CC BY
30
ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА МНОГОСЛОЙНОГО КРУГЛОГО ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА
В.В. Котляр, М.А. Личманов Институт систем обработки изображений РАН, Самарский государственный аэрокосмический университет
Аннотация
Рассмотрен градиентный метод расчета многослойного диэлектрического цилиндра с круглым сечением, фокусирующего плоскую ТЕ-поляризованную электромагнитную волну в точки с заданным распределением интенсивности на некотором расстоянии от цилиндра. Решение обратной задачи синтеза основано на разработанном ранее методе решения прямой задачи расчета поля дифракции. Амплитуда светового поля разлагается в каждом однородном слое цилиндра и вне его в ряды по цилиндрическим функциям, неизвестные коэффициенты которых находятся с помощью рекуррентных соотношений из уравнений, полученных при удовлетворении граничным условиям на границах однородных слоев цилиндра.
Введение
В [1, 2] рассмотрен метод расчета поля дифракции плоских ТЕ- и ТМ-поляризованных электромагнитных волн на многослойном диэлектрическом цилиндре с круглым сечением. Метод основан на разложении амплитуды поля в каждом однородном слое цилиндра, и вне его, в ряды по цилиндрическим функциям. Неизвестные коэффициенты в этих рядах находятся с помощью рекуррентных формул из уравнений, полученных при удовлетворении граничным условиям на границах однородных слоев цилиндра. Метод был применен для расчета поля дифракции плоской волны на градиентных цилиндрических линзах Лунеберга и Итона-Липмана [2, 3], размер которых сравним с длиной волны света.
В данной работе рассматривается двумерная обратная задача дифракции в рамках электромагнитной теории: расчет многослойного диэлектрического цилиндра с круглым сечением, фокусирующего падающую плоскую волну в точки с заданным распределением интенсивности. Разработан градиентный алгоритм для поиска оптимального распределения значений показателя преломления по слоям цилиндра или поиска оптимальных радиусов однородных слоев цилиндра. При этом решение обратной задачи основано на решении прямой задачи с помощью метода [1, 2]. Ранее аналогичная задача решалась с помощью метода конечных элементов [4]. Градиентный метод синтеза применен для расчета цилиндрической линзы с 10-ю однородными слоями, фокусирующей плоскую волну в два поперечных фокуса.
Заметим, что ранее задача синтеза градиентных объектов микро-оптики с цилиндрической или сферической симметрией показателя преломления рассматривалась только в приближении геометрической (лучевой) оптики [5, 6].
1. Описание метода
На рис. 1 показано сечение многослойного диэлектрического цилиндра с круглым сечением. В каждом слое показатель преломления постоянный, а поле описывается функцией ц .
Рис. 1. Многослойный цилиндр
Оптимизация параметров цилиндра (радиусов слоев и их показателей преломления) проводится с помощью метода сопряженного градиента, аналогично [4]. Критерием оптимизации является функция ошибки между требуемой и рассчитанной ин-тенсивностями.
Функция ошибки 5 (р) определяется по формуле:
5(р) = 5 (I (р), I'), (1)
где Р Рм)= ; r1,...,гм) - набор
изменяемых параметров (М - общее число параметров); I (р) - вектор рассчитанных значений интенсивности; I' - вектор требуемых значений интенсивности. Пусть общее количество точек, в которых рассчитывается интенсивность - X.
Набор параметров на к +1 -ом шаге итерации:
Рк+1 = Рк - ^5(Р),
'к
где t - шаг градиентного алгоритма;
Гд5 (р) д5 (р)
(2)
У5 (р) =
д Р1 д Рм
Гд5 (р) д5 (р) д5 (р) д5 (р)
дле
д г
д г.
N
градиент функции ошибки по набору параметров.
Производная функции ошибки 8 (р) по г-му параметру с учетом (1) принимает вид:
= ^ d5 (((p)I') dlj (p)
d Pi ¡=\ dI¡ (P) d Pi
dI] (p) dy* (p) * dy j fa)
= V ¡-¿Г-+V]-1—-
(3)
dPi
(
= 2Re
dPi ^ j (P)
dp,
dPi
(4)
i /
Здесь I/ (р) и у / (р) - интенсивность и амплитуда поля в/-ой точке из набораХ, соответственно.
Амплитуда поля внутри и снаружи цилиндра представляется в виде:
Производная поля по параметру , где г = 1,N , с учетом (5) принимает вид:
у =
Icos даф,
У\\ = Е C\mJm )C
m=—w
0 < r < r\;
У\ j = Е [C(2 j-2)mJm Г)Н
+ C(2 j—\)mYm S j rJJcoS тФ=
r¡-\ < r < rj, j = 2, N V 2 = У 0 + Е C2NmHm'(kr )c0s тФ=
(5)
m=—w r > rN (rN = R )
где / - номер слоя цилиндра; у0 = ехр(- 'кх) - амплитуда падающей плоской монохроматической волны с единичной интенсивностью.
dy
Е
dC
lm Jm (r) + C\mkrJm (r)
ЕЕ ((V^Tr).
Е
<5^
dC(2 j-2),
Jm
cosmф, i = \ 0 < r < r\; )osmф, i = 2,N, 0 < r < r\;
dC(2 j—^
(r)+ C(2j-2)mkrJm (r)+-^S=l)m Ym (r)+ C(2j—
dfj
(kfjr)
соз тф,
(6)
г = j, . < r < r;., j = 2,N;
Е
dC,
m
(r) + Ym (r)
dVSi '
cosmф, i Ф j, г.— < r < r¡ , j = 2,N;
Z^mHi(2>(kr)cosmф, r > rN, rN = R.
Производная поля по параметру гг, где г = 1, N , с учетом (5) принимает вид:
Е ЩГГ'1™ )с08тф'
ду dr
m=—o> i
0 < r < r.
Е
dC,
(2 j-2)m
dri
Дкл/^7r )4
dC(2 J-\)
+ d^" Ym
dri
(r)
соз тф,
(7)
rj-\ < r < r¡, j = 2, N;
+ Ю dC ( )
Е d2Nm Hm(kr)cosmФ,
i
r > rN = rN = R
Для нахождения вектора неизвестных коэффициентов С т используются граничные условия сопряжения полей и их производных на радиусах скачков г/ показателя преломления. В случаях ТЕ- и ТМ-поляризации
применение граничных условий к системе (5) дает систему из 2N линейных алгебраических уравнений относительно вектора неизвестных коэффициентов С т :
А тСт = В т (8)
w=—w
m
m
m
m=—w
m=—w
Для случая ТЕ-поляризации:
■1ш (к^Ъ ) - )
3'ш (кл/ё1г1 _ - 3 'ш (кл/ёГГ1
3ш ((2Г2 )
3 ш (кл/еГг2 _7
А ш
- (кл/ё2г1) - 7 'ш (ТГ1 У^Г
7ш (кл/ё2г2)
7'ш (кл/ёТГ2 _7
- 3ш ((л/^г2) - 7ш (кл/^г2)
- 3'ш (кЛ/ё3Г2 У^Т - 7'ш (кЛ/ё3Г2 УЁз"
3»((г) ) ■ Мтгг _Г
7'ш (ёГг/ - 3'ш К/Го - 7'ш К/Го
3ш ((еN-1 ГN-1)_ 7ш ((еN-1 'V-1)_ 3ш ((еN ГN-1)_ 7ш((еN ГN-1)_
3'ш ((еN-1 ГN-1 _еN-1 7'ш ((еN-1 'И-1 _еN-1 - 3'ш \k(ёNГN-1 )еN - 7'ш ((еN ГN-1 )еN
в ш
(- ' Т3ш (kГW _
' У3 'ш ^ _
(10)
Получим производные от элементов вектора С ш по параметру pi, используемые в (6) и (7). Из (8) следует:
Т (АшСш _ = ""I .
дРг дРг
Далее: дА
дРг
дСш
дРг
Сш + А ш
дС„ дВи
дРг дРг
(
•_ А ш
дВ „ дА „
дРг дРг
Сш
(11)
Используя (11), с учетом (10) получаем: дС
дА
ш _ _ А I ш С
А*. %гу! | ' уу! •
<3^ ш дл/ёТ
Рассмотрим далее случай ТЕ-поляризации. Матрица А ш имеет вид (9).
Проанализируем матрицу
дАш .
а^/е"
Пусть
_ А ш , где г _ 1, N. Имеют место следующие
дАш
дТёГ
варианты:
1. г _ 1. Отличны от нуля элементы:
«11 - ,- - кГ13 ш
да
21
дЛ/ё1
_3 'ш (кл/ё1г1 _
+ ¡С^Г3"ш (ку[ё1Г1 _
2. г _ 2,N. Отличны от нуля элементы:
(13)
3 ш _ 7ш ((е N ГN _ {кгN )
3'ш ((еN ГN _еN 7'ш ((еN ГN _еN - Н'Щг^ {kгN \
да
2г'-3,2г'-1
2г'-2,2г'-2
2г-3,2г-2
да
2г-3,2г-1
-кгг-13'ш ((гг-1 _;
-кгг-17 'ш ((г--1 _;
да
2г-2,2г-2
_ -3'ш дА/ё~ ш
(^л/^ГГ-1 _
Гг -13"ш (Г-1 _
да
2 -2,2 -1
■ _ -7'
2 -2,2 -1 ш
дЛ/8г
'г-17"ш ((Г-1 _ да2 -1,2 -2
^л/^"Г-1
(12)
2 -1,2 -1
да2 -1,2 -1
_ кгг3'ш
_ кг7 ш
);(14)
(4ег _;
да
2 ,2 -2
2 ,2 -2
дл/ё7
+ ¡у^Г3"ш (('г)
_3 ш (¡^'г _+
д«2г,2г-1 _ 7ш ((л/ёТгг)+
2 ,2 -1
дуё1
+ кл/ёГГ7"ш (^л/ёТГ-)
Элементы матрицы Аш, записанные в (13) и (14), полностью определяют ее при любых . Под-
ставив полученную матрицу
дАш
в уравнение
дС и
(12), находим искомую производную ш , которая
дл/ё
в свою очередь используется в системе (6).
3
0
0
2 -1,2 -2
21
Используя (11), с учетом (10) получаем:
-с
дг
- А -1С
дАт
дг
г = 1, N -1;
а т
дВ т - С дА т т
V
дг,
N У
дА т
дг
Проанализируем матрицу
■ = А т, где г — 1, N.
г — N.
дА „
дг
1. г — 1. Отличны от нуля элементы: = = 'т (кд/г1г1);
~2,1 = дГ1 = ке^"т (кд/^1г1);
~1,2 = -да1;1 = 'т )
дг
да2
а2,2 = ~ = ке23 т
дгг
"т (г1 )
1,3 = д ' _ 'т ((е2г\ );
Л'т (кл/е7г1 ).
дг,-да2
а2,3 = _ ' = ке2У"т \к^1е2г
дг
2,-1,2,-2
дг
да
2г,2г-2
дг
= ке 3 т
"т (г);
да2
дг
да2,-1,2г
(15)
Пусть
2. г = 2, N -1. Отличны от нуля элементы:
да2г -1,2г-2-=к'\1е3 'т((г);
7-1,2г-1 =' -г = ку[е¥'т ((егг );
2г—1,2г
дг
=ке¥ "т г);
= -кл/ег+1 3 'т ((е+1 гг );
да
2 ,2
2 ,2
дг да
= ке+13
г+1 т
"т Vе+1 г ) ;
(16)
(17)
2г—1,2г+1
2г-1,2г+1
дг
да
2 ,2 +1 дг
= ке1+1¥ т
"т ((е+1 гг ) .
3. г — N .
да2 N-1
— /.IV—/.
2N -1,2 N-2
дг
= к-\/еN 3'т
(kд/еN~rN) ;
да2
дг
• — ке\т3
"т {{Vе^rN );
да
2 N-1,2 N-1
2 N -1,2 N-1
дг
да2
= кл/ еN У 'т ГЛ/ еN г N / ;
Г"т ((% ^ );
^,2N-1 — _ = kеNY т\кл1 еNrN ); (18)
дг
-'2 N -1,2 N
= да2 N-1,2 N = -кн |(2)
дг
— -кн тк^);
= да2N ,2 N = -кн "(2)
дг
—-кн-т^).
дВ
Вектор —т из (15) имеет вид:
дгы
дВт
дгы
(19)
(-1)тк1 'т ^ )
у(-/)тк/"т ^ I Функцию ошибки 8 (р) выберем в виде:
8(р) = ( (р)-1 / )2. (20)
/—1
Из уравнений (3), (4) с учетом (20) получаем:
(21)
-8(р)=4Е ((р)-1' / ) ^ '
д р, V/ др ,
ду / (р)
Производная в /-ой точке набора X —-- оп-
дРг
ределяется уравнениями (6), (7).
2. Численные результаты
Для оценки работоспособности метода была исследована задача синтеза кругового цилиндра, фокусирующего в две точки на расстоянии 2 мкм от центра цилиндра. Были выбраны следующие параметры: X — 0,2 мкм - длина падающей плоской электромагнитной ТЕ-поляризованной волны; N=10 - число слоев цилиндра (все слои равной толщины); Я=1 мкм - внешний радиус цилиндра.
В качестве начального распределения показателя преломления в слоях цилиндра выбирались значения, следующие из аналитического решения, полученного в рамках геометрической оптики в [5, 6]. Картина дифракции на исходном цилиндре и зависимость показателя преломления от радиуса цилиндра показаны на рис. 2:
Далее с помощью разработанного градиентного алгоритма происходила коррекция значений показателя преломления в однородных слоях цилиндра с целью повышения интенсивности в фокальных точках (рис. 2а).
В результате, за 16 итераций метода удалось повысить значения интенсивности только на 10% (см. рис. 3).
2 N ,2^-2
0
0
2 ,2 -2
2 ,2 -1
Сечение по у ЕЕ*
1 1 I
г г L 1 Г _ L Т
Г г -■ 1 1 1 1 1 1 1 —1—1—1— 1 1 1 1 1 1 1 1 1 —1—J—1— 1 1 1 ' Т г I L
0,2 0,4 0,6 0,8 г
Рис. 2. а) 2Браспределение интенсивности на области 4х4мкм (400х400 отсчетов); б) сечение по оси У на расстоянии 2 мкм от центра цилиндра (в фокальной плоскости); в) зависимость показателя преломления от радиуса цилиндра
Сечение по у ЕЕ*
-з- 1 TI—1—я II 1 II II 1 /1 ll/l / 1 1 / -3- 1 1 1
1 i 1 N. 1 1 H-h-J-\ / 1 1 / 1 1 / 1 \ 1 1 1 1 1 .
~ \ 1 / W 1 | f — VI / 1 \ iJ / 1 \ 1 V/ 1 V/ 1
О
б
Рис. 3. а) 2Браспределение интенсивности на области 4х4мкм (400х400 отсчетов); б) сечение по оси У на расстоянии 2 мкм от центра цилиндра(в фокальной плоскости); в) зависимость показателя преломления от радиуса цилиндра
Заключение
В работе рассмотрен градиентный метод расчета многослойного диэлектрического цилиндра с круглым сечением, фокусирующего плоскую электромагнитную волну в точки с заданным распределением интенсивности.
Метод применен для расчета 10-и слойного цилиндра, формирующего две фокальные точки, и радиус цилиндра сравним с длиной волны света. Незначительное увеличение интенсивности фокальных точек (на 10% по сравнению с начальным) связано с малым числом степеней свободы (всего 10 слоев).
Благодарности
Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ № НШ-1007.2003.1 и российско-американской программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» («ВИНЕ»).
Литература 1. Котляр В.В., Личманов М.А. Дифракция плоской электромагнитной волны на градиентном
оптическом элементе с поперечной цилиндрической симметрией // Физика волновых процессов и радиотехнических систем, 2002. Т.5. № 4. С. 37-43.
2. Koltyar V.V., Lichmanov M.A. Diffraction of a plane electromagnetic wave by a gradient-index dielectric micro-cylinder // In Book "Perspectives in Engineering Optics", Ed. by K.Singh, V.K.Rastogi, Publ.Anita Publications, Delhi, 2003. Р. 38-46.
3. Luneburg R.K. Mathematical Theory of Optics, Brown U.Press, Providence, R.I., 1944.
4. Nesterenko D.V., Kotlyar V.V. Design of subwave-length binary microoptics using a gradient optimization method// Proceedings of SPIE, 2001. V.4436. P.171-178,
5. Flores J.R. Spherically symmetric GRIN amplitude formers // J. Mod. Opt., 2001. V.48. N.7. P. 1225-1238.
6. Котляр В.В., Мелехин А.С. Преобразование Абеля для расчета градиентных оптических элементов со сферически-симметричным распределением показателя преломления // Компьютерная оптика, 2002. Вып.24. С. 48-52,
а
в
а
в
