Анализ дифракции электромагнитной волны на бесконечном круглом цилиндре с несколькими однородными слоями Текст научной статьи по специальности «Физика»

АНАЛИЗ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НА БЕСКОНЕЧНОМ КРУГЛОМ ЦИЛИНДРЕ С НЕСКОЛЬКИМИ ОДНОРОДНЫМИ СЛОЯМИ

В.В. Котляр, М.А. Личманов Институт систем обработки изображений РАН Самарский государственный аэрокосмический университет

Аннотация

Рассмотрен метод расчета распределения интенсивности при дифракции плоской волны ТЕ - и ТМ - поляризации на диэлектрическом однородном цилиндре с произвольной формой сечения. Метод основан на разложении поля внутри и вне цилиндра в ряды из цилиндрических функций, являющихся частными решениями уравнения Гельмгольца. Коэффициенты рядов ищутся из условий сопряжения внешних и внутренних полей на границе цилиндрического объекта. Предложен также метод расчета поля при дифракции плоской волны на многослойном диэлектрическом цилиндре с круглым сечением. При числе однородных слоев цилиндра больше двух задача сведена к решению линейной системы алгебраических уравнений, а при наличии только двух слоев диэлектрического цилиндра для поля получены аналитические соотношения. Приведен численный пример расчета распределения интенсивности при дифракции плоской ТЕ-волны на двухслойном диэлектрическом

цилиндре: расчет проведен двумя методами полученных аналитических формул.

Введение

Расчету дифракции электромагнитных волн на элементах микро-оптики в последнее время уделяется большое внимание исследователей. Такие расчеты полей требуются при проектировании фотонных кристаллов [1] и волоконных тейперов с размерами в десятки нанометров [2, 3], при анализе взаимодействия (захвата и манипулирования) микрочастиц и модовых лазерных пучков [4], а также для проектирования субмикронных элементов планарной и интегральной оптики [5, 6].

Почти все методы анализа двухмерной микрооптики основаны либо на решении интегральных уравнений методом конечных элементов [7-11], либо на решении дифференциальных уравнений с помощью разностных схем [12-14]. Точность и быстро -действие этих методов противоположным образом зависит от числа узлов дискретной сетки отсчетов.

В данной работе предлагается метод расчета поля дифракции, основанный не на разложении искомого поля по своим отсчетам на сетке, а на разложении поля по аналитическим базисным функциям, которые являются решениями соответствующих дифференциальных уравнений, например, уравнения Гельмгольца. Метод является обобщением известного метода, примененного для расчета поля дифракции плоской электромагнитной волны на однородном диэлектрическом круглом цилиндре [15]. Предлагается два пути обобщения задачи. Первый путь - применить метод разложения поля дифракции по базисным цилиндрическим функциям для однородного диэлектрического цилиндра с произвольной формой сечения (круг, эллипс, квадрат и так далее).

Второй путь - рассмотреть не однородный цилиндр с круглым сечением, а многослойный цилиндр, имеющий много однородных кольцевых слоев. Задача дифракции для двухслойного цилиндра сводится к решению системы из четырех уравнений, которую можно решить аналитически.

методом конечных элементов и с помощью

1. Описание модового метода Рассмотрим падение плоской электромагнитной волны на однородный диэлектрический цилиндр с сечением произвольной формы, который неограничен вдоль направления г

Рис. 1. Дифракция плоской электромагнитной волны на диэлектрическом бесконечном цилиндре с сечением произвольной формы

Согласно рис. 1 область 1 представляет собой однородный диэлектрический цилиндр, ось z направлена перпендикулярно рисунку, а область 2 -внешнюю среду.

Поле внутри области 1 будем искать в виде

ряда:

V1 (Г, ф)= X Cm V1m (r, ф) (1)

т=-'--о

где V 1m (Г, ф) = Jm (V ) C0S ПФ , Jm (V ) - функцИЯ

2п

Бесселя m-го порядка, k =— n , X - длина волны

X

падающего излучения, n =^ - показатель преломления области 1.

Поле внутри области 2 с учетом падающей плоской волны Vo (r,ф) можно представить:

+зд

V2 (Г, Ф) = X Dm V2m (Г, ф) + Vo (Г, ф) , (2)

т=-'--о

где V2т (Г, ф)= Я!2)(^2Г )С°5 ПФ , Я12)(^2Г ) - функция Ханкеля 2-го рода т-го порядка, к2 = 2л/А, (для области 2 принимаем п = 1).

Рассмотрим случай ТЕ-поляризации. Случай ТМ-поляризации приводит к аналогичным формулам и дополнительных трудностей не имеет. Воспользуемся условиями непрерывности полей и их тангенциальных производных на границе £ между областями 1 и 2 на рис. 1:

У1(г, ф), = У 2 (Г, ф),

дУ1 ( ф) = дУ 2 ( ф) , (3)

дп дп

где п - единичный вектор внешней к области 1 нормали.

Подставляя уравнения (1) и (2) в систему (3), получаем систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов Ст и Дт:

X СтУ 1т (Г , ф)) = У 0 (Г , ф))

т=-со

+ X °т У2т ( ф))

дУїт (Г, ф)

дп

дп

+ X Д 8У 2т ( ф)

дп

Потребуем, чтобы количество узлов, описывающих границу, было равно сумме числа коэффициентов Ст и Бт . При этом количество узлов границы должно быть нечетным. Если нумерация узлов границы от 0 до N где N - четное, то т = - N 2, N 2. Таким образом, мы получаем замкнутую систему линейных алгебраических уравнений:

С-Л/2У1 -N/2 (0, ф0 )+ ... + Слу 2у1 N/2 (г0, ф0 ) Д-Л/2У2 -N/2 (Г0, ф0 ) ... ДЛ/2У2 N/2 (г0, ф0 ) У0 (Г0, ф0 )

С- N 2У1 - N 2 (г1, ф1 ) + ... + СЛ/ 2у1 Л/ 2 (г1, ф1 ) — Д- Л/ 2у2 - Л/ 2 (г1, ф1 ) — ... — ДЛ/ 2У2 Л/ 2 (, ф1 ) = У0 (, ф1 )

* * *

С- Л/ 2у1 - Л 2 (Л, фЛ ) + ... + СЛ 2У1 Л 2 (Л, фЛ ) - Д- Л 2У2 - Л/ 2 (ГЛ, фЛ ) - ... - ДЛ/ 2У2 Л/ 2 (гЛ, фЛ ) = У0 (ГЛ, фЛ )

С

- Л 2 "

дУі -Л/2 ( ф0 )

дп

+... + С,

Л 2 "

дУі Л2 ( ф0 ) - Д ^2 -Л/2 ( ф0)

дп

- Л 2 "

дп

-... - Д

Л/ 2 ■

дУ2 Л2 ( ф0 ) =дУ0 ( ф0 )

дп

дп

(5)

С -Л/ 2 * * *

дУі - Л/ 2 ( ф1 )

дп

+... + С,

Л/ 2 ■

дУі Л 2 ( фі ) - Д ^У2 - Л/ 2 ( фі )

дп

-Л/2 "

дп

-... - Д

С -Л2 (Л, фЛ ), , С

Л 2 дп + ... + СЛ 2

дУ1 Л/2 (гЛ, фЛ) д ^У2 -Л/2 (ГЛ, фЛ)

дп

Л/ 2

дп

Л/ 2 ■

-... - Д

дУ 2 Л2 ( ф1 ) дУ0 ( ф1 )

дп

дп

дУ2 Л/2 (гЛ, фЛ ) = дУ0 (ГЛ, фЛ )

Л/ 2

дп

дп

Решив систему (5), получаем искомые коэффициенты Ст и Дт, которые подставляем затем в уравнения (1) и (2) , соответственно, для нахождения поля дифракции в областях 1 и 2.

При расчете задачи дифракции данным методом следует учесть, что функции Бесселя и Ханкеля высоких порядков в системе координат, связанной с центром объекта, не должны выходить за предел вычислительной ошибки ЭВМ. Так как при фиксированных значениях аргумента с увеличением номера порядка функции Бесселя стремятся к нулю, а функции Неймана, которые составляют мнимую часть функций Хан-келя, стремятся по модулю к бесконечности. При таких условиях система (5) начинает расходиться, что приводит к потере точности результатов.

Положительной стороной данного метода является незначительное по сравнению с методом конечных элементов (МКЭ) время расчета задачи, так как количество неизвестных коэффициентов гораздо меньше, чем число узлов сетки отсчетов поля в методе МКЭ. К примеру, для расчета дифракции плоской электромагнитной волны на однородном квадратном цилиндре размером 20х20 отсчетов методом интегрального уравнения Фредгольма, использующим

МКЭ [11], требуется решить систему из 400-т линейных алгебраических уравнений, тогда как выше описанным методом при аппроксимации объекта 31 узлом требуется решить 31 уравнение. Кроме того, не возникает ситуация, когда приходится избавляться от расчета функции Ханкеля в окрестности нуля увеличением количества узлов дискретизации [11].

Модовый метод расчета поля дифракции в двумерных задачах, можно также применить не только для однородных цилиндрических объектов, но и для неоднородных. В следующем пункте рас-

сматривается метод решения задачи дифракции плоской волны на многослойном цилиндре с круглым сечением.

2. Дифракция на многослойном цилиндре

В работе [15] приводится аналитическое решение задачи дифракции плоской электромагнитной волны на однородном диэлектрическом цилиндре. Ниже приводится обобщение на случай многослойного цилиндра, где каждый слой имеет свою диэлектрическую проницаемость (рис. 2).

Поле во внутреннем круге (0 < г < г1) будем искать в виде:

т=-да

т=-со

+да . ___ .

V11 = E C1mJm r )C0S тф .

(б)

Поле внутри ]-о однородного кольца диэлектрика будем искать в виде разложения в ряд:

+да і— . ,

V1 j = E LC(2j-2)mJm (k^r )

+C(2j-l)mYm (/j )]

(7)

cos mф,

г. , < г < г., і = 2, Л 1 ] 7 7 где гЛ = Д .

Поле вне диэлектрика также представим в виде ряда с неизвестными коэффициентами:

+да

У 2 = У0 + X С2ЛтН(ш (кг )С°5 тф ,

т=- да

г > Д . (8)

Для случая ТЕ-поляризации (для ТМ-поляри-зации получаются аналогичные соотношения, и дополнительных трудностей не возникает) приравнивая поля и производные на границе г. , получим систему уравнений:

Рис. 2. Многослойный цилиндр круглого сечения с кольцевыми однородными слоями

При ] = 1 с учетом (6) и (7) из системы (9) имеем:

+ЗД . . +да |- . _ . . . -|

E C1mJm (kVs7Ті) cos mф = E |_C2mJm (k^Г1 ) + Vm (kM^TT1 ) cos mф

m=-да m=-w

+да . _ . _ +да Г- . . . _ . -|

л/sl E CimJ m (>^л/ё7ri) cos mф = ^2 E |_C2mJ'm (T ) + CзmY'm (T ) cos mф

(10)

(11)

При j = 2, N -1 с учетом (7) из системы (9) имеем:

+да I— , v —I

X |_C(2 j - 2)mJm rj ) + C(2 j-1)mYm (k (jГ ) J cos даф =

m=-да

= X LC2 jmJm (^л(^+7rj ) + C(2 j+1)mYm (jrj ) J C0S ™Ф

X [C(2 j-2)mJ'm (k^Г ) + C(2 j-1)mY'm ((jrj ) J C0S ™Ф =

m=-да

= Л/Л X [C2 jmJ 'm (jrj ) + C(2 j+1)mY 'm (kylj1rj )] C0S ™Ф .

m=-да

При j = N с учетом (7) и (8) из системы (9) имеем:

+да |- . ____ . . _____ . -|

X [C(2N-2)mJm rN ) + C(2N-1)mYm (Л )J C0S ™Ф =

m=-да

+да +да

= X (- )m Jm (krN )C0S тф+ X C2 NmHm){krN ) C0S ™Ф

m=->M m=-co

X [ J 'm rN ) + C(2N-1)mY 'm rN )] C0S ШФ =

m=-да

+да +да

= X (-i )mJ 'm (krN )C0S ШФ + X C2NmH f (krN ) C0S ШФ

m=->M m=-да

Таким образом, системы (10), (11), (12) образуют одну общую систему из 2N уравнений относительно не-

(І2)

известных коэффициентов Ск, к = 1, 2N . Матрица этой системы принимает вид:

m

2В

Ут ( к^Г ) - Ут ( ^7^2Г1 ) -Гт ( Г1 )

У 'т (кЛ/ёТг1 ^);Т -У т (^(2Г1 ^7^2 -Г т ((2Г1 ) +^Г

0 Ут (^^7^2Г2 ) Гт Г2 )

0 У т (kл/ёГГ2 ) +^Г Г т (k^/ёГГ2 ) +^Г

Ут ((Г ) У 'т ((Г> Гт (кл/ё^Г ) Г 'т (кл/-2ГУ ))

-У„ (/е3 г2,

-У 'т (кЛ/ёТг2 ))

-Г„ (/е3г2 )е3

к (^/Ы!ГЫ-1 )

Гт (N7ГЫ-1 )

-Ут (-ЫГЫ-1 )

-Гт (-ЫГЫ-1 )

^ т (кл/8Ы-1 ГЫ-1 ) )ы-1 ^т ((-Ы -1ГЫ -1 ))ы-1 ^т (кл/^ЫГЫ-1 ))2 Гт (кл/^ЫГЫ-1

-Нт](кГы)

0

-Н У(К)

Система уравнений решается для т-го коэффициента разложения в ряд по цилиндрическим функциям. Полученные коэффициенты подставляются затем в уравнения (6), (7), (8).

Для случая двухслойного цилиндра (рис. 3) уравнения (6), (7), (8) преобразуются к виду:

+ад . _ .

у11 = X С1т^т (кл/ё1Г) СОБ тф , 0 < Г < Г ,

т=-со

^12 = X С2тУт (кЛ/ёТГ) + С3тГт Г )] СОБ тф , Г1

т=-да

V 2 = ^0 + X С4 т^ (кГ )СОБ тФ , Г > Г2 .

(14)

(15)

(16)

Рассуждая аналогичным образом, как и в предыдущем параграфе, приходим к системе из четырех линейных алгебраических уравнений, решение которой можно получить аналитически:

С2т =

С3т =

(-)т л/^Т к^т ((-2к ) 'т (к^/^ТГ! ) У 'т ( ^ ))( Н )> (кГ2 ) У,. (кГ2 )- Я^ (кГ, ) У (кГ2 ))

д

(- )т (г, (г,) у т (г, ^ - г т (г, )&ут (к^гх))(я^/г, ) т (кг2)-я т](кг2 рт (кг2))

д

(17)

(- )т (У 'т (k^/ё7Г1 ) ^Ут (к4-1Г1 ) - Ут (k^/ё7Г1 ) У 'т (к^1Г1 ) ^ ) (^ (кГ2 ) У 'т (кГ2 ) - Я " (кГ2 ) Ут (кГ2 ))

д

С =

4т

= (-)т (Гт ((к ) ) ’т (к7ё7(1 ) ( - Г 'т (^^7^2Г1 ) )Ут (л/-!Г1 )) (к (^(2Г2 ) У 'т (( ) - к ’т ((ГГ2 ) )Ут (кГ2 )) + ( У к (<(Г1 ) )к к, ) - к (кЛ/-2Г1 ) ) 'т Г1 ))) Г2 )) 'т (кГ2 ) - Г 'т (к7ё2Г2 ) )к (кГ2 )) /Д

Здесь

Д = (Гт (кл/- Г1 ) У 'т (Г1 - Г \ (кг, ) Т-к (^Г )) (У \ (^л/^ГГ2 ) ^2^ (кГ2 ) - к (к\/- Г2 ) Я т (^2 )) +

+ (•У к (к-(Г1 ) )к (1 ) - )т (k^/ёГГ1 ) У 'т Г1 ) )) (Г (^(2Г2 ( ^^2Ят2) (( ) - Гт (кЛ/ё2Г2 ) Я ’т2’ (кГ2 ))

Полученные коэффициенты (17) подставляются в уравнения (14), (15), (16).

(18)

т=--о

3. Численные примеры Проведен ряд численных экспериментов по сравнению аналитического метода для многослойного цилиндра и метода решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода [11], которые показали, что последний метод позволяет рассчитывать дифракцию на кусочно-однородных объектах. Далее представлен следующий численный пример для расчета поля дифракции плоской ТЕ-поляризованной волны на двухслойном диэлектрическом цилиндре с параметрами: г1 = 0,25 мкм, г2 = 0,5 мкм, є1 = 0,25, є2 = 4 , X = 1 мкм. На рис. 4

(а) показано двухмерное распределение интенсивности (квадрат модуля проекции на ось г вектора напряженности электрического поля) в плоскости сечения двухслойного круглого цилиндра (негатив), рассчитанное по аналитическим формулам (14)-(18), а на на рис.4 (б) показано сравнение распределений интенсивности вдоль линии, отмеченной черной чертой на рис. 4а (вдоль оси х), рассчитанных с помощью аналитических формул (14)-(18) (черная кривая) и метода конечных элементов [11] (серая

Рис. 3. Двухслойный цилиндр

Результаты, полученные с помощью метода конечных элементов, отличаются при заданных параметрах от результатов аналитического метода приблизительно на 5%.

На рис. 5 приведены распределения интенсивности электрического поля при дифракции плоской ТЕ-поляризованной волны (падающей слева) на круглом двухслойном бесконечном цилиндре при разных радиусах Г1 и диэлектрических проницаемостях внутреннего цилиндра, но при постоянном радиусе (г2 = 0,5; X =0,5 мкм) и диэлектрической проницаемости (е2=4) внешнего цилиндра.

На рис. 5а-рис. 5к меняется радиус внутреннего цилиндра (он растет от 0,05 мкм на рис. 5 (а) до

0,5 мкм на рис. 5к), а диэлектрическая проницаемость внутреннего и внешнего цилиндров остается неизменной (2,25 и 4). Из рис. 5 (а - к) видно, что:

1) максимальное значение интенсивности находит-

ся либо на поверхности внешнего цилиндра в максимально удаленной точке от падающего пучка (рис. 5 (а - д) и рис. 5 (з - к), либо в двух точках внутри внешнего цилиндра, симметрично расположенных относительно максимально удаленной точки от падающего пучка (рис. 5 е - ж);

2) цилиндр с большей проницаемостью (рис. 5а)

рассеивает свет под большим углом, чем цилиндр с меньшей проницаемостью (рис. 5к).

О

а)

Рис. 4. Дифракция плоской ТЕ-поляризованной электромагнитной волны на двухслойной диэлектрическом цилиндре: а) 2Б распределение интенсивности; б) сечение интенсивности по оси Х, точечная кривая - МКЭ, черная кривая -аналитический метод.

На рис.5 (л - п) меняется диэлектрическая проницаемость внутреннего цилиндра (она растет от 1 на рис. 5 (л) до 6 на рис.5 (п), радиус внутреннего кольца не меняется гТ=0 ,25 мкм..

Из рис. 5 (л - п) видно, что максимальное значение интенсивности с ростом диэлектрической проницаемости «втягивается» внутрь внешнего цилиндра. Если продолжить увеличение диэлектрической проницаемости внутреннего цилиндра, то, начиная с еТ=8, максимальное значение интенсивности электрического поля будет уже находится на поверхности не внешнего цилиндра, а внутреннего.

е)

п)

Рис. 5 Распределения интенсивности поля дифракции плоской ТЕ-волны на двухслойном круглом цилиндре (гТ - радиус внутреннего цилиндра, г2 = 0,5; 1=0,5 мкм - радиус внешнего цилиндра, е и е2=4 - диэлектрические проницаемости внутреннего и внешнего цилиндров): а) гТ=0,05 X, еТ=2,25; б) гТ=0,1 X, еТ=2,25; в) гТ=0,15X, еТ=2,25;

г) гТ=0,2X, еТ=2,25; д) гТ=0,25 X, еТ=2,25; е) гТ=0,3 X, еТ=2,25; ж) гТ=0,35X, еТ=2,25; з) гТ=0,4X, еТ=2,25; и) гТ=0,45X, еТ=2,25; к) гТ=0,5X, еТ=2,25; л) гТ=0,25 X, еТ=1; м) гТ=0,25 X, еТ=2; н) гТ=0,25 X, еТ=3; о) гТ=0,25X, еТ=5; п) гТ=0,25X, еТ=6.

5. Заключение

В работе предложены две новые разновидности модового подхода для решения задач дифракции электромагнитной волны на диэлектрических цилиндрических объектах. Первый метод применим для расчета поля дифракции на однородных диэлектрических цилиндрах с сечением произвольной формы. Второй метод применим к расчету дифракции на многослойных диэлектрических цилиндрах с круглой формой сечения, причем в каждом кольцевом слое цилиндра имеется однородный диэлектрик. Оба метода сводят задачу дифракции к решению линейной системы алгебраических уравнений, размерность которой определяется числом неизвестных коэффициентов в конечных суммах, состоящих из цилиндрических функций, которыми на практике заменяются бесконечные ряды. Для двухслойного цилиндра получены аналитические формулы, которые проверены с помощью сравнения с результатами расчета по методу конечных элементов.

Литература

1. Krauss T.F., De La Rue R.M. Ph0t0niC Crystal in the 0ptiCal regime - past, present and future. // Progress in Quantum EleCtroniCs, v. 23, p.51-96 (1999).

2. Tanaka M., Tanaka K. C0mputer simulati0n for tw0-dimensi0nal near-field 0ptiCs with use 0f a metal-C0ated dieleCtriC probe. // J. Opt. S0C. Am. A, v.18, n0.4, p.919-925 (2001).

3. Chien D.N., Tanaka M., Tanaka K. NumeriCal simulati0n 0f an arbitrarily ended asymmetriCal slab waveguide by guided-m0de extraCted integral equati0ns. // J. Opt. S0C. Am. A, v.19, n0.8, p.1649-1657 (2002).

4. GarCes-Chavez V., MCGl0in D., Melville H., Sibbett W., Dh0lakia K. Simultane0us miCromanipula-ti0n in multiple planes using a self-reC0nstruCting light beam. // Nature, v.419 (September), p.145-147 (2002).

5. Daleiden J., ChitiCa N., Strassner M. et al. Tunable InP/air gap Fabry-Perot filter f0r wavelength divisi0n multiplex fiber 0ptiCal transmissi0n. // Pr0Ceed-

ings 0f the 11-th Int. C0nf. 0n InP and related Materials, ISBN 0-7803-5562-8, p.285-287 (1999).

6. S0ller B.J., Hall D.G. Energy transfer at 0ptiCal frequenCies t0 siliC0n-based waveguiding struCtures. // J. Opt. S0C. Am. A, v.18, rn.10, p.2577-2584 (2001).

7. Mir0tznik M., Prather D., Mait J. A hybrid finite element-b0undary element meth0d f0r the analysis 0f diffraCtive elements. // J. 0f M0dern OptiCs, v.43, n0.7, p.1309-1321 (1996).

8. K0tlyar V.V., Nesterenk0 D.V. A finite element meth0d in the pr0blem 0f light diffraCti0n by mi-Cr0-0ptiCs. // OptiCal Mem0ry and Neural Netw0rks, v.9, n0.3, p.209-219 (2000)

9. Prather D.W., Mirotznik M.S., Mait J. B0und-ary integral meth0ds applied t0 the analysis 0f diffraCtive 0ptiCal elements. // J. Opt. S0C. Am. A, v.14, p.34-43 (1997).

10. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа, 1991.

11. Котляр В.В., Личманов М.А. Анализ дифракции света на микрообъектах с помощью решения интегрального уравнения методом конечных элементов // Компьютерная оптика, вып.21, с.19-22 (2001).

12. Prather D.W., Shi S. F0rmulati0n and appliCa-ti0n 0f the finite-differenCe time-d0main meth0d f0r the analysis 0f axially symmetriC diffraCtive 0ptiCal elements. // J. Opt. S0C. Am. A, v.16, n0.5, p. 1131-1142 (1999).

13. Головашкин Д.Л., Сойфер В.А. Анализ электромагнитного излучения, прошедшего через дифракционную линзу // Автометрия. Вып.6. С. 119121 (1999).

14. Gruzdev V., Gruzdeva A. Finite-differenCe time-d0main m0deling 0f laser beam pr0pagati0n and sCattering in dieleCtriC material. // Pr0Ceedings 0f SPIE, v.4436, p.27-38. (2001).

15. Ваганов Р.Б., Кацанеденбаум Б.З. Принципы теории дифракции. М.: Наука, 1982.