Компьютерное моделирование критических свойств фрустрированной модели Гейзенберга методами Монте-Карло Текст научной статьи по специальности «Физика»

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КРИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ФРУСТРИРОВАННОЙ МОДЕЛИ ГЕЙЗЕНБЕРГА МЕТОДАМИ МОНТЕ-КАРЛО

© гот Рамазанов М.К., Муртазаев А.К., Магомедов Г.М., Маммаева С.М.

Дагестанский государственный педагогический университет

Репличным методом Монте-Карло выполнены исследования критических свойств трехмерной фрустрированной антиферромагнитной модели Гейзенберга на треугольной решетке. Используя теорию конечно-размерного скейлинга, рассчитаны статические магнитные и киральные критические индексы теплоемкости а=0.05(2), намагниченности /3=0.30(1), рк=0.52(2),

восприимчивости у=1.36(2), ук=0.93(3) и радиуса корреляции v=0.64(1), vk=0.64(2). Критические индексы Фишера ij=-0.06(3) и ijk=0.63(4) для этой модели рассчитаны впервые. Обнаружено, что класс универсальности антиферромагнитной модели Гейзенберга на треугольной решетке зависит от типа межслойного обменного взаимодействия.

The critical properties of 3D frustrated antiferromagnetic Heisenberg model on a triangular lattice are investigated by the replica Monte-Carlo method. The static magnetic and chiral critical exponents of heat capacity a=0.05(2), magnetization (5=0.30(1), pk=0.52(2), susceptibility y=1.36(2), yk=0.93(3), and correlation radius v=0.64(1), vk=0.64(2) are calculated by means of the finite-size scaling theory. The critical Fisher exponents rj=-0.06(3), rjk=0.63(4) for this model are estimated for the first time. A type of the interlayer exchange interaction is revealed to influence on the universality class of antiferromagnetic Heisenberg model on a triangular lattice.

Ключевые слова: метод Монте-Карло, фрустрации, класс

универсальности, фазовые переходы, критические явления.

Keywords: Monte-Cario method, frustrations, universality class, phase transitions, critical conditions.

Введение.

Проблема исследования фазовых переходов (ФП) и критических явлений (КЯ) в фрустрированных спиновых системах является одной из фундаментальных проблем статистической физики. Несмотря на значительные успехи, достигнутые в этой области, вопрос о построении строгой и последовательной микроскопической теории фазовых переходов и критических явлений остается одним из центральных в современной физике

конденсированного состояния [12]. Современная теория ФП и КЯ в основном базируется на идеях, заложенных в гипотезе скейлинга, универсальности и в теории ренормализационной группы [3, 5, 7, 12]. Результаты, полученные при исследовании фрустрированных систем (ФС), а также спиновых систем с вмороженным немагнитным беспорядком, показывают, что многие из них выходят далеко за рамки современной теории ФП и КЯ [3-5, 8, 9].

Большинство традиционных

теоретических и экспериментальных методов исследования

фрустрированных систем сталкивается с серьезными трудностями при попытке вычислить критические параметры, определить особенности, характер и механизмы критического поведения [4, 6]. Это привело к тому, что ФП и КЯ в ФС в настоящее время интенсивно изучаются методами Монте-Карло (МК) [4, 6, 10, 11, 13, 2022, 24]. Исследование

непосредственно самой окрестности критической точки методами МК стало возможно только в последние годы. Подобные успехи достигнуты не только путем увеличения вычислительных мощностей современных компьютеров, с использованием дополнительных идей и методов. В частности, для исследования ФС разработаны специальные репличные алгоритмы метода МК [23].

В настоящее время продолжаются интенсивные исследования

магнитных, тепловых и критических свойств фрустрированных спиновых систем [10, 11, 24, 26-28]. Это связано с тем, что ФС обладают необычными магнитными свойствами, имеют богатое разнообразие фаз и ФП, обусловленное сильным

вырождением и высокой

чувствительностью таких систем к различного рода возмущающим взаимодействиям [2]. Кроме того, остается открытым вопрос о принадлежности фрустрированных спиновых систем к новому классу универсальности критического

поведения и его зависимости от различных факторов, таких, как тип и величина межслойного обменного взаимодействия, учет взаимодействия вторых ближайших соседей, анизотропии, внешнего магнитного поля и другие [2, 26-28].

В данной работе нами методом Монте-Карло исследованы критические свойства трехмерной

антиферромагнитной модели

Гейзенберга на треугольной решетке.

Интерес к этой модели обусловлен тем, что антиферромагнетики на треугольной решетке являются примером фрустрированных систем. Изучение этой модели позволит получить ответ на вопрос о принадлежности фрустрированных систем к новому киральному классу универсальности, который до сих пор является дискуссионным [4, б, 8, 10, 11, 20-22, 24, 27]. Кроме того, многие важные физические свойства ФС сильно зависят от геометрии решетки (от степени фрустрации). Эти особенности могут привести к сужению классов универсальности критического поведения, и этот вопрос все еще недостаточно изучен.

Особый интерес представляет вопрос зависимости критических

свойств фрустрированных систем от типа межслойного обменного

взаимодействия. Из данных, полученных на сегодняшний день, нельзя однозначно определить

закономерности изменения

критического поведения ФС в зависимости от типа межслойного обменного взаимодействия. В данной работе нами на основе специального репличного алгоритма метода Монте-Карло определены значения критических параметров трехмерной фрустрированной анти-ферромагнитной модели

Гейзенберга на треугольной решетке для разных типов межплоскостного обменного взаимодействия.

Модель и метод исследования.

Гамильтониан нтиферромагнитной трехмерной модели Гейзенберга на треугольной решетке может быть представлен в следующем виде [20]:

н = -j-£ (s, ■ s, ) - J 2 s • s, ), (і) (ÿ) <ÿ) где - трехкомпонентный единичный

вектор s, = (sx, sy, s; ), J и J -

константы обменного взаимодействия. Суммирование производится по ближайшим соседям. Решетка состоит

из двумерных треугольных слоев, сложенных по ортогональной оси. Первый член в формуле (1) учитывает внутриплоскостное обменное

взаимодействие величиной J, а второй - межплоскостное J.

Для выяснения влияния типа межплоскостного обменного

взаимодействия на характер критического поведения

рассматривались две модели й1 и й2:

Модель й1 - J<0, J'>0, Л=^\.

Модель й2- J<0 и J<0, | J|=| J |.

Фрустрированные спиновые

системы являются довольно сложными объектами для исследования даже методами МК. Обычные методы МК плохо справляются с решением проблемы многочисленных локальных минимумов энергии, которая

характерна для ФС. Поэтому в последнее время разработано много новых вариантов алгоритмов метода МК, специально ориентированных на исследования ФС. Из них наиболее мощными и эффективными в исследовании КЯ в ФС оказались репличные алгоритмы метода МК [23].

Поэтому в данном исследовании нами использован

высокоэффективный репличный обменный алгоритм метода Монте-Карло [23]. Более подробно

репличный обменный алгоритм

описан нами в работах [10, 13, 24].

Расчеты проводились для систем с периодическими граничными условиями (ПГУ) и линейными размерами LxLxL=N, L=12^42. При каждом конкретном значении L для усреднения термодинамических параметров использовались 10 марковских цепей, стартующих из различных случайных начальных

конфигураций. В каждой цепи длина равновесного участка в 100 раз превышала длину неравновесного. Полученные таким образом значения термодинамических параметров усреднялись по всем 10 конфигурациям. Эти данные затем

использовались для построения графиков.

Результаты моделирования.

Для исследования температурных зависимостей теплоемкости и восприимчивости мы использовали выражения [1, 10, 22, 25]:

С = (МК2)({и-) - (и)2)

(2)

(МК)^ш£) -(|ш|) |Т < Тм (мк\ш2), Т > Тм

(МК)((шк2)-(Н42),Т <Тк (МКУшк2), Т > Тк

(3)

Хк =

(4)

где К=|1|/квТ, N - число частиц, т -магнитный параметр порядка, тк -киральный параметр порядка, Хк -киральная восприимчивость.

Параметр порядка системы т вычислялся по формуле [20]:

3

Н = + М2 + ыс)/з, (5)

где МА, Мв и Мс - намагниченности трех подрешеток соответственно.

Намагниченность подрешетки определялась следующим образом [20]:

М.

= (,/$2 + Б2у + 82

У ' , г=А,В,С. (6)

Для вычисления кирального параметра порядка системы тк использовались следующие

выражения [21, 22]:

Н = ~ X ш

к М^

к р

Р

(7)

(8)

где р - нумерует треугольные плакеты.

Рис. 7. Зависимость теплоемкости С/кв от температуры квТ/^1 для 1=30 для моделей О? и О/.

у?и

Рис. 2. Зависимость восприимчивости / от температуры квТ/^1 для 1=30 для моделей О? и О/.

На рис. 1 и 2 представлены характерные зависимости

теплоемкости С и восприимчивости х от температуры для моделей 0^ и й2 (здесь и на всех последующих рисунках статистическая

погрешность не превышает размеров символов, использованных для построения зависимостей).

Отметим, что в зависимости теплоемкости С и восприимчивости X от температуры для обеих моделей вблизи критической температуры наблюдаются хорошо выраженные максимумы, которые в пределах погрешности приходятся на одну и ту же температуру.

Для более точного определения критической температуры нами

использовался метод кумулянтов Биндера (Л четвертого порядка, который имеет вид [14]:

Согласно теории конечноразмерного скейлинга (КРС) точка пересечения всех кривых (Л в их температурной зависимости

является критической точкой [1].

ЬНЩ

Рис. 3. Зависимость кумулянта

Биндера Ul от температуры квТ/j JI

ДЛЯ МОДеЛИ Ü2.

На рис. 3 представлена характерная зависимость UL от

температуры для разных значений L 18, 24, 30) модели D2. Этот рисунок демонстрирует точность определения критической

температуры. Из графика видно, что критическая температура равна

7л/=0.957(1) (здесь и далее

температура дана в единицах |J|/kB). При определении киральной критической температуры Тк нами использовался метод пересечения кумулянтов (“cumulant crossing”), который считается более точным и надежным [14, 18, 22, 24].

Для расчета статических киральных и магнитных критических индексов теплоемкости а,

восприимчивости у, ук

намагниченности Д /Зк и радиуса корреляции у, vk использовались

соотношения теории конечноразмерного скейлинга [14, 17-19].

На рис. 4 в двойном логарифмическом масштабе

представлена характерная

зависимость магнитного параметра порядка т от линейных размеров решетки /.. Как видно из рисунка, все данные ложатся на прямую, угол наклона кривой определяет значение р/у. По этой схеме нами определены значения а/у, Рк/Ук, у/у, Ук/Ук, 1/у И 1 /Ук для обеих моделей. Затем,

используя полученные в рамках данного исследования значения у и ук, рассчитывались а, р, рк, у и ук. Все значения индексов, полученные таким образом, представлены в таблице 1. Здесь также приведены результаты численных [20-22] и лабораторных экспериментов [8]

других авторов, а также значения критических параметров для

нефрустрированной модели [16].

Рис. 4. Зависимость параметра порядка

т от линейных размеров системы /_ при Т=Тыдля модели О/.

Для моделей йч и й2 значения магнитной и киральной критической температуры в пределах

погрешности совпадают между собой и с теми, что получены в работах [20-22]. Сравнение значений критических параметров для модели 0^ с результатами исследований

аналогичной модели, полученными в работах [20, 22], показывает, что наши данные близки к данным работы [22], которая является более поздней. Часть критических индексов для модели й2 в пределах погрешности совпадает с результатами, полученными для такой же модели в работе [21]. Из таблицы 1 видно, что данные, полученные нами для модели йч, ближе к экспериментальным результатам (см. ссылки в [8]), полученным для

антиферромагнетика с треугольной решеткой СэМпВгз, чем для модели й2. Отметим, что значения индексов Фишера г/ и щ для моделей йч и й2 рассчитаны впервые.

Значения критических параметров для 30 антиферромагнитной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке

Критический параметр Данные этой работы Метод МК Эксп-т (см. ссылки в [8]) Чистая модель [16]

Di D2 [20] [21] [22]

Ты 0.956(1) 0.957(1) 0.954(2) 0.955(2) 0.9577(2) - 1.443

Тк 0.956(2) 0.957(2) - 0.958(2) 0.9577(2) - -

V 0.59(1) 0.64(1) 0.53(3) 0.59(2) 0.586(8) 0.57(3) 0.706(9)

а 0.26(2) 0.05(2) 0.4(1) 0.24(8) - 0.40(5) -0.117(2)

Р 0.26(1) 0.30(1) 0.25(2) 0.30(2) 0.285(11) 0.25(1) 0.364(7)

Г 1.23(2) 1.36(2) 1.1(1) 1.17(7) 1.185(3) 1.10(5) 1.390(23)

Ук 0.59(2) 0.64(2) - 0.60(2) 0.60(2) - -

Рк 0.43(2) 0.52(2) - 0.55(2) 0.50(2) 0.44(2) -

Ук 0.87(3) 0.93(3) - 0.72(2) 0.82(2) 0.84(7) -

П -0.09(3) -0.06(3) - - - - 0.031(7)

Цк 0.50(4) 0.63(4) - - - - -

Как видно из таблицы 1, результаты нашей работы согласуются как с данными лабораторного эксперимента, так и с большинством результатов

численных экспериментов других авторов, но отличаются от результатов для нефрустрированной модели Гейзенберга [16]. Это позволяет нам говорить о том, что 30 фрустрированная

антиферромагнитная модель

Гейзенберга на слоистой треугольной решетке (модель й2) образует новый класс

универсальности критического

поведения.

Кроме того, большинство критических индексов модели й2 имеет сильное различие с индексами модели Это является

свидетельством того, что тип

межслойного обменного

взаимодействия так же, как и ее величина [10, 24] играет важную роль при образовании классов универсальности таких систем. Очевидно, что модель йч и й2

относятся к разным классам

универсальности и каждая из них имеет свой набор критических индексов.

Заключение.

Исследования критических

свойств 30 фрустрированной антиферромагнитной модели

Гейзенберга на треугольной

решетке, проведенные в данной работе, выполнены с

использованием

высокоэффективного репличного алгоритма метода Монте-Карло. Рассчитаны все основные

статические магнитные и киральные критические индексы. Расчет

критических индексов теплоемкости а, восприимчивости у, ук, параметров порядка Д, /Зк, индекса Фишера т], щ и радиуса корреляции у, ук выполнен на основании соотношений теории конечно-размерного скейлинга и с соблюдением единой методики в рамках одного исследования. Значения индексов Фишера г/ и щ для этой модели рассчитаны впервые. Полученные данные свидетельствуют о принадлежности 30 фрустрированной

антиферромагнитной модели

Гейзенберга на треугольной решетке к новому классу универсальности. Результаты данной работы

позволяют говорить, что класс универсальности критического

поведения антиферромагнитной модели Гейзенберга на треугольной

решетке зависит от типа межслойного обменного

взаимодействия.

Примечания

1. Биндер К., Хеерман Д.В. Моделирование методом Монте-Карло в статистической физике. М. : Наука, 1995. С. 144. 2. Гехт Р.С. Магнитные состояния и фазовые переходы во фрустрированных антиферромагнетиках с треугольной решеткой//УФН. 1989. Т. 159. С. 261. 3. Доценко Вик. С. Критические явления в спиновых системах с беспорядком//УФН. 1995. Т. 165. С. 481. 4. Камилов И.К.,

Муртазаев А.К., Алиев Х.К. Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло//УФН. 1999. Т. 169. С. 773. 5. Коршунов С.Е. Фазовые переходы в двумерных спиновых системах с непрерывным вырождением//УФН. 2006. Т. 176. С. 233. 6. Лойсон Д., Соколов А.И.,

Деламотт Б., Антоненко СА„ Шотт К.Д., Дип Х.Т. Critical behavior of frustrated systems: Monte Carlo simulations versus renormalization дгоир//Письма в ЖЭТФ. 2000. T. 72. С. 447. 7. Ma lil. Современная теория критических явлений. М. : Мир, 1980. С. 298. 8. Малеев С.В. Рассеяние поляризованных нейтронов в магнетиках//УФН. 2002. Т. 172. С. 617. 9. Муртазаев А.К. Исследование критических явлений в спиновых решеточных системах методами Монте-Карло//УФН. 2006. Т. 176.

С. 1119. 10. Муртазаев А.К., Рамазанов М.К., Бадиев М.К. Статическое критическое поведение трехмерной фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке с переменным межслойным обменным взаимодействием//ЖЭТФ. 2007. Т. 132. С. 1152. 11. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Статическое

критическое поведение 3D фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке//ФНТ. 2006. Т. 32. С. 323. 12.

Паташинский А.З., Покровский В.Л. Флуктуационная теория фазовых переходов. Москва, 1982, Наука. С. 380. 13. Рамазанов М.К., Муртазаев А.К., Магомедов Г.М., Джамаева Н.М. Критические свойства трехмерной фрустрированной

антиферромагнитной модели Гейзенберга на треугольной решетке//Известия ДГПУ. 2008. № 2. С. 5. 14. Binder K.Z. Thermodynamics of finite spin systems//Phys. B. 1981. № 43. P. 119. 15. Binder K„ Wang J-Sh. Spin glass:

Experimental facts, theoretical concepts, and open questions//! Stat. Phys. 1989. № 55. P. 87. 16. Campostrini M„ Hasenbusch M„

Pelissetto A., Rossi P., and Vicari E. Critical

exponents and equation of state of the three-dimensional Heisenberg universality class//Phys. Rev. B. 2002. № 65. P. 144520. 17. Ferdinand A.E., Fisher M.E. Bounded and inhomogeneous Ising models. I. Specific-heat anomaly of a finite lattice//Phys. Rev. 1969. №185. P. 832. 18. Ferrenberg A.M., Landau

D.P. Critical Behavior of the three-dimensional Ising model: A high-resolution Monte Carlo study//Phys. Rev. B. 1991. №44. P. 508! 19. Fisher M.E., Barber M.N. Scaling theory for finite-size effects in the critical region//Phys. Rev. Lett. 1972. № 28. P.1516. 20. Kawamura H.J. New Critical Behavior l-Heisenberg Antiferromagnet on the Layered-Triangular Lattice//! Phys. Soc. Jap. 1987. №56. P.474. 21. Kawamura H.J. Monte Carlo Study of Chiral Criticality XY and Heisenberg Stacked- Triangular Antiferromagnets//J. Phys. Soc. Jap. 1992. № 6! P.1299. 22. MailhotA., Plumer M.L., Caille A. Tricritical behavior of the frustrated XY antiferromagnet//Phys. Rev. B. 1994-11. № 50. P.6854. 23. Mitsutake A., Sugita Y„ Okamoto Y. Generalized-Ensemble Algorithms for Molecular Simulations of Biopolimers // Biopolymers (Peptide Science). 2001. № 60. P.96. 24.

Murtazaev A.K., Ramazanov M.K. Critical properties of the three-dimensional frustrated Heisenberg model on a layered-triangular lattice with variable interplane exchange

interaction//Phys. Rev. B. 2007. № 76. P. 17442! 25. Peczak P., Ferrenberg A.M.,

Landau D.P. High-accuracy Monte Carlo study of the three-dimensional classical Heisenberg ferromagnet//Phys. Rev. B. 199! №.43. P. 6087. 26. Pelissetto A., Rossi P., Vicari E.

Critical exponents in frustrated spin models with noncollinear order//Phys. Rev. B. 200! № 65. 020403(R). 27. Peles A., Southern B.W. Spin stiffness of stacked triangular

antiferromagnets//Phys. Rev. B. 2003. № 67. P. 184407. 28. Svistov L.E., Smirnov A.I.,

Prozorova L.A., Petrenko O.A., Demianets L.N., Shapiro A.Ya. Quasi-two-dimensional

antiferromagnet on a triangular lattice RbFe(Mo04)2//Phys. Rev. B. 2003. № 67. P. 094434.

Работа поддержана грантом РФФИ (проект № 07-02-00194),

грантом РФФИ-«Юг России» (проект № 06-02-96602), грантом ведущей научной школы (HLLI-5547.2006.2) и грантом Фонда

содействия отечественной науке (А. К. Муртазаев).

Статья поступила в редакцию 15.10.2008 г.