Оптимальная оценка валового выпуска продукции закрытого акционерного общества "Карачаевский пивзавод", г.Карачаевск Текст научной статьи по специальности «Математика»

З. М. Лайпанова

ОПТИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ВАЛОВОГО ВЫПУСКА ПРОДУКЦИИ ЗАКРЫТОГО АКЦИОНЕРНОГО ОБЩЕСТВА «КАРАЧАЕВСКИЙ ПИВЗАВОД», г. КАРАЧАЕВСК

Работа представлена кафедрой математического анализа Карачаево-Черкесского государственного университета им. У. Дж. Алиева. Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Е. А. Семенчин

В статье представлены результаты исследований производственной деятельности закрытого акционерного общества «Карачаевский пивзавод». Эти исследования базируются на результатах статьи [2] и являются их логическим продолжением.

200

Оптимальная оценка валового выпуска продукции закрытого акционерного общества..

The results of the research on industrial activity of the closed joint-stock company «Karachay brewery» are presented in the paper. These studies are based on the results of the paper [2] and are their logical continuation.

Пусть

Вх = /, В = Е - А, (1)

где Е - единичная матрица размера п х п, А - заданная технологическая матрица размера п х п балансовой модели Леонтьева

х = Ах + /, х > 0, (2)

где / - известный вектор спроса размерности п,

х - неизвестный вектор валового выпуска продукции размерности п, подлежащий определению,

0 - нулевой вектор размерности п . Как и в [2, с. 121-124], будем предполагать, что элементы , г = 1, ■ ■ ■, п, вектора / и а^, г, ] = 1, ■ • •, п и матрицы А

представлены в (1), (2) с ошибками, которые имеют случайный характер. Поэтому (1) следует переписать в виде:

Вх + V = /, х > 0, (3)

где V = (V), v2, к, vn) - случайный вектор ошибок измерений элементов А и /, размерности п (вектор помех), математическое ожидание которого равно:

Mv = 0 (здесь и далее Т - операция транспонирования).

Предполагается, что заданы симметричная, положительно определенная матрица ковариаций размера п х п

Я = М (V • vT ) вектора V; вектор у = Мх размерности п, представляющий собой математическое ожидание (начальное приближение, априорную оценку) вектора х из (3); априорная ковариационная матрица ошибок решения

N = М [(х -у)(х -у) ]

(размера п х п, симметричная, положительно определенная).

В работе [2, с. 121-124] была подробно исследована следующая задача: по заданному f найти неотрицательный вектор

Y, доставляющий минимум М|у - x|2, где

x - решение системы (2). Было показано, что вектор у представляет собой решение следующей задачи квадратичного программирования:

(Bx - f )TR- (Bx - f ) + t (4)

+ (x -y)T N 1 (x -y)^ min, x > 0.

x

Цель этой работы: используя данные межотраслевого баланса ЗАО «Карачаевский пивзавод» за 2007 г., взятые из [1] и приведенные в табл. 1, и заданный-вектор спроса f , найти оптимальную в

среднем квадратичном смысле оценку x решения x балансовой модели (2), построенной по этим статистическим данным.

Решение поставленной задачи. ЗАО «Карачаевский пивзавод» является крупным предприятием в КЧР, в который входят два больших цеха: цех по производству алкогольных напитков и цех по производству безалкогольных напитков. Данные об исполнении баланса за отчетный 2007 г. приведены в табл. 1.

Таблица1

Таблица межотраслевого баланса ЗАО «Карачаевский пивзавод» за 2007 г. (тыс. руб.)

Цеха, производящие продукцию Цеха, потребляющие продукцию Конечный спрос на продукцию Валовой выпуск продукции

1 2

1 Цех по производству алкогольных и безалкогольных напитков 19535 652 12371 32558

2 Цех розлива 3792 2528 6318 12638

ОБЩЕСТВЕННЫЕ И ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ

Согласно данным, приведенным в табл. 1, технологическая матрица А и вектор конечного спроса / имеют вид:

A =

(0.6 0.02^

0.3 0.2

, f =

у

'12371^ V6318у

(5)

Обозначим x1 - валовый выпуск цеха по производству алкогольных и без-

алкогольных напитков, x

2

валовый вы-

пуск цеха розлива. Вычислим вначале ва-

ловый выпуск x =

( x >

V x2 у

цехов ЗАО «Ка-

рачаевский пивзавод», не учитывая случайные помехи при формировании вектора / . Воспользовавшись (2) и (5), имеем:

( x >

V x 2 у

(0.6 0.02Vx ^ (12371^

1 +

0.3

v^ 0.2 yVx2 у v x1 > 0, x 2 > 0.

6318

Или

x1 = 0.6x1 + 0.02x1 +12371, x 2 = 0.3xj + 0.2 x2 + 6318, (6) x1 > 0, x2 > 0.

Из (6) следует, что

x =

(x ^

V x2 у

(32558^ 12638

(7)

Пусть при формировании / учитываются случайные помехи (ошибки).

По результатам статистических наблюдений были найдены четыре реализации случайные вектора V, представляющего собой ошибку измерения вектора / (в таблице 1 представлены усредненные значения /):

( 0,1 j

V- 0,2у

( 0,2 ^

0,1

(- 0,Л (- 0,2 ^

V-0,1 у

Согласно (1), (3)

B = E - A =

( 0.4 - 0.02^ - 0.3 0.8

Найдем оптимальную оценку х вектора х из (4).

Из приведенных выше данных следует, что

Г 0 1

Mv =

if

V1 + V2 + V3 + V4 ] =

V 0 у

г/*) = 0,025,

r(4) = 0 12

r(4) = 0 , 21

ri-4) = 0,025,

22

Ri =

(r (4) 11

r (4) V 21

r

r

(4 Л 12

(4) 22 у

(0,025 0 ^ 0 0,025

Начальное приближение у для вектора х из (4) задано выражением:

Г2.548 0.0641 Г123711 ч0.955 1.2746318

У = B-1 • f =

= (31921^ = V19868j

Подставляя в (4) полученные численные значения B, f, у, R-1, N-1, с помощью программы Microsoft Office Excel 2003 находим оптимальную оценку x вектора x:

(31025^

(8)

x=

V19532у

Сравнивая результаты (7) и (8), заключаем, что более точный результат оценки валового выпуска цехов (8) отличается от (7) не слишком разительно.

(7), (8) заметно отличаются от валового выпуска цехов, приведенного в табл. 1. Следовательно, объемы производства обоих цехов были необоснованно велики.

V1 =

V4 =

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бухгалтерская отчетность за 2007 г. ЗАО «Карачаевский пивзавод».

2. Лайпанова З. М. Фильтрация ошибок измерений вектора спроса в балансовой модели Леонтьева // Известия Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена: Аспирантские тетради. 2008. № 23. С. 121-124.