CC BY
30
Математические структуры и моделирование 2008, вып. 18, с. 58-62
УДК 536.763/764
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРА ДАЛЬНОДЕЙСТВИЯ НА ОСНОВЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ КРИТИЧЕСКИХ ИНДЕКСОВ
С.В. Белим
В работе проведен анализ критического поведения систем, для которых экспериментальные значения критических индексов не совпадают с критическими индексами модели Гейзенберга. Осуществлена попытка обоснования значений критических индексов таких систем исходя из модели Гейзенберга с эффектами дальнодействия. На основе критического индекса y вычислены значения параметра дальнодействия для различных экспериментально изученных систем, проведено сравнение теоретически вычисленного индекса в с опытными данными.
В ряде экспериментальных работ [1-5] обнаружено отличие критических индексов, измеряемых вблизи линии фазового перехода второго рода от предсказываемых теорией критических явлений как для трехмерной модели Гейзенберга (7 = 1.386, в = 0.364), так и для трехмерной XY-модели (y = 1.316, в = 0.345) и модели Изинга (y = 1.241, в = 0.325) [6]. Авторы этих работ объясняют расхождения с предсказаниями теории для модели Гейзенберга необходимостью учета взаимодействия не только ближайших соседей, но и следующих за ближайшими узлов. Влияние соседей, следующих за ближайшими, может быть учтено с помощью введения взаимодействия, убывающего с расстоянием по степенному закону J(r) ~ r-D-a, где D - размерность системы, о - параметр дальнодействия [7].
В работе [1] исследуется магнитное критическое поведение EuO, найдены критические индексы y = 1.29 ± 0.01, в = 0.368 ± 0.005, а также показано, что необходим учет соседей, следующих за ближайшими, для которых обменный интеграл J2 = (0.5 ± 0.2)J\ J - обменный интеграл для ближайших соседей).
В работе [2] проведены измерения критических индексов для La05Sr05CoO3 для фазового перехода парамагнетик - ферромагнетик. В данной работе получены значения критических индексов y = 1.351 ±0.009, в = 0.321 ±0.002. Ранее [3] критические явления исследовались в сплавах La\-xSrxCoO3 (0.2 < x < 0.3) и дали значения критических индексов 0.43 < в < 0.46, 1.39 < y < 1.43.
Copyright © 2008 С.В. Белим.
Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского.
E-mail: belim@univer.omsk.su
Работа поддержана грантом РФФИ N 06-02-16018.
Математические структуры и моделирование. 2008. Вып. 18. 59
Отличие критических индексов от предсказаний теории короткодействующих систем также было обнаружено для ферромагнитного фазового перехода в Ьа01\Ба09У$э [4]. При этом критические индексы имеют значения 7 = 1.366, в = 0.501. Аналогичные результаты были получены в работе [5] для сплавов ^в90-хМпхZrV0 (0 < ж < 16).
Критические индексы трехмерных изингоподобных систем для различных значений параметра дальнодействия были получены в работе [8]. В данной работе показано, что значение индекса 7 растет, а индекса в убывает с увеличением параметра дальнодействия а. При этом влияние эффектов дальнодействия существенно лишь при а < 2, при а > 2 система демонстрирует короткодействующее критическое поведение. Новые классы универсальности возникают в интервале 1.5 < а < 2, при а < 1.5 в системе наблюдается среднеполевое критическое поведение.
Таким образом, целью данной работы является расчет параметра дальнодействия для систем, требующих учета взаимодействия не только ближайших соседей, исходя из экспериментальных данных.
1. Теоретико-полевое описание
Гамильтониан системы с учетом эффектов дальнодействия может быть записан в виде:
Н = I + + (1)
где (р - флуктуации п-мерного параметра порядка, Б - размерность пространства, т0 ~ |Т — Тс|, Тс - критическая температура, и0 - положительная константа. Критическое поведение существенно зависит от параметра а, задающего скорость убывания взаимодействия с расстоянием. Как показано в работе [7], влияние эффектов дальнодействия существенно при 0 < а < 2, а при а > 2 критическое поведение эквивалентно короткодействующим системам. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся случаем 0 < а < 2.
Проводя стандартную ренормгрупповую процедуру на основе техники фей-нмановских диаграмм [6] с пропогатором О(к) = 1/(т + |к|ст), получаем выражения для функций в ,7^ и 7^, задающих дифференциальное уравнение ренорм-группы.
в = —(2а — Б) 1 — 4(п + + (64(5п + 22)(2Л — 1) — 128(п + 2)С) V2)
74= (2<т-£>)( -2(п + 2)у + Щп+2)[2,11-1-^С)у2
7^ = 64(п + 2^ V = и • 30, 3\
2
3\ ~ _ С
~т2 Ь - ~Т2-
^0 ^0
60 С.В. Белим. Определение значения параметра дальнодействия.
Л
с
вР двР р
(1 + |д1ст )2(1 + |р1ст )(1 + |д2 + р2 + 2р§1ст/2): с1рд
(1 + кТ)2'
д [ вРдвРр
д|к|ст 7 (1 + |д2 + к2 + 2Щ°)(1 + |р1ст)(1 + 1д2 + р2 + 2рд\°/2)
Полученное выражение для в-функции представляет собой асимптотический ряд, и для извлечения из него нужной физической информации необходимо применить метод суммирования. В данной работе было использовано преобразование Бореля-Леруа, дающее адекватные результаты в применении к рядам, возникающим в теории критических явлений:
/(V) = Е Ы = / в-№
0 . (3)
(г + 6)! •
В двухпетлевом приближении для вычисления в-функции был использован ап-проксимант [2/1] с варьированием параметра Ь. Такое варьирование Ь позволяет выяснить, в каких пределах изменяется значение эффективного заряда, и оценить погрешность полученных критических индексов.
Режим критического поведения полностью определяется устойчивыми неподвижными точками ренормгруппового преобразования, которые могут быть найдены из условия равенства нулю в-функции:
в(«*) = 0. (4)
Условием устойчивости является положительность производной в-функции в неподвижной точке:
= дг> (5)
Индекс V, характеризующий рост радиуса корелляции в окрестности критической точки (Ес ~ |Т — Тс —), находится на основе соотношения:
V = ь(а + 74)
-1
Индекс Фишера п, описывающий поведение корелляционной функции в окрестности критической точки в пространстве волновых векторов (С ~ ка+п), определяется на основе скейлинговой функции 7^: п = 2 — а + 7^. Значение критических индексов 7 и в может быть определено исходя из скейлинговых соотношений:
7 = и(а-г]), р = ^(0-а + Г1). (6)
Следут отметить, что процедура суммирования Паде-Леруа возможна не при любых значениях параметра Ь, что существенно снижает возможности использования метода. Это ограничение связано с появлением у аппроксимант
с
Математические структуры и моделирование. 2008. Вып. 18. 61
полюсов вблизи решений уравнения (4), что приводит к невозможности определения положения фиксированных точек. В данной работе проводилось варьирование параметра Ь в интервале от 0 до значения, начиная с которого определение устойчивой фиксированной точки невозможно. На данном интервале выбиралось 10 значений параметра Ь, для которых производился поиск фиксированных точек. В качестве значения эффективных зарядов в фиксированной точке выбирались средние значения с некоторой погрешностью, определяемой разбросом значений при различных Ь.
2. Значения параметра дальнодействия
Рассмотрим применимость модели дальнодействующих систем к экспериментальным данным, приведенным во введении. Будем вычислять значение параметра дальнодействия а по критическому индексу 7 и проводить сравнение вычисленного теоретически индекса в с соответствующим значением, полученным опытным путем.
Для ЕиО [1] экспериментальные критические индексы 7 = 1.29 ± 0.01, в = 0.368 ± 0.005. В рамках модели Гейзенберга (п = 3) соответствующее значение индекса 7 = 1.290 ± 0.002 может быть получено при а = 1.941, при этом для индекса в = 0.376 ± 0.008. В рамках ХУ-модели (п = 2) значение индекса 7 = 1.29 ± 0.03 может быть получено при а = 1.991, при этом для индекса в = 0.354 ± 0.007. Как видно из сравнения теоретических расчетов с экспериментальными значениями, модель Гейзенберга с эффектами дальнодействия демонстриует хорошее согласие с опытными данными.
Для Lao.5Sro.5CcO [2] экспериментальные критические индексы 7 = 1.351 ± 0.009, в = 0.321 ± 0.002. В рамках модели Гейзенберга (п = 3) значение индекса 7 = 1.351 ± 0.002 может быть получено при а = 1.980, при этом индекс в = 0.368 ± 0.004. В рамках ХУ-модели (п = 2) значение индекса 7 = 1.351 получить невозможно, так как максимальное значение индекса достигается при а = 2 и равно 7 = 1.316. Как видим, расхождение значений, предсказываемых теорией и наблюдаемых в эксперименте, значительно. Однако, как указано в работе [2], индекс 7, по которому определялся параметр дальнодействия, вычислялся исходя из значения критической температуры Тс = 223.18 К, а индекс в исходя из значения Тс = 222.82 К. Тогда как хорошо известно, что значения критических индексов весьма чувствительны к выбору критической температуры.
Для Lao.iBao.gVS3 [4] экспериментальные критические индексы 7 = 1.366, в = 0.501. В рамках модели Гейзенберга (п = 3) значение индекса 7 = 1.366 ± 0.002 может быть получено при а = 1.990, при этом для индекса в = 0.369 ± 0.009. Как и в предыдущем случае, применение ХУ-модели невозможно. Как видим, совпадения теоретического значения индекса в с экспериментальным не наблюдается. Однако следует отметить, что экспериментальное значение индекса в = 0.501 выглядит достаточно странно, так как всегда выполняется ограничение в < 0.5, причем максимальное значение в = 0.5 достигается только в рамках теории среднего поля, для которого 7 =1.
Рассмотрим критические индексы, характерные для сплавов Бед0-хМпх^г10 (0 < ж < 16), как показано в работе [5], они существенно зависят от параметра ж. Значения критических индексов, полученных экспериментально в [5], приведено в таблице. В этой же таблице приведены значения параметра дальнодействия а и индекса вн, полученные на основе модели Гейзенберга с эффектами дальнодействия, опираясь на экспериментальное значение индекса 7.
X 7 /3 а Рн
0 1.376 0.369 1.995 0.36 ±0.01
4 1.383 0.373 1.998 0.37 ±0.01
6 1.359 0.358 1.984 0.37 ±0.02
8 1.364 0.355 1.987 0.36 ±0.02
10 1.406 0.356 - -
12 1.395 0.376 - -
16 1.412 0.362 - -
При значениях x > 8 определить параметр дальнодействия а невозможно в силу того, что максимально возможное значение индекса 7 = 1.386 для модели Гейзенберга с дальнодействием достигается при а = 2. Как видим, в интервале 0 < x < 8 наблюдается достаточно хорошее совпадение теоретических предсказаний с опытными данными. Для x > 8 модель Гейзенберга с эффектами дальнодействия, по-видимому, неприменима.
Как видно из расчетов, использование модели Гейзенберга с эффектами дальнодействия позволяет в ряде случаев объяснить отклонение значений критических индексов от предсказаний обычной модели Гейзенберга. Однако параметр дальнодействия, вычисленный на основе индекса 7, не всегда приводит к совпадению предсказываемого индекса в с наблюдаемым на опыте.
ЛИТЕРАТУРА
1. Menyuk N., Dwight K., Reed T. B. Critical Magnetic Properties and Exchange Interactions in EuO // Phys. Rev. B. 1971. V. 3. P. 1689-1698.
2. Mukherjee S., Raychaudhuri P., Nigman A. K. Critical behavior in La0.5Sr0.5CoO? // Phys. Rev. B. 2000. V. 61. P. 8651-8653.
3. Mira J., Rivas J., Vazquez M., Garcia-Beneytes J.M., Arcas J., Sanchez R.D., Senaris-Rodriguez M.A. Critical exponents of the ferromagnetic-paramagnetic phase transition of La1-xSrxCoO3 (0.20< x< 0.30) // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 59. P. 123-126.
4. Cabassi R., Bolzoni F., Gauzzi A., Licci F. Critical exponents and amplitudes of the ferromagnetic transition in La0ABa09VS? // Phys. Rev. B. 2006. V. 74, P. 184425184430.
5. Perumal A., Srinivas V. Critical behavior of weak itinerant ferromagnet Fe90-xMnxZr10 (0< x< 16) alloys // Phys. Rev. B. 2003. V. 67. P. 094418-094423.
6. Le Guillou J. C., Zinn-Justin J. Critical exponents from field theory // Phys.Rev. B. 1980. V. 21. P. 3976-3998.
7. Fisher M. E., Ma S.-K., Nickel B.G. Critical Exponents for Long-Range Interactions // Phys. Rev. Lett. 1972. V. 29. P. 917-920.
8. Белим С.В. Влияние эффектов дальнодействия на критическое поведение трехмерных систем // Письма в ЖЭТФ. 2003. Т. 77. В. 2. С. 118-120.
