Критическое поведение изотропных трехмерных систем с диполь-дипольным взаимодействием в однопетлевом приближении Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математические структуры и моделирование 2008, вып. 18, с. 63-70

УДК 536.763/764

КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ИЗОТРОПНЫХ ТРЕХМЕРНЫХ СИСТЕМ С ДИПОЛЬ-ДИПОЛЬНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ В ОДНОПЕТЛЕВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

С.В. Белим

В работе проведен анализ критического поведения изотропных трехмерных систем с диполь-дипольным взаимодействием в однопетлевом приближении. Получены выражения для неподвижной фиксированной точки ренормгруппового преобразования и критических индексов в зависимости от относительной интенсивности диполь-дипольного взаимодействия.

Введение

Магнитное диполь-дипольное взаимодействие существует во всех магнитных материалах, но в большинстве ферромагнетиков упорядочивание обусловлено обменным взаимодействием, лишь в материалах с температурой перехода Tc > 300K значительное влияние оказывают диполь-дипольные силы. Экспериментально существенное влияние диполь-дипольного взаимодействия на критические явления было обнаружено в ферромагнетике EuO [1] по отличию критических индексов от предсказываемых теорией с близкодействием. Так, согласно модели Гейзенберга критический индекс теплоемкости должен принимать значение а = -0.13, тогда как экспериментальное значение для EuO а = -0.04 ± 0.02.

Впервые проблема описания критического поведения систем с диполь-дипольным взаимодействием была рассмотрена в работе [2] в рамках е-разложения (е = 4 — D, D - размерность пространства) в однопетлевом приближении для систем, размерность параметра порядка которых совпадает с размерностью пространства (n = D). Были получены приблизительные значения критических индексов, отличные от индексов систем с близкодействием. Авторы данной работы исследуют поведение системы вблизи не реальной критической точки, а некоторой смещенной точки, причем смещение находится в процессе расчетов и так же, как критические индексы, записывается в виде асимптотического ряда по параметру е. Данный подход был развит в серии

Copyright © 2008 С.В. Белим.

Омский государственный университет.

E-mail: [email protected]

Работа поддержана грантом РФФИ N 06-02-16018.

статей [3-7], причем не только для изотропных, но и для анизотропных систем. В статье [4], посвященной изотропным системам, были вычислены значения критических индексов в рамках е-разложения: 1/y = 1 — 9/34е + 0(е2), П = 0.023е2 + 0(е3). В двухпетлевом приближении в рамках е-разложения критические индексы систем с диполь-дипольным взаимодействием были получены в работе [8] (v = 0.5(1 + (9/34)е + (7013/58956)е2 + 0(е3))).

Теоретико-полевой подход в описании систем с диполь-дипольным взаимодействием был развит в работе [9]. Авторы этой статьи исследуют поведение системы вблизи реальной критической температуры в рамках е-разложения в двухпетлевом приближении. В результате такого уточнения были найдены значения критических индексов, отличающиеся от полученных в предыдущих работах лишь в слагаемых второго порядка по е (v = 0.5(1 + (9/34)е + (7013/58956)е2), y = 1 + (9/34)е + (5687/58956)е2, п = (13/289)е2).

Компьютерное моделирование методом Монте-Карло [10] продемонстрировало критическое поведение системы, описываемое критическим индексом а = —0.02, что находится в не очень хорошем согласии с предсказаниями теории, построенной в рамках е-разложения.

Таким образом, целью данной статьи ставится развитие теоретико-полевого подхода к описанию изотропных систем с диполь-дипольным взаимодействием непосредственно в трехмерном пространстве.

1. Гамильтониан системы

Как показано в [3], гамильтониан трехмерной системы с диполь-дипольным взаимодействием может быть записан в виде:

Н=- [ dsr\(r0+V2)6aß+v0r4aß \X<Xxß}s"Sß0+^- [ (PrF^SZSgSZS*. (1) 2 J L r \ 4! J

Здесь SJ - компонента а флуктуаций параметра порядка (1 < а < n), роль которого для ферромагнитных систем играет намагниченность, ro ~ |T — Tc|, Tc - критическая температура, u0 - положительная константа, g0 - относительная интенсивность диполь-дипольного взаимодействия по сравнению с обменным взаимодействием, F = 1/3($ав+ öaß+ 6авölS). Из анализа первого слагаемого гамильтониана можно сделать вывод, что количество компонентов спина n должно совпадать с размерностью пространства D (n = d). Это требование вытекает из того, что необходимо производить свертку в слагаемом xa хв So So, описывающем диполь-дипольное взаимодействие, то есть мы имеем дело с моделью Гейзенберга.

Преобразование Фурье данного гамильтониана сталкивается с трудностью, вытекающей из расходимости интеграла

Г™ 1

К = / - exp (-iqr)dr, (2)

Jo

r

возникающего при вычислении Фурье-образа слагаемого, описывающего диполь - дипольное взаимодействие. Однако эта трудность, как будет показано

далее, легко устраняется при вычислении критических индексов, которые, собственно, являются величинами, измеряемыми в эксперименте. Запишем формально гамильтониан системы после преобразования Фурье:

Н= \ [ dDq\(ro + q2)6^ + go^]s-(q)S^-q) (3)

J2VZOtß t „ Q Q

^ f f I, f I 1 I n -I- f

Здесь введены обозначения

g0 = K • Vo, ro = To + K • Vo. (4)

В дальнейшем в рамках теоретико-полевого подхода производится ренормгруп-повое преобразование затравочной величины r0, которое позволяет устранять из нее расходимости. Константа же диполь-дипольного взаимодействия, как будет показано ниже, встречается лишь в выражениях вида g = g0/r0, что также приводит к конечным выражениям.

Дипольные силы вносят анизотропию в спиновые флуктуации, выделяя направления параллельно волнового вектора q и перпендикулярно ему. В связи с чем введем проективные операторы продольной и поперечной составляющих Ра:

paß _ QaQß paß _ ^aß _ <fQß

L q2 ' T q2

После введения проективных операторов гамильтониан системы примет вид: 1

H=-l d-q

(Г0 + q2)P^ + (Г0 + g0 + q2)P? S^(q)S^(-q) (6)

+|г / / ] dDq1dDq2dDq3F^\SS(q^S^q-2)S^qli)S¿0(-q-1-q2-qli).

Продольные и поперечные составляющие критических флуктуаций демонстрируют различные режимы критического поведения, обусловленного сдвигом критической температуры для продольной составляющей вследствие диполь-дипольного взаимодействия.

Свободный пропогатор системы может быть записан в следующем виде:

(го = С^уо,^ + СТ (т0,д)Р?, (7)

где

G%(ro,go,q)= м V 2, = (8)

Г0 + g0 + q2 Г0 + q2

2. Теоретико-полевое описание

Поведение системы в критической области определяется значениями эффективных зарядов в неподвижной точке ренормгруппового проеобразования, которое

в рассматриваемом случае будет иметь вид:

u0 = b uZM, r0 = b rZr, g0 = b gZg, (9)

s0a(q) = zj/'pf se (q) + z^/2^ se (q).

Масштабный параметр b вводится для обезразмеривания величин. Введение отдельных нормировочных факторов для продольной и поперечной составляющих флуктуаций намагниченности связано с анизотропией, описанной выше.

В силу наличия анизотропии вершинные функции так же, как и свободный пропогатор, будут зависеть от координат. Фейнмановские диаграммы для двухточечной вершинной функции со вставкой и четырехточечной вер-

шинной функции Г(4)ав7<5 имеют такой же внешний вид, как и для обычных систем с близкодействием.

Аналитическое выражение для вершинной

функции Г(4)ав^ имеет вид

22 3

p(4)a/?7¿ _ _ —у2 ^ ^ ^paf3ílpjmrfS pcryilpijinfiS paSílpjmfij^

3

i,j,l,m=1

i dDqG0j(q)G0m(-q). (10)

После вычисления интеграла и выполнения суммирования по «немым» индексам (i,j,/,m) (подробности приведены в Приложении А) получаем выражение

47

p(4)a/?7¿ = _ 22uq(I1 - 2/2 + — /3))

4ng f q2dq п2 ^ 1 1

h =

3 J (l + q2)2(l+£ + q2) 3 V2+Í+2VTTÍy'

/з = [ q2dq = —(l + 1 4

5 У (1 + д2)2(1 + + д2)2 5 V v/T+^ л/2Т7+27ГТ1У'

9 = 9оДо-

Аналитическое выражение для вершинной функции со вставкой мо-

жет быть записано в следующем виде:

20 .3 г

г(2'1)а/3 = г06а13 - уГоМо р<*Мй1т / dDqG%{q)GlZl{-q) (12)

= го^/3(1-20Мо(/1-2/2 + ^/З)). Подробности вычисления аналитического выражения для

приведены в

Приложении.

Запишем уравнение Каллана-Симанзика для объемных вершинных функций:

1 д д ш1д 1п д

В этом уравнении введены функции

■ Г(т)ав(д; г, и, Ь) = 0. (13)

п тди 1 дг 1 дБа

0 = ЬТУ ■" = ьТь' = (14)

определяющие поведение системы в критической области.

Выражения для в — и 7-функций в однопетлевом приближении:

г 47

/3 = 1 _ 44м(Д - 21 2 + —/3)

о!

5

7* = -20И(/1-2/2 + -/3).

Режим критического поведения полностью определяется устойчивой неподвижной точкой ренормгруппового преобразования и*, которая может быть найдена из условия равенства нулю в-функции:

вг(и*) = 0. (15)

Требование устойчивости фиксированной точки сводится к условию

(16)

ди

Аналитическое выражение для устойчивой фиксированной точки имеет вид:

= 405у/Щ(1 + у/Щ)

447г2(452д + ЗПуТТ^ + 229)' 1 ;

Из выражения для и* видно, что при д = 0 фиксированная точка совпадает со значением, получаемым для систем без диполь-дипольного взаимодействия и* = 0.00422, а далее значение эффективного заряда очень быстро переходит к своему предельному значению и* = 0.00252, в котором диполь-дипольное взаимодействие играет доминирующую роль (д ^ то).

3. Критические индексы

Как хорошо известно, в однопетлевом приближении индекс Фишера п, определяющий поведение корелляционной функции в пространстве волновых векторов ((С ~ к2+п)), равен нулю. Остановимся на индексе V, характеризующем

рост радиуса корелляции в окрестности критической точки (Яс который может быть найден на основе соотношения:

К ч 1 ! "=2(1+'л) =2

5

1 + 10м(/1-2/2 + -/3

|Т — Тс |- -),

(18)

Подстановка значения эффективного заряда для устойчивой фиксированной точки приводит к выражению

Ь 27 (1 - V/TT^)2

_ 27

~ 44 + 81 (Д - 2/2 + 47/81/3)

27

44 + 452д + Ш^ТТд + 229'

В предельном случае отсутствия диполь-дипольного взаимодействия д = 0 получаем результат для обычных короткодействующих систем V = 7/12 и 0.58333, в предельном случае полного доминирования диполь-дипольного взаимодействия д ^ то имеем V = 271/452 и 0.59956.

Индекс теплоемкости а вычисляется из скейлингового соотношения а = 2 — vD (Д = 3 - размерность пространства). Подстановка выражения для V приводит к результату:

1

а = - —

3(1 - V/ГT^)S

(19)

4 452д + ЗПуТТ^ + 229'

Для двух предельных случаев получаем: при д = 0 индекс а = 0.25, при д ^ то индекс а = 91/452 и 0.20133.

Приложение. Вычисление аналитических выражений для вершинных функций Г(4)ав7^ и Г(21)ав

Для нахождения вершинных функций в однопетлевом приближении введем обозначение для интеграла

(20)

Как было показано выше,

(г0, до, д) = £0 (г0, до, д"^ + (го, ^

(21)

где

£°(го,до,д)

Р

-, 1 , 2, Со>0,(?) = -2

Го + до + д2 Го + д2

Р«в = _

да дв

(22)

После подстановки свободного пропогатора в выражение для интеграла Jгjlш и замены д = до/го получим

J г,7ш

/

г]1ш

J

г]1ш

J

г]1ш

г,1ш г) тг,1ш +

_ 2 J2

(23)

7 (1 + д2)2

д1 д

п

I д2(1 + д2)2(1 + д + д2)'

дгд^ дгдш дР д д4(1 + д2)2(1 + д + д2)2'

2

2

д

д

2

д

Для интеграла Зг^1т прямая подстановка различных значений пары индексов 1,т = 1, 2, 3 и интегрирование по угловым переменным в сферических координатах показала, что ненулевыми являются только интергалы, в которых I = т. Таким образом, можно записать, что

= ^ (24)

4пд Г™ д2¿д п2

з Л (l + q2)2^ + g + q2) +

Для вычисления интеграла .Т^1™ необходимо учесть, что он симметричен относительно любой перестановки своих индексов, что существенно уменьшает число случаев, требующих рассмотрения. Проведение аналогичной предыдущему случаю подстановки всех возможных значений г,],1,т = 1, 2, 3 и вычисление соответствующих интегралов по угловым переменным в сферических координатах показало, что не зануляются только интегралы, в которых две пары повторяющихся индексов (г = ], I = т, или г = I, ] = т, или г = т, ] = /). Вычисления приводят к результату

= рг31т1з, (25)

4ттд2 д2<1д тг2(1 - ^ГГТд)2

5 У0 (1 + д2)2(1 + д + д2)2 5уГ+^(1 + у/ТТд)'

Для вершинной функции Г(4)ав7<5 исходя из Фейнмановской диаграммы, изображенной на рисунке 1(а), можем записать:

Г(4)ав7Й = (26)

22 У

3

223

--и0 + + / в°дС1(!(д)С1™(-д)

г,],1,т=1

3

22

_ —у2 ^ ^ ^ ра/ЗИ рутгф ра-уИ р]т,р8 ра8И

--и,

г,],1,т=1

. ^61т(1г - 2/2) + = г^7' (1 " 22и0(/1 - 2/2 + —/3)) •

Для вершинной функции которой соответствует Фейнмановская

диаграмма, изображенная на рисунке 1(Ь), имеем

Г(2>1 )ар = Го6а? _ Я)ГоЩ ра^51т [ ¿вдС^{д)С1™{-д) (27)

3

г,],1,т=\

оп 3

= Г06а)3 - — г0щ Ра<3гЧ1т ($Ч1т{1х - 2/2) +

г,],1,т=1

= гоГ/3(1-20Мо(/1-2/2 + ^/З)).

ЛИТЕРАТУРА

1. Lederman F.L., Salamon M.B., Shacklette L.W. Experimental verification of scaling and test of the universality hypothesis from specific-heat data // Phys. Rev. B. 1974. V. 9. P. 2981-2988.

2. Fisher M. E., Aharony A. Dipolar Interactions at Ferromagnetic Critical Points // Phys. Rev. Lett. 1973. V. 30. P. 559-562.

3. Aharony A., Fisher M.E. Critical Behavior of Magnets with Dipolar Interactions. I. Renormalization Group near Four Dimensions // Phys. Rev. B. 1973 V. 8. P. 33233341.

4. Aharony A. Critical Behavior of Magnets with Dipolar Interactions. II. Feynman-Graph Expansion for Ferromagnets near Four Dimensions // Phys. Rev. B. 1973. V. 8. P. 33423348.

5. Aharony A. Critical Behavior of Magnets with Dipolar Interactions. III. Antiferromagnets // Phys. Rev. B. 1973. V. 8. P. 3349-3357.

6. Aharony A. Critical Behavior of Magnets with Dipolar Interactions. IV. Anisotropy // Phys. Rev. B. 1973. V. 8. P. 3358-3362.

7. Aharony A. Critical Behavior of Magnets with Dipolar Interactions. V. Uniaxial Magnets in d Dimensions // Phys. Rev. B. 1973. V. 8. P. 3363-3370.

8. Bruce A. D., Aharony A. Critical exponents of ferromagnets with dipolar interactions: Second-order e-expansion // Phys. Rev. B. 1974. V. 10. P. 2078-2087.

9. Frey E., Schwabl F. Renormalized field theory for the static crossover in isotropic dipolar ferromagnets // Phys. Rev. B. 1991. V. 43. P. 833-841.

10. Bouchaud J.P., Zerah P.G. Dipolar ferromagnetism: A Monte Carlo study // Phys. Rev. B. 1993. V. 47. P. 9095-9097.