ОПРЕДЕЛИМОСТЬ ФУНКЦИЙ В СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКЕ (на примере предельной определимости) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ученые записки Таврического национального университета им. В.И. Вернадского Серия «Философия. Социология». Том 21 (60). № 2, 2008. С. 211-220

УДК 168.1

ОПРЕДЕЛИМОСТЬ ФУНКЦИЙ В СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКЕ (на примере предельной определимости)

A.C. Сарачева

В статье рассматривается один из типов аналитической определимости явлений, - предельная определимость. Предложена характеристика приближенных процессов в терминах этого концепта, а также описание связи предельной определимости с концептами: выразимость, представимость.

Ключевые слова: определимость, предельная определимость, выразимость, представимость.

Целью данной статьи является охарактеризовать определимость, как родовую категорию ряда процессов математики таких, как предельное приближение, представимость, выразимость.

Существует ряд задач на определимость явлений окружающего нас мира, решение которых состоит в построении неограниченного числа приближений явления, которое мы хотим определить. Если эти приближения становятся все более точными, отличаются от определяемой величины все меньше и меньше, то сама величина находится как предел этих приближений. Такую определимость будем

называть предельной определимостью (^-определимостью). С этим понятием сталкиваются при рассмотрении задач гармонического анализа, численных методов, а также задач математического анализа. Например, задача: определить корни

/О) = 0 ,

уравнения •> v ' ; выразить одну функцию через другие, наити площадь фигуры и т.п.

Для человека, никогда не сталкивавшимся с предельными процессами, понятие предельной определимости становится понятным, если рассмотреть следующий пример: Указать ровно 10 различий во внешне одинаковых картинках [см. 2]. С подобной задачей сталкивался каждый. Для удобства обозначим число

различий первой картинки ^, а второй - . Тогда, если мы с каждого рисунка начнем удалять одинаковые элементы, на каждом останутся эти 10 различий, т.е.

\k-k0\<lO

условно 1 J1 . Допустим теперь, что решающий задачу находит одно различие, исправляет его на картинке с различиями. Количество отличий полученной картинки обозначим . Далее будем искать различия между картинками с ^ и различиями. Снова найденное отличие исправляем и полученное количество различий обозначаем На каждом шаге получаем

картинку, которая все меньше и меньше отличается от картинки с ^ различиями.

кп,кл ,к7,...,к„

и' 77 ГТТР к-я-ж-ттпр '

Т.е. мы строим некоторый процесс '' 1' ". где каждое ' находится в

I к

О

отношении аналогии к картинке с ^ различиями. Этот процесс продолжаем до тех

пор. пока

к-к,-

■' . то есть когда различий не останется. Это наглядный пример приближенного процесса в задаче на определимость.

Дадим более развернутое описание общих условий рассматриваемой определимости явлений окружающего нас мира.

Определимость характеризует некоторое отношение между явлением X и

множеством М в которое X не входит. Единственное условие предъявляемое к

М состоит в том, что М - структура, т.е. множество, в котором имеют место

постадийные преобразования элементов М и результатов этих преобразований.

Для этого предполагается: в М помимо элементов входят преобразующие

средства

Преобразования, ^ как и всякие преобразующие силы, превращают любой элемент из М в элемент, не обязательно принадлежащий М . Будем говорить, что X определим в структуре М, если и только если предъявлен процесс

с2' такой, что:

Любое ■! - либо элемент М либо получено из предшествующих '

С ? С 2 г

элементов (т.е. ■> •'и т.д.): посредством ' -.

С у

п находится в одном из следующих отношении к л : тождества, равенства,

приближения, подобия, аналогии и т.п.; представления, замены,

взаимозаменяемости. Список отношений можно уточнять. [1]

Рассмотренный выше пример (с картинками) является задачей на

С/

определимость, где в предъявленном процессе, ■' находится с определяемым X в отношении приближения. Этот тип определимости называется предельной определимостью. Интуитивно понятно, что это понятие, судя по названию, должно быть каким-то образом связано с понятием предела, это действительно так, но почему появляется термин «приближение»? Дело в том, что понятие «предел» связано с понятием «приближение», а последнее, в свою очередь, с термином «бесконечно малая величина». Приведем пример. Допустим, нам нужно вычислить

приближенное значение числа » ^ . С помощью калькулятора легко вычисляется, /?

что * =1,414213562373....; для записи приближенного значения числа мы

прибегаем к округлениям. Таким образом мы можем записать ~1>41 иди /о" ~ 1 42

' , где ~ - знак приближения. Оба варианта кажутся правильными, но оба - с погрешностями. Погрешность ^ приближенного числа ^ это разность между

соответствующим точным числом А и данным приближенным, т.е. S — A — Ct [см. 3J.

В нашем случае A — V2- ^ тогда

s = A-a = 4l-\M = 0,004216

С помощью теории приближений и пределов можно вычислять не только значения иррациональных чисел. Существуют задачи по данной теме более сложного характера, например, определение корней уравнения или системы уравнений; разложения функции в ряд (связано с представимостью); приблизить функцию другой функцией (вопросы интерполирования, аппроксимации) и т.п. Это все задачи на построение определительного процесса, связанные с приближенными процессами и теорией пределов.

Понятно, что объектами (явлениями) окружающего мира могут выступать, например, матрицы (таблицы чисел), множества, числа и т.п., но мы остановимся на центральном понятии математического анализа - понятии «функция», и дадим развернутое описание условий предельной определимости функций, а также разделения данного типа определимости на категории выразимости, вычислимости, представимости.

Напомним дефиницию понятия «функция». Пусть даны два множества X и Y . Элементы множества X будем обозначать латинской буквой X, а элементы множества Y . буквой ^ . Тогда, соответствие, в силу которого, каждому элементу X & X отвечает единственный элемент множества Y называется функцией. И

обозначается У |см 4] Причем, множество X называется областью

fix)

определения функции J v !. Областью значений функции называется некоторое

подмножество множества Y которое используется при этом соответствии.

Пусть далее, имеется набор функций, которые в некотором смысле

«известны», и есть функция природа которой мы постараемся установить.

Естественно полагать, что «становится» известной (понятной), а в нашей

терминологии - определимой. Если из указанного набора построить набор

f\ fl (х\..., fn такую, что для всякого ^ и для всякого^ в наборе

fAx) \у{х) - ff (х)| < £

найдется такое J'4 . что 1 .К примеру, дана функция

.у = х2

Изобразим график этой функции на отрезке

. Получим фигуру:

/

У

К 2К ЗК.

Необходимо найти площадь этой

фигуры Разделим отрезок м на

н равных частей. Длина каждой

о

части будет равна п. Обозначим

1 а

п . На рисунке строятся прямоугольники.

Видно. что площадь заштрихованной фигуры легко находится как сумме площадей полученных прямоугольников.

Все том 1а(, лежащие на оси ОХ, являются элементами области

определения функции У Л" . а все точки, из которых состоит график функции -область значений данной функции. Поэтому- ясно, что при х ~ ^, значение фу нкции 1 2

будет равно " . По этим данным легко найти площадь каждого полученного прямоугольника, а гакже сумму этих площадей:

7 а

Н- —

как

то

, то сумма примет вид:

а3 «(»-1)(2/г-1)

о — Г" 1

П 6

(1) (Здесь использована формула для суммы квадратов первых к натуральных чисел).

1

Преобразуем выражение (1) к виду: ^ ^ п 1 п

Легко понять, что при неограниченном увеличении п. последние два

„3

слагаемых стремятся к нулю, а значит вся сумма 5 .будет стремиться к 3 Если посмотреть на рисунок, видно, что сумма площадей прямоугольников при неограниченном увеличении числа и будет стремиться к площади фигуры. То есть

3

а

искомая площадь равна 3 _ или пределу последовательности В при неограниченном увеличении п Пример взят из [см

Отметим, что переменная, предел которой равен 0 называется бесконечно 1 1

VI yi ^

малой величиной. Например, п . Бесконечно малую величину будем обозначать . £

Если предел переменной величины х равен ^, то записывают х ^ @. Для

_ q\ g

того, чтобы х ^ U. необходимо и достаточно, чтобы' ' , т.е. чтобы величина X — а была бесконечно малой.

Дадим точное определение предела функции:

Число А является пределом функции . при х ^ &, если для любого

£ > О существует & > 0 так0е, что для любого х из области определения,

\x-a\<S \f(x)-A<sr

такого, что 1 1 , следует, что 1 1 [см. 6J.

fix)

Определение 1. Будем говорить, что функция J v ' определима, тогда и только тогда, когда можно построить предельный процесс, заключающийся в

f f f

нахождении приближенных значений J^ J '!■>•••■> J n ^ для которых нужно показать,

« r>0 - n \f(x)-fn(x)\<s

что для любого ° ^ v найдется такое ", что

Другая дефиниция определимости функции может иметь следующий вид:

fix)

Определение 2. Функция J v ' определима, если существует функция

, такая, что графики этих функций совпадают или отличаются на бесконечно малую величину.

эти два определения эквивалентны. Действительно, отличие графиков на бесконечно малую величину означает, что для любого ^, принадлежащего области

а \fifl) ~ gifl)\ < 8

определения функции, выполняется следующее неравенство: 1

Для наглядности рассмотрим пример из теории приближений, связанный с

интерполированием функций. Так как определимость связана с некоторыми

выводными процессами, то естественным представляется описать процесс, с

помощью которого находится функция &(х\ удовлетворяющая условию

\f{x)~g{x)\<£ тд у = f{x) „

1 1 . Итак, пусть задана функция • '. Пусть также на

отрезке из области определения даны W + 1 различные значения аргумента:

И и!всстны дЛЯ функций У ./ (х) соответствующие значения:

/О О ) = УоЛх\) = УЪ-Лхп) = Уп.

Существует множество методов интерполирования (приближения) данной функции другими, например, интерполяционные методы Гаусса, формулы

Стирлинга, формулы Бесселя, формулы Ньютона и т.п. Для каждой из них на

исходную функцию У СВои условия и требования. Мы рассмотрим

интерполяционную формулу Лагранжа, в которой требуется чтобы функция была непрерывной (функция, график которой можно начертить не отрывая руки от листа бумаги, то есть, если график функции не имеет точек разрыва).

Итак, интерполяционная формула Лагранжа заключается в построении полинома (многочлена) Ьп (х) степени не выше П, имеющий в заданных точках

Хр, Х\,..., Хп (узлах интерполирования) те же значения, что и функция у = / (х) . т.е. такой, что

^{х) = Уг (/ = 0Д,2,...,И)

Или, что то же самое, \fiXj) — Ьп(х)| < £ , для любого 7 = 0,1,2,..., П. Без доказательства выпишем интерполяционную формулу Лагранжа: [3, с.

529]

£ (х) = £ у ■ ~ ~ ~ х1-\)(х ~ ~хп)

1=0 (XI - х0)(Х; - XI)..,(хг- - х(_1 ){х( - )...(*/■ - Хп)

(2)

Пример. Дана таблица значений функции у = / (х) .

X У

321,0 2,50651

322,8 2,50893

324,2 2,51081

325,0 2,51188

Вычислить значение функции в точке 323,5; т.е. /(323,5) - ?

Решение. Положим Х = 323.5, /7 = 3 (т.к. дано 4 значения, значит многочлен Лагранжа 3 степени). Подставим в формулу (2):

/(323 = (323.5-322.8X323,5-324,2X323.5-325,0) +

(321 - 322,8)(321 - 324,2)(321 - 325)

| (323,5-321)(323,5-324,2)(323,5-325,0) 2 50893 ,

(322,8 - 321)(322,8 - 324,2)(322,8 - 325) (323,5 - 321)(323,5 - 322,8)(323,5 - 325,0) (324,2 - 321)(324,2 - 322,8)(324,2 - 325)

(323,5 - 321X323,5 - 322,8)(323,5 - 324,2) (325 - 321)(325 - 322,8)(325 - 324,2)

Таким образом, можно найти значение функции в любой, интересующей нас

точке.

Понятно, чем больше узлов интерполирования дано, тем более точно многочлен Лагранжа приближен к функции f(x), и тем меньше их графики

отличаются друг от друга. Другими словами, для того, чтобы проверить, является ли данная функция предельно определимой, необходимо выбрать узлы

интерполирования и построить многочлен Лагранжа 11п (х), где И - степень

многочлена, 7 =1,2,...; изобразить графики исходной функции и полученного многочлена. Если эти графики совпадают или отличаются друг от друга на бесконечно малую величину, то делаем вывод, что функция предельно определима через многочлен Лагранжа. Если же графики значительно отличаются друг от друга, - нужно взять больше узлов интерполирования. В итоге получаем некий процесс

l)n (х) . 1?п (Л"),..., IJn (х). где каждое l!n (х) (7 = 1,2,...) находится в отношении

приближения с функцией f{x) .

Известно, что любая непрерывная на отрезке [о, Ь\ функция f{x) может

быть хорошо приближена некоторым многочленом Рп(х) [см. 9].

Теорема. Для \/б > 0 существует многочлен 1'п (х) степени /7, такой, что

\f(x)-Pn(x)\<s.

Таким образом, можно сделать вывод, что любая непрерывная на отрезке [о, Ь\ функция предельно определима в множестве действительных чисел.

Понятие определимости, к которому выше сведены важнейшие для математики процессы приближений, предела является исходным и для других ключевых терминов точных наук, а именно: вычислимости, представимости и выразимости. Некоторые авторы, занимающиеся проблемой сведения одних функций к другим, связывают определимость с выразимостью одних объектов через другие, иные говорят, что определимость это результат изучений представимости некоторых объектов через другие, [см. 4], [ 7, с. 135]. Но однозначного мнения по этому поводу нет. Мы считаем, что и представимость и выразимость - это частные случаи определимости.

К примеру, многим известное в математике понятие сложной функции, можно назвать представимостью одной функции через другие, так как она имеет вид: Z = f (g(x)). Клини, рассматривая арифметические функции (функции, у

которых область определения и множество значений состоят из натуральных чисел), называет это явной определимостью, и говорит: функция (р явно

определима через функции \j/ \, Ij/j 1 и константы ¿/|, ¿/2 если для

общего значения (pix^, ,...,Хп) можно задать выражение в терминах

переменных Xi,X2,...,Xn , констант qi,q2,...,qs и функций {//■[,Ц/2,...,l//¡ [4 ,с. 198]. Здесь же приводится такой пример: пусть X - произвольное натуральное число, тогда g(x) - натуральное число, тогда f(g(x)) - натуральное число. Значит f{x) - явно определима через функцию g(x) ,|4. с.37] Для ясности

рассмотрим еще такой пример: пусть дана функция Z = VX2 +1 , тогда ее можно представить в виде Z = f(g(x)), где g(x)= X2 +1, a f(x) = 'Jx. Таким образом, делаем вывод, что функция Z - явно определима через функции f(x) и

gix).

В терминах понятия «предельная определимость», дефиниция представимости может выглядеть так:

Будем говорить, что функция z(x) представима через некоторые функции

/l, /2 ,..., /„ . тогда и только тогда, когда для нее можно записать выражение А в

терминах функций f\, /2 ,..., /„. для которого выполнено условие

\z(x) - А\ = 0. где А = fx (/2 (/з...Un (X))...).

Понятие определимости, связанное с выразимостью некоторой функции f{x) через другие (элементарные функции) широко используется в математическом анализе при разложении функции в ряд Фурье. Речь идет о выразимости некоторого класса функций через тригонометрические функции Sin X и COS Л". Само понятие ряда Фурье возникает при изучении периодических процессов в природе, то есть таких явлений, которые повторяются через определенный промежуток времени. Например, колебания маятника. Явления такого характера называются гармоническими колебаниями, простейшие из них совершаются по закону: у = A SÍn(¿y/ + ), где А - амплитуда колебания, 0)1 + (р{) - фаза колебания, СО - частота колебания. График функции у = A sin(fy/ + (р{)) называется простой гармоникой [см. 8].

Понятно, что не любой периодический процесс можно рассматривать как простое гармоническое колебание. Тем не менее, сложная гармоника есть результат сложения нескольких простых гармоник. Чтобы иметь представление о характере сложных колебаний, функцию, описывающую данное движение разлагают в ряд простых гармоник, который имеет следующий вид: С1

+ («! cos cot + Ъх sin cot) + (ci2 cos cat + b2 sin cot) +... + (cin cos cot + bn sin cot) + ...

Этот ряд называется тригонометрическим рядом, а числа ú^, ú^,.. .Ctn коэффициентами ряда [8, с. 345].

Как оказалось, некоторые функции могут быть разложены в ряд Фурье, имеющий вид:

00

f(x) = aQ + ^ (an COS nx + bn sin nx), где a(), a ■, ■ - коэффициенты

n=1

Фурье [см. 9].

Таким образом, мы видим, что некоторая функция f(x) выражается через тригонометрические функции. Когда это возможно? Ответом на этот вопрос является теорема Дирихле, которая звучит следующим образом: [9] Теорема. Если выполнены следующие условия:

1. Интервал, на котором функция определена может быть разбит на конечное число интервалов, в каждом из которых функция f{x) непрерывна и монотонна (график этой функции либо возрастает, либо убывает);

2. В любой точка, где f(x) имеет разрыв, существует конечное значение функции в этой точке.

тогда функцию f{x) можно разложить в ряд Фурье.

В терминах предельной определимости можно перефразировать теорему так: если для функции f{x) выполняются условия Дирихле, то она выразима. Дадим дефиницию понятия выразимость через предельную определимость.

Определение. Будем говорить, что функция f{x) выразима, тогда и только тогда, когда можно построить предельный процесс, заключающийся в нахождении приближенных значений f^, /2 5 • • • 5 fn - для которых нужно показать, что для

любого S > О найдется такое П, что \f{x) — fn (x)| < S . Причем функции

/j, /2,..., fn являются некоторыми комбинациями элементарных функций.

Список литературы

1. Николко В.Н. Классы задач на определимость. - Ученые записки ТНУ. - Т. 19(58) №1. Серия Философия. Социология. - Симферополь. 2006. Т. 19(58). N1.-0. 293-294.

2. Николко В.Н. Краткий курс логики. - Второе издание,- Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. - Симферополь. - 2000г.

3. Б.П. Демидович, И.А. Марон. Основы вычислительной математики. - М., 1970г. - 301 с.

4. С.К. Клини. Введение в математику. - М.: Изд. ин. лит. - 1957г. - 276 с.

5. Энциклопедический словарь юного математика. /Под ред. Гнеденко Б.В. - М.: Педагогика, 1985г. - 645 с.

6. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. - М.: Наука - 1982г. - 287 с.

7. Э.Мендельсон. Введение в математическую логику. - М. 1971г. - 211 с.

8. Зайцев И.Л. Курс высшей математики,- государственное издательство физико-математической литературы. - М., 1962г. - 343 с.

9. Г.Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1984г.-436 с.

Сарачева А. С. Визначешсть функцш в сучасшй математищ (на приклаЫ граничноi еизначеноспй).

У cmammi розглядаетъся один з munie аналтшчноЧ еизначеноспй явищ - гранична визначетстъ. Запропонована характеристика наближених процессе у термтах цъого концепту, а також опис зе 'язку граничног еизначеноспй з концептами: уеиразнетстъ, представлетстъ.

Ключовг слова: визначетстъ, уеиразнетстъ, гранична визначетстъ, представлетстъ.

Saracheva A. S. Definability of function in modern mathematician (on example of limiting definability).

The article deals with one of analytical types of definability of environmental phenomena, - limiting definability. The author suggests the characterization of approximate processes in termination of this concept and description of interaction of limited definability with concepts: ability to express and to present.

Keywords: definability, limiting definability, ability to express and to present.

Поступило в редакцию 25.12.2007