Оптико-цифровые методы анализа ансамбля микрочастиц по его пространственному спектру Текст научной статьи по специальности «Математика»

В. В. КотляВ, И.В. Никольский, В.А. Сойфер

ОПТИКО-ЦИФРОВЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА АНСАМБЛЯ МИКРОЧАСТИЦ ПО ЕГО ПРОСТРАНСТВЕННОМУ СПЕКТРУ

1. Постановка задачи

На рис. 1 показана оптико-электронная схем» анализируемой в работе экспериментальной ситуации. Тонкая плоскопараллельная кювета К, через которую проками-

вается исследуемая среда (газ, жидкость) с диспергированными в ней частицами, освещается плоской волной когерентного монохроматического света с длиной волны меньше размеров микрочастиц. Объектив О формирует на фокусном расстоянии пространственный Фурье-спектр рассеянного частицами излучения. В фокальной плоскости объектива находится многоэлементный фотоприемник (линейный или кольцевой), регистрирующий среднюю интенсивность света вдоль радиальной координаты в Фурье-плоскости. Электронный сигнал с фотоприемника поступает в ЭВМ для последующей цифровой обработки.

В [1] дан обзор результатов о методах восстановления функции распределения микрочастиц по размерам (ФРМР) в оптико-электронной схеме на рис. 1. Следуя [1], получим выражение, связывающее распределение средней интенсивности спектра с ФРМР .

К

X П

ФП

ЭВМ

4/1

Рис. 1

Комплексная амплитуда рассеянного светового поля (без учета центрального нерассеянного максимума) в пространственном спектре в малоугловом приближении (обоснование применимости малоуглового приближения для исследования ансамбля микрочастиц смотри в [2]) и при условии, что частицы сферические и поглощающие, описывается выражением

М -i к Г к

F(r,cp) = А Е а ^ г J 1 (у гап)ехр i j rrn cos(cp-cpn) n= 1

где ап - радиус частицы; М - число частиц; к = ^ - волновое число света с длиной

волны X; f - фокусное расстояние объектива, А - постоянная, (г , ф ) - поляр-

п п

ные координаты центра частицы; ,1 (х) - функция Бесселя первого рода первого порядка. Средняя интенсивность спектра равна выражению

1(г,ф) = <Г(г,ф)Р*(г,ф)> =

д2 М М .

= -г £ I а а 0 (4-га ^ (7 га ) * п =1 т=1

[1 кг

—7— {Г СОз(ф-ф ) - Г С 0 Б(ф~ф )} > ,

т п п т т

где <...> - знак усреднения по ансамблю статистически подобных наборов микрочастиц. Если частиц одинакового радиуса М^Са ) достаточно много (Ы > 10), то по центральной предельной теореме получим, что имеет место выражение

2 мз

Кг) 8 ^ 2 а* ^(у га ) М, (а ), г п = -| п ■■ * П 1 п "

где М^ - число "сортов" частиц с одинаковыми радиусами. В непрерывном варианте, когда мала разница между радиусами соседних "сортов" частиц ап~ап+^ « ап, сумма переходит в интеграл

А ч аз,к

Кг) = ~ /Р (а) a J (7га) da,

г О 1 "

где р(а) - функция распределения частиц по размерам

С1)

Таким образом, задача определения ФРМР сводится к решению интегрального уравнения (1) относительно функции Р(а), считая, что функция 1(г) известна из эксперимента. Заметим, что если исследуемые частицы не сферической формы, но попадают в зону контроля со случайными ориентациями, то предыдущие рассуждения верны и для анализа таких частиц, но восстановленная ФРМР будет характеризовать распределение частиц по некоторому эффективному радиусу aQ, равному

2п

а - (2ti) 3 // а (в,ф)Ьваф/ О о

где а(в,ср) - функция радиусов одного сорта частиц в зависимости от ориентации частицы в пространстве.

2, Определение ФРМР с помощью преобразований Ханкеля и Абеля

В [з] и более полно в [*»] предложено решение уравнения (1) в виде 2

аз °°

Р(а) = А / dx CV~xe<x>) / I (г) г2J & г /а2-х >dr, (2)

dx3 ° 1 f

где 0(х) = (1/Х > 0;0,х < 0} . Видно, что обработка измеренной интенсивности 1(г) состоит из последовательности действий: умножения 1(г) на г*; осуществление преобразования Ханкеля первого рода (второй интеграл в (2)) и свертки полученной функции с третьей производной функции \^хв(х). Чтобы избежать операции взятия производной, предлагается иная форма записи решения уравнения (1), в которой преобразование свертки заменено на преобразование Абеля, для расчетов которого существуют эффективные алгоритмы (см. [5]).

С этой целью применим к обеим частям равенства (1) преобразование Фурье-Бесселя, тогда получим (см. [6], с. 232)

к

G(х) = / I (г)г JQ (j г £)dr =

= г / а Р(а) (агссоб |---^г У4а - £ )6а, <3)

£ 4а

2

где Л0<х> - функция Бесселя нулевого порядка. Функция в(х) есть автокорреляция от функции, описывающей комплексное пропускание объема с частицами. Двукратное дифференцирование обеих частей равенства (2) приводит к выражению

А£ НЕ* £ '

2

Из (4) видно, что вторая производная функции автокорреляции связана с искомой функцией преобразованием Абеля. Известны две формы формулы обращения преобразования Абеля [5]» на основе которых получаются две формы решения уравнения (1)

Р<а) = - | 7 А(Б-4 <Е» - 4.*>"*ЙЕ, (5)

А 2а х d£a '

р(а) = " I А ' ^^ 2 " 4а2)" (6)

А 0а 2а d£

Использование рекурентных соотношений для цилиндрических функций и их производных позволяет выразить прямые части равенств (5). (6) через измеренную интен-

сивность Кг). А именно, вместо <5), (6) имеют место, соответственно, соотношения (7), (8):

,00 со

Р(а) = - fr- / (g2 - 4а2) dE / Kr)S(r,£>dr, (7)

лк 2а 0

где S(r,g) = Сг^-1 - 3r"E"3)J1(r0E) + 2г^"2 J0CroE) ,

00 — j оо

Pía) = - ТГ Т- / - 4а2) d£ / ICr>FCr,£)dr, (8)

а к а а ^ g о

где F<r,E) = - r*J0(r0£), г0 = ¿г.

Из (7), (8) видно, что функция Р(а) представляет собой результат последовательного применения к измеренной интенсивности преобразований типа Ханкеля и Абеля.

В решениях (7), (8) над функцией 1Сг) осуществляются только интегральные преобразования. Ниже показывается как трансформируются эти решения, если измеренные данные предварительно подвергнуть операции дифференцирования. Из (1) следует, что имеет место равенство

Т(г) = j (г Кг)) + г Кг > =

= Аг- / a3P(a)J,(4 ra)J-(-7 ra)da. То 1 т ° т

Известно также соотношение ( [б] , с. 232)

С9)

- i

/ xJ (Ьх) J Cbx)J (cx)dx = -r<4b" - с ) . ПО)

0 1 О О TID

Из (9) и (10) следует, что применение преобразования Фурье-Бесселя к обеим частям равенства (8) приводит к выражению

00 00

/ TCr)J г£)rdr = ~ / а2р(а)(4а2 - £*) da. (11)

О от ПК ^

о

Применение формул обращения преобразования Абеля, аналогичных формулам (5) и (6), но к выражению (11), приводит к еще двум новым формам решения интегрального уравнения (1)

. 2 О» -¿00

Р(а) = —- / С£2 - 4а2) d£ f r2T(r)J (7 r£)dr, (12)

2aAf 2a 0 * f

P(a) = - ^ / (g2 - 4a2) / rT(r)JQ(j r£)dr. (13)

Полученные разные формы (формулы (7), (8), (12), (13)) решения уравнения (1) предоставляют возможность для выбора оптимального алгоритма восстановления ФРМР по таким параметрам, как точность восстановления, устойчивость к ошибкам измерения, быстродействие и т.д.

3, Определение ФРМР с помощью разложения в ряд по Функциям Бесселя

В предыдущем разделе ФРМР определена как результат последовательного применения двух интегральных преобразований, для численного осуществления которых требуется около 2N2 арифметических операций, где N - число интервалов, на которые разбивается область интегрирования в формулах (7), (8). В данном разделе

приводится метод, позволяющий сократить число требуемых арифметических операций в полтора раза и соответственно увеличить быстродействие алгоритма обработки измеренной интенсивности.

С этой целью воспользуемся ортогональностью цилиндрических функций одного порядка и разложим искомую ФРМР в ряд по функциям Бесселя нулевого порядка первого рода. Получим

а'Р<а> = 5 !„'„<»„ «;>, ««

п = 0 0

где Рп - нули функции Бесселя, ,10(рп) = Р0 = а0 " произвольный фиксированный радиус частицы. Подставив (14) в (1) и воспользовавшись выражением ([6], с. 232)

(.агесоз ^гт- -

4Ь:

О 2Ь < а,

которое уже было использовано при выводе равенства (3), получим

I J (ах)и2(Ьх)— = о о 1 х

— (агссоэ -ёг - —■ У4Ь2 - а2, 2Ь > а п. 2Ь ль2

? г21(г) = 2 С (агссоз ^ - Ц У со2 - Р2 ) , <15)

А п=0 п Ш «

где со = 2ка0Г"Р~1. Заменяя ряд (15) конечной суммой и выбирая отсчеты радиальной переменной г, удовлетворяющие неравенствам

Н2ка0Г1рт < гт 5 ^ <2као) ~ 1Рт + 1 / <16)

получим систему линейных алгебраических уравнений = Со

1(га) = С 0 ♦ С^,^) (17)

= с0 + (сом) + ... + -1

где шк = 2ка0 г^ / г|( " удовлетворяет (16), 1(гк) = пА*~1 г £ Кгк),

рк рк -1

ф Ы ) = агссоэ ----- V со - р

к п о> п

п и

к '

п

Рекуррентная формула решения системы (17) записывается в виде

к -1

Ск = [1(гк + 1> " Со ' ^ СгЛ<гк*1)

Ф,(гк+1). <18)

Чтобы знаменатель в (18) был как можно большим, следует выбирать г, из нера-

-1 * венств (16), равным г^ = f(2ka0) Р|< + 1/ ^ = 0/1/2,... .

Таким образом, получим следующую методику определения ФРМР: измеряется средняя интенсивность спектра 1(г). По известным отсчетам функции г*1(гк) и по формулам (18) находятся коэффициенты Сп, по которым из формулы (14) определяется искомая Р(а).

Из (16) следует, что отсчеты радиальной переменной г^ в данном случае будут

неэквидистантные. Переход к неэквидистантным отсчетам позволил получить тре-

N 3

угольную систему уравнений (17), для решения которой требуется около £ ариф-

а

метических операции, а не N операций, как это требуется для выполнения одного из преобразований по формулам (7) или (8).

Заметим, что получить треугольные системы уравнений, аналогичные системе (17), можно и другими способами. Например, воспользовавшись выражением ([6], с. 232)

/ JQ(ax)J*(bx)dx = —(2t>2 " — ), 2b > а > О о 0 1 Tía г—---

b v4b -а

и применяя вместо (14) разложение в ряд вида

а Р (а) =

2 С J (р —). n п о ^n а п=0 о

Предложенный метод апробировался численно. В качестве функций РСа) выбира лись равномерное распределение частиц по радиусам

Р(а) = {1, а € [ан, aj; О, а £ [г н, afc]}

и супергауссовое распределение

Р(а) = ехр

[-

а - а _ 2 L

-)

Дискретность отсчетов по радиусам частиц была равна 1 мкм, дискретность отсчетов по интенсивности (неэквидистантная) была около 150 мкм, f = 100 мм, к = 10" мм"1. На рис. 2 показано распределение средней интенсивности спектра для равномерной ФРМР, вычисленное по формуле СП методом Симпсона в точках г^, удовлетворяющих условию (16). При этом дискретность по а была 0,1 мкм, N = 100

общее число отсчетов, ан « 20 мкм, а^

30 мкм.

г, мм

На рис. 3 приведены восстановленные равномерные ФРМР для разного числа членов ряда (14): 1 - N = 150, 2 - N = 100, 3 - N = 50, 4 - N = 20. При этом ан " мкм' ak е МКМ. На рис. 4 показана зависимость среднеквадратичной ошибки восстановления б от числа N членов ряда (14). Погрешность б вычислялась по формуле

Г аГ1

б =

X

а =а +1 m н

(Р„ (а) - р (а )) вое ш исх m

а =а +1

L_ m н

Р (а ) исх m

(19)

Из рис. 4 видно, что ряд (14) сходится, так как с ростом числа коэффициентов погрешность восстановления ФРМР убывает.

На рис. 5 показаны зависимости восстановленной равномерной ФРМР при одинаковой ширине "окна" [эн> ак], но при изменении общего радиуса частиц, входящих

Р( а) 1

0,5

0,5

0,5

0,5

Рис. 3

! 1 1

20 \ i j 30 а

1 п мкм

20 1 I30

201 Г\ !w

| 20/^ \зо

0,2 0,1

Pia) 1

Рис . 5

N

50 100 150 N Рис. 4

А п 1 20 а

40/. мкм Wo

--

80 90

в ансамбль <N = 100): 1 - ан - 10 мкм, ак » 20 мкм, 2 - ан = 40 мкм, а^ ■ 50 мкм, 3 - а^ = 80 мкм, а^ ■ 90 мкм. Погрешность, как видно из рис. 5, растет с ростом радиусов частиц, входящих в ансамбль и составляет: 1 - 6 « 0,07, 2 - 6 = 0,1, 3 - б = 0,4. Из рис. 5 видно также, что шкалу отсчетов по"а"следует выбирать так, чтобы "окно" fан, ак] оказывалось в средней части этой шкалы, так как при уменьшении радиусов "а" появляются дополнительные "паразитные" лепестки при восстановлении ФРМР (рис. 5,-2), а при увеличении радиусов происходит "завал" восстановленной ФРМР при приближении к ак (рис. 5,3).

На рис. 6 показаны восстановленные ФРМР при различной ширине "окна" [aH,aJ(N=100): 1 - ан = 29 мкм, ак = 31 мкм; 2 - ан - 26 мкм, ак = 34 мкм; ^ - ан " 22 мкм, ак = 38 мкм. При этом погрешность минимизируется при ширине "окна", равной а^-а^ » 20 мкм,и медленно увеличивается при увеличении и уменьшении разности a.k~aM.

На рис. 1,1 показана восстановленная супергауссова ФРМР при L = 1, N *> 50, а0 » 15 мкм; пунктирная линия - исходная функция распределения. Ошибка 6 под-считывалась в "окне" [aQ-A, а0+д] и составила 6 = 0,06. На рис. 7,2 показана зависимость среднеквадратичной ошибки восстановления ФРМР от показателя супергаусс а L. Видно, что чем более круто изменяется функция распределения, чем ближе она к прямоугольному распределению, тем больше погрешность восстановления.

Численное исследование работы алгоритма по формулам (14), (18) в присутствии шумов данных, при этом к вычисленной по формуле (1) средней интенсивности Кг) добавлялся аддитивный белый шум, генерируемый датчиком случайных чисел, равновероятно заполняющих отрезок , j (где КО) - максимальное

значение интенсивности при г = 0), показало, что устойчивости работы алгоритма

Р(а) 1

1 -f •

• ¿9 Г 31 мкм

- 26 ' 1 1 3^

Р(а)

20

Рис

30 6

38

2 4 6

Рис. 7

можно достичь уменьшением числа членов в ряде (14), причем, правда, происходит искажение исходной ФРМР (см. рис. 3,4). На рис. 8 показана зависимость погрешности б восстановления ФРМР от величины амплитуды шума О (И = 12). В этом случае ан ■ 10 мкм, а^ ■ 20 мкм. Видно, что в широких пределах изменения величины погрешность 6 остается примерно одинаковой.

Приведенные здесь результаты численного моделирования метода восстановления ФРМР по формулам (14), (18) демонстрируют работоспособность предложенного алгоритма и позволяют надеяться на успех в его практическом применении для анализа экспериментальных данных.

6,% 30

15

0,01 0,05 Рис. 8

0,1 Q

Определение ФРМР с помощью преобразования типа Неймана-Ханкеля

В данном разделе предложен и анализируется метод восстановления функции распределения микрочастиц по размерам с помощью всего одного интегрального преобразования типа Неймана-Ханкеля, примененного к измеренной интенсивности Кг). При этом увеличивается быстродействие по сравнению с алгоритмами (7), (8) в два раза и с алгоритмом (14), (18) в полтора раза. Это следует из того, что число арифметических операций, требуемых для выполнения одного интегрального преобразования, пропорционально N* (N - число интервалов разбиения области интегрирования) .

В [7] предложено использовать для решения уравнения (1) две обобщенные трансформанты Фурье, найденные Бейтманом (1907 г.). Оказывается, что имеют место выражения

f(x> = / K(xy)g(y)dy,

(X/

gty) = / H(xy)f(x)cx/ о

где lax) = — x ' '

HCx) = - v~ Jvcf)Yv(|>, где также Jv<x), Yv(x> " Функции бесселя и Неймана, соответственно, v-ro порядка. Функция Неймана есть, по определению, Функция бесселя второго рода, которая связана с функцией Бесселя первого рода известным соотношением

J С X > cos TT.V -Y (х) = ---Г-

v sin TIV

где v - нецелое число, если же v = m, где m - целое число, то имеет место предельное соотношение

. Y (х) = Um {Y (х)} .

1Я . V

v-»m

Выражения (20), применимые к уравнению (1), приводят к результату 00

/r-£-(r3I(r))j4 íjra') Y (7га') dr = o dr it i т

00 со

ж A / г (rJ¡(7 ra')) dr / aap(a)J (7 ra) Y (7 ra) da = o dr * f o 1 f 1 f

00 ao

s -A / aP (a) da / ar 7- (rj'íj ra')) J.(7ra) Y (7га) dr = o o dr 1 f 1 т if

09

= -A / aP (a)6(a-a')da = -APta'Ja' o

где б(а-а') - дельта - функция Дирака. Отсюда получается окончательное выражение для решения уравнения (1) в виде 00

Р<а) s - / ^r(r3I(r))Ji(£ ra)Yi(j ra)rdr« (21)

Заметим, что решение в виде (21) не приведено в [7], в которой только намечен путь к его получению.

Из (21) следует алгоритм обработки измеренной интенсивности 1(г): первая

операция - взятие производной от функции г31(г), вторая операция - осуществив-

j

ние преобразования типа Неймана-Ханкеля от функции г31 (г) ) .

Далее предлагается модернизация решения (21), в которой отсутствует операция дифференцирования измеренных данных, что, очевидно, должно увеличить точность восстановления ФРМР. С этой целью используем соотношение ([6], с. 283)

• а " гГТь ' ь < а

/ xJ (ах) J (Ьх) Y (bx)dx (22)

0111 U V.

о , ь > а.

Применение формулы (22) к уравнению (1) дает следующее выражение

/ r3I(r)j rg) Y (j rPIdr = - " aP(a)da. (23)

2uka£ £

Дифференцируя no £ обе части равенства (23), получим 00

РСа) = ГГ0 í r3j(r)Á {aJ,(? ra> Y1 (T ra)} dr, (24)

где A0 = A(£) . Ядро преобразования (24) можно получить в виде без операции

- SO -

дифференцирования, используя известные рекуррентные соотношения для производных цилиндрических функций. Можно показать, что имеют место выражения

-7- (а J (г а)У„ (га)} = г а [и (г а)У (г а) + с!а1 ° 10' о11о оо

+ •|о(гоа)У1(гоа)] - •Мг0а)У1(г0а) = Ф(г0а>, (25)

где г0 = Jr. Окончательно решение уравнения (1) записывается в виде 2тх

Р (а) =

зА,

/ г I (г )Ф(гЛа)с!г.

(26)

Из (1) и (23) следует, что обнаружены две новые взаимные обобщенные Фурье-трансформанты

СК(х) = х^(х),

Э£(х) = 2п <х)У1 (х)],

(27)

для которых выполняются соотношения, аналогичные (20), но при "Кх) = х 1(х), д(у) = уР(у).

Таким образом, согласно (26) алгоритм восстановления ФРМР содержит всего одну операцию над измеренной интенсивностью, т.е. применение интегрального преобразования типа Неймана-Ханкеля с ядром ф(га) к функции г31(г).

Предложенный метод апробировался численно. Для расчетов функции Бесселя и Неймана применялась аппроксимация полиномами (см. [8], с. 191), интеграл (1) считался по методу Симпсона. Расчетные параметры были следующие: к = 10** мм-1, f = 102 мм, дискретность по радиальной переменной - 0,1 мм, дискретность по радиусам частиц - 1 мкм, однако при расчете интеграла (1) дискретность по радиусам была 0,1 мкм. Исходная ФРМР выбиралась прямоугольного вида на отрезке [ан, ак].

На рис. 3,1 показана восстановленная прямоугольная ФРМР при N = 100, а.. ■= 20 мкм, а, = 30 мкм. Погрешность восстановления, рассчитанная по формуле (19) , равна б и 0,02. Видно, однако, что в области а^ [0,а ] имеют место дополнительные "паразитные" лепестки, возникающие из-за ошибок при вычислении интегралов (1) и (26) в конечных пределах. Если априорно известно, что период модуляции "паразитных" лепестков меньше периода модуляции значений искомой ФРМР (этому всегда можно удовлетворить, выбирая N достаточно большим), то эти дополнительные лепестки могут быть отфильтрованы подходящим фильтром. Действительно, можно было заметить, что максимумы дополнительных лепестков лежат в точках а^, которые связаны с нулями функции Бесселя первого порядка 1 (р ) = 0 выражением

Р(а)

V а

/ \у V "20 з Г 0 мкм 1

2 0 30 Рис. 9

к -1

an = Pn<"jT UN) * гДе H = 0,1 мм - дискретность по радиальной переменной. А минимумы (отрицательные максимумы) модуляции дополнительных лепестков лежат в точках

Ьр, связанных с нулями функции Неймана первого порядка Y1 (о) ) = 0 выражением

k — i " bn = 0Jn (у HN) . В связи с тем, что искомая ФРМР не может менять знак от отсчета

к отсчету, так как она положительная, по определению, то понятно как фильтровать "паразитные" лепестки. Если за два последующих отсчета ап и bn, выбранных как указано выше, восстановленная функция распределения меняет знак, то ее надо положить равной нулю в обоих отсчетах. Если же знак функции не изменился (и положительный), то функцию распределения в этих отсчетах оставляют без изменения.

На рис. 9,2 показан результат описанной фильтрации восстановленной ФРМР на рис. 9,-Z. Видно, что дополнительные лепестки полностью устранены.

Проведено сравнение работы алгоритмов восстановления ФРМР по формулам (26) и (14), (18), которое показало, что в точностном плане оба алгоритма сравнимы, так как при одинаковых параметрах численного эксперимента, и если число членов ряда (14) равно числу интервалов разбиения области интегрирования в (26), то погрешности восстановления функции распределения для обоих методов отличаются не более чем на 20$.

5. Определение ФРМР с помощью быстрого преобразования Фурье

В данном разделе предложен метод восстановления ФРМР, обеспечивающий быстродействие, превышающее быстродействие методов предложенных ранее, поскольку интегральное преобразование интенсивности осуществляется с помощью быстрого преобразования Фурье, для выполнения которого требуется около N loga N арифметических операций.

С этой целью предлагается рассматривать интегральное уравнение (1) относительно функции распределения Р(а) как уравнение типа свертки. Для этого вводятся переобозначения

i (г) = га1(г), s(а) = а3Р(а), F(ra) = J*(у га)

и замена переменных

г = rQ ехр(х), а = а0 ехр(у). Безразмерные переменные х, у принадлежат уже всей числовой оси, aQ/ rQ - произвольные постоянные, задающие диапазон изменения неэквидистантных отсчетов по переменным а и г. при этом вместо уравнения (1) получится уравнение вида 00

i (х) = I s(y)F(x+y)dy. (28)

— 00

Решение уравнения (28) записывается в виде [9]

s(y) = ^ е хр (- iojy ) dü>, (29)

00

где U(со) = I i (x)exn (i *o))dx/

— оо

ОС

Ф(со) = I F(y)exp<iya,)dy,

— оо

R(a,w) - стабилизирующий множитель, который можно выбрать в виде, аналогичном виду фильтра Винерл [р]:

Ría,с) = -L5ÍSU*- , (30)

где a - параметр регуляризации, п = 1,2,3,...

Окончательное выражение для искомой функции распределения с учетом (29), (30) имеет вид

/ W- ехр ( - i со ln — > dco, (31)

|Ф(о>) | + aw2n о

где Р(а) > 0. Таки-м образом, методика восстановления ФРМР сводится к следующему: измеряется радиальное распределение средней интенсивности 1(г) Фурье-спект ра; измеренная функция га1(г) после замены переменных г = г0 ехр(х) численно подвергается быстрому преобразованию Фурье; полученная при этом функция U(ш) подставляется в выражение (31)» и окончательно вычисляется функция Р(а).

Предложенный метод восстановления ФРМР включает в себя процедуру регуляризации и поэтому оказывается устойчивым к ошибкам в данных измерения. Для апробации полученных выражений проводилось численное моделирование при следующих параметрах: N = 128 - общее число отсчетов, дискретность эквидистантных -отсчетов по переменным х, у была равна 0,03; г0 = 9 мм; а0 = 23 мкм, при этом отсчеты по переменным г и а оказывались неэквидистантными в диапазоне 0,1 мм < < г < 6 мм и 3 мкм < а < 150 мкм, соответственно.

В качестве функции Р(а) выбиралось равномерное распределение частиц по радиусам на отрезке [а^.а^], при а^ » 20 мкм, а^ = 25 мкм. К рассчитанной по формуле (1) интенсивности добавлялся аддитивный шум, генерировавшийся датчиком

„ Г I (0)Q I(0)Q1.

случайных чисел, равновероят-но заполняющих отрезок значении [- —=;—, —^—JJ Q - задает амплитуду шума.

На рис. 10 показаны восстановленные по (31) равномерные ФРМР: 1 - а = 10~в; 2 - а = Ю-7; 3 - а = 10~S. При этом в (31) выбиралось п = 2. Из рис. 10 видно, что при увеличении параметра регуляризации а края прямоугольного распределения сглаживаются (пунктиром показана исходная ФРМР).

Рис. Ю

На рис. 11 показаны восстановленные ФРМР (а = 10 3) при различных амплитудах шума: 1-0=0; 2-0= 10_а; 3 - 0 = 10~\ Видно, что при увеличении амплитуды шума восстановленная функция распределения сужается в заданном "окне [ан, а^] и увеличивается амплитуда "паразитных" лепестков.

На рис. 12 показаны зависимости погрешности восстановления ФРМР в процентах, рассчитанной по формуле С19 >, в зависимости от амплитуды шума 0. На

-7 -6 _ -5

рис. 12, а показаны графики для г0 = 9 мм: 1 - а = 10 ; 2 - а = 10 ; 3 - а= 10 на рис. 12, б - графики для го = 16 мм: 1 - а = 1 0 7, 2 - а = 10 6, 3 -а = 10~5. Увеличение г0 означает увеличение диапазона изменения радиальной пе-

6, I, 100

Р(а)

70

50 30

10

к О, Zt

А / i 1/ 1 70

/ г/\ 50 VI / |

// 1 30 / 2J ' />-^31

f ! -2 | 10 ю ; ■ ! i 10"2| Q

Рис. 11

а б

Рис. 12

ременной или увеличение числа периодов модуляции в зарегистрированной интенсивности. Из рис. 12 видно, что устойчивость алгоритма (31) к шумам начинается с величины параметра регуляризации, равной а = 10 5, при этом погрешность восстановления ФРМР практически не изменяется при изменении амплитуды шума 0 в широком диапазоне от 0 до Ю-1. При 0 = 0,1 амплитуда шума составляет 10$ от максимального значения интенсивности 1(0), при этом погрешность восстановления ФРМР не превышает 30%.

В работе освещаются новые оптико-цифровые методы анализа пространственного ансамбля микрочастиц. При этом получены разные формы решения интегрального уравнения с ядром в виде функции Бесселя первого рода первого порядка, которые выражают в явном виде искомую функцию распределения микрочастиц по размерам через измеренную среднюю интенсивность Фурье-спектра излучения, рассеянного частицами. Приведенные численные результаты демонстрируют работоспособность предложенных методов.

Литература

1. Применение методов Фурье-оптики /Под ред. Г. Старка. М.: Радио и свяэь, 1988.

2. Борен К.у Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. М.: Мир, 1986.

3. Fleuret «Г., Mautre И. 3 Thery J.F. Ргос. Soc. Photo-Opt. Instr. Eng., 1977, vol. 136, p. 277.

4. Nakadate S.3 Saito E. Opt. Lett.,1983, vol. 8, N 11, p. 578.

5. Инверсия Абеля и ее обобщения. Новосибирск: изд-во НГУ, 1978.

6.Прудников А.П., Брпчков Ю.А.Л Марпчев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983.

7. Шифрин К.С. п Труды ВЗЛТИ, 1956. Вып. 3, с. 20.

8. Справочник по специальным функциям /Под ред. М. Абрамовица, И. Сти-гана. М.: Наука, 1979-

9. Василенко г.И., Тараторин A.M. Восстановление изображений. М.: Радио и связь, 1986.