Определяемость абелевых групп без кручения ранга 1 своими кольцами эндоморфизмов (полугруппами эндоморфизмов) и группами гомоморфизмов Текст научной статьи по специальности «Математика»

162

Матем атика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2013, № 6 (1), с. 162-164

УДК 512.541.7

ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ РАНГА 1 СВОИМИ КОЛЬЦАМИ ЭНДОМОРФИЗМОВ (ПОЛУГРУППАМИ ЭНДОМОРФИЗМОВ)

И ГРУППАМИ ГОМОМОРФИЗМОВ

© 2013 г. Т.А. Пушкова

Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет

[email protected]

Поступила в редакцию 07.03.2013

Пусть С - абелева группа. Класс Х абелевых групп назовем с ЕН-классом (с Е Н-классом), если для любых групп А, B е X из изоморфизмов E(A) s E(B) ( E' (A) s E' (B)) и Hom(C, A) s Hom(C,B) следует изоморфизм A s B . Исследуются условия, при которых класс абелевых групп без кручения ранга 1 является с ЕН-классом (с Е Н-классом), где С - вполне разложимая абелева группа без кручения.

Ключевые слова: вполне разложимая абелева группа без кручения, группа гомоморфизмов, кольцо эндоморфизмов, полугруппа эндоморфизмов, определяемость абелевых групп.

Хорошо известный результат Бэра [1] и Ка-планского [2] об определяемое™ периодических абелевых групп своим кольцом эндоморфизмов в классе периодических групп положил начало многочисленным исследованиям в этом направлении. Класс Х абелевых групп называется Е-классом, если для любых групп А, B е X из изоморфизма E (A) = E (B) следует изоморфизм A = B . Заметим, что класс F всех абелевых групп без кручения не является Е-классом [3]. Проблему определяемости абелевых групп кольцами эндоморфизмов рассматривали также А.М. Себельдин [4], Мэй [5]. Такой же вопрос, как для колец эндоморфизмов E( A) группы A , стоит для его мультипликативной полугруппы E' (A), называемой полугруппой эндоморфизмов группы A . Проблему определяемости абелевых групп их мультипликативными полугруппами рассматривали П. Пуусемп [6] и А.М. Себельдин [7]. В связи с вышеуказанным представляется естественным изучать вопросы определяемости абелевых групп своими кольцами и полугруппами эндоморфизмов вместе с дополнительным условием изоморфизма групп гомоморфизмов.

Пусть С - абелева группа. Класс Х абелевых групп назовем с ЕН-классом, если для любых групп А, B е X из изоморфизмов E(A) = E(B) и Hom(C, A) = Hom(C, B) следует изоморфизм A = B .

Класс Х абелевых групп назовем с ЕН-классом, если для любых групп А, В є X из

изоморфизмов Е* (А) = Е* (В) и Нот(С, А) = = Нот(С,В) следует изоморфизм А = В .

В данной работе найдены необходимые и достаточные условия на вполне разложимую абелеву группу С без кручения, чтобы класс

Fl абелевых групп без кручения ранга 1 был

с ЕН-классом (с Е "Н-классом).

Введём следующие обозначения: г (А)-

ранг группы А; О - множество различных типов абелевых групп без кручения ранга 1; т(А) - тип абелевой группы А без кручения ранга 1; р))- тип из О, содержащий характе-

ристику (0,0,...,0, ю,0,..) , в которой символ ю

стоит на т-м месте, если р = рт ; О(А)- множество различных типов прямых слагаемых ранга 1 абелевой группы А без кручения; О0 -множество всех типов из О, характеристики которых не содержат символов ю ; О0 (А) -множество всех типов из О(А), характеристики которых не содержат символов ю ; Х0- наименьший бесконечный кардинал; |М| - мощность множества М.

Теорема 1. Пусть С - вполне разложимая абелева группа без кручения. Класс F1 явля-

ется с ЕН-классом тогда и только тогда, когда группа С удовлетворяет одному из следующих условий:

1) С содержит прямое слагаемое, изоморфное 2 ;

2) т(2) й П(С) и для любого типа

т0 е П 0, т0 Ф т(2), найдется тип т е П(С), такой, что т < т0.

Доказательство. Достаточность.

1) Пусть группа С удовлетворяет первому

I Л

условию теоремы, то есть С = 2 © I® С1 I, где

V iеI

г (С,.) = 1. Из изоморфизма Нот(С, А) = = Нот(С,В) и [8, теорема 43.1], получаем

Л

А ©|П Н°т(Сі, А)

= В ©I ^Нот(С1,В)

V ,е1

Пусть т(А) Ф т(В), тогда

т(А) е п|Нот(С1, В)

V е

Значит, найдется , е I, такой, что т(А) = = т(Нот(С,, В)). Из [10, следствие 1] следует, что т(А) < т(В). Аналогичным образом доказывается, что т(В) < т(А). Тогда т(А) = т(В). Противоречие.

2) Пусть группа С = © С{, где г (С.) = 1,

,е! 1

удовлетворяет второму условию теоремы. Предположим, что существуют такие неизоморфные группы А, В из ^1, что Е(А) = Е(В) и Нот(С,А) = Нот(С,В). Согласно [8, теорема

I

43.1], получаем изоморфизм I Нот(С1, А)

П^ Н°т(Сі, В)

. Пусть тип т(А) группы А

содержит характеристику (..., а ,..), тип т(В)

группы В содержит характеристику (...,Рр,...). Положим

рв = {Р є р : р р >а р }, Ра = {Р є р : а р >Р р }. Тогда из Е(А) = Е(В) и т(А) ф х(В) следует | РВ |= К0 или | РА |= К0. Пусть для определенности | РВ |= К0. Разобьем множество РВ = Р'в<и РЦ так, что | РВ |=| РВ |=^0. Рассмотрим тип т, со-

держащий характеристику (..., у р,..), где у = 1, если р е Р’в, и ур = 0 в остальных случаях. Согласно условию теоремы, в П(С) найдется тип т1 Ф т(2), такой, что Т1 <т . Следовательно, в © С1 найдется группа С1 ранга 1, тип кото-

,е1

рой т(С1) = т1. Тогда по [9, теорема 1] Нот (С 1, В) Ф 0 и т(Нот (С 1, В)) = т(В) - т1 = = т, и т больше либо несравним с типом т(А), так как содержит характеристику (...,Р ,...), где для всех р е Р”: Р = Р > а . В то же время, для любой группы С1,, е I, имеем т(Нот(С1, А)) < т(А) или Нот(С1, А) = 0. Следовательно, в разложении группы Нот (С, А) нет группы, изоморфной группе Нот(С1,В), что противоречит условию Нот (С, А) =

= Нот (С, В).

Необходимость будем доказывать от противного. Пусть т(2) й П(С) и существует тип

т Ф т(2), теП 0, такой, что в П(С) нет типа меньше либо равного т. Рассмотрим две неизоморфные группы А и В из F1,

такие, что А = 2, а группа В имеет тип т(В) = т . Тогда Е(А) = Е(В) и

Нот (С, А) = Нот(С, В) = 0, но А и В не изоморфны. Противоречие.

Теорема 1 доказана.

Положим Р* = {р е Р : т((3(р))й П(С)} .

Теорема 2. Пусть С - вполне разложимая абелева группа без кручения. Класс ^ является с Е 'Н-классом тогда и только тогда, когда группа С удовлетворяет одному из следующих условий:

1) С содержит прямое слагаемое, изоморфное 2 ;

2) а) т(2) й П(С);

б) р*| < 1;

в) для любого типа т0 е П0, т0 Ф т(2), найдется тип т е П(С), такой, что т < т0.

Доказательство.

Достаточность первого условия доказана в теореме 1.

Пусть группа С удовлетворяет второму условию теоремы. Предположим, что существуют такие неизоморфные группы А, В из F1,

что Е*(А) = Е*(В) и Нот(С,А) = Нот(С,В).

164

Т.А. Пушкова

Пусть (..^ар,..) ет(А), (...,Рр,..) е т(В). Положим Рв = { р е р : р р >а р }, Ра = { р е р :

а р >Р р }. Поскольку Е * (А) = Е * (В), то

1 Р„ (А)|=|Р„ (В)1, где Р„ (А) = {р е Р /ар

Р„(В) = {р е Р/рр =«}. Тогда возможны два случая:

1) р„ (А) = р„ (В). Тогда | Рв |= К0 или | Ра |= К0. Далее доказательство достаточности приведено в теореме 1.

2) Р„ (А) Ф Рх (В). Тогда, поскольку | Рх (А) |=

=| Р„ (В) |ф 0, то существует такое р1 Ф р0, что Р1 е Рм(В)\Рм(А) или Р1 е Рм(А)\Рм(В).

Пусть для определенности р1 е Р„ (В) \ Ра (А).

Согласно условию теоремы т((2(р1)) е П(С). Тогда по [9, теорема 1] в разложении группы Нот (С, В) найдется группа типа

т(Нот(0(р1), В)) = т(В) -т(0(р1)) = т(В). Но в разложении группы Нот (С, А) такой группы нет. Следовательно, группы Нот(С, А) и Нот(С, В) не изоморфны. Противоречие. Значит, А = В .

Необходимость. Предположим, что группа С не удовлетворяет ни одному из условий. Тогда возможны два случая:

1) т(2) йП(С) и р* > 1. Тогда найдутся такие р0, р1 е Р , что т((2(р0)) йП(С), т(<2(р1)) й й П(С). Отсюда, положив А = 0(р0), В = 0(р1), имеем Нот(С, А) = Нот(С, В) = 0 и Е* (А) =

= E' (B), но группы А и В не изоморфны. Противоречие.

2) t(Z) й П(С), и существует тип t*t(Z ), теП0, такой, что в П(С) нет типа меньше либо равного т. Рассмотрим две неизоморфные группы А и В из F1, такие, что A = Z, а

группа В имеет тип t(B) = т . Тогда E* (A) =

= E* (B) и Hom(C,A) = Hom(C,B) = 0, но A и В не изоморфны. Противоречие.

Теорема 2 доказана.

Список литературы

1. Baer R. Automorphism rings of primary Abelian operator groups // Ann. Math. 1943. V. 44. P. 192-227.

2. Kaplansky I. Some results on Abelian groups // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1952. V. 38. Р. 538-540.

3. Мишина А.П. Абелевы группы // Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. М.: ВИНИТИ АН СССР. 1972. Т. 10. С. 5-45.

4. Себельдин А.М. Абелевы группы без кручения с изоморфными кольцами эндоморфизмов // В сб.: Абелевы группы и модули. Томск, 1979. С. 165-170.

5. May W. Endomorphism rings of mixed abelian group // Contemp. Math. 1989. V. 87. P. 61-74.

6. Пуусемп П. Об определяемости периодических абелевых групп своей полугруппой эндоморфизмов в классе всех периодических абелевых групп // Изв. АН ЭстССР, Физ. Мат. 1980. Т. 29. № 3. С. 246-253.

7. Себельдин А.М. Определяемость векторных групп полугруппами эндоморфизмов// Алгебра и логика. 1994. Т. 33. № 4. С. 422-428.

8. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1977. Т. 1.

9. Себельдин А.М. Группы гомоморфизмов вполне разложимых абелевых групп без кручения// Изв. вузов. Математика. 1973. Т. 33. № 7. С. 77-84.

DEFINABILITY OF TORSION-FREE ABELIAN GROUPS OF RANK 1 BY THEIR ENDOMORPHISM RINGS (ENDOMORPHISM SEMIGROUPS) AND GROUPS OF HOMOMORPHISMS

T.A. Pushkova

Let C be an Abelian group. A class X of Abelian groups is called an CEH -class ( CE"H -class) if the relation E (A) = E (B) (E" (A) = E" (B)) and Hom(C, A) = Hom(C, B) implies A = B for any groups A, B e X . The paper studies the conditions under which a class of torsion-free Abelian groups of rank 1 is an CEH -class ( CE"H -class), where C is a completely decomposable torsion-free Abelian group.

Keywords: completely decomposable torsion-free Abelian group, group of homomorphisms, endomorphism ring, endomorphism semigroup, definability of Abelian groups.