Определяющие соотношения для реологических процессов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Определяющие соотношения для реологических процессов

Кузнецов В.Н., Хохлов А.В. (khokhlov@imec.msu.ru ), Шестериков С.А.

Институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ № 00-01-00564 и № 00-01-00075

В данной работе предлагаются нелинейные определяющие соотношения между напряжениями и деформациями для описания одноосных реологических процессов, более общие, чем в статьях [1,2]. Они содержат интегральные операторы по времени не только от деформации s(t) (операторы типа нормы Лебега были введены ещё в работе [3]), но и от скорости деформаций S&t), представляющие собой снабжённые весовыми множителями нормы пространств Соболева. Такое обобщение, в частности, позволяет моделировать эффект затухания памяти материала, т.е. обеспечить независимость вида асимптотики кривой релаксации при t ^го от конкретного характера изменения деформации от нулевого до заданного постоянного значения на любом конечном интервале времени. Наличие эффекта затухающей памяти, качественные свойства кривых ползучести и релаксации, зависимости скорости ползучести от уровня напряжений -необходимые критерии при оценке физической адекватности нелинейных определяющих соотношений. Из этих общих свойств моделируемых материалов выведены необходимые и достаточные дополнительные ограничения на параметры модели. Все они имеют вид неравенств, система которых оставляет достаточный диапазон для выбора значений параметров, обеспечивающих хорошую аппроксимацию экспериментальных данных и упрощает методику определения материальных констант модели.

В этой работе будут рассмотрены только монотонные процессы деформирования. Определяющие соотношения в случае немонотонного изменения деформаций и техника их распространения на трёхмерное напряжённо-деформированное состояние описаны в статье [2]. В той же статье приведено сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными как для монотонных, так и для циклических процессов деформирования, показавшее применимость предложенных определяющих соотношений для таких материалов, как твёрдое топливо, асфальтобетон, углеродные и керамические материалы при высоких температурах и т.п. Данная работа посвящена анализу математических свойств и аппроксимативных возможностей более общей модели. Equation Section 1

1. Определяющие соотношения и их основные формальные свойства

Предлагаемые определяющие соотношения в операторной форме связывают зависимости безразмерных напряжений и деформаций a(t) и s(t) от безразмерного (см. [2]) времени:

a(t) = F(y(t)), Y = rs, где rs := s(t)|s(t)|"-1 te Sq, t > 0, (1.1)

t®°s

Здесь Г (у) (определяющая функция модели) - пока произвольная неубывающая кусочно непрерывно дифференцируемая при у> 0 функция, удовлетворяющая условию отсутствия начальных напряжений Г (0) = 0;

а, р, ц > 0, т0,тх > 0, р, л > 0, 0, - (1.2)

параметры модели (материальные константы, способы определения которых вместе с функцией Г (у) по данным испытаний материалов будут указаны ниже). В определение оператора Г входят следующие нелинейные интегральные операторы:

1. 21/р

= |Л / (т)| Рёт - (1.3)

5 о 6

семейство норм (квазинорм при р е (0;1)) лебеговских пространств Ьр [0; .], зависящих от параметра . > 0,

1' 21/9 ^ [е,& = \\т{щ-1)ч |е(г)|9 + |та8Т)|9 )ёт , ^ > 0, - (1.4)

5 0 6

семейство зависящих от параметра . функционалов от е(т), представляющих собой снабжённые весовыми множителями нормы пространств Соболева Ж' [ 0; .] (весовой параметр ^ позволяет регулировать относительную величину вкладов е(т) и <&&г) в значение функционала (1.4), смысл введения множителей гиг®1 выяснится в дальнейшем). Параметры ® и в в выражении (1.1), в частности, обеспечивают

моделирование эффекта затухания памяти материала и позволяют регулировать показатели асимптотики функции у(.) при . ^ 0 и . ^го. Ниже будет показано, что от этих параметров существенно зависят все основные математические и «физические» свойства модели. Отметим, что модель, предложенная в статье [2], получается как частный случай соотношений (1.1) при ^ = 0, ®0 = 0, = 0, р,'> 1, в = 0 или в = 1.

Наличие девяти свободных параметров и одной произвольной функции ¥ (у) в определяющих соотношениях (1.1) предоставляет, как это будет показано ниже, широкие возможности по управлению свойствами модели и по её настройке за счёт выбора значений определяющих параметров с целью адекватного описания поведения материалов, т.е. свойств кривых релаксации и ползучести, зависимости скорости ползучести от уровня напряжений, зависимости напряжений от деформаций при постоянной скорости деформирования, получаемых из экспериментов.

Нашей целью будет анализ математических свойств предлагаемой модели при любых допустимых значениях определяющих параметров (при минимальном количестве априорных ограничений на эти параметры), вывод уравнений кривых ползучести и кривых релаксации напряжений, соответствующих произвольному закону начальной стадии деформирования (стадии перехода от нулевого значения деформации к заданному постоянному уровню), исследование влияния параметров модели на свойства этих кривых. Из общих качественных механических свойств моделируемых материалов (возрастание напряжений с ростом деформаций, возрастание деформаций при ползучести, убывание скорости ползучести с течением времени, убывание напряжений при релаксации, затухание памяти материала и т.п.) будут выведены необходимые (и достаточные) дополнительные ограничения на параметры модели - помимо априорных ограничений (1.2). Важнейшие из этих ограничений имеют вид:

ё > 0, т0 < 0, ё + т0 = 1, п < 0, (1.5)

где ё :=а+%-ц , т0 =в + ^(®х -1)-П®0 + ~ПР1, П = 1 ~-главные управляющие параметры модели, появляющиеся в уравнениях кривых релаксации, ползучести и других её характеристиках. Примечательно, что каждое из этих ограничений возникает при рассмотрении нескольких различных аспектов поведения материала, что, видимо, свидетельствует о достаточно высокой степени внутренней согласованности модели.

Итак, исследуем свойства параметрического семейства операторов Г, отображающих функции ), . > 0, в функции у(.) вида (1.1). При всех допустимых значениях

параметров (1.2) оператор Г определён на множестве функций БГ := БГ(©0,©1), для

которых существуют интегралы (1.3) и (1.4), входящие в формулу (1.1). Так как механический смысл ) - зависимость деформации от времени, то нас будут

интересовать свойства оператора Г на множестве D0 кусочно непрерывно дифференцируемых при t > 0 функций s(t), таких, что s(0) = 0, и их образы y(t) = rs стремятся к нулю при t ^+0. С ростом параметра © множества D0 и Dr расширяются, увеличение <э0 вызывает сужение множества D0, а увеличение в -расширение D0 (Dr не зависит от в).

Очевидно, что для любого числа Я > 0 и любой s(t) е DP

Г(Я^) = ЯdГs, где d :=а + £-ц , (1.6)

т.е. Г - положительно однородный оператор степени d на Dr .

Так как при пропорциональном увеличении деформаций в каждый момент времени напряжения в рассматриваемых средах возрастают, то из (1.6) вытекает дополнительное ограничение на параметры модели:

d > 0 (1.7)

Степенные функции s(t) = atn, t > 0, a > 0, n е R, (1.8)

принадлежат области определения Dr оператора Г только при n > n*, (1.9)

где n* = max{n0,nj в случае £ Ф 0 и n* = n0 в случае £ = 0, (110)

n0:=-co0 - p-1, nj := 1 -© - q- . (111)

Так как p, q > 0 и © > 0 , то всегда n0 < 0, nx < 1, n* < 1. (112)

Оператор Г переводит степенные функции (1.8) с n > n* в степенные функции

Y(t) = Q„sdtm° = Qnadtm, t > 0, (1.13)

где m = dn + m0, (114)

mQ :=в + £(© -1)-П©0 +£q--ПР- =e-£n + П , (1.15)

Qn :=(s + |n|q))'q (p(n - n0)fpl(q(n - n^1 > 0 (1.16)

Из (1.13), (1.14) следует, что, если £ = 0 или s > 0, то при d > 0 функция (1.14) возрастает и оператор Г взаимно однозначно отображает множество всех допустимых степенных процессов s(t) = atn, n > n*, на множество всех степенных процессов y(t) вида (1.13) с m > m*, где m* = dn* + m0.

Equation Section (Next)

2. О законе Гука при малых деформациях и модуле упругости

При £ Ф 0 выполнение системы условий

d > 1 & m0 <-(d - 1)n & m0 < 0 (2.1)

необходимо и достаточно для того, чтобы существовало единственное неотрицательное значение показателя n = ne, такое, что степенной процесс (1.8) отображается оператором Г

в степенной процесс (1.13) с тем же показателем m = ne:

ne =-m0(d -1); (2.2)

при £ = 0 второе неравенство системы (2.1) следует опустить (а в случае nj < 0 оно следует из третьего неравенства и при £ Ф 0). ne = 1 тогда и только тогда, когда

d + m0 = 1 (2.3)

В этом случае для линейных по t процессов s(t) отношение y(t) к s(t) не зависит от t: y(t) = Ers(t), и определяемый для них (и, вообще, для всех процессов с линейной асимптотикой s(t) : at при t ^+0 ) "модуль упругости" модели выражается формулой

E[s] = ^=0 = = F'(0) ^=0 = F'(0)E , где ds ds

Ет = Qlad-l = + 1Г' (р(1 - П0))п/р ('(1 - п1))-^/' (2.4)

Он зависит только от постоянной скорости деформации а (и параметров модели). Условие (2.3) будем называть условием линейной инвариантности. Его целесообразно наложить на параметры модели, чтобы можно было использовать результаты опытов с постоянными скоростями деформации для построения определяющей функции ¥ (у) по экспериментальной диаграмме а - е, путём согласования её с теоретической зависимостью а = ¥(ЕГе) .

3. Релаксация напряжений Equation Section 3

Исследуем кривую релаксации напряжений, соответствующую деформации, зависящей от времени по закону ratn, t е[0, T]

eT = aTn, t > T,

где a > 0, T > 0 , n > n+ := max{0, n*} - параметры начальной стадии деформирования. Тогда при t < T верна формула (1.13), а при t > T имеем:

p = apTp (n-n0)( p(n - n0))-1

e(t) =

(3.1)

Г°S где P, :=

1 + Pn (-1 )-" - l)

n - n0 = 1 - n = 1 + nP > 1;

-n0 n0 0)0 p +1

если q(a1 -1) Ф-1, т.е. q. ф 0, то Sq [e, && = aqTq(n-n1)(^ + nq )(q(n - . ))-1 [1 + Rn ((tT-1 ) -1) sq(n - n1) n - n1 s

гда Rn := -

qn1(s + nq) щ s + nq

при n > n+

Итак, в случае n1 ф 0 y(t) = e^tв

% % г a^T n-n1)( s + nq)q (q(n - nA))~q 1 + Rn ((tT) -1)

Y(t) = edTQntm0

anTn("-"0)(p(n -n0)) p

R +(tT- ) (1 - Rn)

1 + P,

((tT-)Pn0 -1);

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

, т.е.

t > T,

(3.6)

_ Р + (-1 Г(1 - Рп )

где Qn и т0 выражаются по формулам (1.16) и (1.15). При разных еТ кривые (3.6) подобны с коэффициентом е/, так как Qn, Рп и Яп не зависят от еТ.

Если n1 = 0, то

Sq[e,e& = aq (s + nq)(qn)-lTqn + seTq ln - = eTq (s + nq)(qn)- | 1 + R'n ln -

T

T

sqn

где R'n = —-— > 0 при n > n1 = 0, s > 0, s + nq

и кривая релаксации имеет вид:

I

Y(t)=4QJ' (1+R', in T 4q

p. +((T-1 ) (1 - p, )

t > T,

(3.7)

(3.8)

(3.9)

n

где е; =

1 л+пц 2е9'1

дп

(р(п-п0)Ур > 0 при п > п = 0,

(3.10)

(3.11)

г := в + т]п0 = т0 + (если п1 = 0, то г = т0 , в частности - в (3.9)).

Если л = 0, то Рп = 0 и Р'п = 0 для всех п > п+ и выражения (3.6) и (3.9) упрощаются и сливаются:

Г (г) = с/

Рп+(1 - Рп) (-1 у

-пр

г > т.

(3.12)

где Ся =еТ0„Г^ > 0 (3.13)

(в этом случае параметр г заменяет параметр т0, присутствующий в зависимости (3.6)).

Исследуем кривую релаксации в случае, когда £ Ф 0 и л > 0 , т.е. функцию (3.6), где

(1 \ рп0

гТ ) ^ 0, так как рп0 < 0, и потому знаменатель выражения (3.6)

стремится к РПР > 0:

Рп + (1 - Рп) (гТ-1УП0

пр

: Р

чр

при г (3.14)

Асимптотика числителя дроби (3.6) при г зависит от знака параметра п1. Если п < 0 (и тогда Рп > 0 ), он стремится к д > 0, и поэтому у(г) : гщ Р^4' Рп-Пр-, т.е.

у(г): Ьгт° при г^ю, (3.15)

где Ь = РП =^1(-дп1)-^(-рп0Г1 = > 0 (3.16)

Отметим, что коэффициент Ь зависит только от определяющих параметров модели и постоянного уровня деформации 8Т и не зависит от остальных параметров начальной стадии процесса деформирования (3.1). Можно доказать, что этот вывод (как и асимптотическое представление (3.15)) остаются справедливым для кривой релаксации, соответствующей процессу деформирования с произвольной (а не только степенной) начальной стадией вида 8(г) = 8Т<(г) при г < Т, где <(г) - произвольная функция из БГ, такая, что <(0) = 0, <(Т) = 1. Независимость вида асимптотики кривой релаксации при г от конкретного характера изменения деформации на любом конечном интервале времени означает, что при п1 < 0 моделируемые материалы относятся к классу сред с затухающей памятью [4,5]. В силу (1.11) для п1 < 0 достаточно, чтобы д < 1 или а>1 > 1. Если же п > 0 (и потому Рп < 0), числитель дроби (3.6) стремится к при г ^ю,

имеет асимптотику г^Т^ (1 - Рп )У-, и потому у (г) : 880>п гт° г^Т^ (1 - Рп) ' Рг

-пр

т.е.

у(г): Ь+ гг при г ,

где Ь+ :=8^& (1 -Рп)У РП =4Т

(

ж + п,пд

уд-

5 п - п1 6

{дпх) £д (-рп{ур > 0

(3.17)

(3.18)

В этом случае коэффициент асимптотики 1Ьп зависит не только от определяющих параметров модели и постоянного уровня деформации 8Т, но и от параметров п и Т начальной стадии процесса деформирования (3.1).

Если п = 0.

у (г): 8Ш (р 1п г У Ря~ , т.е.

у (г): Ь гг (1п г у-1

кривая релаксации (3.9)

п -лр"

при г ^ ю.

имеет при г асимптотику

(3.19)

где L := sdT Q'n R^-Pn П = sdT s£ql {-pn0 > 0 при n > n = 0, s > 0. (3.20)

Отметим, что коэффициент (3.20), как и (3.16), зависит только от определяющих параметров модели и постоянного уровня деформации sT и не зависит от остальных параметров начальной стадии процесса деформирования (3.1).

Из вида полученных асимптотик (3.15), (3.17) и (3.19) следует, что в случаях, когда П < 0 и m0 > 0 или n > 0 иг > 0, функция (3.6) (а в случае, когда n = 0 и r > 0 -функция (3.9)) неограниченно возрастает при достаточно больших значениях t, напряжение a(t) = F(y(t)) тоже возрастает, т.к. F(у) возрастающая функция. Так как при постоянном уровне деформации напряжения не возрастают, на параметры модели необходимо наложить одно из следующих ограничений:

если n < 0, то m0 < 0, т.е. Р<£щ-щ0 (321)

если n > 0, то r < 0 , т.е. m0 + £nx < 0, т.е. Р<-щ0 (3.22)

если n = 0, то r < 0 , т.е. m0 + < 0, т.е. Р<-щ0 (3.23)

В этих случаях предельное значение ух := Ximy(t) конечно:

t

ух = 0 тогда и только тогда, когда пх < 0 & m0 < 0 или n > 0 & r < 0 (3.24)

Y е (0; тогда и только тогда, когда пх < 0 & m0 = 0 или n > 0 & r = 0 (3.25)

(при n = 0 в силу (3.19) возможны лишь два случая: ух = 0 , если r < 0, и ух = , если r > 0 ).

Если n < 0 & m0 = 0, то из (3.15), (3.16)

Гоэ = L = sd (-qn (-pn0 Г 1 = sS s£q- (1 + qfo -1))(1 + po0 )П > 0 (3.26) Поскольку d > 0 , y возрастает с ростом sT , что соответствует поведению материалов.

Таким образом, исследование кривой релаксации, приводит, в частности, к выводу о необходимости рассматривать только случай (3.21), т.е. наложить на параметры модели ограничение n < 0 & m0 < 0, (3.27)

обеспечивающее как убывание напряжений с течением времени, так и затухание памяти материала, в частности, независимость предельного значения напряжения < = F(ух) (см.(3.26)) от параметров начальной стадии процесса деформирования (3.1). Кроме того, ограничение (3.27) необходимо для существования степенной кривой ползучести, как будет показано в следующем параграфе.

4. Уравнение кривой ползучести модели (1.1) Equation Section (Next)

Чтобы найти кривую ползучести, нужно решить нелинейное операторное уравнение (1.1) относительно s(t), считая, что a(t) = const, т.е. y(t) = const. Оказывается, что благодаря свойству (1.13) это решение можно найти в классе степенных процессов s = atn, потребовав, чтобы было y(t) = yc в (1.13), т.е. m = 0 и Qnad = ус. Отсюда

n = nc :=-md\ ac = (^-Уd . (4.1)

где в силу (1.16) Qc := Q^ = (s + nqc fq(p(nc - n,))'p(q(nc - n>))"*/q (4.2)

Коэффициент Qc , как и показатель nc кривой ползучести, зависит только от параметров модели, но не зависит от уровня напряжений <c = F(ус) и функции F(у) .

При £ Ф 0 формула (4.1) выражает показатель степенной кривой ползучести только в том случае, когда nc > n* (см. (1.9)), так как формулы (1.13), (1.14) справедливы лишь при условии n > n*. Легко проверить, что неравенство nc > n* автоматически следует из (3.21). Кроме того, поскольку деформация реальных материалов при постоянном напряжении не

убывает с течением времени, следует наложить на параметры модели ограничение nc > 0 , т.е. m0d-1 < 0 . В силу ограничения (1.7) оно равносильно условию

m0 < 0, (4.3)

совпадающему со вторым неравенством (3.27), обеспечивающим убывание кривой релаксации напряжений (3.6).

Так как скорость деформации материалов при ползучести не возрастает с течением времени (модель не описывает "третий участок кривой ползучести" - см.[7]), то следует потребовать, чтобы

nc < 1, т.е. -m0 < d (4.4)

(Можно доказать, что условие (4.4) - ещё и критерий непрерывности y(t) при t = 0 для любых непрерывно дифференцируемых s(t) е D0 и того, что у(0) = 0, т.е. отсутствия напряжений в начальный момент.).

Если выполняется условие линейной инвариантности (2.3), т.е. m0 = 1 - d, то ограничение (4.4) выполняется, ограничение (4.3) равносильно условию d > 1 (отметим, что оно уже появлялось в п.2), а показатель кривой ползучести выражается формулой

nc = 1 - d-1 (4.5)

и не зависит от параметров p, q, в, a>i, входящих в общую формулу (4.1). Таким образом, в этом случае для существования степенной кривой ползучести

s = a/c (4.6)

необходимо и достаточно, чтобы выполнялись ограничения d > 1 и пх < 0 .

5. Зависимость скорости ползучести от уровня напряжений Equation Section 5

Продифференцировав (4.6), найдём зависимость скорости ползучести от времени:

S&t) = acnfc-1, (5.1)

где по (4.1)

nc = -m0d-1 е(0;1), ac = qc yh, h := d"1, qc := Q-h, (5.2)

Y = F-1 (ст) - не зависящая от времени величина, соответствующая заданному постоянному значению напряжений ст. Так как показатель nc кривой ползучести (4.6) и постоянные Qc и qc, вычисляемые по формулам (4.2) и (5.2), не зависят от уровня напряжений ст, то в силу (5.1) зависимость мгновенной (а также и любой средней по времени) скорости ползучести v := S&t) от ст полностью (с точностью до множителя, зависящего только от t или способа усреднения) определяется зависимостью ac (а) :

ac = qc Y(CT)h,. (5.3)

Зависимость ac от y = F-1 (ст) - степенная с показателем h > 0. Для всех определяющих функций F (y) , обладающих свойством F (0) = 0, функция (5.3) (а значит, и скорость ползучести) обращается в нуль при ст = 0 .

Рассмотрим важный конкретный случай. Подберём такую определяющую функцию модели F(y), чтобы зависимость ac (ст) описывалась степенью дробно-линейной

функции с вертикальной асимптотой ст = ст* (как предложено в [6]):

ac(ст) = Астп(ст* - ст)-n, A > 0, n > 0, сте[о;ст*) (5.4)

ст* (q Yh у/n

Приравняв (5.3) и (5.4), выразим ст через y : ст = --^-, т.е.

(qcYh Уn + A n

F(Y) = ст q+A =ст*(1 - An(qjk + An)-1)) е[0; +«) , (5.5)

qnY + An

где k := hn- = (dn)-1, qn := q1 n, An := A11 n. Легко проверить, что функция (5.5) удовлетворяет всем введённым в начале статьи требованиям к F(у). Действительно, F (0) = 0, F (у): a* A-lqn ук при у ^ 0, lim F (у) = a* и F (у) возрастает на [0; +о) , ибо

у^+о

F'(у) = a* Апкyk-1(qnyk + An)-2 > 0. Таким образом, введение в уравнения модели зависимости скорости ползучести вида (5.4) неизбежно приводит к определяющей функции с горизонтальной асимптотой a = a* при у ^ +оо .

Аналогично можно построить функцию F(у), обеспечивающую и любой другой разумно выбранный вид аппроксимации зависимости скорости ползучести от a. Предположим, что экспериментальные данные описываются зависимостью

ac(a) = f (a), ae[a* ;a*), (56)

где f(a) - возрастающая функция (a* может, в частности, совпадать с пределом прочности, а a* - с пределом ползучести материала или с нулём). Приравняв (5.3) и (5.6), выразим a: a = f ~l(qcyh), т.е.

F (у) = f-\qcyh), (5.7)

где f-1 - обратная функция для f .

Функция (5.7) определена на интервале [у*;у*), где у* = (f (a*)q-l)d , у" = (f (a")q-l)d и возрастает на нём (как композиция возрастающих функций). F (у) дифференцируема на (у*;у*), если дифференцируема f (a) и f '(a) > 0: F'(у) = qchyh- (f '(qcyh)) . Если

a* = 0 и f (0) = 0, то и F(0) = 0 . Таким образом, все априорные ограничения, налагаемые на определяющую функцию F(у), автоматически выполняются для (5.7). Кроме того, наличие вертикальной асимптоты a = a" у графика f (a) влечёт наличие горизонтальной асимптоты a = a" при у ^ +о у графика функции (5.7).

В частности, из формулы (5.7) следует, что функции f(a) = Atg, ae[0;a*),

2a

соответствует F(у) = 2a*nlarctg(A~lqcyh), степенной функции f (a) = Aaka-k [7] -функция F(у) = a* (A~lqcyh)k , а функции f(a) = A exp(aa*-1) [7] - функция F (у) = a* ln( A-lqcyh) = a* (ln( A~lqc) + h ln y).

6. Построение определяющей функции модели F (у) и определение материальных констант по экспериментальным данным Equation Section (Next)

Построение определяющей функции F (у) описано в п. 2 и 5. Параметры модели (1.2) целесообразно определять в следующей последовательности.

Из опытов на ползучесть (при a = const) можно найти показатель пс и

коэффициентac кривой ползучести в предположении, что она имеет вид (4.6):

nc = (ln / ^2) (ln ti /12) , ac = sJi "c (61)

где si - измеренные значения деформации при двух разных значениях t = ti. Так как из условия линейной инвариантности m0 + d = 1 (см.(2.3)) следует, что nc = 1 - d, то, зная величину (6.1), можно вычислить значение параметра d = (1 - nc)-1, а по нему из условия линейной инвариантности - значение m0 = 1 - d. Приравняв экспериментальную величину ac (6.1) и теоретическое значение (4.1), получим следующее уравнение для параметров p, q» ^ П s» no, n1:

Q = a-dY = Y s; Vm, т.е. (s + nqc fq(p(nc -n0))n/p(q(nc -nl))~e'q = y s,-V m (6.2) Здесь y := F-1 (а) - известное значение, соответствующее заданному в опыте на ползучесть уровню напряжений а

Определив по диаграмме а-s, построенной по результатам опыта с постоянной скоростью деформирования a, величину модуля упругости E(a), вычислим Er = E (a)/ F '(0) и получим из (2.4) ещё одно уравнение для параметров модели:

ad-1(s + 1)f/q (p(1 - nj)n/p (q(1 - щ))-^q = ET (6.3)

Определив из опыта на релаксацию предельное значение напряжения aœ при t , вычислим Yœ = F-1(aœ ) и получим из (3.26) ещё одно уравнение для параметров :

sdsf/q (-qrç)fq {-pn.fp =Yœ (6.4)

Систему трёх уравнений (6.2)-(6.4) для параметров p, q, f, n, s, n0, щ можно замкнуть, либо задав допустимые значения каких-то четырёх параметров (например, p, q > 0, n0, щ < 0 ), либо добавив (для более точной настройки модели) ещё четыре уравнения, которые можно получить, например, из опыта на релаксацию, приравняв значения функции (3.6) при заданных t = ti, i = 1,2,3,4, экспериментальным значениям

Y = F-\аг ) в те же моменты времени. После определения параметров p, q, f, n, s, n0, щ из указанной системы уравнений, легко вычисляются оставшиеся параметры а, в, <э0, ©J, входящие только в выражения (1.11), (1.15), (1.6) для n0, щ, m0, d :

а = d-f + n , в = m0 ~nn0, ct>0 =-n0 - p1, a>l = 1 - щ - q- . Таким образом находятся значения всех материальных постоянных определяющих соотношений (1.1), обеспечивающие адекватное описание поведения материала, т.е. кривых релаксации и ползучести, зависимости скорости ползучести от уровня напряжений, зависимости напряжений от деформаций при постоянной скорости деформирования, регистрируемых в экспериментах.

Литература

1. Басалов Ю.Г., Кузнецов В.Н. Определяющие соотношения для малых вязко-упруго-пластиеских деформаций ползучести // Изв. РАН. МТТ. 1998, №1. С. 29-34

2. Басалов Ю.Г., Кузнецов В.Н., Шестериков С.А. Определяющие соотношения для реономного материала // Изв. РАН. МТТ. 2000, №6. С. 69-81

3. Fitzgerald J.E., Vakili J. Nonlinear Characterization of Sand-asphalt Concrete by Means of Permanent-memory Norms // Proc. of he SESA. 1960. V. 30. No 2. P.504-510.

4. Дэй У. А. Термодинамика простых сред с памятью. М.: Мир, 1974. 192 с.

5. Клюшников В. Д. Физико-математические основы прочности и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1994. 190 с.

6. Шестериков С.А., Юмашева М.А. Конкретизация уравнения состояния при ползучести // Изв. АН СССР. МТТ. 1984, №1. С. 86-91

7. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1977. 712 с.