CC BY
111
• • • Известия ДГПУ, №3, 2009
УДК 239.2
ИССЛЕДОВАНИЕ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ ФРУСТРИРОВАННОЙ МОДЕЛИ ГЕЙЗЕНБЕРГА
МЕТОДАМИ МОНТЕ-КАРЛО
®2009 Рамазанов М.К., Муртазаев А.К.*, Магомедов Г.М., Маммаева С.М.
Дагестанский государственный педагогический университет * Институт физики ДНЦ РАН
Репличным методом Монте-Карло выполнены исследования природы фазовых переходов трехмерной фрустрированной антиферромагнитной модели Гейзенберга на треугольной решетке. Используя метод кумулянтов Биндера четвертого порядка, определена критическая температура и проведен анализ характера фазовых переходов. Обнаружено наличие в трехмерной фрустрированной модели Гейзенберга на треугольной решетке фазового перехода второго рода.
The nature of phase transitions of the three-dimensional frustrated antiferromagnetic Heisenberg model on a triangular lattice is investigated by the replica Monte-Carlo method. The critical temperature and the analysis of character of phase transitions are determined by means of the Binder cumulant method. Presence in three-dimensional frustrated Heisenberg model on a triangular lattice of a second order transition is revealed.
Ключевые слова: метод Монте-Карло, фрустрации, класс
универсальности, фазовые переходы, критические явления.
Keywords: Monte-Carlo method, frustrations, universality class, phase transition, critical properties.
Введение
В последние годы исследование фазовых переходов (ФП) и критических явлений (КЯ)
фрустрированных решеточных
спиновых систем является одной их актуальных задач физики конденсированного состояния.
Интенсивные исследования таких систем ведутся теоретическими, экспериментальными и численными методами [1-7]. Полученные результаты оказались весьма противоречивыми и вызвали бурную дискуссию среди специалистов [2, 3, 5].
В настоящее время огромный интерес вызывают вопросы, связанные с существованием нового кирального класса универсальности критического поведения
фрустрированных
антиферромагнитных решеточных
систем на слоистой треугольной решетке [6, 7, 18, 19, 21], особый интерес - изучение природы ФП в антиферромагнетиках на треугольной решетке [5]. Это связано с тем, что неколлинеарная структура основного состояния фрустрированной
антиферромагнитной модели
Гейзенберга на треугольной решетке задается киральным параметром порядка. Считается, что наличие такого порядка может привести к фазовым переходам второго рода с новым киральным классом
универсальности. Имеющиеся
результаты теоретических
исследований не проясняют ситуацию. Часть результатов
свидетельствует о наличии в таких системах фазовых переходов второго рода при определенных значениях числа компонентов параметра порядка Л/, а часть - в пользу наличия
слабо выраженного фазового перехода первого рода.
В то же время подавляющее большинство численных данных подтверждает наличие в этих системах фазового перехода второго рода с образованием нового кирального класса универсальности, хотя имеются отдельные работы, в которых авторы обнаруживают фазовые переходы первого рода [4, 10-15, 1B, 19, 21]. Наиболее сложной выглядит ситуация с
экспериментальными данными.
Большинство результатов
свидетельствует о наличии в фрустрированных спиновых системах с треугольной решеткой фазовых переходов второго рода [б]. При этом
критические параметры сильно
отличаются друг от друга в зависимости от авторства, но и экспериментального метода и методики расчета. Часть
исследований обнаруживает явно выраженный фазовый переход
первого рода, а часть - либо слабовыраженный фазовый переход первого рода, либо переход второго рода.
В данной работе нами предпринята попытка изучить
природу, характер и особенности фазовых переходов в трехмерной фрустрированной
антиферромагнитной модели
Гейзенберга на треугольной решетке.
Модель и метод исследования
Гамильтониан антиферромагнитной трехмерной модели Гейзенберга на треугольной решетке может быть представлен в следующем виде [19]:
H = -./£ (X- S), (1)
У
где Si - трехкомпонентный
единичный вектор Si = (Si, Sf, S.), J -
константа обменного взаимодействия. Суммирование производится по ближайшим соседям. Решетка состоит из двумерных треугольных слоев, сложенных по ортогональной оси.
Исследования критических свойств фрустрированных спиновых систем встречаются с труднопреодолимыми проблемами. Традиционные
теоретические методы исследования критических свойств при
исследовании фрустрированных спиновых систем сталкиваются с многочисленными сложностями. Разные подходы, используемые в теории ренормализационной группы, дают различные результаты. Эти и некоторые другие проблемы
вынудили исследователей обратить внимание на такие методы вычислительной физики, как методы Монте-Карло (МК), позволяющие строго и последовательно, с контролируемой погрешностью,
исследовать термодинамические свойства спиновых систем
практически любой сложности [2, 610].
В последние годы методы Монте-Карло стали эффективным инструментом изучения и критической области. На сегодняшний день на их основе изучены целые классы спиновых систем и рассчитаны критические индексы широкого
спектра моделей. Расчет критических параметров выполнен с точностью, превосходящей точность всех других известных методов. Для
исследования критических свойств фрустрированных спиновых систем были разработаны специальные репличные обменные алгоритмы
метода Монте-Карло [22]. К настоящему моменту репличные
алгоритмы метода Монте-Карло и теория конечно-размерного скейлинга стали основными инструментами изучения критических свойств столь сложных систем. Поэтому в данном исследовании нами использован высокоэффективный репличный обменный алгоритм метода Монте-Карло [22]. Более подробно
названный алгоритм описан нами в работах [11, 23].
Расчеты проводились для систем с периодическими граничными
условиями и с линейными размерами LxLxL=N, L=12^42. При каждом конкретном значении L для
усреднения термодинамических параметров применялись 1G марковских цепей, стартующих из случайных начальных конфигураций. В каждой цепи длина равновесного участка в 1 Go раз превышала длину неравновесного. Полученные таким образом значения
термодинамических параметров
усреднялись по всем 10 конфигурациям. На этих данных основывалось построение графиков. Результаты моделирования Для исследования температурной зависимости восприимчивости нами использовалось выражение [17, 21]:
(ЛК)|<ш2)-(1421,т < тм
(т\ш2), т > ты
(2)
где К = |у'|/квТ, N - число частиц, т
- магнитный параметр порядка.
Анализ характера ФП и определения критической
температуры Тм проводился методом кумулянтов Биндера четвертого порядка, который имеет вид [2, 16]:
(и л
Гь = і -
и1 = 1 -
3(и 2>1, (ш 4) 1
(3)
3(ш') 1
(4)
где V, - энергетический кумулянт, и,
— магнитный кумулянт.
Выражения (3) и (4) позволяют с большой точностью определить Тм для ФП первого и второго рода соответственно. Следует отметить, что применение кумулянтов Биндера позволяет также хорошо тестировать род ФП в системе. Так, в случае ФП первого рода величина V, стремится к некоторому нетривиальному значению при 1_®<х> и Т=Т|м(Ь), а минимальная величина V, расходится при 1_®<х>, что характерно для ФП первого рода. В случае ФП второго рода кривые температурной зависимости кумулянтов Биндера и, имеют четко выраженную точку пересечения.
На рисунке 1 представлена характерная зависимость и, от температуры для разных значений ,. Этот рисунок демонстрирует точность определения критической температуры. Из графика видно, что в критической области наблюдается четко выраженная точка пересечения (Тм=0.957(1)), что свидетельствует о ФП второго рода.
ь
2
ьвТАА
Рис. 1. Зависимость магнитного кумулянта UL от температуры квГА^
Кроме того, для ФП второго рода должно выполняться следующее условие [20]:
Уь = V* + Ы-ё, (5)
где V* - должно быть равным 2/3.
Рис. 2. Зависимость энергетического кумулянта У1_ от температуры квТ/\и\
Рисунок 2 показывает
температурную зависимость
энергетического кумулянта VI для разных значений Как видно из графика, величина VI стремится к 2/3, а величина У*=2/3, что характерно для ФП второго рода. Эта величина рассчитана с помощью выражения (5). Из рисунка 3 видно, что для исследуемой модели ^=0.6666(1).
1/L
Рис. 3. Зависимость энергетического кумулянта VL(min) от 1/L
Как известно, для ФП первого рода максимум восприимчивости Хтах должен быть масштабирован с размером системы Ld, где d -размерность системы [24]. На рисунке 4 в двойном логарифмическом масштабе представлена зависимость
Хтах ОТ L ИЗ рИСуНКЭ ВИДНО, ЧТО УГОЛ
наклона -2.1, что не равно d. Этот результат также свидетельствует в пользу наличия в системе фазового перехода второго рода.
Таким образом, результаты нашего исследования говорят о наличии в трехмерной фрустрированной
антиферромагнитной модели
Гейзенберга на треугольной решетке фазового перехода второго рода.
Примечания
1. Доценко B.C. Критические явления в спиновых системах с беспорядком //УФН. 1995. Т.165. С. 481. 2. Камилов И.К., Муртазаев А.К., Алиев Х.К. Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло // УФН. 1999. Т.169. С. 773. 3. Коршунов С.Е. Фазовые переходы в двумерных спиновых системах с непрерывным вырождением // УФН.
2006. Т.1 76. С. 233. 4. Аойсон Д., Соколов А.И., Деламотт Б., Антоненко С.А., Шотт К.Д, Дип Х.Т. Critical behavior of frustrated systems: Monte Carlo simulations versus renormalization group // Письма в ЖЭТФ. 2000. Т.72. С. 447. 5. Малеев С.В. Рассеяние поляризованных нейтронов в магнетиках // УФН. 2002. Т.172. С. 617. 6. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Статическое критическое поведение 3D фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке // ФНТ. 2006. Т.32. С. 323. 7. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Критические свойства трехмерной фрустрированной модели Изинга на кубической решетке // ФТТ. 2005. Т.47. С. 1125. 8. Муртазаев А.К., Рамазанов М.К., Бадиев М.К. Критическое поведение и пространственный кроссовер во фрустрированной антиферромагнитной модели Гейзенберга на треугольной решетке // Известия РАН. Серия физическая. 2008. Т.72. С. 1172. 9. Муртазаев А.К., Рамазанов М.К., Бадиев М.К. Исследование влияния фрустраций на критические свойства трехмерной антиферромагнитной модели Гейзенберга // Радиотехника и электроника. 2009. Т.5. С. 202. 10. Муртазаев А.К., Рамазанов М.К., Бадиев М.К. Исследование критических свойств трехмерной фрустрированной модели Гейзенберга на треугольной решетке методами Монте-Карло // ФНТ. 2009. Т.35. С. 663. 11. Муртазаев А.К., Рамазанов М.К., Бадиев М.К. Статическое критическое поведение трехмерной фрустрированной модели Гейзенберга на
Рис. 4. Зависимость максимума восприимчивости %тах от /.
Заключение
Исследование фазовых переходов трехмерной фрустрированной модели Гейзенберга на треугольной решетке выполнено с использованием
высокоэффективного репличного алгоритма метода Монте-Карло. Определена критическая температура и проведен анализ характера фазовых переходов на основе применения метода кумулянтов
Биндера четвертого порядка. Результаты данной работы позволяют говорить, что трехмерная
фрустрированная модель
Гейзенберга на треугольной решетке испытывает фазовый переход второго рода.
слоистой треугольной решетке с переменным межслойным обменным взаимодействием // ЖЭТФ. 2007. Т.132. С. 1152. 12 Муртазаев А.К., Рамазанов М.К., Бадиев М.К. Исследование критических свойств фрустрированной модели Гейзенберга на треугольной решетке методом Монте-Карло // Известия РАН. Серия физическая. 2009. Т.73. С. 1059. 13. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Исследование критических свойств 3d фрустрированной модели Изинга методом Монте-Карло // Вестник ДНЦ РАН. 2006. Т.24. С. 5. 14. Рамазанов М.К., Муртазаев А.К., Магомедов Г.М., Джамаева Н.М. Критические свойства трехмерной фрустрированной антиферромагнитной модели Гейзенберга на треугольной решетке // Известия ДГПУ. Естественные и точные науки. 2008. №2. С. 5. 15. Рамазанов М.К., Муртазаев А.К., Магомедов Г.М., Мамаева С.М. Компьютерное моделирование критических свойств фрустрированной модели Гейзенберга методами Монте-Карло // Известия ДГПУ. Естественные и точные науки. 2008. №4. С. 7. 16. Binder K.Z. Thermodynamics of finite spin systems // Phys. B. 1981. №43. P. 119. 17. Binder K., Wang J-Sh. Spin glass: Experimental facts, theoretical concepts, and open questions // J. Stat. Phys. 1989. №55. P. 87. 18. Kawamura H.J. New Critical Behavior I-Heisenberg Antiferromagnet on tine Layered-Triangular Lattice // J. Phys. Soc. Jap. 1987. №56. P. 474. 19. Kawamura H.J. Monte Carlo Study of Chiral Criticality XY and Heisenberg Stacked Triangular Antiferromagnets // J. Phys. Soc. Jap. 1992. №61. P. 1299. 20. Loison D„ Schotte K.D. First and second order transition in frustrated XY systems // Eur. Phys. J. B. 1998. №5. P. 735. 21. Mailhot A., Plumer M.L., Cailie A. Tricritical behavior of the frustrated XY antiferromagnet // Phys. Rev. B. 1994-
II. №50. P. 6854. 22. Mitsutake A., Sugita Y., Okamoto Y. Generalized-Ensemble Algorithms for Molecular Simulations of Biopolimers // Biopolymers (Peptide Science). 2001. №60. P. 96. 23. Murtazaev A.K., Ramazanov M.K. Critical properties of the three-dimensional frustrated Heisenberg model on a layered-triangular lattice with variable interplane exchange interaction // Phys. Rev. B.
2007. №76. P. 174421. 24. Murty S.S. Challa, Landau D.P., and Binder K. Finite-size effects at temperature-driven first-order transitions // Phys. Rev. B. 1986. №34. P. 1841.
Работа поддержана грантом РФФИ (проект № 07-02-00194), грантом РФФИ
- «Юг России» (проект № 06-02-96602), грантом ведущей научной школы (НШ-5547.2006.2).
Статья поступила в редакцию 14.07.2009 г.
