CC BY
27Определяющее соотношение для реологических процессов с известной историей нагружения
Введение. В статье предлагается и исследуется нелинейное определяющее соотношение (ОС) между напряжением и деформацией для описания одномерных изотермических реологических процессов в вязко-упруго-пластичных материалах в случае монотонного изменения напряжения ¿({). Оно выражает деформацию е^) через историю изменения напряжения s(т), 0 < т < t, и ¿(т) и особенно удобно для моделирования процессов, в которых задаётся программа нагружения ), в частности, различных эффектов, связанных с ползучестью (ползучести при ступенчатом нагружении, длительной прочности и т.п.). Деформация не предполагается малой и потому используется логарифмическая мера деформации е(^ := 1п I(¿)/1(0) . В дальнейшем будем считать (безразмерное) напряжение ¿(¿) неубывающей кусочно-непрерывно дифференцируемой положительной функцией (безразмерного) времени I > 0. Соответствующая деформация е(I) строится в виде результата композиции трёх независимых нелинейных операторов /, Р и §;, действующих по схеме ) а а^) а а е(^):
а(0 = /Ш), е(!) = Ра , е(0 = g(s(t)), где Ра := Уо{г)агв ^[а]"' , (0.1)
V ,а, в, р, ц, ©0,©1, - материальные параметры (они могут зависеть от температуры), / (х)
и g(х), х > 0, - материальные функции (пока произвольные неубывающие кусочно-непрерывно дифференцируемые положительные функции; в дальнейшем будет показано, что их можно определить по экспериментальным кривым ползучести и диаграммам деформирования материала). На материальные параметры (МП) налагаются минимальные априорные ограничения технического характера: V,а,р,ц > 0, хе [0;1]. Необходимые дополнительные ограничения (0.7) на МП, обеспечивающие качественно верное моделирование характерных особенностей механического поведения материалов (типичных свойств кривых деформирования, ползучести, релаксации, длительной прочности), будут выведены в дальнейшем.
Функцию а^) будем называть квазинапряжением, поскольку текущее значение а(^ связано с напряжением ¿(^ в тот же момент функцией / . Реологический оператор Р отображает историю нагружения а(г), 0 < т < t, в квазидеформацию s(t), по которой находится деформация е^) = g (е(^)). В определение Р входят интегральные операторы Ьр ® и отображающие
а(т) в следующие функции переменной t > 0:
Они задают семейства снабжённых специальными весовыми множителями норм (квазинорм при р, ц е (0;1)) пространств Лебега Ьр [0; t] и Соболева [0; t], зависящих от параметра t > 0. Параметр х е [0; 1] позволяет регулировать относительную величину вкладов а(т) и а(т) в значение оператора $цхщ[а,а]. Множитель т обеспечивает справедливость леммы 1, на которую
опирается вывод уравнений кривых ползучести и релаксации. Степенные множители т®1, т®0 и tв, не нарушая леммы 1, позволяют регулировать показатели асимптотики функций у^) при t а+0 и t аго и моделировать эффект затухания памяти материала (при > 0 ), т.е. обеспечить
независимость асимптотик теоретических кривых релаксации и ползучести при t аго от конкретного закона изменения деформации (или напряжения) в стадии перехода от нулевого до
Хохлов А.В. (khokhlov@imec.msu.ru )
Институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова
(0.2)
заданного постоянного значения на любом конечном интервале времени. Такое определение затухания памяти (модели или материала) [1,2] - более слабое требование, чем принятые в монографиях [3,4], но зато его выполнение может быть проверено в испытаниях материала.
Цель введения в ОС (0.1) оператора Sqx , явно учитывающего скорость нагружения, -
моделирование вязко-упруго-пластичных материалов, обладающих высокой чувствительностью к скорости нагружения, в частности, углеродных и керамических материалов при высоких температурах. ОС (0.1) представляется перспективным для описания поведения металлов и сплавов в состоянии сверхпластичности. Сверхпластичность - способность материалов к очень большой пластической деформации в условиях сильной зависимости напряжения течения от скорости деформации, которая, как правило, наблюдается у металлов и сплавов с мелкозернистой структурой при достаточно высоких температурах [5]. Некоторые авторы рассматривают сверхпластичность как особый вид ползучести [6]. Положив £ = 0, можно исключить SqIOh из ОС.
ОС (0.1) сконструировано аналогично предложенному в работе [7] соотношению
s(t) = F(a(t)), a(t) = Re, где Re := e(t)ate Sq^[s,èf L^V , t > 0, (0.3)
где a,p, q > 0, £,n, в,x> 0, ©0,©1 >-1. МП ОС (0.3) имеют другой физический смысл по сравнению с ОС (0.1) (в частности, комбинации параметров, отвечавшие в ОС (0.3) за ползучесть, будут отвечать в модели (0.1) за релаксацию, и наоборот - см. п. 2,4).
Основная идея - поменять ролями a(t) и e(t) в ОС (0.3), сохранив структуру оператора R, изученного в [1,2,7-9] и хорошо зарекомендовавшего себя в моделировании реологических процессов с известной историей деформирования, и выяснить при каких (новых) ограничениях на МП ОС (0.1) оно наследует ценные свойства ОС (0.3), обнаруженные ранее. Уверенность в том, что эти полезные свойства сохранятся при перемене ролей a(t ) и e(t ), основана, в частности, на
доказанном в [1,2] утверждении: при £ = 0 и d > 0 обратный оператор R-1 является интегральным и имеет в точности такую же структуру, что и оператор R, т.е. в этом случае точное обращение ОС (0.3) имеет как раз вид (0.1), где P = R-1, f = F_1, g(x) = x (в других случаях точное обращение ОС (0.3) на множестве всех кусочно-дифференцируемых процессов e(t) получить не удаётся). В дальнейшем при сопоставлении свойств ОС (0.3) и (0.1) их параметры, играющие одинаковую роль в конструкции операторов Р и R, будем обозначать одними и те ми же буквами, но со штрихами в случае ОС (0.3).
Помимо перемены ролей a(t ) и e(t ) в ОС (0.1) есть существенное нововведение по сравнению с конструкцией ОС (0.3): в ОС (0.3) входит только одна материальная функция F, а в ОС (0.1) добавлена вторая МФ g. Точнее, МФ G(x), преобразующая деформацию e(t) в квазидеформацию e = G(e(t)), введена в ОС (0.3) в работе [9], чтобы получить возможность моделировать все типы кривых ползучести (КП), наблюдаемые в экспериментах, а не только степенные (при G(x) = x, т.е. e = e, теоретическая КП модели (0.3)имеет вид e = a(<j)tn, n < 1 [7,2], и потому описывает только ползучесть с убывающей скоростью). Введение второй МФ G даёт дополнительную степень свободы в описании результатов испытаний материала и позволяет адекватно моделировать материалы с КП произвольной формы (в том числе тех, механические свойства которых существенно зависят от времени в силу нарастания повреждённости или структурных превращений). В частности, это позволяет моделировать ограниченную ползучесть и получать ТКП, имеющие все три характерных участка: замедляющейся, установившейся и ускоряющейся ползучести [9,8]. Эту же роль будет выполнять в ОС (0.1) МФ g (см. п.2,3). Она определяется из условия совпадения ТКП (2.1) с экспериментальной КП.
ОС (0.3) является обобщением предложенного в работе [10] соотношения
f t \п/p
a(t ) = F (r(t )), Y(t ) = Aea
t-в
j|e(r)|pdz , n> 0, a, p > 1, в^[0;1], (0.4)
которое было получено из модели Фицжералда [11] путём введения МФ Г и множителя ^. В статьях [10,11] приведено сравнение результатов расчетов по этим моделям-прототипам с данными экспериментов, показавшее их применимость к описанию некоторых аспектов поведения
таких материалов, как твёрдое топливо и асфальтобетон. Это мотивирует систематическое изучение их обобщения (0.3) и ОС в обратной форме (0.1).
Наличие девяти материальных параметров и МФ F (x) в ОС (0.3) предоставляет, как показано в [1,2,7-9], более широкие возможности по управлению свойствами модели и по её настройке за счёт выбора значений МП с целью адекватного и всестороннего описания поведения реономных материалов. ОС (0.3) позволяет (в случае монотонных процессов деформирования s(t)) описывать не только отдельные реологические эффекты, но и целый их комплекс: релаксацию, ползучесть, зависимость скорости ползучести от уровня напряжения, длительную прочность, затухание памяти материала, зависимость напряжения от деформации и её скорости (СД), зависимость "модуля упругости" при малых деформациях от СД. Оказалось, что, несмотря на сложность структуры ОС (0.3), можно довольно далеко продвинуться в его исследовании аналитическими средствами, не прибегая к замене строгих доказательств результатами численных экспериментов. В статьях [1,2,7,8] при любых допустимых значениях МП выведены уравнения теоретических кривых релаксации, кривых ползучести (КП) и кривых длительной прочности, аналитически исследована зависимость их свойств от МП и МФ F. Из общих качественных механических свойств материалов, наблюдаемых в опытах (возрастание напряжения с ростом деформации и СД, возрастание деформации при ползучести с течением времени и с повышением напряжения, убывание кривой длительной прочности, убывание напряжения при релаксации, затухание памяти материала и т.п.) выведены необходимые и достаточные (для обеспечения этих свойств у теоретических кривых) дополнительные ограничения на МП ОС (0.3):
d' > 1, m0 < 0, d' + m0 > 0, п0 < 0, п1 < 0, (0.5)
где d' :=а' + %'-ц', т0:= в' + п'п0 , п0 := - P'-1, п1:=-ю[ - ц- (0.6)
ключевые параметры модели (0.3), входящие в уравнения теоретических кривых деформирования, релаксации, ползучести и длительной прочности.
Примечательно, что каждое из ограничений (0.5) возникает при рассмотрении нескольких различных аспектов поведения материала, что свидетельствует о достаточно высокой степени внутренней согласованности модели (0.3). Например, ограничения п1 < 0 и т0 < 0 обеспечивают убывание напряжения с течением времени при постоянной деформации и затухание памяти при релаксации, т.е. независимость предельного напряжения аго при t аго от длительности и закона начальной стадии деформирования [7]. Эти же условия необходимы и достаточны для существования степенной теоретической кривой ползучести. В [2,8] показано, что первые три ограничения (0.5) совместно с требованием возрастания МФ F(х) необходимы и достаточны, чтобы модель (0.3) имела затухающую память при ползучести, чтобы скорость ползучести возрастала с увеличением напряжения, а функция а = а(а^), задающая теоретические диаграммы деформирования с постоянной скоростью а, возрастала по обеим переменным.
Цель данной статьи - вывод и анализ уравнений кривых релаксации и ползучести модели (0.1) (при постоянном и кусочно-постоянном напряжении), выявление необходимых ограничений на МП ОС (0.1), обеспечивающих качественно верное моделирование типичных особенностей механического поведения широкого класса материалов, т.е. ограничений, играющих ту же роль, что и неравенства (0.5) для «обратного» ОС (0.3). Будет доказано, что эти ограничения имеют вид:
0 < d < 1, N > 0, д0 < 0, д < 0, ^ / N > т*, а> 0, 0, п < 0 (0.7)
где d :=а + ^-п, N :=в + ПД0-Д, Д0 := -®0 - Р~\ Д := -®1 - т, = max{д0, д}. (0.8) Здесь d - степень однородности оператора Р (п.1), N - формальный аналог т0 из (0.6), но физические смыслы у них разные: т0 - показатель кривой релаксации модели (0.3) [7], а N -показатель кривой ползучести модели (0.1). Роль параметров д выяснится в п.1,2.
Это шаг к стратегической цели автора: исследовать математические следствия ОС (0.1), чтобы указать те реологические эффекты, которые оно может (или не может) адекватно описывать, обнаружить возможную зависимость между этими эффектами, чётко сформулировать характерные свойства материалов, для моделирования поведения которых ОС (0.1) пригодно, указать
контрольные эксперименты для проверки этих свойств и способы идентификации МП и МФ по данным испытаний, наметить необходимые усовершенствования и возможные обобщения ОС.
Список используемых в статье сокращений: ОС - определяющее соотношение; МФ - материальная функция ОС; МП - материальные параметры (постоянные) ОС; КП - кривая ползучести (ТКП - теоретическая, ЭКП - экспериментальная); СД - скорость деформации; СН - скорость нагружения; КР - критерий разрушения.
Термин «возрастает» в дальнейшем означает нестрогое возрастание, т.е. неубывание.
Equation Section (Next)
1. Действие реологического оператора Р на степенные функции и функции с дифференцируемой степенной асимптотикой при t ^+0. При всех допустимых значениях десяти МП оператор Р из ОС (0.1) определён на множестве функций Dp := Dp(©0,©j), для
которых существуют интегралы Лебега (0.2), входящие в ОС (0.1). Так как механический смысл c(t) - зависимость квазинапряжения от времени (c(t) и s(t) принадлежат одному классу
гладкости), то нас будут, прежде всего, интересовать свойства оператора Р на множестве D0
кусочно непрерывно дифференцируемых при t > 0 функций a(t), таких, что с(0) = 0, а их
образы e(t) = Рс стремятся к нулю при t ^+0 (иначе e(0) Ф 0). С ростом а>1 множества D0 и DP
расширяются, увеличение <э0 вызывает сужение множества D0, а рост в - расширение D0.
Очевидно, что Р - положительно однородный оператор степени d :=a + £-n на Dp, т.е. для любого X > 0 и любой функции <j(t) g DP справедливо тождество Р(Хс) = Xd Ра при всех t > 0. Так как при пропорциональном увеличении деформации в каждый момент времени напряжение возрастает, то множитель Xd должен строго возрастать по X. Отсюда вытекает необходимое ограничение на параметры модели: d > 0, т.е. а+£-ц> 0. (11)
Легко доказать, что степенные функции a(t) = btm, t > 0, b > 0, m g R, (12)
принадлежат области определения DP оператора Р только при m > m*, (13)
где m* = max{^0,/их} в случае £ Ф 0 и m* = при £ = 0 ; /и0:= -а0 - p-1, ¡лх := -ах - q-1. (1.4) В дальнейшем при выводе уравнений кривых ползучести и релаксации будет неоднократно использовано следующее свойство ОС (0.1):
Лемма 1. Оператор Р переводит степенные функции (1.2) с m > m* в степенные функции
e(t) = atn, t > 0, (1.5)
где a := Qmbd, n := dm + N , (1.6)
N := в + £(°\-n®0 +£q- -ПР-1 = в + Ш-£m, (1.7)
Qm := V (x + (1 - X) | m|q )£/q ( p( m - \ q(m - ц))£ , m > m*. (1.8)
При d > 0 функция n(m) = dm + N возрастает. Если £ = 0 или x > 0, то Qm > 0 и из леммы 1 следует, что оператор Р биективно отображает множество степенных процессов a(t) = btm, m > m*, на множество степенных процессов (1.5) с n > n*, где n* := dm* + N. В этом случае легко построить обратное отображение к ограничению Р на множестве таких степенных процессов: если задана функция e(t ) = atn, n > n*, a > 0, то из (1.6) можно выразить m = (n - N )d(n > n* влечёт m > m*), вычислить Qm по (1.8) (m > m* > 0 влечёт Qm > 0 ) и найти b из (1.6): bd = a/Qm.
Итак, оператор Р переводит множество степенных функций в себя. Это свойство сохраняется и для гораздо более широкого класса функций - функций с дифференцируемой степенной асимптотикой (ДСА-функций). Мы будем так называть функции, не только обладающие асимптотикой a(t) ~ btm при t ^+0, m > m*, b > 0, (19)
но и имеющие производную в правой окрестности точки t = 0 с асимптотикой c(t) ~ bmtm -.
2 —1
Вообще говоря, асимптотические равенства нельзя дифференцировать: например, функция y = ax + x sin x , y(0) = 0, a 0, дифференцируема при x e R и имеет линейную асимптотику y □ ax при x a +0, но её производная y' = a — cos x+ 2x sin x—, y'(0) = a, не обладает свойством y' □ a.
Лемма 2. Оператор Р из (0.1) переводит функции с дифференцируемой степенной асимптотикой (1.9) в функции с дифференцируемой степенной асимптотикой s(t) □ atn при t a+0, где a, n и Qm > 0 по-прежнему вычисляются по формулам (1.6)-(1.8).
В силу этого свойства и своей широты класс ДСА-функций технически удобен для работы с ОС (0.1), в частности, для контроля непрерывности и гладкости квазидеформации s(t) и деформации e(t) = g(s(t)) в точке t = 0 и для обеспечения конечности модуля упругости модели при малых деформациях. В частности, при n > 0 из леммы 2 следует, что оператор Р переводит ДСА-функции в функции s(t), обладающие свойством s(t) a 0 при t a+0 только тогда, когда dm + N > 0, т.е. m > r , где r := — N/d - показатель кривой релаксации (4.1).
Equation Section (Next)
2. "Идеальные" кривые ползучести модели (0.1). Чтобы найти уравнение семейства "идеальных" КП (при мгновенном нагружении до заданного напряжения s = sc при t = 0), нужно
подставить постоянную функцию s(t) = sc, t > 0, в ОС (0.1) и вычислить отклик s(t) и e(t) = g(s(t)). По (1.5) с m = 0 и b = ас := f (sc) получим (опуская индекс c):
s(t, s) = a( s) tN, или e(t, s) = g(a (s) tN ), (2.1)
где N :=в + ПМ — /, a := Q0^d = QJ(s)d , Q0 = V(—p/))n/Р (—q/// XTV q (2.2) (см. (1.4) и (1.8)). Так как p, q, V > 0, коэффициент Q0 имеет смысл только тогда, когда
U0 < 0 и / < 0, т.е. m* < 0, (2.3) т.е. выполняется условие (1.3) для m = 0 . Удобно переписать это ограничение в виде системы
w0 < 0 и w1 < 0, где w0:=rn0p +1 = — /и0Р, w1:= (®j — 1)q +1 = — ¿uq. (2.4)
Это условие - критерий сходимости интегралов (0.2) для любой ограниченной в правой окрестности точки t = 0 функции a(t) с ограниченной производной.
Параметры Q0 и N зависят лишь от МП, но не зависят от уровня напряжения s и МФ f и g. При разных s КП (2.1) подобны с коэффициентом ax/a2 =(ох/о2)d =(f (sx)/ f (s2))d . Отсюда можно найти МП d по двум ЭКП, если МФ f уже определена. В "обратной" модели (0.3) Q0 и N (точнее, их аналоги Q0 и m0) входили в уравнение кривой релаксации, а не ползучести [7].
Для большинства материалов (за исключением тех, в которых идут химические или фазовые превращения, повышающие их жёсткость) экспериментальные КП при постоянной температуре обладают двумя общими качественными свойствами: деформации возрастают (не убывают) с течением времени и при увеличении нагрузки. Установим условия, при которых теоретическая КП (2.1) обладает этими свойствами, т.е. возрастает по обоим аргументам. Это и будут (минимально) необходимые условия, при которых ОС (0.1) пригодно для моделирования ползучести материалов указанного класса.
КП (2.1) не убывает по аргументу t только тогда, когда N > 0 (2.5)
(поскольку МФ g (x) предполагается возрастающей). При N = 0 деформация (2.1) не зависит от времени, т.е. в этом случае модель описывает материал без (идеальной) ползучести. КП (2.1) строго возрастает с увеличением s только тогда, когда возрастает функция a(s) = Q0f (s)d , т.е. когда d > 0 (поскольку МФ f (x) предполагается положительной и возрастающей). Необходимость этого ограничения уже была обнаружена (см. (1.1)).
Таким образом, возрастание МФ f (x), g(x) и ограничения m* < 0, d > 0 и N > 0 на МП ОС (0.1) обеспечивают существование семейства кривых ползучести (2.1) и возрастание деформации при ползучести с течением времени и с повышением уровня напряжения.
Если g (x) = x, то e(t) = s(t) и деформация ползучести (2.1) - степенная функция времени. При N = 1 деформация (2.1) растёт с постоянной скоростью a, т.е. моделируется установившаяся
ползучесть. Если N > 1, то скорость ползучести возрастает при всех t > 0, т.е. КП имеет только «третий участок» (такие экспериментальные КП встречаются у некоторых материалов при высоких уровнях напряжения). Если N < 1, то скорость ползучести убывает при всех t > 0, т.е. КП имеет только «первый участок». Так как в начальной стадии скорость ползучести большинства материалов не возрастает, а убывает или остаётся постоянной, то в случае g (х) = х на параметры модели следует наложить дополнительное ограничение N < 1, т.е. в < 1 - гцл0 + j.
Equation Section (Next)
3. Моделирование кривых ползучести произвольной формы.
Введение в ОС (0.1) второй МФ g(х) даёт дополнительную степень свободы в описании данных испытаний материала и позволяет при N > 0 (см. (2.5)) адекватно моделировать поведение материалов с КП произвольной формы (в том числе тех, механические свойства которых существенно зависят от времени в силу нарастания повреждённости или структурных превращений). В частности, выбор МФ g позволяет моделировать ограниченную ползучесть (достаточно взять g(х), имеющую горизонтальную асимптоту при х ^ +оо), установившуюся ползучесть и получать ТКП, имеющие все три характерных участка: замедляющейся, установившейся и ускоряющейся ползучести (рис.1). Их длина и форма регулируются с помощью настроечных параметров, входящих в g, точнее, - в функцию формы кривой ползучести
<р(г):= g(tn ), т> 0. Использование (р(т) очень удобно для прямой и наглядной аппроксимации экспериментальных КП и формулировки общих требований к МФ g, поскольку <(т) непосредственно определяет форму ТКП при произвольном уровне напряжения. Действительно, подстановка g (х) = <( х1 N ) преобразует уравнение ТКП (2.1) к виду
e(t) = <(A(s) t), где A := a1N =(Q0ad)VN =(Qf (s)d)VN (3.1)
Таким образом, ТКП получаются из графика <(т) сжатием в A( s) раз вдоль оси времени. A( s)-возрастающая функция напряжения (поскольку N > 0, а МФ f (х) предполагается возрастающей). Поэтому при увеличении а ТКП целиком сдвигается вверх. Функция A(s) определяет зависимость скорости ползучести от напряжения: e(t) = A<(At) .
Для моделирования типичных КП с тремя участками (рис.1) можно построить функцию формы КП <(т) в виде
<(т) = <1(т) пРи те[0;т ], <(т) = <(т) пРи т е[тх;т2 ], <(т) = <з(т), т>т2, (32)
где функции < (т), описывающие один из трёх участков, должны обладать типичными качественными свойствами, наблюдаемыми у экспериментальных КП: все они должны быть возрастающими и достаточно гладкими (дифференцируемыми хотя бы один раз); <(т) должна
быть выпукла вверх (т.е. <(т) должна убывать); <2(т) должна быть линейной или близкой к линейной (т.е. <(т) мало отклоняется от постоянной на отрезке [т;т2]); <3(т) должна быть выпукла вниз. Кроме того, должны выполняться условия склейки в точках т1 и т2, обеспечивающие непрерывность <(т) и <(т) в этих точках (а значит, при всех т > 0).
Всем перечисленными свойствами обладает, например, семейство функций
<(т) = т, <(т) = <1(т1) + v(t — Т1), <(т) = <(т) + j(t — Т2)m , (3.3)
зависящее от шести действительных параметров: т2 >т1 > 0, n е (0;1), m > 1, ju> 0, v> 0.
Седьмой параметр Л выражается через них по формуле Л = уп т1 п, обеспечивающей непрерывность <(т) в точке т1 Непрерывность <(т) в точке т2 следует из ограничения т > 1.
Совместно с ограничением / > 0 оно обеспечивает ещё и свойство <3" (т) > 0 . Ограничение
п е (0;1) (с учётом того, что Л > 0 ) гарантирует, что <" (т) < 0 и < (0) = 0.
Таким образом, формулы (3.2) и (3.3) задают семейство гладких функций формы КП <(т), зависящее от шести действительных параметров, специализация которых позволяет тщательно
подгонять форму ТКП (3.1) к очертаниям ЭКП материала. Значения параметров т1 и т2 задают длины первого и второго участков ТКП (возможны случаи т1 = 0 и т2 = т1), параметр v регулирует скорость установившейся ползучести (f(T) = v при ге[г1;г2 ] влечёт e(t) = Av = const), параметры n, m , и управляют формой ТКП на первом и третьем участках. При любых допустимых значениях шести параметров функция формы (3.2), (3.3) возрастает, причём q" (т) < 0 при те[0;т ], q" (т) = 0 при ге[г1;г2 ] и f (т) > 0 при т>т2.
Производные деформации (3.1) пропорциональны производным q(T): e(t) = Aq'( At), e(t) = A2q"(At). Так как A > 0 , то возрастание функции q(T) обеспечивает возрастание e(t), а интервалы выпуклости ТКП (3.1) получаются из интервалов выпуклости графика q(T) сжатием в A = A(s) раз вдоль оси времени (см. рис.1). Абсциссы T и T2 концов первого и второго участков
-it d\ "!/N
КП (3.2) находятся из условий ATi = т : Ti = A Ti = Ti (Q0f (s) ) , i = 1,2. Длительность стадии
i d\-1/N
установившейся ползучести T2 - T1= (т2 -т1) (Q0f (s) ) - также убывающая функция
напряжения s. При этом отношения T2 / Т1=т2/т1, и e(T2)/ e(T1) = q(T2)/q(T1) не зависят от s.
i d \1/N
Скорость установившейся ползучести V = Aq2(At) = Av = v( Q0 f (s) ) возрастает с ростом s, в силу ограничений N, d > 0 и возрастания МФ f (х) .
e(t)
t
Рис. 1. Теоретические кривые ползучести (3.1), порождённые функцией формы (3.2), (3.3) (с т = 1, т2 = 3, v = 1, n = 0.5) при разных уровнях напряжения.
МФ g (вид и параметры функции формы КП q(T)) определяется из условия совпадения ТКП (3.1) с экспериментальной КП материала. По данным испытаний на ползучесть можно определить обе материальные функции ОС (0.1) независимо друг от друга: функцию g - по одной ЭКП при произвольном уровне напряжения, анализируя её зависимость от времени, а функцию f - по зависимости ЭКП (или только скорости установившей ползучести) от напряжения. Это наполняет реальным содержанием тезис о независимости двух материальных функций: они независимы не только потому, что объявляются независимыми при формулировке ОС (0.1), но и потому, что их можно определить по экспериментальным данным отдельно друг от друга. Но описание процедуры идентификации МФ и МП - это уже тема следующей статьи.
Equation Section (Next)
4. "Идеальные" кривые релаксации модели (0.1). Чтобы найти уравнение "идеальных" кривых релаксации (при мгновенном скачке деформации до заданного уровня e = ec при t = 0),
нужно решить интегральное уравнение (0.1) относительно a(t), считая, что s(t) = const = sc при
t > 0, где sc := g 1(ec). Благодаря лемме 1.1, это решение можно найти в классе степенных процессов (1.2), потребовав, чтобы было n = 0 и Qmbd =s, в (1.6). Отсюда m =-N/d и b = (s / Qm )1d . Таким образом, уравнение семейства идеальных кривых релаксации имеет вид
a(t, e) = b(e) tr, или s (t, e) = F (b(e) tr) (4.1)
г^ r :=-N/d, b = (s/Qr) = (G(e)/Qr(4.2)
h := d-1, Qr = V(x + (1 -X)|r|9 f9 (q(r-M))4'9 (p(rfP > 0, (4.3)
F := f-1, G := g-1, - обратные функции к МФ f (х), g(х) (так как f и g предполагаются строго возрастающими, то F и G тоже возрастают). Коэффициенты r и Qr зависят лишь от МП модели, но не зависят от уровня деформации e и МФ f и g. Поэтому при разных уровнях деформации
кривые релаксации (4.1) подобны с коэффициентом bx/b2 = (s /s2)h = (G(ex)/G(e2))h.
Если £ Ф 0 в (0.1), степенная кривая релаксации (4.1) существует только в том случае, когда
r > m*, т.е. -d/ N > m* (4.4)
так как формулы (1.5), (1.6) справедливы лишь при условии (1.3).
Для большинства материалов (за исключением тех, в которых идут химические или фазовые превращения, повышающие их жёсткость) экспериментальные кривые релаксации при постоянной температуре обладают двумя общими качественными свойствами: 1) они убывают с течением времени, 2) при увеличении деформации кривая релаксации сдвигается в сторону возрастания напряжения. Установим условия, при которых теоретическая кривая релаксации (4.1) обладает этими свойствами, т.е. условия, при которых ОС (0.1) пригодно для моделирования релаксации материалов указанного класса. Так как функция f возрастает, то сформулированные требования
равносильны тому, что функция релаксации a(t, e) = b(e) tr убывает по t и возрастает по e.
Кривая релаксации (4.1) возрастает с увеличением e только тогда, когда h > 0 (поскольку МФ G(e) возрастает). Но это неравенство равносильно уже принятому ограничению d > 0 (см. (1.1)).
Кривая релаксации (4.1) строго убывает с ростом t только тогда, когда r < 0. Это неравенство автоматически следует из установленных ранее ограничений d > 0, N > 0 (см. (2.3)). При N = 0 будет r = 0 и функция (4.1) постоянна, т.е. в этом случае модель описывает материал без идеальной релаксации (и ползучести - см. п.2).
Так как r < 0, то для выполнения неравенства (4.4) необходимо, чтобы было m* < 0 .
Итак, возрастание МФ f (х), g(х) и ограничения m* < 0, d > 0, N > 0, d / N <-m* на МП ОС
(0.1) обеспечивают существование семейства кривых релаксации (4.1), убывание напряжения с течением времени и его возрастание с увеличением деформации. Отметим, что первые три ограничения на МП обеспечивают и существование семейства кривых ползучести (2.1), возрастание деформации при ползучести с течением времени и с повышением уровня напряжения.
Equation Section (Next)
5. Ползучесть при ступенчатом нагружении.
Подставим в (0.1) программу нагружения
) k, t е [0, T], ) fa, t е [0, T],
s (t) = 1 , ^ те ) = 1 , ^ (51)
1л, t > T; fa, t > T,
где <Ji = f (si) > 0 . Тогда при t е [0; T] квазидеформация по-прежнему выражается формулой (2.1):
s(t) = a, tN, где N :=Р + гци0ах := Qfad, Q0 = V(-p^))n/p(-9М /X)-£/9. При t > T, учитывая неравенства (2.3), обеспечивающие сходимость интегралов, получим:
T t ГГ®0 p+1 t®0 p+1 ГГ®0 P+1
L^ [fa]p = Í Tp(°°v?dz + f rp^0fadr = fa -L-- + fa -= V (fatW° - Tw" (fa -fa)) =
0 T ®0>p +1 ®0p +1 V '
=fa
W-Y0 (1 - (T/1)W0 (1 - fa /fa)p)), где W0 := co0p +1 = -p0p (W0 > 0 в силу (2.3)).
T—1 -1)Р+1 t— -1)p+1 _ T— -1)P+1
Аналогично S^ [a, a]q = ---—- + a —-—— = ( _ T w ( _ a? ))
1 (— _ 1)p +1 (— _ 1)p +1 v v ''
= aqw_XtW1 (1 _ (T / t)w (1 _ (a /a2)q )), где w1 := (- _ 1)q +1 = _uxq. Поэтому по (0.1) e(t) = Vaa2te[^aq%w^ltW1 (1 _(T/t)w (1 _(a /a2)q))) [<jpw?tw (1 _(T/t)w0 (1 _(a /a2)p)]
e(t) = Qal+4_nte+ w1i/q+w0n/p [1 _(T/1)w (1 _(a /a2)q)]i/q [1 _(T/1)W0 (1 _(a /a2)p)j"
где по (2.2) Q0 = Vwпp(w1 /x)_i/q • Положив a1/2 := a1 /a2, a2 := Q0a/, получим:
_n/p
, т.е.
1 _ (t /1)w (1 _aq/2)
i/q
e(t) = Qadt^-1-, или e(t) = af J(t/T,^), t > T, (5.2)
[1 _ (t /1)w0 (1 a )]
где J(t, x) := [1 _t~W1 (1 _ xq))q [1 _Tw° (1 _ xp )]_7/p, t> 1, x > 0. Таким образом, при t > T КП
(5.2) только множителем J(t / T, a1/2) отличается от КП (2.1) e2(t) = a2 tN , соответствующей напряжению a = a2. Если a1 = a2, то J(t / T;1) = 1 и КП (5.2) совпадает с e2(t).
Если выполнено ограничение (2.3) (т.е. w0 < 0 и w1 < 0), то (T/t)Wi а 0 при t аго, следовательно, J(t/T,a1/2) а 1, и потому КП (5.2) имеет асимптотику e(t)□ a2 tN при t аго, т.е. сколь угодно мало отличается от КП e2(t) = a2 tN при достаточно больших значениях t/T.
Это свойство - частное проявление эффекта затухания памяти модели при ползучести, т.е. независимости асимптотики теоретической кривой ползучести при t аго от конкретного закона изменения напряжения в стадии перехода от нулевого до заданного постоянного значения на любом конечном интервале времени [2].
Если a <a2 (т.е. a1/2 < 1), то множитель J(t / T, a1/2) должен быть меньше единицы (ибо КП (5.2) должна лежать ниже КП e2(t) = a2 tN ) и должен возрастать по обоим аргументам (чем больше t/T и a/2, тем ближе к единице должно быть отношение e(t)/e2(t) = J(t/T, a1/2)). Можно доказать, что для этого достаточно наложить на МП ограничения 0 и г/< 0.
Equation Section (Next)
6. Критерии разрушения и кривые длительной прочности.
Надёжное моделирование кривых длительной прочности (КДП) материала или элемента конструкции по результатам испытаний на разрушение (или только на ползучесть) при высоких напряжениях необходимо для оценки срока безопасной эксплуатации при низких напряжениях.
Для моделирования и прогнозирования длительной прочности материалов к ОС необходимо добавить хорошо взаимодействующий с ним критерий разрушения (КР), который позволяет вывести уравнение теоретической КДП t* =9(s) (t* - время разрушения при данном уровне
напряжения), аналитически исследовать зависимость её свойств от материальных функций и параметров ОС и КР и указать ограничения на них, обеспечивающие совпадение качественных свойств теоретических КДП с теми, которые наблюдаются у экспериментальных КДП. Эта программа и реализована автором.
В статье [8] предложены и изучены два параметрических семейства КР при монотонном одноосном деформировании, родственных деформационному КР, но учитывающих историю нарастания деформации e(t) . ДКР постулирует, что разрушение происходит в тот момент t = t*,
когда e(t) достигает критического значения: e(t*) = e*, где e* - материальная постоянная. Построенные КР обобщают ДКР в двух направлениях: вместо деформации в них используется другая мера повреждённости e(t), связанная с e(t) интегральным оператором усреднения, а
критическое значение e* может зависеть от напряжения:
e(t*) = e*, где e* = e0 sk, k > 0 . (6.1)
В качестве меры повреждённости предлагается использовать одну из двух характеристик средней деформации за время г, зависящих от параметра и > 0 :
( г Л1/и ( г \'и
1) ёи(г):= г-11в(т)иёт ; 2) ёи(г):= ё(0) + Уи(г) г, где Уи(г) := г"11ё(Т№
V 0 ) V 0
среднее значение скорости деформации. Свойства этих КР исследованы в [8].
Доказано, что ОС (0.1) в сочетании с ДКР, а также с КР (6.1), приводит к теоретическим КДП, обладающим такими же качественными свойствами, что и экспериментальные КДП. А именно: данные испытаний показывают [13], что КДП г* = 9(з) всегда убывает и для многих материалов
регистрируемые значения г* хорошо аппроксимируются (по крайней мере, в некотором диапазоне достаточно больших напряжений) степенной функцией с отрицательным (вещественным) показателем: г* = с&а, ^ > 50 > 0, а < 0, или двумя степенными функциями с различными показателями в интервалах [50,51] и [51,52] (значение 51 соответствует смене вязкого механизма разрушения на хрупкий). В логарифмических координатах 1п г* - 1п ^ такие КДП представляются отрезком прямой линии с отрицательным угловым коэффициентом или двухзвенной ломаной. Именно такими получаются теоретические КДП при найденных ограничениях на материальные параметры ОС и КР и надлежащем выборе материальных функций ОС (0.1) [8]. Алгоритм их определения по данным испытаний материала на деформирование с постоянной скоростью, релаксацию, ползучесть и длительную прочность разработан.
Таким образом, предложенные ОС (0.1) и КР (6.1) позволяют адекватно моделировать кривые длительной прочности широкого класса материалов и прогнозировать ресурс длительной прочности при ползучести.
Заключение. В статье предложено нелинейное определяющее соотношение (0.1) между напряжением и деформацией для описания одномерных изотермических реологических процессов с монотонной историей нагружения в вязко-упруго-пластичных материалах. Наличие десяти материальных параметров (МП) и двух функций (МФ) в ОС (0.1) предоставляет широкие возможности для управления свойствами модели и её настройки с целью адекватного и всестороннего описания поведения реономных материалов. При минимальных априорных ограничениях на МП выведены уравнения теоретических кривых релаксации, ползучести (при постоянном и кусочно-постоянном напряжении) и кривых длительной прочности (КДП), аналитически исследована зависимость их свойств от МП и МФ. Из общих качественных механических свойств материалов, наблюдаемых в опытах (возрастание деформации при ползучести с течением времени и с повышением напряжения, убывание КДП, убывание напряжения при постоянной деформации, затухание памяти и т.п.) выведены необходимые и достаточные (для обеспечения этих свойств у теоретических кривых) дополнительные ограничения на МП (0.7). Каждое из них возникает при рассмотрении нескольких различных аспектов поведения материала, что свидетельствует о высокой степени внутренней согласованности модели.
Таким образом, анализ свойств определяющего соотношения (0.1) показал, что оно позволяет адекватно моделировать не только отдельные эффекты реологического поведения вязко-упруго-пластичных материалов, но и целый их комплекс: зависимость деформации от напряжения и скорости его изменения, релаксацию, ползучесть, зависимость скорости ползучести от уровня напряжения, длительную прочность и затухание памяти материала.
Список литературы
1. А.В. Хохлов. Определяющие соотношения для реологических процессов: свойства теоретических кривых ползучести и затухание памяти материалов // Труды VI Международного симпозиума "Современные проблемы прочности" им. В.А. Лихачёва. 2003, т.2, с. 267-274.
2. Хохлов А.В. Определяющее соотношение для реологических процессов, его обращение и анализ свойств кривых ползучести модели // Электронный журнал "Исследовано в России", 8, С.213-223, 2005. http://zhurna1.ape.re1arn.ru/artic1es/2003/019.pdf
3. Дэй У. А. Термодинамика простых сред с памятью. М.: Мир, 1974. 192 с.
4. Клюшников В.Д. Физико-математические основы прочности и пластичности. М.:Изд. МГУ, 1994. 190 с.
5. Васин Р.А., Еникеев Ф.У. Введение в механику сверхпластичности. Уфа: Гилем, 1998. 280 с.
6. Соснин О.В., Горев Б.В., Никитенко А.Ф. Энергетический вариант теории ползучести. Новосибирск: Институт гидродинамики СО АН СССР, 1986. 96 с.
7. Кузнецов В.Н., Хохлов А.В., Шестериков С.А. Определяющие соотношения для реологических процессов // Электронный журнал "Исследовано в России", 6, С. 152-160, 2003. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/016.pdf
8. А.В. Хохлов. Определяющее соотношение для реологических процессов, критерии разрушения и моделирование кривых длительной прочности // ПММ (в печати).
9. Khokhlov A.V. An Extension of the Constitutive Equation for Rheological Processes and New Properties of the Theoretic Creep Curves // Advanced Methods in Validation and Identification of Nonlinear Constitutive Equations in Solid Mechanics (EUROMECH Colloquium 458). Moscow, 2004. P.44-46.
10. Басалов Ю.Г., Кузнецов В.Н., Шестериков С.А. Определяющие соотношения для реономного материала // Изв. РАН. МТТ. 2000, №6. С. 69-81.
11. Fitzgerald J.E., Vakili J. Nonlinear Characterization of Sand-asphalt Concrete by Means of Permanent-memory Norms // Proc. of the SESA. 1960. V. 30. № 2. P.504-510.
12. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.
13. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. - 752 с.
