Определяемость векторных групп своими голоморфами Текст научной статьи по специальности «Математика»

И.Э. Гриншпон

ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ ВЕКТОРНЫХ ГРУПП СВОИМИ ГОЛОМОРФАМИ

Исследуются голоморфы векторных групп. Установлены свойства Г-разложений таких групп. Получен критерий определяе-мости векторных групп своим голоморфом.

Пусть G - абелева группа, Г^) - ее голоморф, т.е. полупрямое расширение группы G с помощью группы ее автоморфизмов Аи^б) Для групповой операции в группе Аи^б1) пользуемся мультипликативной записью, а для групповых операций в G и Г^) - аддитивной записью. Группу Г^) можно рассматривать как множество всех упорядоченных пар вида (g, ф), где g е G , фе Аи1;(б). Групповая операция в Г^) определяется по правилу (g, ф) + (к, у) = (g + ф к, фу) для

любых (§-, ф), (й, у)еГ^). Нейтральным элементом в Г^) является элемент (0, в) (в - тождественный автоморфизм группы G), элементом, противоположным элементу (^, ф) - элемент (-ф-1 g, ф-1). Элементы вида (^, в) образуют в голоморфе Г^) нормальную подгруппу, изоморфную группе G, а элементы вида (0, ф) -подгруппу, изоморфную группе Аи1:(б). Будем отождествлять эти подгруппы с группами G и Аи1:(б) соответственно. Понятно, что G п Aut(G) = {(0, е)}. Часто вместо записи элементов группы Г^) в виде (^, в) и (0, ф) будем просто писать g и ф соответственно.

В настоящей работе рассматриваются голоморфы абелевых групп и вопросы, связанные с определяемо-стью групп своими голоморфами.

Если G и Н - изоморфные группы, то их голоморфы Г^) и Г(Н) также изоморфны. Однако из изоморфизма голоморфов Г^) и Г(Н) не всегда следует изоморфизм групп G и Н. Группы с изоморфными голоморфами называются голоморфно изоморфными. Исследованию голоморфно изоморфных групп посвящен ряд работ Миллса, Миллера, Беккера и других алгебраистов (см., например, [1-5]).

Будем говорить, что группа G определяется в классе Ж своим голоморфом, если для любой группы Н из этого класса из голоморфного изоморфизма групп G и Н (т.е. из изоморфизма голоморфов Г^) и Г(Н)) следует изоморфизм самих групп G и Н.

Известно, что всякая абелева группа G является максимальной абелевой нормальной подгруппой в своем голоморфе. Если 5 - нормальная абелева подгруппа в Г^) и 5Ь Ф - множества всех первых, вторых компонент элементов группы 5 соответственно, то 51 - характеристическая подгруппа группы G, Ф - нормальная подгруппа группы Аи1:(б) и если 5 Ф 0, то и 51^0 [6].

Подгруппа 5 голоморфа Г^) называется голоморфно разложимой, если для любого элемента ^, ф)е5 следует, что ^, в) и (0, ф)е5, т.е. 5 = 51 ® Ф , 5Ь Ф - множества всех первых, вторых компонент элементов группы 5 соответственно. Понятие голоморфной разложимости групп было введено И.Х. Беккером [4].

Будем использовать следующую важную для исследования голоморфов абелевых групп теорему [5, 6].

Теорема 1. Всякая максимальная абелева нормальная подгруппа голоморфа абелевой группы без элементов порядка 2 голоморфно разложима.

Из этой теоремы следует, что любая максимальная абелева нормальная подгруппа голоморфа абелевой группы без кручения голоморфно разложима.

Известно, что если две абелевы группы голоморфно изоморфны, и одна из них без кручения, то делимые части этих групп изоморфны. Поэтому рассматриваются только редуцированные абелевы группы без кручения [6].

Пусть G и Н - голоморфно изоморфные группы без кручения (Г(б) = Т(И)) и пусть ц : Г(б) ^ Г(Н) -изоморфное отображение группы Г(б) на группу Г(Н). Тогда цб = Н' = Н1 ФТ, ^-1И = G ' = ^ ®Ф , где

G1, Н1, Ф, Т - соответственно множества всех первых, вторых компонент групп С' и Н' соответственно. Группы Ох и Н1 - характеристические подгруппы групп G и Н соответственно. Так как Ох = G п G', Н1 = Н п Н', то

ф, = пG') = цGп^' = Н'пИ = И,.

Следовательно, Н1 = G1.

Имеем G = G1 ® G2, Н = Н1 Ф Н2, где и Н1 - характеристические подгруппы групп G и Н соответственно, G1 = Н1, G2 = Иош(Я2, Н1), Н2 = Hom(G2,0,) [5].

Определение 1. Разложение G = G1 ® G2 группы G, индуцированное изоморфизмом голоморфов, назовем Г-разложением.

Лемма 1. Всякое Г-разложение группы G обладает свойствами:

1) Иош(^, G2) = 0 ;

2) Hom(Hom(G2, G1), ^) = G2.

Прямое произведение групп без кручения ранга 1 называется векторной группой [7. С. 199].

Теорема 2. Векторная группа G, мощность которой не превосходит первого кардинала ненулевой меры, определяется своим голоморфом в классе всех абелевых групп тогда и только тогда, когда всякое ее Г-раз-ложение G = G1 ® G2 обладает свойством

Иош^2, G1) = G2.

Доказательство. Необходимость. Пусть группа G определяется своим голоморфом в классе абелевых групп, т.е. из изоморфизма голоморфов групп G и Н следует изоморфизм самих групп. Пусть G = G1 Ф G2, Н = Нх Ф Н2 - Г-разложения групп G и Н, индуцированные изоморфизмом голоморфов этих групп. Пусть 0(0) и 0(И) - множества всех различных типов прямых слагаемых ранга 1 групп G и Н соответственно.

Так как Gx характеристична в G, Нх характеристична в H, то Q(Gj)nQ(G2) = 0, Q(#j)nQ(H2) = 0 . Учитывая, что любые два разложения группы G в прямое произведение групп без кручения ранга 1 изоморфны [8], из G = H , Gj = Hj получаем G2 = H2. Но H2 = Hom(G2, Gj), поэтому G2 = Hom(G2, Gx).

Достаточность. Пусть r(G) = Г(H). Этому изоморфизму соответствуют Г-разложения G = Gj Ф G2, H = Hx Ф H2, причем G2 = Hom(G2, Gx). По свойству Г-разложений H2 = Hom(G2, Gj), откуда G2 = H2. Так как Gj = Hj, то G = Gx Ф G2 = Hx Ф H2 = H . Таким образом, группа G определяется своим голоморфом. Заметим, что достаточное условие теоремы справедливо для произвольных абелевых групп.

Пусть G = П Gi - редуцированная векторная груп-

ieI

па, G = Gj Ф G2 - некоторое ее Г-разложение и

G = П Ga, G2 = П Ge.

1 asi, а 2 Ре/, в

Введем обозначения

/; = {а е I | Hom(G2, Ga) * 0};

I (а) = {pe I2 | t(Gp) < t(Ga)}.

Опишем некоторые свойства Г-разложений векторной группы.

Рассмотрим группы Hom(G2, Gx) и

Hom(Hom(G2, Gx ),GX).

Имеем

Hom(G2,G,) = HomíG2, П GaП,Hom(G2,Ga)

V ae/¡ J aeí |

[9. Теорема 43.2]. Так как группа без кручения ранга 1 является узкой группой [10], то

ПHom(G2,Ga) = ПИошГП Gp,GaJ =

aeI¡ a eI¡ ^ Pe/2 J

= П ® Hom(G,G) [7. Следствие 94.5].

ael{ fíel(a)

Таким образом,

Hom(G2 ,G,) = П r Ф )Hom(Gp, Ga) . (1)

ae/j Pe/(a)

Группа Hom(Gp, Ga) = Ga(3 - группа без кручения

ранга 1 типа t = t(Ga) - t(Gp) [11].

Заметим, что для любого Pe I2 группа

Hom( Gp, Gx) отлична от нуля, т.е. существует хотя бы

один индекс а е 1[ такой, что группа Hom(Gp, Ga) Ф 0 .

Если предположить, что для любого а е 1[

Hom(Gp, Ga) = 0 , то группа {G', Gр} будет нормальной

абелевой подгруппой в T(G), что противоречит максимальности подгруппы G' в T(G).

Теперь Hom(Hom(G2, Gx ),GX) =

-Hom(П Л Hom(G,G), n oa.) -

\ае]г fieJ(a) y a e/j J

= П Ф П Hom(Hom(G, G), G ) =

a e/j pel(a)

= П ®гЛ ,Hom(^, G) = ® П ) Gap Ф D

a e/j ore/j pel(a) aelj Ре/(a)

[9, теорема 43.1], где Gap = Hom(Gap,Ga) Ф 0 - группа без кручения ранга 1 типа t = i(Gp) - t(Ga) и D = П Ф И Hom(Gap, Ga).

a^aae/j Pel (a)

Таким образом,

Hom(Hom(G2 , Gj), G^) = © П GaB © D .

aeli Ре/(a) e

(2)

Лемма 4. Г-разложение редуцированной векторной группы G, мощность которой не превосходит первого кардинала ненулевой меры, обладает свойствами:

1) \1[ <К„;

2) если г^2) < К0, то

а) для любого индекса Ре 12 существует единственный индекс а' е 1[ такой, что р е I(а');

б) группы Gщ (ак е 1[) и П Gв одновременно

Ре-^(а^ )

п(ак) -делимы, где п(ак) = {р е Р | рвщ = }, Р -

множество прост^тх чисел.

Доказательство. 1) Согласно (2)

G2 5 Ф П Gna Ф 'О .

2 оеТ, Ре/(а) “р

Предположим, что 11[ |> К0. Из каждой группы П GaB выделим по одному прямому слагаемому ран-

Ре/ (а)

га 1. Получим G2 5 Ф GaB Ф Ф П GaB, Ф В. В группе

ае/[ в ае1[ Р'^Р в

G2 выделили вполне разложимое прямое слагаемое бесконечного ранга, что невозможно [12]. Следовательно, 1[ - конечное множество.

Пусть 1[ = {а1, а2,..., ап}.

2) Формула (2) принимает вид

П _

Нош(Нош(^, G1), О,) = в П ^ О Ф В = G2 = П Gp.

к=1 ре/(щ) * ре/2

а) Так как каждое Ре 12 принадлежит некоторому

П

I(ак), то | /2 |> ^ 11(ак )| >| /2 |. Следовательно,

к=1

п

I(ак )| =| 12 | и в силу конечности множества 12

к=1

каждое Ре 12 может принадлежать только одному I(ак). Множество 12 распадается на непересекаю-щиеся множества I(а1), I(а2),..., I(ап).

б) Формулы (1) и (2) запишутся в виде

П П

Н0т(°1 ’ " 5 РЕ/?а) " ® м® ) , (3)

G2 s® П Ga

2 k=1 Ре/ (а) “

и Фав ) = t(Ga ) - t(Gae ) •

(4)

Пусть для некоторого ак е I [ существует группа Gв (Ре I (ак)), которая не делится на п(ак). Тогда в правой части равенства (4) число п(ак) -делимых слагаемых 11(ак )|, а в левой части их не больше

n

11(ак) | -1. Полученное противоречие доказывает, что б и П одновременно п(ак) -делимы. Лемма

доказана.

Таким образом, Г-разложение редуцированной векторной группы О = б1 ® С2, мощность которой не превосходит первого кардинала ненулевой меры, обладает свойствами:

a) Нош^, С2) = 0 ;

b) Нош(Нош(б2, б1 ),в1) = Ог;

c) множество ![ - конечно (1[ = (а1; а2,ап});

а) если г(С2) < К0 (12 = (Р1; р2,рк}), то для любой группы О^ (Ря е 12) существует единственная

группа Оак (ак е 1[) та^я что Нот(бв ) * 0, и

для любого простого числа р группа б _р-делима тогда и только тогда, когда группа П р-делима.

М (а) в

Следующая теорема дает критерий определяемости векторной группы своим голоморфом.

Теорема 3. Векторная группа б, мощность которой не превосходит первого кардинала ненулевой меры, определяется своим голоморфом в классе всех абелевых групп тогда и только тогда, когда она удовлетворяет одному из условий:

1) б имеет только тривиальные Г-разложения;

2) для любого нетривиального Г-разложения группы О = б1 Ф С2 имеем г(б2) < К0 и существует такая биекция ^ множества 12 на себя, что Иош(бр, ба) = для некоторого а е 1[.

Доказательство. Если Г-разложение группы б, индуцированное изоморфизмом голоморфов групп б и Н тривиально, т.е. О = б1, то Н2 = 0 , Н = Нх и О = Н .

Пусть группа б имеет нетривиальное Г-разложение О = б1 Ф С2 . Тогда, согласно теореме 2, для определяемости группы б своим голоморфом необходимо и достаточно, чтобы Иош(б2, б1) = С2.

Из формулы (3) следует, что

п

Ф в Ф Нот (О,' ) = С2. (5)

¿=1Р*е/(щ)

Группа G2, как вполне разложимое прямое слагаемое векторной группы, должна иметь конечный ранг [12], т.е. г(С2) <К0.

Так как любые два разложения вполне разложимой абелевой группы без кручения в прямую сумму групп ранга 1 изоморфны [7], то равенство (5) верно тогда и только тогда, когда существует биекция п множества 12 на себя такая, что Иош(бр , б ) = ).

Определение 2. Разложение О = б1 Ф С2 группы б называется полухарактеристическим, если подгруппа Ох - характеристическая подгруппа группы б, а подгруппа С2 не является характеристической подгруппой группы б.

Следствие 1. Векторная группа б, мощность которой не превосходит первого кардинала ненулевой меры, определяется своим голоморфом в классе всех абелевых групп, если она удовлетворяет одному из условий:

а) группа б не имеет полухарактеристических разложений;

б) для любого полухарактеристического разложения О = б1 Ф О2 группы б, удовлетворяющего свойствам а) - а), и существует такая биекция п множества 12 на себя, что Иош(бр, ба) = для некоторого ае 1[.

ЛИТЕРАТУРА

1. Беккер И.Х. О голоморфах абелевых групп без кручения // Известия вузов. Математика. 1974. № 3. С. 3-13.

2. Беккер И.Х. Абелевы группы с изоморфными голоморфами // Известия вузов. Математика. 1975. № 3. С. 97-99.

3. Беккер И.Х. Определяемость редуцированных абелевых групп без кручения своими относительными голоморфами // Абелевы группы и

модули. 1980. С. 3-19.

4. Беккер И.Х. Абелевы голоморфные группы // Избранные доклады междунар. конф. «Всесибирские чтения по матем. и мех.». Т. 1: Математи-

ка. 1997. С. 43^7.

5. Беккер И.Х. О голоморфах нередуцированных абелевых групп // Известия вузов. Математика. 1968. № 8. С. 3-8.

6. Гриншпон И.Э. Нормальные подгруппы голоморфов абелевых групп и почти голоморфный изоморфизм // Фундаментальная и прикладная

математика (в печати).

7. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1977. Т. 2. 416 с.

8. Sasiada E. On the isomorphism of decomposition of torsion-free abelian groups into complete direct sum of group of rank one // Bull. Acad. Polon.

Sci. 1959. № 3. Р. 145-149.

9. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1. 335 с.

10. SasiadaE. Proof that every countable and reduced torsion-free abelian groups is slender // Bull. Acad. Polon. Sci. 1959. № 3. Р. 143-144.

11. Кишкина З.М. Эндоморфизмы^-примитивных абелевых групп без кручения // Известия АН СССР. Сер. матем. 1945. Т. 9. С. 201-232.

12. Мишина А.П. О прямых слагаемых полных прямых сумм абелевых групп без кручения ранга 1 // Сибирский математический журнал. 1962. Т. 3, № 2. С. 244-249.

Статья представлена кафедрой алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 15 мая 2006 г., принята к печати 22 мая 2006 г.