Процессы дифференцирования и интегрирования как задачи на предельную определимость Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ученые записки Таврического национального университета им. В.И. Вернадского Серия «Философия. Социология». Том 21 (60). № 1 (2008)

УДК 16

ПРОЦЕССЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ КАК ЗАДАЧИ НА ПРЕДЕЛЬНУЮ ОПРЕДЕЛИМОСТЬ.

Сарачева А.С.

В статье рассматривается один из типов аналитической определимости явлений, -предельная определимость. Предложена краткая характеристика дифференцирования и интегрирования в контексте предельной определимости.

Ключевые слова: дифференцирование, интегрирование, предельная определимость, выразимость, представимость.

Цель - дать общую характеристику процессам дифференцирования и интегрирования на базе предельной определимости.

Новизна - впервые анализируется предельная определимость как вид определимости на примерах дифференцирования и интегрирования.

Определимость характеризует некоторое отношение между явлением и множеством м, в которое не входит. Единственное условие

предъявляемое к М состоит в том, что М - структура, т.е. множество, в котором имеют место постадийные преобразования элементов

м

и результаты этих

преобразований. Для этого предполагается: в м, помимо элементов входят преобразующие средства Ь.

Преобразования, Ь как и всякие преобразующие силы, превращают любой элемент из

м

в элемент, не обязательно принадлежащий м . Будем говорить, что X определим в структуре М , если и только если предъявлен процесс такой, что:

1. Любое С j - либо элемент

м

, либо получено из предшествующих С ,■ элементов (т.е. С^_|, ^ и т.д.): посредством Ь.

2. Сп находится в одном из следующих отношений к X : тождества,

равенства, приближения, подобия, аналогии и т.п.; представления, замены, взаимозаменяемости. Список отношений можно уточнять. [1]

Если при неограниченном П С неограниченно приближается к

то мы имеем дело с предельной определимостью. С этим видом определимости мы сталкиваемся при рассмотрении задач гармонического анализа, численных методов, а также задач математического анализа. Например, задача: определить корни

уравнения У(х) = 0; выразить одну функцию через другие, найти площадь фигуры и т.п.

Дадим точную дефиницию понятия «предельная определимость функций». Прежде отметим, что мы будем рассматривать только функции действительной переменной, т.е. множество значений аргумента и множество значений функции -действительные числа.

Определение 1. Будем говорить, что функция У(х) предельно определима в множестве функций Б посредством действий с функциями Ь, тогда и только тогда, когда можно путем преобразования некоторого У из Б посредством Ь построить ряд У1,У2,...,У( из Б, для которых можно показать, что для любого £ > О

найдется такое У1, что /'(Л") — fn (Л")| < £ для любого X из области его значений. Другая дефиниция определимости функции может иметь следующий вид: Определение 2. Функция У(х) определима, если существует функция &(х), такая, что графики этих функций совпадают или отличаются на бесконечно малую величину.

Эти два определения эквивалентны. Действительно, отличие графиков на бесконечно малую величину означает, что для любого О, принадлежащего области

определения функции, выполняется следующее неравенство: |У(#) — < £ .

Понятие определимости, к которому выше сведены важнейшие для математики процессы приближений, предела является исходным и для других ключевых терминов точных наук, а именно: вычислимости, представимости и выразимости. Некоторые авторы, занимающиеся проблемой сведения одних функций к другим, связывают определимость с выразимостью одних объектов через другие, иные говорят, что определимость это результат изучений представимости некоторых объектов через другие. [3; 6, стр. 135] Но однозначного мнения по этому поводу нет. Мы считаем, что и представимость и выразимость - это частные случаи определимости.

Определение. Будем говорить, что функция У(х) выразима в множестве элементарных функций [Б] посредством арифметических действий с ними, тогда и только тогда, когда можно построить ряд /|, из [Б], для которых можно

показать, что для любого £ > 0 найдется такое У1, что \/'(х ) — fn (Л")| < £ .

Причем функции , , • • •, /п являются некоторыми комбинациями

элементарных функций.

Понятие определимости, связанное с выразимостью некоторой функции У(х) через другие (элементарные функции) широко используется в математическом анализе при разложении функции в ряд. Например, в ряд Фурье, когда речь идет о выразимости некоторого класса функций через тригонометрические функции БШ X и СОБХ . Само понятие ряда Фурье возникает

при изучении периодических процессов в природе, то есть таких явлений, которые повторяются через определенный промежуток времени. Например, колебания маятника. Явления такого характера называются гармоническими колебаниями, простейшие из них совершаются по закону: у = A SÍn(ft)í + ) , где А -

амплитуда колебания, COt + <Pq - фаза колебания, СО - частота колебания. График

функции у = Aún{cot + фо) называется простой гармоникой. [7]

Понятно, что не любой периодический процесс можно рассматривать как простое гармоническое колебание. Тем не менее, сложная гармоника есть результат сложения нескольких простых гармоник. Чтобы иметь представление о характере сложных колебаний, функцию, описывающую данное движение разлагают в ряд простых гармоник, который имеет следующий вид: CÍ

+ (ах cos cot + bx sin cot) + (a2 cos cot + b2 sin cot) + ... +(a n cos cot + bn sin a

Этот ряд называется тригонометрическим рядом, а числа

коэффициентами ряда. [7, стр. 345]

Как оказалось, некоторые функции могут быть разложены в ряд Фурье, имеющий вид:

оо

f(x) = a0+^ (ап cos пх + bn sin пх), где а0, я ■, Ь ■ -п=i

коэффициенты Фурье . [6]

Именно когда речь заходит о коэффициентах ряда Фурье, мы сталкиваемся с процессом интегрирования.

Если говорить о процессах дифференцирования, то это разложение функции в ряд Тейлора или ряд Маклорена. Например, функция у = Sin X представляется в виде ряда следующим образом:

3 5 7 9 JC JC JC JC

smx = х---1-----1---...

3! 5! 7! 9!

Процесс дифференцирования связан главным образом с понятием производной функции, которое возникло при рассмотрении большого числа задач математики, приводивших к вычислению пределов. Важнейшая задача, приводящая к понятию производной - физическая задача определения скорости неравномерного движения [4]. Кратко опишем суть задачи. Рассмотрим движение свободно падающего тела. Это движение неравномерное, так как скорость падения постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(í) ? Известно, что

закон движения •?(/) падающего тела выглядит следующим способом: 1 2

= — gt . Для нахождения зависимости V от t рассуждают следующим

образом: фиксируют момент /, в котором хотят знать значение скорости 1'( /). Пусть Н - небольшой промежуток времени, прошедший от момента / . За это время падающее тело пройдет путь, равный Л'(/ + И) — ) . Если промежуток времени Н очень маленький, то скорость тела за это время не успевает заметно измениться, поэтому можно считать, что если Н мало, то приближенно

+ И)~.?(/)

-~ !'(/ ). Так как это приближенное равенство тем точнее, чем

к

меньше Н (чем ближе Н к нулю), то величину 1'( /) скорости в момент / можно

рассматривать как предел, к которому стремится стоящее в левой части приближенного равенства отношение.

Поскольку скорость 1'( /) сама есть функция времени, то можно было бы поставить вопрос о скорости ее изменения (об ускорении). И, аналогичным образом

+ И) -

получают выражение: -~ ¿/(/ ), где 0\1) - ускорение.

к

Обобщая сделанные наблюдения, в математическом анализе уже для любой функции у = / (х) рассматривают важную величину:

/■(*)= шЯх+1г)-/(х),

/г—>0 к

которую называют производной функции у = / (х) .

Производная, таким образом, играет роль скорости изменения зависимой переменной у по отношению к изменению независимой переменной X .

Некоторые соотношения, содержащие производную функции, позволяют приближенно находить значение функции у = / (х) в точках X, близких к

некоторой точке Хо, в которой уже известно значение / ( Х0 ) и значение / ' ( Х0 )

7

ее производной. К примеру, необходимо вычислить значение функции у = X в точке X = 1,05 . Это легко сделать, воспользовавшись следующим приближением:

(1 + А)01 ~ 1 + ОС • А, где А - некоторая бесконечно малая величина. По этой

формуле получаем: (1,05)7 = (1 + 0,05)7 * 1 + 7 ■ 0,05 = 1,35 .

Вернемся теперь к выше упомянутому ряду Маклорена. Любая непрерывная (график функции можно нарисовать, не отрывая руки от листа бумаги), бесконечно дифференцируемая функция у = / (х) может быть разложена в ряд Маклорена:

/У л /ут /'(°)х /"(О)*2 /("}(0)х" 1! 2! п\

В терминах теории определимости можно перефразировать: любая непрерывная, бесконечно дифференцируемая функция у = f(x) выразима, так как можно построить предельный процесс, заключающийся в нахождении приближенных значений f \, ,..., //?. для которых можно показать, что для

любого £ > О найдется такое П , что |У(Х) — fn (х)| < £ . Причем функции

/|, /2,..., //? являются некоторыми комбинациями элементарных функций.

Можно ли конкретно сказать, какие классы функций выразимы (в смысле определимости), а какие нет? Оказывается, можно. Дело в том, что элементарных функций, как известно, не так много и вопрос непрерывности для них уже давно решен, а значит, мы заведомо можем знать, выразима элементарная функция или нет. Вспомним некоторые классы функций.

Основными элементарными функциями считаются: многочлен, рациональная функция, которая представляет собой отношение двух многочленов, степенная функция, показательная функция, логарифмическая функция, тригонометрические функции и обратные тригонометрические функции. К элементарным функциям относятся также и те функции, которые получаются из элементарных путем применения основных четырех арифметических операций и образования сложной функции. Другими словами можно сказать так: если

/|, /2 - элементарные функции, некоторые константы, то

любые комбинации функций, функций и констант, а также комбинации полученных комбинаций с использованием основных арифметических операций, являются также элементарными функциями. Что касается образования сложной функции, то

она имеет следующий вид: g(x) = f\ (/2 (/3...( /„ (х))...).

Как известно, все элементарные функции непрерывны в области определения, поэтому почти все элементарные функции определимы. Рассмотрим пример выразимых функций.

1. у = Sin X - выразима. Это непрерывная функция, так как ее график можно изобразить не отрывая руки от листа бумаги. Она бесконечно дифференцируема, так как производная (sin х)' = COS X, производная

(cos х)' = - sin X.

3 5 7 . X X X Следовательно, Sin X ~ X---1-----1-...

3! 5! 7!

2. у = \[х - не выразима через ряд Маклорена, так как производная в точке 0 не существует.

Тем не менее, мы не можем быть уверены в том, что функция у = \[х не определима. Действительно, из теории приближений известно, что любая

непрерывная на отрезке [б/, /)] функция /(х) может быть хорошо приближена некоторым многочленом (х). [5, стр.50]

Значит, в нашем случае, при рассмотрении функции у = ^Х (эта функция

непрерывна) все-таки можно построить такой процесс, в ходе которого выясняется,

что любого £>0 найдется такое У1, что — < £ ■ И //7 (х) -

многочлен Лагранжа.

Что касается интегральных процессов, то связь с предельной определимостью здесь очевидна. Еще со школьного курса математики всем хорошо известна задача вычисления площади некоторой фигуры. Вообще говоря, задачей на определимость можно считать любую задачу, где встречается слово «определить». Понятно, что для нахождения площадей выпуклых многоугольников можно воспользоваться формулами, которые легко найти в любом справочнике по математике, но иногда приходится вычислять площади криволинейных фигур. В этом случае не обойтись без интегрирования.

Различают неопределенное и определенное интегрирование. Неопределенное интегрирование - операция, обратная дифференцированию. Операция дифференцирования сопоставляет заданной функции Р{х~) ее

производную /^'(х) = / (х) . Допустим, что мы хотим, исходя из данной функции

/(?£), найти такую функцию /' (х), производной которой является функция

У(я) • Такая функция называется первообразной функции / (х) , ее обозначают

| У(х)й6с. Для вычисления интегралов есть свои правила. Рассмотрим пример нахождения интеграла. [4]

5 г 5 т 1 6

Пусть у = X . Тогда X иХ = — X . Если посмотреть на это выражение с

6

точки зрения теории определимости, то можно сказать, что функция

Но нас не интересует представимость функций в таком смысле. Мы рассматриваем задачи, связанные с предельной определимостью, а значит нас интересуют процессы приближения одной функции другими. Поэтому мы будем рассматривать определенное интегрирование.

Геометрический смысл определенного интеграла от непрерывной функции заключается в следующем: определенный интеграл численно равен площади,

представима в виде интеграла.

ограниченной частью графика функции у = /(х), осью ОХ и ординатами / (¿/) и У • На рисунке это выглядит так:

У

а Ъ х

Если функция У(х) непрерывна на отрезке [б/, /)] и известна ее

первообразная /'(х), то определенный интеграл от этой функции в пределах от а

до Ъ может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница Ъ

J f{x)dx = F(b) - F (а), где F' (х) = Дх). [7] а

Во многих случаях первообразная функции /' (х) не может быть найдена с

помощью элементарных средств или является слишком сложной, вследствие этого вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница может быть практически невыполнимым. Кроме того, сама функция У(х) часто задается таблично, как быть в этом случае? Вот здесь важное значение имеют приближенные методы.

Вычисление интеграла численными методами и методами приближения

проводится в два этапа. Первый связан с выразимостью функции У(х) , то есть,

для начала приближают функцию некоторой другой функцией, или комбинацией функций, например, многочленом Лагранжа (можно и другим способом, например, представить функцию в виде какого-нибудь ряда). А далее как раз строится

определительный процесс Сл, Со , С->..... С„

1 1 1 ' z ' ' ' ". с помощью которого решается задача

вычисления интеграла.

Список литературы

1. Николко В.Н. Классы задач на определимость. - Ученые записки ТНУ. - Т. 19(58) №1. Философия - с.293

2. Б.П. Демидович, И.А. Марон. Основы вычислительной математики. - М. 1970г. - с. 17

3. С.К. Клини. Введение в математику. - Изд. ин. лит., М. - 1957г. - с. 36

4. Энциклопедический словарь юного математика, /под ред. Гнеденко Б.В. - М. «Педагогика», 1985г. -с.246-247

5. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. -М. «Наука» - 1982г. -с.211

6. Э.Мендельсон. Введение в математическую логику. - М. 1971г.-С.135

7. Г.Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М., "Наука", 1984г. - С.345

8. И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВУЗов.-М., 1964г.-С.302

СарачееаА. С. Процеси диференщюеання i ттеграцияк itidaui на граничну еизначтсть.

У cmammi розглядаетъся один з munie аналтичноi визначеностг явищ - гранична визначешсть. Запропонована характеристика процеЫе диференщюеання та ттегрування у контексту граничноi еизначеностг.

Ключов! слова: диференщюеання, ттегращя, гранична еизначшсть, еиразимгсть, уяешсть

Saracheva AS. Processes of differentiation and integration as tasks on maximum definable.

In article is considered one of the types to analytical definability of the phenomenas, - limiting definability. It is offered short feature of the differentiation and integration in context of limiting definability. Keywords: differentiation, integration, maximum definable, expressible, predstavimost.

Поступило в редакцию 16.10.2007