных операторов позволяют «погрузить» в задачи конечномерной оптимизации широкий класс задач синтеза управлений дискретными динамическими объектами. Таким образом, квазианалитические проекционные операторы задают управления с обратной связью локально или ин-тервально оптимального типов.

Сказанное выше позволяет качественно исследовать сложно-функциональные задачи синтеза управлений с математически программируемой вычислительной средой, предназначенной для синтеза ограниченных оптимальных управлений. При этом указанные результаты подтверждают существование обратной связи, синтезированной на основе численных или операторных методов математического программирования.

Разработанные операторы условной минимизации линейных и квадратичных функционалов используют симметричные ортогональные или неортогональные проекторы. Представлены проекционные операторы минимизации линейных функционалов на пересечении линейного многообразия и шара с идемпотентными несимметричными («косыми») проекторами. Проекционные операторы позволяют получить обобщенные разностные

операторы систем с оптимальными обратными связями, а также качественно анализировать устойчивость систем рассматриваемого класса методами сжимающих отображений или функций А. М. Ляпунова.

Результаты использованы при синтезе систем управления частотой и активной мощностью электроэнергетических систем, для управления гидромеханическими процесами передачи углеводородов по гидравлическим сетям, для исследования теплофизических объектов. Результаты получены автором на кафедре «Системный анализ и управление» с 1996 по 2016 годы и в Высшей школе «Киберфизические системы и управление» Института компьютерных наук и технологий Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого.

1. Примеры объектов управления

Управление сложными динамическими системами энергетики, включающими энергетические объединения, системы передачи нефтепродуктов по магистральным трубопроводам, задачи теплофизики, требует применения вычислительных методов для обеспечения технологических требований. Классы энергосистем с гидростанциями для управления перетоками (СОП), частотой и активной мощностью (САУ ЧМ) даны в таблице 1.

Таблица 1

Классы энергосистем

Типы структур Локальные системы управленияч Централизованные системы управления Иерархические системы управления

1 2 3 4

1. Структуры автономного управления 1.1. Автономные СОП и САУ ЧМ с локальной информацией о моделях и режимах локальных генерирующих и сетевых частей ЭС, ОЭС или ЕЭС 1.2. Автономные СОП и САУ ЧМ с ограниченной централизованной информацией о моделях и режимах генерирующих 1.3. Автономные СОП и САУ ЧМ с информацией о моделях и режимах генерирующей и сетевой частей ЕЭС

2. Структуры совместного управления 2.1. Совместные СОП и САУ ЧМ с локальной информацией о моделях и режимах генерирующей и сетевой (передающей) частей ЕЭС 2.2. Совместные СОП и САУ ЧМ с централизованной (ограниченной) информацией о моделях и режимах генерирующих и сетевых частей ЕЭС 2.3. Совместные СОП и САУ ЧМ на основе инфор-мации о генери-рующих и сете-вых частях ЕЭС, необходимой для координации

Как следует из таблицы 1, для синтеза систем управления энергообъединениями требуются различные математические модели энергосистем:

- модели квазистационарных состояний энергосистем в виде моделей влияния «изменений мощностей станций на перетоки по линиям»;

- динамические модели состояний в виде разностных или интегральных операторов динамических подсистем или систем в целом.

2. Операторы условной оптимизации линейных функционалов на основе «принципа граничных экстремумов» [3-5]

Задачи решены в два этапа на основе проекционного метода. Для решения применены «классические необходимые условия Лагранжа» для задачи (1), из которой следует структура проекционных операторов при ограничениях в виде пересечения линейного многообразия и шара, задающие «граничные экстремальные элементы» как решения классических задач математического программирования.

Лемма 1. Пусть задача минимизации имеет вид: вычислить вектор

где rang = m +1. Тогда решение задачи минимизации в виде про-

екционного оператора на линейное многообразие имеет вид [5]

Z = P (С) = Р°С+P+b, P = En - P еГ^, P+ = AT (aA е1Г, P = P+AeW™.

Лемма 2. Ортогональные проекторы на линейные многообразия и подпространства обладают идемпотентностью, симметричностью, ортогональностью и обратимостью специальных линейных комбинаций:

Доказательства утверждений следуют из равенств 1) - 5) для матриц проекторов [4-6]. Идемпотентность, симметричность, суперпозиция, ортогональность и обратимость следуют из соотношений:

1). P0P0 = (En - P+A)(En - P+A) = En - P+A - P+A + P+A = P0 = (P0 )Т.

x„ = argmin

I (p(x) = |\x - С\\2 | Ax = b, A е Rmxn, rang A = m J е Rn, (1)

1). (P0)2 = P°, P0 =(P0) еRnxn.

2). (p^)2 = AT(AAT)-1 А = P±, P±=(P±)T.

3). P0P1 = (En - PP1 = PV0 = 0„x„, P0P + = 0nxm, (P +) P0 = 0

4). (P0 (z))2 = P0 (P0z + P+b) = P0 (z).

5). (E + PP )-1 = E -yP = E - 0/(1 + p) P, P = P0, P = P1, Ре R.

2). (Р1)2 = Р1 = Р+A = (Р1) e Knxn. Суперпозиции проекторов:

3). Р0Р^ = (En - Р^)Р^ = Р^ (En - Р^) = 0_, Р0Р + = 0„хт, (Р + )T Р0 = 0_.

4). Р0 (z) о Р0 (z) = [Р0 (Р0z + Р+b) + Р+b] = Р0z + Р0Р+b + Р+b = Р0z + Р+b.

Обратимость специальной линейной комбинации операторов: 5). (E - уР)(E + /Р) = E -уР + /Р - /уР, где у = //(1 + /)e К.

Свойства 1 - 5 использованы для вывода необходимых и достаточных условий оптимальности операторных решений. Теорема 1 [3, 4]. Пусть выполнены условия:

1. Невырожденные задачи условной оптимизации для линейных функционалов определены в (1).

Тогда для оптимальности решений этих задач необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1. x* = argmin {(p(x) = CTx, С ф 0n | Ax = b, A e Kmxn, rang A = m, xTx < r2 } =

=Р+b -P0cj(2Я„) = Р+b - 0,5Р0С(ар-1) = x(л*), (2.а)

2. x* = argmax((x) = CTx, С ф 0n Ax = b, A e Kmxn, rang A = m, xTx < r21 =

=x (Л) = Р+b + Р0с/ (2 Л) = Р+b + 0,5Р0С (ар~1 ). (2. б)

3. В равенствах (2.а) и (2.б) использованы обозначения:

Р0 = En -Р+A-

Р0 А р0

Р

T

rang A c = m +1, а = 4

-1, P+ = AT (AAT )-1

bT (aat ) -1 b - r

4. Оптимальные множители Лагранжа в (2.а) и (2.б), равные

1/2 0* / , ч1/2

Л* = +(ра) , Л* =-(ра)

К,

являются решениями квадратного уравнения

аЛ2 + р = 0, р = СР0С =

Р С

(2. в)

5. Ограничения задач (2.а), (2.б) совместны, если: сс> 0.

Таким образом, из «принципа граничных допустимых решений» следуют структуры квазианалитических точных решений, заданных опера-

2

торами минимизации линейных и квадратичных функционалов на пересечении линейного многообразия и шара.

Операторная форма допустимых и оптимальных управлений с обратной связью обеспечивает синтез и анализ систем с ограниченными управлениями.

В результате операторы конечномерной оптимизации для задач минимизации или максимизации линейных функционалов на компактных множествах конечномерного пространства преобразуют параметры функционала и ограничений задач оптимизации в оптимальные решения. Эти операторы действуют в факторизованных пространствах, и определяются проекторами, сохраняющими алгебраическую структуру евклидова пространства.

3. Неортогональные (косые) операторы минимизации линейных функционалов на пересечении линейного многообразия и эллипсоида [3, 4, 8]

Первый класс задач оптимизации, разрешаемых на основе ортогональных проекторов на пересечение линейного многообразия и шара, исследован выше. Задачи условной минимизации, разрешаемые неортогональными проекторами, имеют вид: вычислить

х* = аг§ттх) = сТх х е Б}, х* = аг§тахх) = стх х е Б}, (3) а непустое допустимое множество имеет вид: Б = Б0 ^ Б1 ^ 0, где

Б0 =■! х

Ах = Ь, А е Мтхп, га^А = т }е Г1

Б1 =\ х

хТЯх < г2,Я = Ят > 0 } е Мп.

Необходимые условия для задачи (3) являются основой решения на основе «принципа граничных экстремалей». Для вычисления экстремальных элементов классических условных максимума и минимума функционала задача (3) заменяется задачей с ограничениями-равенствами. Тогда функция Лагранжа, имеющая вид

Ь = стх + ЛОТ (Ах - Ь) + Л(хТЯх - г2) , (4)

определяет необходимые условия для функции (4) системой уравнений

дЬ/дЛ = Ах - Ь = 0т, дЬ/дх = с + АТЛ0 + 2ЛЯх = 0п,

дЬ/ дЛ = хТЯх = г2. (5. а)

Преобразование второго уравнения в (5.а) приводит к уравнению

АЯ-1с + АЯ-1 АТЛ0 + 2ЛАх = АЯ-1с + АЯ-1 АТЛ0 + 2ЛЬ = 0 ,

0 0 т'

из которого с учетом рангового условия совместности линейных ограничений вычисляется вектор множителей Лагранжа

Л) =(АЯ -1 АТ)-1 (-АЯ-1с - 2ЛЬ).

Этот вектор преобразует второе уравнение (4) к виду

с + АТ (АЯ-1 АТ ) -1 (-АЯ-1с - 2ЛЬ) + 2ЛЯх =

= с - АТ (АЯ-1 АТ ) -1 АЯ-1с - 2ЛАТ (АЯ-1 АТ ) -1 Ь + 2ЛЯх =

= Р1с - 2ЛР2+ Ь + 2ЛЯх = 0п. (5. б)

В этом равенстве неортогональный (косой) проектор Р1 на линейное подпространство Ах - Ь = 0т для вектора с е Мп имеет вид

Рх = Еп - АТ (АЯ-1 АТ ) _1 АЯ-1.

Дополнительным проектором к Р1 является неортогональный проектор

Р2 = АТ (АЯ-1 АТ) 1 АЯ-1,

выполняющий проектирование параллельно дополнению к подпространству Ах=0. При этом оператор в уравнении (5.б) использует оператор

Р2+= АТ (АЯ-1 АТ )-1 е Мпхт.

Свойства проекторов определены далее.

Лемма 1. Неортогональные операторы-проекторы в уравнении (5.а) и (5. б), заданные несимметричными матрицами, являются идемпотент-ными

Р2 = Р; Р22 = Р2, (6.а)

а также взаимно ортогональными операторами

Р Р2 = 0 ; Р2 Р = 0 , Р Р2+ = 0 .

1 2 пхп' 2 1 пхп ' 12 пхт

(6. б)

Доказательства утверждений леммы 1 проводятся следующими вычислениями. Идемпотентность следует из соотношений:

-1 11 Г т / 1 т \ -1

Р12 =

Еп - Ат (АЯ-1АТ- АЯ-1 х Еп - Ат (АЯ-1АТ- АЯ4

= Еп - 2Ат (АЯ-1 Ат)-1 АЯ-1 + Ат (АЯ-1 Ат)-1 АЯ-1 = Р1; Р22 = Ат (АЯ -1 Ат — АЯ -1 Ат (АЯ -1 Ат — АЯ -1 =Р2.

Второе равенство в (6.а) доказывается аналогично:

,-1 , гт / ^4-1

РР =

Р22 = Ат (АЯ-1 Ат ) АЯ-1 х Ат (АЯ-1 Ат ) АЯ-1 = Р2.

«Взаимная ортогональность» (6. б) для Р1 и Р2 следует из равенств:

Еп - Ат (АЯ-1 Ат)-1 АЯ-1 х Ат (АЯ-1 Ат) АЯ-1 =

= Ат (АЯ-1 Ат)1 АЯ-1 - Ат (АЯ-1 Ат)1 АЯ-1 = 0пхп; Р2Р = Ат (АЯ-1 Ат)1 АЯ-1 х Еп - Ат (АЯ-1 Ат)1 АЯ-1

Равенство (6.в) доказывается следующими вычислениями

Е - Ат (АЯ-1 Ат )-1 АЯ-11 х Ат (АЯ-1 Ат ) = 0 .

п у у у у пхт

= 0 .

пхп

РР+ =

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. В дополнении к (6.а) и (6.б) справедливо равенство:

Р1ТЯ-1 Р = Я-1 Р , где Я 1 = Я-т, Р = Еп - Р+ АЯ-, Р2+ = Ат (АЯ-1 Ат )-1.

Доказательство следует из исходных соотношений

РГЯ~]Р] = (Еп - Р2+ АЯ-1 -Т Я-1 (ЕП - Р+ АЯ-1 - = Я-1Р1 .

которые преобразуются к результату следующим образом:

(7)

Еп - АТ (АЯ-1 АТ ) АЯ-1 Еп - АТ (АЯ-1 АТ ) АЯ-1

Я-1

Я

-Т

Еп - АТ (АЯ-1 АТ ) АЯ-1 Еп - АТ (АЯ-1 АТ АЯ-1

Я- ЯАТ (АЯАТ ) АЯх Еп - АТ (АЯАТ ) АЯ = Я-1 - Я-1 АТ (АЯ-1 АТ ) АЯ-1 - Я-1 АТ (АЯ-1 АТ ) АЯ-1 +

+Я-1 АТ (АЯ-1 АТ )_1 АЯ-1 = Я-1Р1.

В результате лемма 2 доказана.

Лемма 3. Имеют место условия «взвешенной ортогональности»

проекторов Р2Т и Р1 с «весом» Я 1 , имеющие вид:

Р/Я-1 Р = 0„хп, РТЯ-1Р2 = 0пхт. (8)

Доказательство леммы использует равенство РТЯ-1Р = 0пхп, формируемое с учетом коммутирования обращения и транспонирования

матриц (АЯ-1 АТ ) = (АЯ-1 АТ ) . Тогда выполнено первое утверждения, поскольку

Р2ТЯ-1 Р1 = Р2ТЯ-1 Еп - АТ (АЯ-1 АТ )-1 АЯ-1

= АТЯ-Т (АЯ-1 АТ )-Г А - (АЯ-1 АТ ) АЯ-1 АТ (АЯ-1 АТ )1 АЯ-1 = = (АЯ-1 АТ )-Г АЯ-1 - (АЯ-1 АТ )-Г АЯ-1 = 0^,

1 т / 1 у \ 1

где использовано очевидное равенство АК~ А (АК~ А ) = Еп. Второе утверждение леммы 3 вытекает из соотношений

РТЯР2+ = (Еп - АТ (АЯАТ )-1 АЯ)Т ЯАТ (АЯ-1 АТ =

= ЯАТ (АЯАТ )-1 - ЯАТ (АЯАТ )-1 АЯАТ (АЯ-1 АТ ) =

= ЯАТ (АЯАТ )-1 - ЯАТ (АЯАТ )-1 = 0пхт. Таким образом, лемма 3 доказана.

С учетом результатов лемм 1 - 3 «проекционное уравнение» с неортогональными проекторами принимает вид

Рс - 2ЛР+Ь + 2ЛЯх = 0 ,

1 2 п'

откуда следуют одпопараметрические решения задач (1) в виде

х (Л) = 0,5Л-1 Я-1 ((с + 2ЛР2+ Ь ). (9)

Множители Лагранжа Л е М в (9) вычисляются в силу третьего уравнения (3) и свойств неортогональных проекторов в леммах 1 - 3. Множители Лагранжа представлены в теореме 1. Теорема 2. Неортогональный однопараметрический проектор (5) для решения экстремальной задачи оптимизации (1) имеет вид

х (Л) = 0,5л1 Я-1 (( + 2ЛР2+ Ь ), Л,2 = ±0,25сгргЯ-1 Рхс(г2 - 4ЬТ (р2+)я-1 Р2+ Ь) \ (10)

где г2 - 4ЬТ (Р2+ ) Я-1 Р2+Ь > 0.

При этом операторы оптимизации с неортогональными проекторами для решения задач условной оптимизации типа (1) на минимум и максимум имеют следующий вид

х, (Л,) = 0,5 Л1Я-1 ((с + 2ЛР2+ Ь),

х* (Л*) = 0,5 (Л* ) Я-1 (-Р1с+2 ЛР2+ Ь), (11)

где множители Лагранжа для минимизации Л* и максимизации Л*:

Л* = +0,25сгргЯ-1рс(г2 - 4ЬТ (р+) Я-1 Р2+Ь) 1 > 0,

Л* = -0,25стртЯ-1 Р1с(г2 - 4ЬТ (р+)ТЯ-1Р2+Ь) 1 <0.

Знакоопределенность множителей в (11) в данной задаче установлена прямыми вычислениями с использованием операторов оптимизации типа (9), что совпадает с утверждениями теоремы Куна-Таккера.

Следствие о неортогональном операторе допустимых ограниченных решениях. Допустимые решения х формируются на основе гранич-

ных экстремумов как выпуклой комбинацией граничных «экстремальных векторов»:

X (в) = вх,+(1 -в)х*, ве[0, 1].

(12)

Таким образом, оптимальные решения в задачах на экстремум для линейного функционала на выпуклом множестве должны принадлежать границе множества, а иллюстрация этого факта следует из полученных оптимальных решений. Оптимальные решения даны в примерах.

Пример. Задача условной минимизации линейного функционала: вычислить вектор, минимизируеющий линейный функционал

х* = а^ шт

(р(х) = х1 + 2х2, Ах = ( 1| 1)

X

Х1

V х2

= 1, хТЯх < 4

где параметры исследуемой задачи имеют равны

сТ =(1 2), А = (1 1), Ь = 1, Я =

г

1 0.5

V°.5 2 у

г = 2.

Матрицы оператора минимизации в (5) задаются вычислениями: Шаг 1: вычисление подматриц косого проектора:

Я-1 =

А 1 0.5 V1 ( 1.14 - 0.29 Л

0.5 2

-1 лТ

АЯ -1 А

-1

(1 1)

X

1.14

-0.29 0.57 0.29^ (1Л

X

-0.29 0.57

1

-1

= 0.875.

у \ У.

Шаг 2: неортогональный проектор для оператора оптимизации

Р = Е - АТ (АЯ-1 АТ )-1 АЯ-1 =

1 0 0 1

0.875 х

1 1

х

(1 1)

1.14 - 0.29

х

' 0.25 - 0.25' -0.75 0.75

-0.29 0.57

Шаг 3: вычисление дополнительного неортогонального проектора

Р2 = АТ (АЯ-1 АТ )-1 АЯ-1 = Р2+ АЯ-1 =

^0.875^, ч (1.14 - 0.29^ ( 0.75 0.25Л х(1 1)х

V0.875у

-0.29 0.57

у

V

0.75 0.25

у

где матрица Р2+ = Ат (АЯ -1 Ат = 0.875

(11 (0.8751

.1, . 0.875,

Шаг 4: вычисление параметров для операторов оптимизации с неортогональными проекторами, имеющих числовые значения

а = 4Ьт (Р2+)Т Я-1 Р2+Ь - 4г:

= 4 х (0.875 0.875)

х

1.14 - 0.29 -0.29 0.57

х

0.875

ч0.875У

х 1 - 4 х 4 = -12.5;

у = сТРТЯ -1Р1с =

= (1 2)

х

0.25 - 0.75" х ( 1.14 - 0.29 Л х " 0.25 - 0.25" х (11

-0.25 0.75 ч-0.29 0.57 , -0.75 0.75 V 2 ,

= 0,5;

Р = -4сТРТ Я -1Р2+Ь =

-4 х(1 2)

х

0.25 - 0.75 -0.25 0.75

х

1.14 - 0.29 0.29 0.57

х

0.875

, ^0.875у

0.

Шаг 5: вычисление множителей Лагранжа как корней уравнения

-12.5Л2 + 0.5 = 0; Л12 =±0.2,

а два граничных экстремальных вектора допустимых решений

х (Л) = ±0,5Л_1Я-1 (-Р1с + 2ЛР2+ Ь ). При этом соответствующие числовые векторы решений, равные

х (Л) = 0,5 Л"1

1.14 - 0.29

ч-0.29 0.57 ,

х

г 0.25 1 (0.875л + 2Л

V-0.75 у

ч0.875,

определяют два оптимальных решения. Тогда векторы оптимальных решений в силу (10) с неортогональными проекторами равны

х,

(-0,2 ) =

-0,5

V1,5,

х

(0,2 ) =

Г о Л

V-1 У

Таким образом, образами введенных нелинейных операторов аналитического типа с неортогональными проекторами являются решения задач условной минимизации и максимизации линейных функционалов, что позволяет решить обобщенные эксремальные задачи.

4. Проекционные операторы условной минимизации евклидовой нормы на пересечении линейного многообразия и шара [4, 8]

Операторы минимизации будут сформулированы для решения конечномерной неклассической экстремальной задачи 1: вычислить вектор [4-6]

= argmin ( (х)=|| х - С| |21 Ax=Ъ, A el*", rang A=m хТх < r2 J eln , (13) где функционал представлен квадратом евклидовой нормы

||х - С| I2 =( х - С )T (х - С) , С2

а допустимое множество определено непустым пересечением линейного многообразия и шара, аппроксимирующего параллелепипед.

На первом этапе решения формируются операторы допустимых решений на основе «принципа граничных экстремумов» классических задач, следующих из (1). Классические граничные экстремальные решения задачи (1) образуют пару векторов для задач: вычислить

х, = argmin | (р(х) = | |х - С1121 Ах = b, A e lmxn, rang A = m, хТх = r2 J ,(14.a) х* = argmax ((х) = | |х - С112 | Ax = b, A e lmxn, rang A = m, хТх = r2 J. (14.б)

Допустимое множество как пересечение многообразия и сферы Б = Б0 п Б1 = {х| Ах = Ь, А е Мтхп, хТх = г2} е Мп.

Аналитические решения задач (14. а) и (14. б) определяют операторы для вычисления граничных (лагранжевых) векторов, задают минимум и максимум квадрата нормы на пересечении линейного многообразия и сферы. Линейная комбинация граничных х* и х*, имеющая вид

х(в) = (1 - в)х*+вх*, в е [0,1] е М, (14.в)

определяет выпуклое допустимое множество параметра в и оператор допустимых решений для (14. а), (14. б).

На втором этапе вычисляется оптимальный числовой параметр

в* = а^шт[р(х(в) | в е [0,1])}, (14.г)

как решение задачи условной одномерной минимизации по скалярному параметру. Интервальное ограничение в (14.г) реализуется кусочно-линейным липшицевым проектором на указанный интервал, что позволяет получить решение в квазианалитической форме.

Определение 1. ОКМ — это проекционный квазианалитический оператор минимизации или максимизации для задачи: вычислить вектор

= ш^шт| р(х) = ||х-С |Ц1 х еВ = {Ах = Ъ, А еМгахп, хТх = г2}] еМп,

отображает вектор С еМп функционала типа евклидовой нормы в оптимальное решение данной задачи с учетом ее параметров.

Свойства операторов для классических задач минимизации с ограничениями-неравенствами в определении 1 рассмотрены далее.

Лемма 1. Ортогональный проекционный оператор на линейное подпространство Ах = 0 и ортогональное дополнение к нему имеют вид

Р0 = Еп - Ат (ААТ )-1 А, Р+ = Ат (ААТ )-1,

определяющие для вектора функционала С е ^ проекцию

Р0 (С ) = Р0С + Р+Ъ,

обладают свойствами идемпотентности и ортогональности.

Теорема 3 [4]. Операторы оптимизации, параметризованные множителем Лагранжа, имеют эквивалентные формы

х1 (Л) = [ Р0 (С ) + АР+Ъ ]/(1 + Л), (15. а)

х2 (Л) = [Р0 (С) - АР0С]/(1 + Л), (15.б)

х3 (Л) = Р+Ъ + Р 0С/(1 + Л), (15. в)

где Р 0С, Р0 (С) определены выше, а инварианты трех форм операторов являются квадратное уравнение для множителей Лагранжа и его корни

ЛеЯ.

Доказательство. Эквивалентные формы ОКО, следующие из необходимых условий для функции Лагранжа

Ь = ||х - С||2 + ЛТ (Ах - Ъ) + Л(хТх - г2),

формируются из условий, представленных системой уравнений

дЬ/дх =2( х - С) + АТЛ0 + 2Лх = 0п,

дЬ/дЛ0 = Ах - Ъ = 0т, дЬ/дЛ = хтх - г2 = 0. (16)

Метод исключения для системы (16) определяет вектор множителей

Л =( ААТ )-1 (-2Ъ + 2 АС - 2ЛЪ).

Подстановка Л0 в первое уравнение (15) определяет уравнение

2х (Л) - 2С + Ат (ААТ )-1 (-2Ъ + 2АС - 2ЛЪ) + 2Лх (( = 0п,

откуда следует линейное алгебраическое уравнение

(1 + Л)х(Л) = Р0 (С ) + ЛР+Ъ.

№ Эквивалентные формы проекционных операторов оптимизации с параметром в виде множителя Лагранжа

1 X (А) = [Р0 (С) + АР+Ь]/(1 + А)

2 х2 (А) = Р0 (С) - Р0СА 1(1 + А)

3 х3 (А) = Р+Ь + Р0С/(1 + А)

Эквивалентность операторов доказана по «стандартной цепочке»:

1) 2) 3)

х1 (А) ^ х3 (А) ^ х2 (А) ^ х1 (А) .

Теорема 4 об операторах для классических задач с параметрами. Пусть выполнено утверждение 1 и ортогональные проекционные операторы оптимизации заданы в таблице 3.

Таблица 3

№ Эквивалентные формы операторов минимизации и максимизации квадрата нормы на пересечении линейного многообразия и сферы с параметрами оптимальности как корнями квадратного уравнения А±=-1 ±г, А+ =1 + г, А- = 1 -г, г = а~х = (а/р)1/2, а = г2 - Ьт (ААт )-1 Ь > 0, р = СТР0С = Р0С 2 * 0

1 (А±) = [ Р0 (С) + А± Р+Ь' *1+ = х1+(г+) = х1+(-1+г) = Р 0 (с Х^ = *!_(?_) = х*(-1 -г) = -Р0 (с к1+А±)> ')г+(1 -]р+ь, :) г+(1+г) р+ь

2 х2 (А±) = Р0 (С) - Р°СА±/(1 + А±), Х2+ = х 2 + (г+) = Х2+ (-1+г] = Р0 (с)+(-1 + г] Р 0с, х2- = х2- (г-) = (-1 - г) = Р0 (с)+(-1 - г) Р0с

3 х3 (А±) = Р+Ь + Р °С/ (1 + А±), х3+ = Х3+ (г+) = Р+ь+гР 0с, х3_ = х3- (г-) = Р+ь -гР 0с

5. Метод синтеза операторов минимизации нормы на основе «принципа граничных экстремумов и одномерной оптимизации»

Синтезированные операторы условной оптимизации для данной задачи сформулированы в утверждении.

Теорема 5. Пусть справедливы утверждения теорем 1 и 2. Тогда для задачи (1) оператор допустимых решений имеет вид

х,ои =Ф(C, А,Ь,Г= (1 - 0)xз (?+) + ОХ3 (^), 0 е [0,1], (17)

где по утверждению 2 «граничные лагранжевы векторы», определяющие минимум и максимум нормы на пересечении линейного многообразия и сферы (как границы шара) имеют вид, данный в таблице 4.

Таблица 4

№ Оператор условной минимизации нормы для неклассической задачи с параметрами оптимизации

1 Структура оператора неклассической минимизации нормы X* = р+Ь + (1 - 20* )р

2 Оптимальные параметры оператора 0,= р (0о ) = 0,5 (|0о |-|0о -1 + 1)е[0, 1], ^о = 0,5 (1 -V-), 11=а-х =(а1р)\ р = ст Р0С > 0, а = г2 - Ьт (ААТ ) Ь

x

Пример. Пусть задача конечномерной минимизации имеет вид = argmin | ((x) = ||x - C \ f2 Ax = b, A e Rmxn, rang A = m, xTx < r2 J e R2, на множестве как непустом пересечении линейного многообразия и шара

Ax = x1 + x2 = 2 = b, A = (l | 1), || x 112 = xTx < r2 = 4,

в двумерном евклидовом пространстве векторов

Ax = [l | l]

x

x

x

= 2 = b,

x

x x [ x2 J

x

x

x

< 4 = r2

где вектор минимизируемого функционала

С = (1 | 2) ф 02 е е2.

Решение на основе данных таблицы 4 имеет вид, данный на рисунке 1.

Иллюстрация образа отображения вектора с еМ2 проекционным оператором в оптимальное решение в задаче условной квадратичной оптимизации приведены на рисунке 1, где указаны все параметры и линии равного значения функционала для задачи условной кадратичной минимизации.

6. К синтезу ограниченных управлений для программной стабилизации линейных объектов в пространстве вектор-функций

Ранее были синтезированы законы управления дискретными объектами на основе проекционных операторов оптимизации в евклидовом пространстве числовых векторов.

_i_i__i_i_i

-3-2-10123 Рис. 1. Геометрическая иллюстрация к задаче вычисления минимума нормы и образа проекционного оператора х* = Р+Ь+(\-2в^)Р0Сг/ = [0,5 | 1?5]Г на элементе

С={1 | 2)Т е М2 двумерного евклидова пространства

Далее рассмотрено вычисление управлений для непрерывных объектов в пространстве вектор-функций, компоненты которых являются элементами пространства функций, интегрируемых с квадратом.

Пусть линейный управляемый по Р. Калману объект при ограничениях на координаты и управления задан в пространстве вектор-функций М2 {2 [0,Т]), q = п + т, в котором определен линейный стационарный

дифференциальный оператор

х'{г) = Ах) + Ви), х{г0 ) = х0, (18)

где координаты и управления определены включениями

х{г) е Мп2 {2 [о,т]) и{I) е Мт {ь2 [0,Т]), А е МГ, В е МГ,

для двух классов задач:

Задача 1. Вектор управления и (г) е М^ (( [0,Т]) для «оптимальной стабилизации положения равновесия системы» минимизирует функционал

V =1 г(О IIМт(^2[0,Т]) е М, г(') - [X(') I и(о] е МП+т (Ь2 [0, т]), (19. а)

при наличии «жесткого ограничения-неравенства» в пространстве вектор-функций с нормой

II2(0Г«Г1Ь2[0,Т]| -Г2Т2Т г\ (I9.б)

на линейном многообразии, которое задано с помощью обратного оператора для оператора (1) в виде формулы Коши

х (г) = еАгх0 + ^еА (-0 Ви (о) йт, (20. а)

представленной линейным многообразием

А2(г) - х(г) - \'^еА(г-т) Ви(т)йт = еА'х0 = Ь(г). (20.б)

Задача 2. Вектор управления для оптимальной стабилизации программного вектора С2 (г) с учетом (17.а) в виде нормы гильбертова пространства функций как «жесткое неравенство»

II2 (') - С (г) || Мг (ь 2[0т,) -1: [ 2 (') - С (г) ]: [ 2 (г) - Сг (г) ] йг < г \ (21)

и ограничения-равенства в пространстве вектор-функций (18.а), (18.б).

Таким образом, в задаче 2 допустимое множество задано пересечением линейного многообразия (20. б) и шара

Л2(г) = Ь(г), || 2(г)- С(г) ||2КГ(12[0,т]) < г\ (22)

в пространстве «составных» вектор-функций

2(г) = [х (г) |и (г)]т е Мп2+т (ь2 [0, т]). (23)

Приближенное решение задачи можно представить на основе конечномерной аппроксимации исходной задачи в конечномерном пространстве с помощью операторов конечномерной оптимизации.

Таким образом, вычисление управлений как часть задачи синтеза локально оптимальной системы может быть выполнено на основе конечномерной оптимизации, образующей «каркас» решения как структуру

векторов в пространствах Мп (ь2 [0,Т]) или Мт (ь2 [0,Т]) с учетом действия операторов в соответствующих пространствах типа (19.а) -

(19. б). Однако актуальными являются направления исследований в области формулировки операторов оптимизации в функциональных пространствах.

Список литературы

1. Козлов В.Н. Метод нелинейных операторов в автоматизированном проектировании динамических систем. - Л.: Издательство Ленинградского университета, 1986. - 166 с.

2. Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Заборовский В.С. Вычислительные методы синтеза систем автоматического управления. - Л.: Издательство Ленинградского университета, 1989. - 224 с.

3. Козлов В.Н. Негладкие системы, операторы оптимизации и устойчивость энергообъединений. - СПб. Изд-во Политехн. ун-та, 2012. - 183 с.

4. Козлов В. Н. Проекционный метод синтеза ограниченных оптимальных управлений динамических систем энергетики. - СПб. : ПОЛИТЕХ-ПРЕСС, 2019. -170 с.

5. Козлов В.Н. К аналитическому решению систем линейных алгебраических неравенств // Автоматика и телемеханика. - 1989. - № 4. - С. 101-104.

6. Козлов В.Н. Операторы минимизации нормы на компактных множествах евклидова пространства // Научно-технические ведомости СПбПУ. - 2013. - № 3 (167).

7. Козлов В. Н. К устойчивости систем алгоритмического управления //Автоматика. - Киев, 1989. - № 4.

8. Козлов В.Н., Ефремов А.А. Введение в функциональный анализ. Издательская ассоциация вузов С-Петербурга. - СПб., 2018. - 90 с.

9. Али Р., Козлов В.Н. Введение в методы И2 - -теорий. - СПб.: Изд-во ЛПИ, 1989. - 85 с.

УДК 517.958:5

ёо1:10.18720/8РБРи/2М21-151

Фирсов Андрей Николаевич1,

д-р техн. наук, профессор

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ЛИНЕАРИЗОВАННОГО УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА

1 Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого,

anfirs@yandex.ru

Аннотация. В статье рассмотрены две задачи. Первая связана с исследованием качественных свойств решения задачи Коши для линеаризованного уравнения Боль-цмана в случае «жестких» потенциалов межмолекулярного взаимодействия (степенные потенциалы с показателем степени больше четырех). Показано, что если начальные условия обладают определенными свойствами, то установление равновесия происходит экспоненциально быстро. Вторая задача связана с построением точного ана-