Оптимальная форма профиля при заданной балансировке в вязком гиперзвуковом потоке Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м I 197 0

М 6

УДК 533.69.01 .+533.662.013

ОПТИМАЛЬНАЯ ФОРМА ПРОФИЛЯ ПРИ ЗАДАННОЙ БАЛАНСИРОВКЕ В ВЯЗКОМ ГИПЕРЗВУКОВОМ ПОТОКЕ

В. С. Николаев

Рассмотрена вариационная задача определения формы средней линии тонкого профиля максимального аэродинамического качества при заданном положении центра давления. При расчете аэродинамических сил, действующих как на наветренную, так и на подветренную стороны профиля, учтено взаимодействие пограничного слоя с невязкой частью возмущенного гиперзвукового потока. Определена величина потери аэродинамического качества на балансировку. Решена задача об оптимальном при заданном положении центра давления закрылке. Проведены оценки влияния относительной толщины профиля на его аэродинамические характеристики.

§ 1. Рассмотрим гиперзвуковое обтекание тонкого заостренного профиля с учетом взаимодействия ламинарного пограничного слоя с невязким потоком. Газ считаем совершенным. Принимаем

1, Ми<Хе^>1, а = const, ^ = const, m — const. (1.1)

Здесь ае — эффективный угол атаки с учетом толщины вытеснения пограничного слоя; Моо — число М невозмущенного потока; а — число Прандтля; tw — температурный фактор, отношение температуры стенки Tw к температуре торможения набегающего потока Г0; m — показатель степени в законе зависимости коэффициента вязкости (J. от температуры Т.

В работе [1] предложен метод расчета коэффициента трения и толщины вытеснения, основанный на осреднении некоторых коэффициентов, полученных из автомодельных решений уравнений пограничного слоя. Давление при этом определяется по методу касательных клиньев с учетом толщины вытеснения. Упомянутым методом в работе [1] решена задача об оптимальной форме нижней поверхности тонкого профиля. Аэродинамическими силами, действующими на верхнюю поверхность, пренебрегали.

Согласно работе [1] для коэффициента давления ср и трения сг имеем следующие соотношения:

■' 2 \А1 +а2 + «|// 2А1 ^ +а2

С/ - — 2Тш8-----Сх ("а + |/2Л1-4- + «2)—т

Рос V К / М*

Здесь

[ 2 . у- С , /"х (х + 1 ]

Л = 2 А л[ 2 • г = — 1 /" *

Л> 2Л V х(х + 1) ’ С> 2 к 5

Мор 1 Г7*00 _

У' К вес Г РссТ т '

(1.2>

р, р, и —давление, плотность и скорость;

х — отношение удельных теплоемкостей; X— параметр взаимодействия;

Ие — число Рейнольдса,

Иеоо Р”"*** ;

[*00

/л:, I — координата вдоль поверхности профиля и длина хорды: профиля; а — местный угол атаки; т — напряжение трения;

А и С—коэффициенты, определяемые автомодельными решениями уравнений пограничного слоя (Л и С зависят от постоянных параметров х, о, т, tw, а также от показателя степени п в локальной зависимости р~хп; га = 0 при отсутствии градиента давления, га= — 0,5 для сильного взаимодействия нулевого порядка).

Индекс яоо“ относится к невозмущенному потоку, индекс но — к условиям на поверхности.

В работе [1] для коэффициентов Л и С выбираются некоторые осредненные значения, принимаемые постоянными по всей поверхности профиля при заданном режиме обтекания. Соотношения (1.2) обеспечивают при этом правильный качественный вид зависимости эр и cf от у, Моо и а в асимптотических областях сильного и слабого взаимодействия на наветренной стороне («>0) пластины. Выбор коэффициентов Л и С может быть произвольным. В зависимости от задачи их можно либо приравнять точным значениям в какой-либо одной асимптотической области, либо выбрать некоторые средние значения.

Соотношения (1.2) можно применять и в некотором диапазоне углов а<0 на подветренной стороне. Конечно, при фиксированном значении Моо |«| и при х -* 0 формулы (1.2) не применимы. Однако, как показали сравнения с результатами расчетов по более точному локально-однопараметрическому методу, учитывающему переменность п вдоль поверхности профиля [2], расчеты по методу [1] дают неплохие результаты при фиксированном х вплоть до углов-атаки, соответствующих режиму максимального аэродинамического-

качества (при этом порядок выражения есть единица).

Так, в случае плоской пластины в указанном диапазоне углов атаки коэффициенты сопротивления сх, подъемной силы су и продольного момента относительно носка ст, рассчитанные по методу [1], отличаются от соответствующих коэффициентов, полученных по методу [2], менее чем на 10%. Сравнения проводились для пластины с сильно охлажденной поверхностью = 0,05, а —0,7,

х= 1,4, т = 0,67).

При расчетах по методу [1] А и С принимались равными их значениям при я = 0. Учитывались силы, действующие как на наветренную, так и на подветренную сторону. Для максимального аэродинамического качества К, положения центра давления хр и фокуса хр отличие еще меньше, порядка 1%.

Приведем выражения для сх, су, ст, К, хр, хР в случае произвольного тонкого профиля при малом угле атаки:

1 -Сх = | (С/Н -V С/ в + Ян Ср н + ав Ср в) &Х\ и

1 г

Су = (Ср н Ср в) (1х\ ст = (* (Ср н Ср в) хйх\ (1.3)

к

ХР =

Cjr

cv

Хр ■-

acv

Здесь индекс „н“ означает нижнюю сторону профиля, индекс „в“ — верхнюю сторону.

В формулах (1.3) для су, ст не учтены составляющие касательных сил на направление, перпендикулярное скорости набегающего потока, так как при принятых предположениях (1.1) они пренебрежимо малы. В случае плоской пластины а„ = — ав = const, для профиля нулевой толщины ан = — ав. В некотором диапазоне относительных толщин профиля его аэродинамические характеристики мало отличаются от соответствующих характеристик профиля нулевой толщины, координаты которого совпадают с координатами

средней линии профиля ненулевой толщины. Пусть аср — местный

угол атаки нижней поверхности профиля нулевой толщины; тогда

ян = аср Н~ Да, <хв — яСр -f- Дя. (1-4)

Среднее (или максимальное) значение | Да [ равно по порядку •относительной толщине профиля. Используя (1.4) и (1.2), нетрудно получить следующие оценки:

А {ср н Ср в) _ А (С/и ~t~ с fa) __ __Да_______ (15)

2(Ср„-Срв) С/н + С/в у2^! ^ Мй2-г «ср

Таким образом, влиянием Да на местное нормальное и касательное напряжения (с учетом обеих сторон) можно пренебречь при выполнении следующего условия:

| Aa|<Cmax(j^ , |аср|]. (1.6)

Если условие (1.6) выполнено при всех значениях х (или хотя бы в среднем), влиянием относительной толщины профиля на его-суммарные аэродинамические характеристики можно пренебречь,, и достаточно рассчитать обтекание средней линии профиля (эквивалентного профиля нулевой толщины). Считая условие (1.6) выполненным, введем замену переменных:

т — 1

V Х01 .

'/о

1 — т

■ш

2 =

№

УЯе0

V-

^0 ‘ 00 ^■00 Т’о

Моо = Iх С7"о); а

(1-7>

Здесь уЛ1 — значение Хо ПРИ х=\. Подставляя (1.2) и (1.4) при Да = 0 в (1.3) и используя обозначения (1.7), получим:

сх — 4 (* -г 1)581Х> с.

1

1Х = С (а + ф2 р) VI + ']>2 *» 1у

О

1

= 4(х+1)5*/„, ст = 4(х+ 1)52/т,

| <К2 /1 + <]/2

2 * * (И:

•* *■

у"1 + Ф2*3 Л;

о

Л. <*/„

■у, ^

‘у

ли

(1.8>

Здесь, как и в (1.3), производная при определении Хр берется при фиксированной форме тела.

На фиг. 1 представлены некоторые результаты расчетов обтекания плоской пластины (х = 1,4, з = 0,7, т = 0,67; ^=0,05; п = 0),

приведены зависимости вК^), хр($), Х/?(ф), при этом в формулах (1.8) ф не зависит от Л Интересно отметить, что сбалансированная пластина (центр тяжести совпадает с центром давления) под углом атаки при конечных ф статически устойчива, хр — хр>0. Правда,,

О,?

О

•>1 Г\ зД

\

0,3

О,?

У

О

/ (р 10 Фиг. 1

— - /

ч о$т ч

0,25

Фиг. 2

запас устойчивости весьма мал и не превышает 2,3%. В предельных случаях Хр —- хр = 0. При ф-» 0 £р = хр = 317, при ф -> оо-хр=хр = 1/2.

§ 2. Рассмотрим вариационную задачу определения средней линии тонкого профиля (эквивалентного профиля нулевой толщины), обладающего минимальным сопротивлением при заданной подъемной силе и заданном продольном моменте относительно носка. Задача сводится к определению зависимости ф(^), дающей минимум функционалу 1Х при заданных 1у и 1т [формулы (1.8)]. Уравнение Эйлера после несложных преобразований приводится к виду

ф(2 + а + 3ф2 ^)-Ху(1 + 2фЧ2)-Хт^(1 +2ф^2) = 0. (2.1)

Здесь и \т — множители Лагранжа, которые должны быть подобраны так, чтобы 1у и 1т равнялись бы заданным величинам. Зависимость Ф(£) определяется из соотношения (2.1) численно, методом последовательных приближений (при фиксированных \у, Хт) в достаточно большом количестве точек t, с тем чтобы квадратуры (1Х, /у, 1т) были бы выполнены с необходимой точностью. Функционалы 1Х, 1у, /„, являются функциями множителей Лагранжа Хт:

Iх ~ Iх ^т)> (\у» ^т)> Ап = ^т О'у) ^'т)-

Множители Лагранжа 1у, Хт определялись методом последовательных приближений Ньютона на ЭЦВМ М-20. Для полученных экстремалей проверялась выполнимость необходимого условия минимума Лежандра:

2 + а + (7 — а) А Ф2 -Ь (11 — 2а) Р Ф4 + 6£6 Фв > 0. (2.2)

На основе описанной выше вариационной задачи можно конструировать другие задачи с различными изопериметрическими условиями. При Хт = 0 изопериметрическое условие, накладываемое на величину 1т, отсутствует. При этом каждому значению соответствует задание определенного значения 1у (при фиксированной подъемной силе минимизируется сопротивление). Можно минимизировать не функционал 1Х, а отношение функционалов 1х!1у, что соответствует определению оптимальной формы профиля, обладающего максимальным аэродинамическим качеством при отсутствии каких-либо ограничений на продольный момент. При этом для определения Ху получим следующее уравнение:

Ь~&лг- (2'3)

Уравнение (2.3) решалось методом последовательных приближений. Как показали расчеты, ординаты средней линии оптимального профиля весьма близки к ординатам плоской пластины, расположенной под оптимальным углом атаки, когда аэродинамическое качество пластины максимально (отличие ординат не превышает 5% от максимальной ординаты). При этом местные углы атаки средней линии оптимального профиля существенно (на десятки процентов) отличаются от оптимального угла атаки пластины. Аэродинамическое качество оптимального профиля превышает максимальное качество пластины всего на 1,1%. Все расчеты в настоящем и последующем параграфе проведены при х = 1,4; о = 0,7; т = 0,67; ^ — 0,05; п = 0. На фиг. 2 оптимальному с точки зрения качества профилю (без ограничений на 1т) соответствует пунктирная кривая.

Практический интерес представляет задача нахождения оптимальной формы средней линии профиля при заданной балансировке, т. е. заданном положении центра давления хр = Imilv. При этом, естественно, Xтф0, а задачу минимизации 1Х при фиксированных /у, 1т можно трактовать как минимизацию функционала 1Х при заданных /у и балансировке хр = 1т/1у. В настоящей статье решена задача определения оптимальной зависимости для которой при заданной балансировке /т//у качество 1у\1х максимально. После определения ty(t) безразмерная ордината у определялась с учетом (1.7) по формуле

t

У — J 4t3<\>dt, (2.4)

о

при этом размерная вертикальная координата есть sly, а при ^ = 0 у—- 0. Расчеты проведены при значениях хр= — 0,25; 0; 0,25; 0,5; 0,75; 1; 1,25.

На фиг. 3 приведены зависимости коэффициентов Лагранжа

от хр при (А/О

у/' х/тах-

Точке пересечения кривой Хт с осью абсцисс соответствует случай абсолютно максимального качества (без задания хр). При этом Хр — 0,5242, а Ху = (/х//у)тіп. На фиг. 2 приведены оптимальные формы средней линии у (х) при различных хр

1,5

1

V

1, г

0,11х'

-0,25 О 0,25 0,5 0,75 1 хр

Фиг. 3

Фиг. 4

(пунктир — профиль абсолютно максимального качества). При малых Хр кривые у{х) выпуклы книзу, при больших — кверху,

На фиг. 4 представлены зависимости 1Х, /у, 1т от хр для оптимальных форм. Интересно отметить, что оптимальное значение 1К меняется весьма мало и изменения максимального качества по хр происходят в основном из-за 1у.

На фиг. 5 приведены зависимости 1у/1х и х? от хр для оптимальных форм. Изменение центровки на 25% по сравнению с хр = = 0,5242 (случай абсолютно максимального качества) приводит к падению максимально возможной при данном хр величины 1у/1х на 15%, а изменение центровки на 50% —к падению качества на 43%. При этом заданная балансировка осуществляется за счет сильной деформации средней линии (см. фиг. 2). Как видно из фиг. 5,

фокус —величина более консервативная по отношению к деформациям поверхности тела, чем положение центра давления. При хр<С0,512 оптимальные профили статически устойчивы, прихр>0,512 статически неустойчивы. Абсолютно оптимальный профиль обладает очень слабой статической неустойчивостью. Пунктирная прямая на фиг. 5 разделяет области статической устойчивости и неустойчивости.

§ 3. Балансировку профиля можно осуществить, помимо гладкой деформации всей средней линии, путем отклонения части профиля (закрылка) на конечный угол.

Принятая в настоящей статье постановка допускает изломы поверхности, при этом в формулах (1.8) функция ф (*) имеет разрыв. Простейшей формой профиля с изломом является профиль, состоящий из двух отрезков прямых, расположенных под различными углами атаки. Пусть ^ соответствует переднему отрезку, ф = ф2— заднему отрезку, а х = хх — абсцисса точки излома. Тогда для ординат точки излома у1 и задней точки профиля у2 имеем:

У 1 = 'Ь*ь Уг = '1(\Х 1+'Ы1—*1)-

Все задачи по определению оптимальных форм, сформулированные в предыдущем параграфе, могут быть поставлены и для данного узкого класса профилей. При этом вместо вариационных задач надо решать задачи на условный экстремум некоторой функции трех переменных хи фи ф2. При поиске оптимальной формы, состоящей из двух отрезков, когда качество максимально, а хр не фиксируется, для определения {1у11х)шах следует варьировать независимо все три параметра. Если хр фиксировано, при поиске {1у11х)ты независимыми остаются лишь два из трех параметров.

В табл. 1 приведены зависимости оптимальных значений хи фь ф2 от хр. Полученные конфигурации будем называть оптимальными при заданной балансировке закрылками. Сравнение с соогветствую-

Таблица 1

Переменные Хр

—0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25

Х1 0,400 0,330 0,426 0,100 0,610 0,709 0,700

+1 2,703 3,091 2,892 1,637 0,488 -0,678 -1,100

4*2 -1,472 -0,906 0,557 2,259 3,208 3,441 3,202

щими гладкими оптимальными профилями показывает, что изменения конфигурации оптимального закрылка при изменении хр в основном следуют соответствующим деформациям средней линии оптимального профиля. Отличие Хр оптимального закрылка от хр оптимального профиля крайне мало и во всем исследованном диапазоне хр(—0,25-4- 1,25) не превышает 1,5%. Значения максимального качества оптимального закрылка и оптимального профиля весьма близки при небольших отклонениях хр от 0,5242 (случай абсолютно

Таблица 2

Переменные X р

-0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 | 1,25

Кх 0,396 0,557 0,833 0,998 0,875 0,589 0,413

к2 0,332 0,493 0,810 0,997 0,839 0,533 0,357

Аз 0,264 0,370 0,603 ' 0,990 0,745 0,486 0,326

максимального качества). Только при изменении хр на 50% разница в значениях (/у//ж) превышает 10%.

Если помимо хр фиксировать положение точки излома хг, то из трех параметров л:,, ф,, ф2 независим лишь один. В настоящей статье была проведена серия расчетов для определения максимума 1у)1х при различных хр и х,. Расчеты показали, что при малой относительной хорде закрылка (1—я,) потеря качества на балансировку существенно больше, чем для оптимального профиля и оптимального закрылка.

В табл. 2 приведены значения максимального качества, отнесенные к величине абсолютно максимального качества оптимального профиля (без фиксации хр) при различных способах балансировки. Указанные относительные значения обозначены в таблице следующим образом: для гладкого оптимального профиля Кл, для оптимального закрылка К2, для закрылка с относительной хордой 12,5% (л;г = 0,875)К3. Отметим, что относительное значение максимального качества плоской пластины без излома 0,989, при этом ф ="2,208, хр = 0,4787, хР = 0,4952.

ЛИТЕРАТУРА

1. Николаев В. С. Профиль максимального качества в вязком гиперзвуковом пртоке. МЖГ, 1967, № 6.

2. Г а л к и н В. С., Ж б а к о в а А. В., Николаев В. С. Аэродинамические характеристики пластины под углом атаки в вязком гиперзвуковом потоке. МЖГ, 1969, № 1.

Рукопись поступила ІЗ/І 1970 г.