CC BY
18Критерии разрушения при ползучести, учитывающие
историю деформирования, и моделирование кривых длительной прочности
Хохлов А.В. (khokhlov@imec.msu.ru)
Институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова
Введение. Для моделирования и прогнозирования длительной прочности материалов и элементов конструкций к определяющему соотношению (ОС) необходимо добавить хорошо взаимодействующий с ним критерий разрушения (КР), т.е. критерий, позволяющий вывести уравнение теоретической кривой длительной прочности (КДП), аналитически исследовать зависимость её свойств от материальной функции и параметров ОС и КР, установить ограничения на них, обеспечивающие совпадение качественных свойств теоретических КДП с теми, которые наблюдаются у типичных экспериментальных КДП вязкоупругопластичных материалов, и указать способ идентификации материальных параметров (МП) по данным испытаний конкретного материала. Эта программа и реализована в данной работе.
Продолжено исследование предложенного в статье [1] нелинейного ОС (1.1) между напряжением и деформацией для описания одномерных изотермических реологических процессов в случае монотонного изменения деформации. Показано, что ОС (1.1) в сочетании с деформационным КР приводит к теоретическим КДП, обладающим такими же качественными свойствами, что и типичные экспериментальные КДП вязкопластичных материалов (п.2-4).
Построены два семейства критериев разрушения при монотонном одноосном деформировании, родственных ДКР, но учитывающих историю нарастания деформации и зависимость критической деформации от напряжения (п.5,6). Вместо текущей деформации в них используются другие меры повреждённости, связанные с историей деформации интегральными операторами по времени. Их конструкция мотивирована желанием иметь арсенал более общих и чутких КР, допускающих регулировку за счёт дополнительных МП и позволяющих точно описывать экспериментальные КДП более широкого класса материалов при произвольной температуре.
Аналитическое исследование построенных КР при любых значениях МП позволило обнаружить ряд полезных свойств, подтверждающих их пригодность для описания разрушения различных вязкопластичных материалов при ползучести. В частности, доказано, что в сочетании с ОС (1.1) эти КР приводят к теоретическим КДП, обладающим такими же качественными свойствами, что и типичные экспериментальные КДП (п.7). Существенно, что каждое из построенных семейств КР образует монотонную и непрерывную шкалу критериев (монотонно и непрерывно зависящих от вещественного МП), включающую ДКР как предельный случай. При этом критерии первого семейства всегда дают большее время разрушения, чем ДКР, критерии второго семейства -меньшее, а различие можно сделать сколь угодно малым за счёт выбора значения управляющего МП у края шкалы. Вместе с тем различие можно сделать сколь угодно большим, выбрав его вдали от этого «края». Эти свойства очень полезны для точной настройки модели на имеющиеся опытные данные о зависимости времени разрушения от уровня напряжения, температуры, радиации и других факторов: если эти данные плохо описывает ДКР, то можно выбрать подходящий КР из построенных семейств, плавно и монотонно изменяя управляющий МП.
Список аббревиатур: ОС - определяющее соотношение (1.1); МП - материальные параметры (постоянные) ; МФ - материальная функция ОС (1.1); КП - кривая ползучести (ТКП -теоретическая, ЭКП - экспериментальная); КДП - кривая длительной прочности (ТКДП, ЭКДП); КР - критерий разрушения, ДКР - деформационный КР.
Термин «возрастает» в дальнейшем означает нестрогое возрастание, т.е. неубывание.
1. Определяющее соотношение для одномерных монотонных реологических процессов.
Предложенное и исследованное в работах [1,2,8] ОС выражает напряжение <j(t) через историю деформирования е(т), 0 < т < t. Деформация не предполагается малой и потому используется
логарифмическая деформация 8(*) := 1п I(*)/1(0) . В дальнейшем будем считать 8(*) неубывающей кусочно-непрерывно дифференцируемой положительной функцией безразмерного параметра времени * > 0. Соответствующее (безразмерное) напряжение а(*) строится в виде композиции
двух независимых нелинейных операторов К и I , действующих по схеме б(*) ^ у(.) ^ а(*) :
а(*) = !(К0), у = Кб, где Ке:=е(г)агв ^^еГ , * > 0. (1.1)
а, р, ц > 0, 0, > 0 - (1.2)
материальные параметры (МП), методика определения которых по экспериментальным данным предложена в [1,2]; I(х), х > 0, - материальная функция (пока произвольная возрастающая вещественная функция, требования к которой и способ идентификации указаны в п.3 и статье [2]). Реологический оператор К отображает историю деформации б(т), 0 < т < *, в неотрицательную функцию у(*), которую будем называть квазинапряжением. В определение К входят интегральные операторы Ьр щ и SqЯЮí, отображающие б(т) , в функции переменной * > 0:
(* р (* ц ^р,Ю0[8]:=1 ||£(т)т®0^ ёт и SqЛal[e,¿]:=\¡т(Шl-1)q (((т)|ц +|тб(т)Ц )ёт (1.3)
V 0 у V 0 у
ОС (1.1) является обобщением предложенного в работе [3] соотношения
( * \п/р
а(*) = I (у(г)), у{1) = Леа
t
J|s(r)|p dx , п> 0, a,p > 1, в£[0;1], которое, в свою очередь,
было получено из модели Фицжералда [4] путём введения МФ F и множителя t.
Цель введения в ОС (1.1) оператора SqX , явно учитывающего скорость деформации, -
распространение ОС на материалы, обладающие повышенной чувствительностью к скорости деформирования, в частности, углеродные и керамические материалы при высоких температурах, титановые сплавы и металлы в состоянии сверхпластичности (для них Я << 1 и £ /(a - г/) >> 1).
Наличие девяти МП и МФ F(х) в ОС (1.1) предоставляет, как показано в [1,2,8], широкие возможности по управлению свойствами модели и по её настройке за счёт выбора значений МП с целью адекватного и всестороннего описания поведения вязкоупругопластичных материалов. ОС (1.1) позволяет описывать не только отдельные реологические эффекты, но и целый их комплекс: ползучесть, релаксацию, зависимость скорости ползучести от уровня напряжения, длительную прочность, затухание памяти материала, зависимость напряжения от деформации при постоянной скорости деформирования, зависимость "модуля упругости" при малых деформациях от скорости деформирования. В статьях [1,2] при любых допустимых значениях МП (1.2) выведены уравнения теоретических кривых деформирования, релаксации и ползучести, аналитически исследована зависимость свойств модели от МП и МФ. Получены необходимые дополнительные ограничения на МП, обеспечивающие наличие у теоретических кривых таких же качественных свойств, что и у типичных экспериментальных кривых широко класса вязкоупругопластичных материалов (возрастание напряжения с ростом деформации и её скорости, возрастание деформации при ползучести, убывание напряжения при релаксации, затухание памяти материала и т.п.):
d > 0, m0 < 0, d + m0 > 0, n1 <0, (1.4)
где d :=а + £-ц, m0:= P+£(a1 -1)-n®0 -ipl, n1:= 1 -®i - q-1 - (15)
главные управляющие параметры модели, появляющиеся в уравнениях кривых деформирования, релаксации, ползучести и других её характеристиках. Примечательно, что каждое из этих ограничений возникает при рассмотрении нескольких различных аспектов поведения материала, что свидетельствует о достаточно высокой степени внутренней согласованности модели. В частности, они необходимы и достаточны [1,2] для существования степенной теоретической кривой ползучести при мгновенном нагружении (когда a(t) = const, т.е. y(t) = const, при t > 0):
s(t,G) = a(a) tn, (1.6)
где n = nc := -m0d- > 0, a = ac :=yhQ-h = f (a)h Q-h > 0, (1.7)
h := d- > 0, Q := Q = (Я + nq)£/q(p(nc -n0))n/p(q(nc -n^ > 0, (1.8)
/ := Г- обратная функция к МФ Г(х), х > 0. В работе [2] доказано, что ограничения (1.4) обеспечивают затухание памяти при ползучести, и что совместно с требованием возрастания МФ Г(х) они необходимы и достаточны, чтобы скорость ползучести возрастала с увеличением напряжения, а функция с = с(а,е), задающая теоретические диаграммы деформирования с постоянной скоростью а, возрастала по обеим переменным.
Цель данной статьи - подбор, конструирование и анализ критериев разрушения, хорошо взаимодействующих с ОС (1.1) (в том смысле, что они приводят к теоретическим КДП, обладающим такими же качественными свойствами, что и экспериментальные КДП широко класса вязкопластичных материалов (см. п.2)), разработка целого арсенала таких КР (зависящих от параметров) и удобной технологии высокоточной аппроксимации ЭКДП различных материалов. Это необходимо для моделирования КДП (материала или элемента конструкции) по результатам опытов на ползучесть до разрушения при высоких напряжениях и прогнозирования длительной прочности при относительно низких напряжениях (когда время разрушения слишком велико, чтобы получить экспериментальные данные о нём).
2. Свойства типичных экспериментальных кривых длительной прочности.
При фиксированном растягивающем напряжении с деформация образца нарастает (наблюдается ползучесть) и через некоторое время 4 после приложения нагрузки происходит его разрушение. График функции 4(ст) (или сг(4)) называется кривой длительной прочности (КДП) материала (или элемента конструкции).
Данные испытаний показывают [6,7], что функция 4(с) всегда убывает и для многих вязко-упруго-пластичных материалов регистрируемые значения г*(ск) хорошо аппроксимируются (по крайней мере, при достаточно больших напряжениях) степенной функцией с отрицательным (вещественным) показателем ¡: и = Ссл , с>с0 > 0, ¡< 0, С > 0, (2.1)
или двумя (иногда - тремя) степенными функциями с различными показателями в интервалах [с0,с1] и [с1,с2] (рис.1). В логарифмических координатах такие КДП представляются отрезком
прямой линии 1п 4 = ¡1пс + 1п С с угловым коэффициентом ¡< 0 или двухзвенной (а иногда и трёхзвенной) ломаной. В последнем случае отрезок, соответствующий с < с1 (участок хрупкого разрушения), составляет с осью 1пс меньший угол, чем отрезок КДП для с > с1 (участок вязкого разрушения), т.е. |д| < |л2| и С1 < С2.
1п г*
с
1пс
г
*
Рис.1. Типичные КДП вязкопластичных материалов г*(с).
Покажем, что при надлежащем выборе МФ Г и выполнении ограничений (1.4) ОС (1.1), снабжённое подходящим КР, даёт теоретическую КДП, обладающую указанными свойствами.
3. Теоретические кривые длительной прочности для деформационного КР.
ДКР постулирует, что разрушение происходит в тот момент t = t*, когда деформация s(t) достигает критического значения s*, не зависящего от уровня напряжения и температуры:
s(t*) = s*, где s* = const (3.1)
Он описывает две разные ситуации: разрушение материала или элемента конструкции. Соответственно, s* обозначает либо материальную константу, либо предельную допустимую по конструктивным соображениям деформацию (классический пример: разрушение турбины вследствие ползучести её лопаток). В первом случае ДКР (3.1) с постоянным s* не всегда адекватен данным испытаний материалов. Во втором случае адекватность ДКР (3.1) не вызывает сомнений (если конструктивный критерий (3.1) срабатывает значительно раньше, чем происходит разрушение материала). Поэтому уравнение теоретической КДП, соответствующей ДКР (3.1), окажется полезным хотя бы для прогнозирования длительной прочности элементов конструкций.
Для кривой ползучести (1.6) с показателем n > 0 (т.е. при m0 < 0 ) КР (3.1) даёт: at*n = s*, т.е.
t*(Y) = s*1/nQm rm, или t*(a) = s*1/nQm f (a )-m, a> 0, (3.2)
где m := h / n = -m- > 0 , у = f (a), f := F-1 - обратная функция к МФ F ОС (1.1).
МФ F(у) не только определяет зависимость КП (1.6) от уровня напряжения (изохронные КП), но и отвечает за форму теоретических диаграмм a-s при деформировании с постоянными скоростями и определяется по экспериментальным ДД [2]. Если ограничиться моделированием материалов с возрастающими и выпуклыми ДД (не рассматривая пока материалы, на чьих ЭДД имеется площадка текучести, а вслед за ней - зона упрочнения), то на МФ F необходимо наложить следующие ограничения [2]: F (у) неотрицательна, непрерывна, кусочно дифференцируема, возрастает и выпукла вверх (т.е. F'(у) > 0 и убывает) при у > 0 и F(0) = 0 . Из них следует, что f (a), a > 0, неотрицательна, непрерывна, кусочно дифференцируема, возрастает, выпукла вниз (f '(a) возрастает) и f (0) = 0. Этими свойствами обладают, например, функции F(х) = Нхм и F(х) = Hln(Bx + 1)M, х > 0, M е (0;1], B,H > 0.
Так как f (a) возрастает и m > 0, то t*(a) из (3.2) убывает при a > 0 и t*(a) ^ да при a ^ 0 . Это согласуется с опытными данными и "здравым" смыслом. Зависимость 4(у) степенная (для любой F(у)), поэтому в координатах lnt* -lnу КДП (3.2) - отрезок с угловым коэффициентом -m < 0. Зависимость t*(a) (3.2) является степенной с отрицательным показателем только тогда, когда f (a) (и F(у)) - степенная функция с положительным показателем.
Для степенной функции F(у) = Нум (где M е (0; 1] в силу убывания F'(у)) имеем f (a) = (a/Н)1/м, и (3.2) даёт степенную зависимость: t*(a) = s*1/nQm Hm/M a'm/м, т.е.
t*(a) = Q*H~MaM, где ¡Li:=-m/M = (Mm0)-1 <0, (3.3)
Q* := s*1/nQm - материальная постоянная, не зависящая от a, M и H.
Для МФ F(у), склеенной из двух степенных функций Fi(у) = HjMl, определённых на интервалах [0;у1] и [у1;у2] (например, в том случае, когда a1 := F(у1) - предел текучести материала - см. [2]), зависимость t*(a) тоже будет склеена из двух степенных функций вида (3.3) с отрицательными показателями l =- m / Mi = (Mim0)-1 на интервалах [a0,a1] и [a1,a2]. В этом случае ТКДП (3.2) в логарифмических координатах будет состоять из двух линейных участков: lnt* = l(lna-lnHi) + lnQ*. Именно это свойство типично для экспериментальных КДП многих
материалов (см. п.2, рис.1). Так как l2 / L = M1 /M2, то условие выпуклости вверх графика F(у) M1 >M2 влечёт неравенство <|l2| для модулей угловых коэффициентов Li, что и наблюдается в опытах (см. п.2). Отметим, что l2 / L = t*'(a1 + 0)/1* (a1 - 0) .
Наконец, если значения произвольной МФ F(у) интерполируются кусочно степенной функцией (с любым числом участков), то обратная функция f (a) будет кусочно степенной, и ТКДП (3.2) будет склеена из степенных дуг вида (3.3).
Благодаря своей простоте и согласию с экспериментальными данными для широкого класса материалов, ДКР (3.1) имеет длинный послужной список и славную кредитную историю. Он по-прежнему широко используется для прогнозирования длительной прочности не только элементов конструкций, но и материалов, хотя известно, что в последнем случае он не безупречен и далеко не всегда выполняется в опытах на разрушение при ползучести, и что критическая деформация е*,
вообще говоря, не является материальной константой, а может зависеть от напряжения, температуры, дозы радиации и, возможно, от каких-то иных факторов.
4. Кривые длительной прочности для обобщённого ДКР.
Простейшее обобщение ДКР (3.1) получится, если считать, что деформация разрушения е*, зависит от уровня (безразмерного) напряжения:
е = е*, где е* = е0 ск, с>с0 > 0, е0 > 0, к е Е . (4.1)
Для кривой ползучести (1.6) КР (4.1) даёт следующее выражение для г*:
4(г) = е{1 О у-т¥(у)к/", или г*(с) = "От /(с)-тск/" (4.2)
Для степенной МФ Г (у) = Иум с М е (0;1] КДП (4.2) становится степенной зависимостью
г*(с) = О* И -т/м сл( к) (4.3)
с показателем ¡(к) := (Мт0 )-1 + кп_1 = (Мт0 )-1 - Ыт0-1 = (Мт0 )-1(1 - Мкё) . т := -т-1, 0* := е01/"О" - материальные постоянные, не зависящие от с, М, И и к .
¡(к) < 0 только при условии Мкё < 1 (так как т0 < 0). Таким образом, требование убывания ТКДП г*(с) приводит к необходимости наложить на допустимые значения материального
параметра к в КР (4.1) ограничение к < к , где к := (Мё)-1 (4.4)
В логарифмических координатах ТКДП (4.3) линейна:
1Пи = ¡(к)1Пс + 1П0,И-т/М . (4.5)
Варьирование к позволяет регулировать угловой коэффициент ¡(к) этой прямой, добиваясь его совпадения с экспериментальным значением (это способ идентификации МП к по ЭКДП). С увеличением к ¡¡(к) возрастает, ¡(к)| убывает (до нуля при к = к ), а ТКДП (4.5) вращается
против часовой стрелки вокруг неподвижной точки с координатами с = 1, г* = О* И~т/М. Чтобы сдвинуть эту точку, нужно изменить значение МП е0, входящего в выражение 0* := е01/п0т, или ввести в КР (4.1) какие-то дополнительные свободные параметры (см.п.7,8).
Таким образом, в сочетании с ОС (1.1) деформационный КР (3.1) и его обобщение (4.1) приводят к теоретическим КДП, обладающим такими же качественными свойствами, что и экспериментальные КДП. Это свидетельствует о том, что ДКР, в принципе, неплохо согласуется с ОС (1.1). Однако хотелось бы иметь арсенал более чутких КР, допускающих регулировку за счёт дополнительных МП, учитывающих информацию, которой ДКР пренебрегает, и позволяющих максимально точно описывать ЭКДП более широкого класса материалов.
5. Критерий разрушения, учитывающий историю нарастания деформации.
Время наступления разрушения образца при ползучести зависит не только от уровня напряжения. Влияние иных факторов может оказаться столь значительным, что его будет практически невозможно учесть, не меняя структуру левой части критерия (3.1), а только вводя в его правую часть зависимость е* от напряжения (как в КР (4.1)) и каких-либо других величин.
Представляется целесообразным построить КР, родственные ДКР, но учитывающие историю нарастания деформации е(г), критерии, зависящие от характеристик кривой ползучести. Ведь она хранит интегральную информацию об условиях развития деформации и процессах, приводящих к разрушению: о температуре, об уровне напряжения, о величине и моменте догрузки при ступенчатом нагружении, о скорости ползучести, о накоплении дислокаций, развитии микротрещин, уменьшении эффективной площади, коррозии, скорости диффузии водорода и других агрессивных газов, сильно влияющих на длительную прочность [7] и т.п.
Простейший тип критериев разрушения - скалярные КР, постулирующие, что разрушение происходит в тот момент t* , когда некоторая числовая (безразмерная) характеристика деформации
s(t) достигает критического значения s*: s(t*) = s*. Необходимое свойство оператора M, переводящего s(t) в меру повреждённости s(t), - сохранение им монотонности: для возрастающей при t > 0 функции s(t) мера повреждённости s(t) должна быть возрастающей функцией времени t (в противном случае КР не будет срабатывать, а если будет, то совсем не так, как классический ДКР (3.1)). Это требование формализует представление о том, что процессы разрушения и нарастания деформации ползучести, тесно связанные общими структурными механизмами, положительно коррелированы, "сонаправлены". Критическое значение s* может быть материальной константой или величиной, зависящей от напряжения и температуры. Простейший частный случай описанной конструкции - ДКР (3.1), когда s(t) = s(t) и s* = const.
Выберем в качестве меры повреждённости среднее значение деформации за время t :
(1 ' YU
~su (t):=l-\s{T)udT , и > 0, (5.1)
Vt 0 J
(как и ранее, считаем, что s(t) - положительная неубывающая (кусочно) непрерывная функция при t > 0). Тогда получим следующее семейство КР, зависящее от параметров и, k, s0:
su(t*) = s* , где s* =s0 ak, k е R, s0 > 0, и > 0. (5.2)
Степенная зависимость s* = s0 ak с k > 0 согласуется с данными многочисленных опытов, которые показывают, что с ростом напряжения деформация разрушения s* , как правило, не убывает [6]. КР (5.2) выглядит сложным по сравнению с ДКР (4.1), но аналитическое исследование сделает его столь же простым в приложении. Прежде всего, покажем, что для любой возрастающей функции s(t) и любого и > 0 среднее su (t) - возрастающая (дифференцируемая) функция при t > 0, и потому его можно использовать как меру повреждённости в КР.
s(t) = s(t)(ut)-1К)/s(t)) -1] (5.3)
0 < su(t) < s(t) при t > 0. Следовательно, в силу (5.3) su(t) > 0 при всех t > 0. Все три последние неравенства строгие, если s(t) не постоянна на промежутке (0; t] (тогда s(t) < s(t) при т < т1 для некоторого т е(0, t) ) □
Из
оценки su (t) < s(t) следует, что значение времени разрушения t*, определяемое по КР (5.2) всегда больше, чем время разрушения, определяемое по ДКР (4.1).
Так как среднее su (t) возрастает с увеличением параметра и, то значение времени
разрушения t*, определяемое по КР (5.2), убывает с ростом и, т.е. КР (5.2) становится всё более жёстким с увеличением и . Кроме того, при любом фиксированном t > 0 su (t) ^ s(t) при и ^ +оо, и функция s(t) непрерывна по параметру и > 0. Эти свойства показывают, что критерии (5.2) образуют монотонную и непрерывную шкалу критериев, более мягких, чем КР (4.1), но сколь угодно мало отличающихся от него при больших значениях и . Это свойство очень полезно для наиболее аккуратной настройки модели на имеющиеся экспериментальные данные о времени разрушения: если эти данные плохо описываются ДКР (3.1) или (4.1), то можно выбрать более подходящий критерий семейства (5.2), плавно и монотонно изменяя и .
6. Критерии разрушения, зависящие от средней скорости деформации.
Сформулируем КР, родственные КР (5.2), но в явной форме зависящие от скорости деформации s(t). В их основе лежит идея определения средней деформации через среднюю скорость v(t) интервале т е [0, t]: s(t) := s(0) + v(t) t. Слагаемое s(0) необходимо, чтобы среднее s(t) не потеряло чувствительность к увеличению деформации s(t) на постоянные слагаемые. Физический
Так как s(t) > 0 и возрастает, то s(t) <s(t) при те [0, t ]. Поэтому £ s(т)udт<s(t ^t, т.е.
смысл ^(0) - так называемая "мгновенная деформация" в момент приложения нагрузки (если ^(0) = 0, это означает, что рассматривается реальный процесс быстрого нарастания деформации в стадии нагружения, а не его идеализация, пренебрегающая продолжительностью этой стадии). Выбрав в качестве меры повреждённости среднее ё^), получим КР
e(t*) = е*, где e(t) := е(0) + v(t) t, е* =s0 а , к е R . (6.1)
Так как 4(t) - ещё одна характеристика средней деформации за время t, то можно ожидать, что КР (6.1) даст для момента разрушения t* результат, качественно схожий с КР (4.1) и (5.2).
Целесообразность использования критерия (6.1) связана ещё и с тем, что он обобщает и формализует эмпирическое наблюдение [5,6]: в испытаниях на ползучесть для разных материалов произведение t* на скорость установившейся ползучести - величина постоянная, не зависящая (или слабо зависящая) от уровня напряжения: vt* =е* (т.е. выполняется (6.1) с к = 0 и 4(t) = v = const). Это наводит на мысль обобщить этот эмпирический факт на неустановившуюся ползучесть, ибо далеко не все материалы имеют кривые ползучести с выраженным прямолинейным участком. Это можно сделать, заменив скорость установившейся ползучести v на среднюю скорость ползучести на интервале времени от 0 до t* (или на интервале (Qt*, t*), где 0 <Q < 1 - см. п.8) и добавив слагаемое е(0), обеспечивающее чувствительность КР к начальной мгновенной деформации. Тогда и получится КР (6.1) с к = 0 .
Среднюю скорость деформации v(t) в (6.1) можно определять разными способами. Например, можно применить к 4(t) тот же интегральный оператор усреднения, что был использован в (5.2):
(1 ' Y"
v(t) = vu (t) := I -\e(T)udr , и > 0. (6.2) V10 у
Для средней скорости (6.2) критерий разрушения (6.1) принимает вид:
£u (t*) = е*, где гги (t):=e(0) + vu (t) t, и > 0; е* = е0 ак, к е R . (6.3)
При и = 1 интеграл (6.2) вычисляется: v1 = (e(t) - е(0)) /1. Поэтому ^ (t) = e(t), t > 0, и КР (6.3) при
и = 1 совпадает с ДКР (4.1). Так как при любом фиксированном t > 0 средняя скорость (6.2) возрастает с увеличением и , то и мера повреждённости ёи (t) = е(0) + vu (t)t возрастает по и .
Поэтому ёи (t) > e(t) для всех t > 0 при и > 1. (6.4)
Таким образом, любой критерий семейства (6.3) с и > 1 всегда даёт меньшее время разрушения, чем ДКР (4.1), причём разницу можно сделать сколь угодно малой за счёт выбора значения и близким к единице (ибо vu (t) и su (t) - непрерывные функции от и ).
Но прежде чем использовать меру повреждённости su (t) в КР, необходимо убедиться, что гги (t) возрастает, если возрастает e(t). Это не столь очевидно, поскольку усредняемая функция s(t), в отличие от e(t), не обязана возрастать (более того, s(t) убывает на первом участке кривых ползучести), и потому оценки производной, использованные выше при доказательстве возрастания ёи(t), не применимы к vu(t). Действительно, заменив в (5.3) e(t) на ¿(t), получим:
vu (t) = vu (t )(ut)-1 (s(t)/ vu (t)) -1 при t > 0. Если s(t) - убывает, то s(t) >s(t) при те [0, t ],
поэтому vu (t) > 4(t), и, следовательно, для любого и > 0 vu (t) < 0 при t > 0, т.е. vu (t) убывает. Тем не менее, при и > 1 средняя деформация еи (t) := е(0) + vu (t) t возрастает при t > 0 (если
4(t) > 0). В самом деле, 4 (t) = vu + v t = vu (t)+vu (t)ul [(¿r(t)/vu (t))u -1] = vu (t)ul [u-1 + (er(t)/v(t)) для еи (t) > 0 достаточно и -1 > 0 . Если же 4(t) возрастает при t > 0 (на кривой ползучести отсутствует первый участок), то vu(() <ё((), (e(t)/vu (t)) -1 > 0 , и поэтому еи (t) > 0 при всех и > 0,
t > 0, а не только при и > 1.
Отметим, что е0, к, и, входящие в КР (5.2) и (6.3) (а также характер их зависимости от температуры), можно определить по результатам испытаний материала на разрушение либо при
и
ползучести, либо при деформировании с постоянной скоростью (при разных температурах). В частности, это можно сделать по экспериментальной кривой длительной прочности, поскольку а0, к и и входят в уравнение теоретической КДП (см. п.7).
7. Кривые длительной прочности для критериев разрушения (5.2) и (6.3).
Для кривой ползучести (1.6) с п > 0 (т.е. при т0 < 0) мера повреждённости (5.1) легко
вычисляется: ёи(^) = (пи +1)-1/и аЕ. Поэтому КР (5.2) даёт для момента разрушения выражение и = (пи +1):/пи (а* у-И)п = Ь(и)(а* у-И)"п, где Ь(и) := (пи +1)1пи, и уравнение ТКДП имеет вид: и(у) = Ь{и)е1п0т у-тЕ(у)к/п, или Ца) = Ь(и)5а'^т Да)-так/п, (7.1)
где (как и в п.3) т := И / п = -т-1 > 0, / := Е- - обратная функция к МФ Е(у) . Коэффициенты Q и п КП (1.6) зависят лишь от МП модели, но не зависят от напряжения а = Е(у) и МФ Е . Так как Е(у), у > 0, - непрерывная, кусочно дифференцируемая, возрастающая, выпуклая вверх неотрицательная функция и Е(0) = 0 (см. п.3 и [2]), то функция /(а), а> 0, неотрицательна, непрерывна, кусочно дифференцируема, возрастает, выпукла вниз и /(0) = 0.
КДП (7.1) отличается от КДП (4.2), к которой приводит обобщённый деформационный КР (4.1), только множителем Ь(и) := (пи +1)1пи, не зависящим от у и а. Функция Ь(и) непрерывна и убывает при и > 0 ; Ь(и) > 1, причём Ь(и) ^ 1 при и ^ +оо и Ь(и) ^ +оо при и ^+0. Таким образом, при любом и > 0 КР (5.2) всегда даёт большее время разрушения, чем ДКР (4.1) (при тех же значениях напряжения и остальных материальных параметров), причём различие становится сколь угодно малым при достаточно больших значениях параметра и.
Выведем теперь уравнение ТКДП, соответствующей КР (6.3). Для кривой ползучести (1.6) с п > 0 средняя скорость ползучести (6.2) вычисляется: Уи = (пи - и +1)-1/"па^"-1, если выполняется условие сходимости интеграла пи - и +1 > 0 (при п > 1 оно выполнено для всех и > 0 , а если п е (0;1), то - только для и < и , где и := (1 - п)-1 > 1). Поэтому ёи (^) = V = (пи - и +1)-1/иапЕ, и КР
(6.3) даёт: (пи - и + 1)-1/иап4п =е„ 4 = (пи - и +1)1/шnx¡" (а* QИ у~И)", т.е.
Цу) = В(и)е01!Vт у-тЕ(у)к/п, или и(а) = В(и)е0у/(а)-так/п (7.2)
КДП (7.2) отличается от КДП (4.2) и (7.1) только множителем В(и) := (пи - и +1)1пип1'п, не зависящим от у и а. Функция В(и) непрерывна и убывает на интервале (0; и), В(и) ^ е(еп)-1/" при и ^ 0, В(и) ^ 0 при и ^ и ; В(1) = 1, В(и) > 1 при и е (0; 1) и В(и) < 1 при и е (1; и) .
Таким образом, КР (6.3) применим к степенной кривой ползучести (1.6) с показателем п е (0;1) только при и е (0; и); при и = 1 КР (6.3) совпадает с ДКР (4.1), при и < 1 критерий (6.3) даёт большее время разрушения, чем ДКР, а при и е (1; и) - меньшее, причём различие становится сколь угодно малым, когда и « 1, и сколь угодно большим, когда значение и близко к и := (1 - п)-1.
При к < 0 ТКДП (7.1) и (7.2) строго убывают при а > 0 (так как т > 0, а /(а) - возрастает), и t*(а) ^+со при а ^ 0, что согласуется с данными испытаний любых материалов и "здравым"
смыслом. Если к > 0, то КДП (7.1) будет строго убывающей тогда и только тогда, когда
/'(а)а - кй/(а) > 0, а > 0, или ЫуЕ'(у) - Е(у) < 0, у> 0 (7.3)
Дифференциальное неравенство (7.3) - дополнительное ограничение, которое следует наложить на МФ Е и параметр к в КР (5.2) и (6.3), чтобы обеспечить убывание ТКДП (7.1) и (7.2).
Если кй < 1, то (7.3) выполняется для любой функции Е(у), обладающей свойствами Е'(у) > 0, Е"(у) < 0, Е(0) = 0 и уЕ'(у) ^ 0 при у ^ 0 (все они входят в список требований к МФ Е (у) - см. п.3 и статью [2]). В самом деле, для функции у (у) := кйуЕ' (у) - Е (у) имеем у(0) = 0, и у '(у) = кйуЕ "(у) + (кй -1) Е '(у) < 0 при кй < 1. Но тогда у(^) < 0 при всех у > 0 . Таким образом, ограничение (7.3) можно заменить гораздо более простым достаточным условием кй < 1.
Степенная функция Г (у) = Иум удовлетворяет (7.3) при у> 0 только тогда, когда Мкё < 1. Это же критерий справедлив и для функций вида Г (у) = И 1п (Бу + 1)м , М е (0; 1], В > 0 . (Необходимость следует из рассмотрения асимптотики функции
у (у) := кёВМИу{ В у +1)-11п (Ву +1)м-1 - И 1п(Ву + 1)м при у^ 0: у(у) ~ И (кёМ -1) Вм ум ).
Зависимости 4(а) (7.1) и (7.2) являются степенными тогда и только тогда, когда /(а) (а значит, и Г (у)) - степенная функция. Для МФ Г (у) = Иум с М е (0;1] имеем / (а) = (а/ И)11м, и КДП (7.1) (как и КДП (7.2), отличающаяся от (7.1) только множителем В(и), вместо Ь(и)) становится степенной кривой Ца) = Ь(и) И~т/м а/(км), (7.4)
где /и(к, М) := (Мт0)-1 + кп- = (Мт0)-1 (1 - МЫ) , (7.5)
т := т0-1, Ь(и) := (пи +1)1пи, := е0и- постоянные, не зависящие от а, М, И и к (см. (4.3)).
/< 0 только при условии Мкё < 1 (так как т0 < 0). Таким образом, требование убывания ТКДП 4(а), т.е. условие (7.3), приводит к необходимости наложить на допустимые значения параметра к в КР (7.1) и (7.2) ограничение к < к , где к := (Мё)-1 (оно совпадает с (4.4)). В логарифмических координатах ТКДП (7.4) прямолинейна:
1п ^ = /(к,М) 1п а + 1п ~т/м + 1п Ь(и) . (7.6)
Варьирование к и М позволяет регулировать угловой коэффициент (7.5) этой прямой, добиваясь его совпадения с экспериментальным значением (это способ идентификации МП к по ЭКДП). /(к,М) возрастает по обоим аргументам, а / убывает (до нуля при к = к ). При увеличении к ТКДП (7.6) вращается против часовой стрелки вокруг неподвижной точки с координатами а = 1, и = Ь(и)0, И~т/м . Чтобы сдвинуть эту точку, нужно изменить значение одного из МП и , ё0, И или М (И и М, вообще говоря, определяются по диаграмме деформирования материала [2]).
Значение и не влияет на показатель / (7.5), т.е. на угол наклона прямой. Так как Ь(и) убывает, то с ростом и КДП (7.6) сдвигается вниз параллельно себе. При и ^ +оо Ь(и) ^ 1, 1п Ь(и) ^ 0 и ТКДП (7.6) сливается с ТКДП (4.5), соответствующей ДКР (4.1). При и ^+0 Ь(и) ^+оо, и ТКДП (7.6) отличается от ТКДП (4.5) на сколь угодно большое слагаемое 1пЬ(и). Таким образом, наличие трёх параметров и, к и ё0 в КР (5.2) и (6.3) позволяет как угодно перемещать ТКДП (7.6) до полного совпадения с прямолинейной ЭКДП.
Для МФ Г (у) , склеенной из двух степенных функций (у) = И^М', определённых на отрезках [0;^1] и [^;х2] (например, в том случае, когда а1 := Г(у1) - предел текучести материала [2]), ТКДП (7.1) тоже будет склеена из двух степенных кривых вида (7.4) с отрицательными показателями / := /(к, Mi) на интервалах [0,а1] и [а1,а2]. В логарифмических координатах
ТКДП (7.1) будет состоять из двух прямолинейных участков: 1п и. = / 1п а + 1п Q*Иi~т+ 1п Ь(и) . Именно это свойство характерно для экспериментальных КДП многих материалов (см. п.2, рис.1). Так как функция (7.5) возрастает с ростом М, и /< 0, то /(М)| убывает, и потому условие
выпуклости вверх кусочно степенной МФ Г (у) (т.е. условие М1 > М2) влечёт неравенство // <\/2\ для угловых коэффициентов /. Это свойство тоже наблюдается в опытах (см. п.2).
Наконец, если значения произвольной функции Г (у) интерполируются кусочно-степенной функцией (с любым числом участков I), то обратная функция /(а) будет кусочно-степенной, и ТКДП (7.1) и (7.2) будут склеены из I степенных дуг вида (7.4) (см.. рис.1 в п.2).
8. Полезные модификации и обобщения критериев разрушения (5.2) и (6.3).
КР (5.2) и (6.3) (при и «1) ориентированы прежде всего на материалы, которые обладают "абсолютной" памятью, в том смысле, что они одинаково хорошо помнят всю историю деформации, начиная с момента I = 0. Параметр и в (5.1) играет роль регулятора значимости позднейшей (ближайшей к текущему моменту времени I) истории: чем больше и, тем больший
вклад в интеграл (5.1) вносят большие значения е(т), т.е. значения деформации в моменты т, близкие к верхнему пределу интегрирования I (ё(т) предполагается неубывающей).
Для моделирования разрушения материалов, которые помнят только позднейшую часть истории деформации и полностью забывают начальную историю, можно ввести в определения интегральных средних (5.1) и (6.2) положительные весовые множители, монотонно зависящие от т, либо заменить отрезок интегрирования [0; I] на [вt; I], где в е [0; 1) - дополнительный МП.
Итак, выберем в качестве меры повреждённости среднюю деформацию на промежутке [0^ t]:
( t л1/и
^-0t)-1 |ё(т)ий?т , и > 0, 0 е [0; 1). (8.1)
Очевидно, ёи 0(t) = ёи(^, и ёив(1) ^ ё(1) при 0 ^ 1 (по теореме о среднем для непрерывной ё(1)).
Для меры повреждённости (8.1) КР (5.2) приводит к ТКДП
Ца) = Ъ(ив)ё11 пО: /(а)-так/п (8.2)
КДП (8.2) отличается от КДП (4.2), соответствующей деформационному КР (4.1), только
( +1 -1 -1 \-1/пи множителем Ъ(и,0):=((1 -впи )(1 -0) (пи +1) ) , не зависящим от у и а. Так как
Ъ(и,0) = Ъ(и), то при 0 = 0 КДП (8.2) совпадает с (7.1). Можно доказать, что функция Ъ(и,0) и время разрушения (8.2) убывают с ростом 0 (т.е. чем короче память, тем быстрее наступает разрушение), 1 < Ъ(и, 0) < Ъ(и) при 0 е (0;1), причём Ъ(и, 0) ^ 1 при 0 ^ 1. Таким образом, при всех 0е (0;1) время разрушения (8.2) меньше, чем (7.1), но больше, чем (4.2), а увеличение 0 приближает КДП (8.2) к КДП (4.2), соответствующей ДКР (4.1).
Таким образом, введение параметра 0 в меру повреждённости позволяет осуществлять ещё более тонкую настройку ТКДП на экспериментальные данные, и даёт дополнительную степень свободы для учёта их зависимости от температуры или иных внешних факторов (например, водородного, радиационного, теплового охрупчивания металлов или масштабного эффекта [7]).
Можно построить и более общее трёхпараметрическое семейство мер повреждённости (и соответствующих КР), учитывающих усредненную историю деформации и её скорости: ( t У/и
ё и 0) :=
^-0)-11((1 -С) |ё(т)| + С|тё(т)|))т , и > 0, ^ е [0;1], 0е[0;1) (8.3)
Весовой параметр £ позволяет регулировать относительную величину вкладов ё(т) и ё(т) в значение средней деформации ёи^в(1). В случае С = 0 (8.3) превращается в (8.1), а в случае С = 1 (8.3) превращается в меру повреждённости, родственную (6.3). При в ^ 1 ёи$в($) ):= (1 -С))| + ^ё(1)|, т.е. КР ёи^в(1) = ё* превращается в обобщение ДКР,
учитывающее мгновенную скорость деформации.
Заключение. Основные результаты статьи описаны во введении. Дополнительно отметим, что все построенные КР так же хорошо взаимодействуют и с ОС, предложенным в работе [9] (в отличие от (1.1), оно выражает деформацию через историю нагружения): КДП для этого ОС отличаются от исследованных в п.7 только множителями, не зависящими от напряжения, и обладают такими же свойствами.
Можно ожидать, что вследствие применения процедуры усреднения деформации, оказывающей сглаживающий эффект, предложенные интегральные КР окажутся более устойчивыми, чем деформационный КР, по отношению к разбросу характеристик образцов из одного и того же материала, т.е. разброс критической величины ё* для мер повреждённости (8.3) или (6.3) в опытах
на разрушение окажется меньше, чем для ДКР (когда ё* совпадает с предельной деформацией).
В заключение отметим, что можно попытаться обобщить построенные одноосные КР на трёхмерные НДС стандартным способом: заменив деформацию на эквивалентную величину, например, интенсивность деформации. В трёхмерном случае некоторые параметры, входящие в меры повреждённости (8.3) или (6.3) и соответствующие КР, могут быть использованы не как материальные, а как настроечные параметры, характеризующие тип НДС, в котором находится
материал, или уровень физико-химической активности внешней среды (концентрацию агрессивных газов и жидкостей, температуру и её градиент, интенсивность излучения и т.п.) и характерные для них механизмы разрушения.
Литература.
1. Кузнецов В.Н., Хохлов А.В., Шестериков С. А. Определяющие соотношения для реологических
процессов // Электронный журнал "Исследовано в России", 16, С. 152-160, 2003. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/016.pdf
2. Хохлов А.В. Определяющее соотношение для реологических процессов: свойства теоретических кривых ползучести и моделирование затухания памяти // Известия РАН. МТТ (в печати).
3. Басалов Ю.Г., Кузнецов В.Н., Шестериков С. А. Определяющие соотношения для реономного
материала // Изв. РАН. МТТ. 2000, №6. С. 69-81.
4. Fitzgerald J.E., Vakili J. Nonlinear Characterization of Sand-asphalt Concrete by Means of Permanent-
memory Norms // Proc. of the SESA. 1960. V. 30. № 2. P.504-510.
5. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.
6. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. - 752 с.
7. Локощенко А.М. Ползучесть и длительная прочность металлов в агрессивных средах.- М.:Изд-
во МГУ, 2000. 178с.
8. Khokhlov A.V. An Extension of the Constitutive Equation for Rheological Processes and New
Properties of the Theoretic Creep Curves // Advanced Methods in Validation and Identification of Nonlinear Constitutive Equations in Solid Mechanics (EUROMECH Colloquium 458). Moscow, 2004. P.44-46.
9. Хохлов А.В. Определяющее соотношение для реологических процессов с известной историей
нагружения // Электрон. журн. "Исследовано в России", 32, стр. 355-365, 2005 г. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2005/032.pdf
