Оптика зондирования осесимметричного обтекания телмонодисперсным аэрозольным потоком Текст научной статьи по специальности «Физика»

2013 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1 Вып. 1

МЕХАНИКА

УДК 543.436, 533.6.011, 53.088

ОПТИКА ЗОНДИРОВАНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ МОНОДИСПЕРСНЫМ АЭРОЗОЛЬНЫМ ПОТОКОМ*

И. А. Амелюшкин

Центральный аэрогидродинамический институт им. проф. Н.Е.Жуковского, аспирант, [email protected]

Введение. Информацию о поведении частиц массового спектра в аэрозольном потоке можно получить из анализа поведения в нем зондирующего излучения [1—3]. Однако для адекватной расшифровки результатов оптических измерений необходимо, в принципе, решать уравнение переноса излучения, учитывающее поглощение и рассеивание энергии света [2, 3]. Данная математическая проблема относится к классу некорректно поставленных обратных задач [4-6]. Целью настоящей работы в плане сопровождения экспериментов [1, 2], связанных с визуализацией и измерением параметров двухфазного потока методом «лазерного ножа», является создание физико-математической модели переноса излучения в аэрозольном потоке и разработка метода решения обратной оптической задачи с требуемой точностью.

Постановка задачи. Рассмотрим зондирование «лазерным ножом» осесиммет-ричного обтекания затупленного тела сверхзвуковым аэрозольным потоком (рис. 1) с пространственным распределением в единице объема (в дальнейшем, концентрации) п(х, у, г) одинаковых шаровых частиц гематита Ре2О3 известного радиуса а; геометрические и физические параметры указаны в табл. 1 и 2 соответственно. Плоскость объектива фотоприемника параллельна плоскости «лазерного ножа», плоскость «лазерного ножа» проходит через ось симметрии аэрозольного потока х и принадлежит плоскости г = 0. Каждая частица обладает своим коэффициентом рассеивания Qsca, коэффициентом поглощения (а и коэффициентом ослабления (экстинк-ции) (еХ1 = (вса + (а падающего излучения интенсивностью 1о с длиной волны А,

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №10-01-00745 и 10-08-00820), а также в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009—2013 гг. (гос. контракт №14.740.11.1072). Доклад на Международной конференции по механике «Шестые Поляховские чтения» 31 января — 3 февраля 2012 г., Санкт-Петербург, Россия.

© И. А. Амелюшкин, 2013

которые вычисляются с помощью известной теории Ми (или по известной формуле Релея в случае малых частиц) в зависимости от электромагнитных свойств материала частиц и их размеров. В пренебрежении многократным рассеиванием энергии излучения получим формулу, связывающую излучение в каждой ячейке фотоснимка световой плоскости («лазерного ножа») и концентрацию частиц п в зондируемом объеме.

Рис. 1. Схема оптического зондирования обтекания тела аэрозольным потоком: 1 — плоскость «лазерного ножа», 2 — направление излучения, 3 — направление аэрозольного потока, 4 — обтекаемое тело, 5 — область, охватываемая фотоприемником, 6 — фотоснимок (светочувствительная матрица).

Таблица 1. Геометрические параметры

Радиус Радиус Расстояние Длина Высота

шаровой сферы до фото- расчетной расчетной

частицы приемника области области

а (мкм) R (см) L (см) D (см) Я (см)

0.1 3.75 10 6 6

Таблица 2. Физические параметры

Длина волны излучения Плотность несущей среды Плотность материала частицы (Fe203) Показатель преломления частицы (Fe203) Концентрация частиц у точки торможения

Л (мкм) Р1 (кг/м~6) рр(кг/м~6) <(") «о (ы-Л)*

1.05 1.08 5250 1.69 4.55-10ib

* по = ро/ ( 4(')>) • где было принято, что масса частиц в единице объема ро = Р1-

Интенсивность излучения IlA(x, y) в каждой точке A(x, y) плоскости z = 0 «лазерного ножа» (рис. 1) пропорциональна концентрации частиц n(x, y, 0) в малой окрестности этой точки, толщине ножа h, а также коэффициенту рассеивания излучения na2Qsca(a) при заданной длине волны. Здесь индекс i означает incident (падающий).

При этом следует учитывать ослабление излучения вдоль оси у, так как, проходя к данной точке, световая энергия затухает по известному экспоненциальному закону (Бугера) в результате ее рассеивания и поглощения частицами аэрозоля (молекулярные рассеивание и поглощение малы: их не имеет смысла учитывать):

1л(х,У)

/о

пa2Qs

п(х, у)

Да)-• п • ехр

по

1-И

Qext(а)па2п(£, у , г = 0)йу'

(1)

Каждая точка плоскости «лазерного ножа» взаимно-однозначно отображается на фотоснимке. Из каждой светящейся (в результате рассеивания) ячейки световой плоскости «ножа» лучистая энергия, затухая, попадает, пройдя через линзу объектива (рис.2), на соответствующую точку Б (хм ,ум) матрицы фотоприемника, а выражение для интенсивности сигнала 1е(хм (х), ум (у)) в произвольной точке Б (хм, Ум) на фотоснимке будет следующим:

1е(хм(х),ум(у))

1а

РА(х, у) • сов £ • ехр

,-ЛБ

Qext(a)пa2 п(в)ёв

(2)

где в — путь, пройденный светом от точки плоскости «лазерного ножа» А(х, у) до точки Б(хм(х),ум(у)) плоскости светочувствительной матрицы (фотоснимка). Малая площадка А1А2 и отрезок АЬ образуют телесный угол П, внутри которого происходят потери лучистой энергии (рис.2), попавшей в фотоприемник из элемента А1А2 плоскости «ножа». Весь путь от точки А до точки Б определяется выражением АБ = \/ х2 + у2 + Ь2, где Ь — расстояние от плоскости «лазерного ножа» до фотоприемника.

у

о

Рис. 2. Схема фотосъемки «лазерного ножа» при оптическом зондировании обтекания тела аэрозольным потоком (ось х потока перпендикулярна плоскости рисунка): 1 — «лазерный нож», 2 — обтекаемое тело, 3 — направление излучения, 4 — линза фотоприемника, 5 — светочувствительная матрица фотоприемника (изображение объекта).

Концентрация частиц при интегрировании вдоль пути s определяется следующим выражением: n(s) = n(£(s),n(s),C(s)). Входящие в него величины находятся из геометрических соображений (см. рис.1): £(s) = s sin е cos у, n(s) = s sin e sin у,

C(s) = s cose. Также находим входящие в них углы: tge = ; tgф =

Замечание. При записи формул (1)—(2) предполагалось, что индикатриса рассеивания (диаграмма направленности рассеянного излучения) несущественно меняется в зависимости от координат наблюдаемых ячеек плоскости «лазерного ножа».

Решение обратной задачи. Рассмотрим обратную задачу определения пространственного распределения концентрации одинаковых шаровых частиц в осесим-метричном аэрозольном потоке по одному фотоснимку сечения потока плоскостью «лазерного ножа». Пусть 1е —поле интенсивности излучения на фотоснимке, который получен при фотографировании плоскости «лазерного ножа» в эксперименте с аэрозольным потоком. Разобьем фотоснимок — расчетную область — на Nx и N ячеек вдоль осей х и у соответственно. Пусть г, з —номера ячеек вдоль координатных осей х и у соответственно (г € + 1], 3 € + 1]), а 1е(г,3) —значение ин-

тенсивности излучения в ячейке с номерами г, 3. Требуется найти пространственное распределение концентрации частиц вблизи затупленного тела при помощи описанного выше фотоснимка. В связи с тем, что концентрация частиц п(х, у, г) в формуле (2)—подынтегральная функция, задача определения п(х,у,г) при наличии одного фотоснимка «лазерного ножа», имеет, на первый взгляд, неоднозначное решение. Существуют методы решения таких задач [4-6], основанные, главным образом, на использовании дополнительной априорной информации и последовательном (итерационном) приближении к решению. Суть разработанного на основе [7] алгоритма в том, что

1) компьютерная обработка изображения на фотоснимке производится вдоль пути распространения энергии зондирующего излучения;

2) используется информация о симметрии распределения частиц относительно оси х двухфазного потока при осесимметричном обтекании им затупленного тела;

3) итерационный алгоритм (метод последовательных приближений) обеспечивает ничтожно малую погрешность обработки изображения.

Опишем численный метод решения обратной задачи, подставив (1) в (2) и записав (2) в следующем виде:

Ie(x,y) = а■ n(x,y) ■ exp

/ в ■ n(x,y',z = 0)dy' J y

■ cos е exp

fAS

в ■ n(s)ds

• (3)

о

Здесь в = пa¿Qext(a, Л) — ослабление излучения, а — коэффициент, зависящий от геометрических параметров частиц, оптических параметров излучения и частиц, а также от толщины «лазерного ножа», он связывает интенсивность излучения 1е на фотоснимке с концентрацией частиц п в аэрозольном потоке при оптическом зондировании последнего.

В верхней области «лазерного ножа» энергия света не ослабляется в результате рассеивания вдоль оси у (рис. 3), так как —в ■ п(х, у', г = 0)ёу' = 0.

Рис. 3. Схема использования информации при интегрировании вдоль пути распространения излучения. Ось х потока перпендикулярна плоскости рисунка. 1 — плоскость «лазерного ножа», 2 — направление падающего излучения, 3 — направление сканирования при обработке изображения, 4 — направление излучения в фотоприемник, 5 — линии равных значений концентрации дисперсной фазы, 6 — линза фотоприемника, 7 — светочувствительная матрица (изображение объекта).

Интеграл вдоль пути излучения от плоскости «лазерного ножа» до фотоприемника имеет вид

VL2 + H2 flHsinE! rVL2+H2 / Ц

/ n(s)ds = / n(s)ds + / n(s)ds = tgti = —

J0 J0 J2H sin £1 V L

/•2H sin £ i

= / n(s)ds « n(H)2Hsin£\,

0

так как при расстоянии \Jy2 + z2 > H от оси симметрии потока дисперсная фаза отсутствует (рис.3). Предполагается, что в соответствии с реальными экспериментами [1, 2] L > H.

Исходя из геометрических соображений (рис. 3), концентрация частиц в верхней ячейке расчетной области равна п(х, у = Н, z = 0) = иди n(i, 1) = —

во втором и последую-

в первом приближении; п(г, 1) = /е д'1-1 ехр п(г, 1)2Нешь]

р+1 р

щих приближениях.

Устремляя число итераций р ^ж, получаем значение концентрации дисперсной фазы п в ячейках (г, 1) с точностью до численной аппроксимации при преобразовании фотоснимка «лазерного ножа» в расчетную область с соответствующими значениями интенсивности излучения во всех ячейках этой области.

Ниже на малую величину Ду (ячейка (г, 2)) концентрация частиц в первом приближении (первой итерации) равна

Ie(x,y = H — Ay)

п{х, у = tí — Ay, z = 0) =-exp

1 a

[3Ay-n(x,y = Я, z = 0)

x cos £1 exp

/3 ( s22'n(x, у = H,z = 0) + -s12n(x, у = H,z = 0)

Ie(i, 2)

n(i, 2) =-exp

2 a

/ЗАу-п(ъ, 1)

cos £2 exp

fj s22n(i, 1) + s12-n(i, 1)

Это значение меньше значения концентрации частиц, которое требуется получить и которое впоследствии будет найдено методом последовательных приближений. Множитель ^ нужен для того, чтобы найденное в первом приближении значение концентрации частиц не превосходило искомое значение. Отладка алгоритма показала, что в противном случае с ростом числа приближений решение не будет сходиться. Из рис. 3 видно, что при ] =2 прямая ЛЬ в двух местах пересекает окружность, соответствующую ] = 2, и один раз окружность, соответствующую ] = 1. Величина «22 — расстояние между двумя пересечениями окружности, соответствующей ] = 2, а в!2 —расстояние между точкой пересечения прямой ЛЬ с окружностью, соответствующей ] = 1, и ближайшей к линзе точкой пересечения описанной выше прямой с окружностью, соответствующей ] = 2; они равны соответственно

в22 = 2(Я-Ду)8те2, в!2 = у/(н - Ау)2 + Я2 - 2Я(Я - Ау) йш - в22,

где

tge2 = Угол

L . „i^i 9512 находим, решая следующее уравнение: H sin <12 = (L — H cos y>l2)tg£2.

Во втором и последующих приближениях концентрацию дисперсной фазы во второй сверху ячейке находим следующим образом:

Ie(i, 2)

п(г,2) p+1 a

■ exp

n(i, 1)+ n(i, 2)'

/3 Ay-

2

cos e2 exp

n(i, 1)+n(i, 2)N

/?( s22n(i,2) + s12— P

p

2

при р > 1.

Устремляя р ^ж, получаем значение концентрации дисперсной фазы п в ячейках (г, 2).

Продолжая действовать аналогичным образом, находим значение концентрации частиц в третьей ячейке по вертикали:

n(i, 3) 1

Ie(i, 3)

■ exp

¡iAy ( + | n{i, 2)

2

2

cos £3 x

x exp

ni n(i,2) n(i,l) + n(i, 2) (3 ( s33n(«, 2) + s23—2--^ Sl3-2-

в первом приближении,

x

или

p

a

r q\ Ie{i, 3)

n(i, ó) =-exp

p+1 а

„л I n(i1) + n(i' 2) , n(i 2) + n(i 3)

/ЗДу ( ---+---

cos £3 X

x exp

в S33n(i, 3) + S23

n(i, 2) + n(i, 3)

p n(i, 1)+ n(i, 2)

--h «13 —

2

2

— во втором и в последующих приближениях. Здесь S33 = 2(H — 2Ду) sin£3, где tg£3 = Н~2АУ; (в общем случае tg £j = 1)Ау), s2 з = л/Щ + Щ - 2h1h3sin (р2з ~ «зз, где

(H — Ду) sin ^23 = [L — (H — Ду) cos <f 23] tg£3

«13 = V(H - Ay)2 + H2 — 2H{H - Ay) sin <p13 - s23,

где H sin ^13 = (L — H cos ^i3)tg£3

Устремляя p ^ж, получаем значение концентрации дисперсной фазы n в ячейках (i, 3).

В общем виде концентрация частиц n в ячейках, имеющих номера (i,j > 1), по интенсивности фотоснимка «лазерного ножа» вычисляется следующим образом:

Ie(i,j)

n(i,j)

1 а

X exp

■ exp

(j-2

вду^Е

,fc=i

n(i,k)+n(i,k +1)A 1 . л -2-

в sjjn(i,j — 1) + sj-ij

n(i,j - 1) 2

j-2 + E

n(i, m) + n(i, m +1) f 2

в первом приближении

Ie(i,j)

n(i,j) = p+1 а

■ exp

j-1

вДу

fc=1

X exp

n(i, k) + n(i, k + 1)

i(i,j — 1) + n(i,j) j-2

в sjj n(i,j) +

+

m=1

'mj

n(i, m) + n(i, m +1) 2

— во втором и в последующих приближениях. Здесь sjj = 2 [H — (j — 1) Ayjsin £j, где Smj = \ hj + h2m_í — 2hjhm— 1 sintpmj — sm+1j; углы tpmj определя-

_ H-{j- 1)Ау,

tg£j — L , smj y '"3 1 "m-ются из следующих выражений:

hm sin = (L — hm COs pmj )tg£j, hm = H — (m — 1)Ду. В практических расчетах удобно сделать следующую замену индексов:

l = j — m + 1.

Тогда

n(i, j)

Ie(i,j)

■ exp

j-2

вДу

,fc=1

n(i,k)+n(i,k + 1)\ 1 .

2

+ - 1)

X exp

( n(i,j — 1) E n(i,m) + n(i,m + 1) (3\ sljn(i,j - Í) + S2j----

2

l=3

2

(4)

p

cos £j X

s

m

cos £j X

2

p

2

p

cos £j X

а

в первом приближении,

с л Ie{i,j)

Щгт 3) =-ехР

p+1 а

j-i

вДу]Г

n(i, к) + n(i, к + 1)

2

х exp

к=1

n(i,j - 1) + n(iJ)

/3 syn(í, j) + s2j-

2

E° n(i,m) + n(i,m +1) sij-

i=3

2

— во втором и последующих приближениях. Здесь

sij = 2[H - (j - 1) Ду] sin £j, Sij = \Jh] + Щ-t - 2hjhj-i sin ipij - Sj-i-2j

при l > 1; где

tg£j =

H - (j - 1) Ду

L

Углы yij определяются из следующих выражений: hi sin yij = (L - hi cos yij )tg£j

где

Ы = Н - (з - 1)Ду. Уравнение (9) имеет аналитическое решение:

ы

(6)

(7)

(8)

(9) (10)

yij = 2arctg

= 2arctg

hi

(hi + L)tg£j

1 - W 1 + (tg£j)2 -

2 (H - (j - 1) Ду4

hi

Система выражений (4)—(10) представляет собой численный метод решения обратной задачи восстановления пространственного распределения концентрации одинаковых шаровых частиц известного радиуса при наличии фотоснимка «лазерного ножа», зондирующего осесимметричное обтекание тел аэрозольным потоком.

Отладка метода и алгоритма показала, что итерационный процесс сходится (максимальная ошибка менее 0.0001%) не более чем за 10 итераций в диапазоне параметров, соответствующих применимости известного закона экспоненциального ослабления лучистой энергии (закона Бугера) в мутной среде. В противном случае, итерационный процесс может привести к значительной ошибке. При значительном содержании частиц в аэрозольном потоке <С

где

1о = (п • ■жa2Qext(a,X)) 1 —характерная длина свободного пробега излучения, 1о >

i

1.3 см > 0.1Д « 0.4 см,—толщина

,кг+2;)

сжатого слоя вблизи обтекаемой сферы) метод может дать существенную ошибку, так как известный экспоненциальный закон ослабления Бугера не выполняется.

COS £j х

p

p

I, nQc = l^RJ/+T)

l -

0.8 -

0.6 -

0.4 -

"о

ft 2----з - 4----

Л ' 1 51.........

У у'

\ •**' s • % * ** * _ ^ * у „..-Л"*

* 1 \ ^ \ ' \ ^ * V' • Л ............. .....

* * / / / /...........■ V / V / \

л1У +Z1 /И

О

0.2

0,4

0.6

0.8

1

Рис.4-. Результат численного эксперимента: 1 — распределение концентрации частиц (п(х = 1.25R, -Jy1 + ,г2))(нормированных на концентрацию частиц no у точки торможения), 2 — зарегистрированный фотоприемником оптический сигнал 1е(хм, УМ), 3— распределение концентрации частиц, полученное в результате обработки изображения 2, 4 — ослабление зондирующего излучения в плоскости «лазерного ножа», 5 — ослабление зондирующего излучения на пути от «ножа» A до фотоприемника L.

Таким образом, обратная оптическая задача восстановления пространственного распределения концентрации частиц (или капель) в аэрозольном потоке по интенсивности рассеянного ими зондирующего монохроматического излучения решена.

Покажем работу алгоритма в численном эксперименте. На рис.4 изображен результат численного эксперимента, в котором по полю излучения на «фотоснимке» (полученному в результате решения прямой задачи (кривая 2): расчет интенсивности излучения 1е на фотоснимке по заданному распределению концентрации частиц п (кривая 1), которое качественно описывало поведение дисперсной примеси в аэрозольном потоке в экспериментах, проводимых в ЦАГИ [1, 2]) «лазерного ножа», определялось поле концентрации частиц п (кривая 3) с помощью описанного выше метода и сравнивалось с заданным распределением (кривая 1). Проведенный численный эксперимент (рис. 4) и отладка нового метода обработки изображения свидетельствуют о ничтожности относительной погрешности определения распределения концентрации дисперсной фазы в аэрозольном потоке по интенсивности рассеянного частицами зондирующего излучения; тем не менее, результат существенно зависит от мелкости разбиения расчетной области — числа ячеек. При сканировании фотоснимка в направлении распространения энергии излучения в необходимым условием сходимости решения обратной задачи является подбор шага разбиения расчетной области таким

образом, что n(i,js + 1) < ntyl^s ^ при монотонном возрастании пройденного светом пути s(i,j + 1) > s(i, j) в плоскости «лазерного ножа».

Заключение. Развита физико-математическая модель и численный алгоритм переноса излучения в монодисперсном осесимметричном аэрозольном потоке вблизи обтекаемых им тел. Разработаны новые алгоритм и численный метод решения обратной задачи определения пространственного распределения концентрации одинаковых шаровых частиц по интенсивности рассеянного ими монохроматического излучения. Численный эксперимент обработки фотоснимка «лазерного ножа», зондирующего обтекание тел осесимметричным аэрозольным потоком, показал ничтожно малую погрешность определения пространственного распределения дисперсной фазы по интенсивности рассеянного ими монохроматического излучения.

С помощью разработанного метода может быть повышена точность обработки изображений «лазерного ножа», зондирующего осесимметричное обтекание тел аэрозольным потоком.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю А.Л.Стасенко за обсуждение работы и полезные советы.

Литература

1. Василевский Э.Б., Безменов В. Я., Боровой В. Я., Горелов В. А., Жилин Ю. В., Казанский Р. А, МошаровВ.Е., Чирихин А .В., Яковлева Л. В. Экспериментальное исследование течения, теплообмена и электрооптических явлений при обтекании тел сверхзвуковым аэродисперсным потоком // ЦАГИ — основные этапы научной деятельности 1993—2003. М.: Физматлит, 2003. С.452-457.

2. Amelyushkin I.A., Stasenko A.L., Vasilevsky E.B. Optical investigation of the particulate concentration distribution upon a blunted body in a multiphase flow // Proceedings 8th Pacific Symposium on flow Visualization and Image Processing. Lomonosov Moscow State University. August 21th—25th. 2011.

3. Миллер А. Б., Моллесон Г. В., Стасенко А. Л. Механика и оптика сверхзвукового монодисперсного потока около освещаемой сферы // Ученые записки ЦАГИ. 2007. Т. XXXVIII, №3—4. С. 92-101.

4. Тихонов А.Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1986. 288 с.

5. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. 280 с.

6. Бек Дж., Блэкуэлл Б., Сент-Клэр Ч. Некорректные обратные задачи. М.: Мир, 1989. 312 с.

7. Амелюшкин И. А., Стасенко А. Л. Решение интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода применительно к оптике многофазных потоков // Труды XV Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Харьюв: Харьювський нацюнальний ушверситет, 2011. С. 35-38.

Статья поступила в редакцию 20 сентября 2012 г.