Определение жесткости костной ткани при поступательных перемещениях и поворотах корня зуба Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3+612.311

Российский Журнал

www.biomech.ru

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЖЕСТКОСТИ КОСТНОЙ ТКАНИ ПРИ ПОСТУПАТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ И ПОВОРОТАХ КОРНЯ ЗУБА

С.М. Босяков, К.С. Юркевич

Белорусский государственный университет, Республика Беларусь, 220030, Минск, проспект

Независимости, 4, e-mail: bosiakov@bsu.by

Аннотация. В настоящей работе представлены результаты нахождения жесткостей костной ткани при поступательных перемещениях и поворотах корней зубов, возникающих при действии на зуб сосредоточенной силы или момента сил, с учетом атрофии костной ткани. В качестве примера представлены зависимости жесткостей от параметра, характеризующего атрофию костной ткани, для клыка и однокоренного премоляра.

Ключевые слова: поступательные перемещения корня зуба, повороты корня зуба, центр сопротивления, жесткость костной ткани, атрофия костной ткани.

Введение

В практике ортодонтической стоматологии зачастую возникают проблемы, связанные с прогнозированием перемещений и поворотов зубов при необходимости устранения различных дефектов и аномалий. В связи с этим представляется актуальной разработка соответствующей модели корня зуба в нормальной и ослабленной костной ткани. Поскольку в системе корень зуба - периодонт - костная ткань периодонт не может обеспечить необходимые перемещения и повороты для устранения аномалии зубного ряда, при построении модели целесообразно отдельно учитывать упругость периодонта и упругие характеристики костной ткани. Также следует учесть, что при устранении дефектов зубных рядов основную роль берет на себя костная ткань. Поэтому можно предположить, что общее перемещение зуба можно представить в виде суммы перемещения, обусловленного упругими свойствами периодонта, и перемещения, определенного упругостью костной ткани. Расчеты перемещений корней зубов в периодонте выполнены в монографии [2]. В настоящей работе развивается это актуальное направление, связанное с разработкой модели перемещения корня зуба как абсолютно твердого тела в костной ткани, и выполнен расчет жесткости при поступательных перемещениях и малых поворотах корня зуба с учетом атрофии костной ткани. Под атрофией в данном случае подразумевается вертикальная резорбция (рассасывание) костной ткани альвеолы [2, 4]. Необходимость учета атрофии костной ткани обусловлена тем обстоятельством, что при горизонтальной и вертикальной резорбции выносливость зуба существенно снижается и исчерпывается способность выдерживать нагрузки, развиваемые ортодонтическими аппаратами [2, 4]. Следует отметить, что вопрос определения жесткости упругих биомеханических систем традиционно является актуальным. В частности, в монографии [4]

© Босяков С.М., Юркевич К.С., 2010

Босяков Сергей Михайлович, д.ф.-м.н., доцент кафедры теоретической и прикладной механики, Минск Юркевич Кирилл Сергеевич, аспирант кафедры теоретической и прикладной механики, Минск

09806267

сформулированы определения жесткости и податливости упругих систем и биоконструкций. Тем не менее расчеты жесткости костной ткани в работе [4] не выполнены.

Уравнения равновесия корня

Будем считать корень зуба абсолютно твердым телом, геометрическая форма которого описывается уравнением эллиптического двуполостного гиперболоида

н

:Х3 -

УІ1-

і

X,

Л

"Т + 7Т + р - р

а,.

Ъ

0.

(1)

1 + р - р

где Н - высота корня зуба; р - параметр, характеризующий закругление вершины корня зуба; ак = а1 при х < 0 и ак = а2 при х > 0, а1, а2, Ъ - полуоси эллипса в сечении корня зуба плоскостью, проходящей по поверхности десны (х3 = Н). Г еометрические размеры корня зуба обозначены на рис. 1.

Упругие перемещения и1, и2 и и3 костной ткани, примыкающей к корню зуба,

представим в виде, позволяющем учесть неограниченное уменьшение перемещений при удалении от поверхности корня зуба:

Рис. 1. Центры сопротивления корня зуба

2

2

Н (и(0) + ф2 (Хз - х$А))ф х2)

и\ =----------------------------;-ч-----,

Н - Р ( Х\, Х2, Хз )

Н (и20)+Фз ( х\ - х\( В) )-Ф\ (хз- х3в)))

и2 =------------------------------ч--------------------------------------, (2)

Н - Р ( Х(, Х2. Хз )

Н (из0)+Ф\Х2 Ф2 (Х( - Х\(С)))

из =----------------------------------

Н - Р ( Х\, Х2. Хз )

Здесь ик0 - поступательные перемещения корня вдоль осей координат; фк - углы поворота корня зуба относительно осей координат, к = \, з ; х\В), Х\(С), хзА) и хзВ) -координаты центров сопротивления корня. На поверхности корня зуба Р (Х\, х2, хз) = 0 перемещения и\, и2 и из совпадают с перемещениями абсолютно твердого тела. Отметим, что центрами сопротивления являются точки А (0,0, хзА)), В (х\В), 0, хзВ)) и

С (х|с) ,0,0), через которые проходят линии действия двух горизонтальных и одной

вертикальной сил, под действием которых зуб получает только поступательные перемещения. Линия действия силы, проходящая через точку А, параллельна координатной оси Х\, проходящая через точку В, - параллельна оси х2 и проходящая

через точку С, - параллельна оси хз. Центры сопротивления и полуоси эллипсов

схематично обозначены на рис. \.

Выпишем условия равновесия (равенство нулю главного вектора и главного момента сил, действующих на зуб, а также напряжений, возникающих на поверхности

Р^ Х2, хз) = °) [\]:

Ц(п -о)ёР -Р = 0, Цг х(п -о)ёР -т = 0, (з)

где т = (Ш\, т2, тз) - главный момент внешних сил; Р = (р, Р2, Рз) - главный вектор внешних сил; г - радиус-вектор, проведенный из соответствующего центра сопротивления; п = ( П\, п2, пз) - единичный вектор нормали к поверхности

Р (Х\, х2, хз ) = 0; о - тензор напряжений. Для изотропной среды компоненты тензора напряжений имеют вид [\]

( 2у8у. з ^ ^ Е

О = О Эги- + Эи + . V Экик

V \-П к=\

Э и +Э и +----------- V Э кик , О = —------------------- , (4)

г 1 1 г 1 - ^ к к 2(\ + у)

где О - модуль сдвига костной ткани, Е - модуль упругости костной ткани, V - коэффициент Пуассона костной ткани, 8. = 1, если г = ., 8. = 0, если I ф .,

дг = д/дхг. г,. = 1,3. Компоненты единичного вектора нормали определяются следующим образом:

ЭкР л

пк = ^^, А =.

к л V

V (Э.Р )2, к = \,з. (5)

Жесткости при поступательных перемещениях

Подставим компоненты единичного вектора нормали (5) и тензора напряжений

(4) в условия равновесия (3) и выделим коэффициенты при поступательных

перемещениях и^ и углах поворота фк, к = 1, 3 . После несложных преобразований

получим следующую систему уравнений равновесия относительно трех компонент

вектора поступательных перемещений и трех компонент вектора углов поворота:

и1 ^ + и2 С12 + из С13 + (^1з2 — ^123 + хз С12 ) ф1 +

+ф2 ( ^13 — Х3 С1 + ^311 — Х1 С13 ) + ф3 ( Х1 С12 — ^211 — ^12 )= Р1,

и\ С\2 + и2 С2 + из С2з + ф\ (Хз С2 ^2з S322 ) +

+ (^32\ - ^\2з - Х\ С2з + Хз С\2 )ф2 + фз (^\22 + ^2\ - Х\ С2 ) = Р2,

и\ С\з + и2 С2з + из сз + ф\ (^ - хз С2з + ^зз ) +

+ф2 ( Хз С\з - ^\зз + Х\ Сз - ^з\)+(^\з2 - ^2з\ + Х\ С2з ) фз = р

(6)

Здесь введены следующие обозначения:

Р л ' "г т ‘к=\

ОН Л «8 V ( У8,к + \) Э Р - Э, Р ,

, ч гг \ ЭР ЭР ёР гг ёР

С = С1, = ОН (У-\) и - ^ 1 = ОН Р --Т' (7)

Р г 1 Р

( і хк ЭР ЭР ёР ( х ЭР ЭР ёР

*- =ОН (Т-\) И т эх эх • - = СН (Т-\) и

г-к

„да Эх Эх А -г ** т Эх Эх А

Р г 1 Р 1 г

2 = 2 (\-V)

т = ( Н - Р (Х\, х2, хз)) , у= | 2 , г ^ ^ к = \, з.

Интегрирование соотношений (6) выполним с учетом атрофии костной ткани в обобщенной цилиндрической системе координат:

Х\ = акг соб (0), х2 = Ьг бій (0) и хз =

Н (>/г2 + Р2 - Р)

Р

где ак = а1 при р/2<0<3р/2, ак = а2 при —я/2<0<р/2, 0 — полярный угол, г — безразмерный радиус. Выражения для полуосей эллипса ак и Ь на поверхности корня зуба, а также высоту Н корня, находящегося в костной ткани, при атрофии представим в следующем виде:

г=\

ak = a0kJs(s + 2P(!-s)(>/1 + p2 -p)), k = 1 2

(8)

b = boj s (s + 2 p (1 - s )(yl1 + p2 - p)), H = H 0s,

где а0к, Ь0 — полуоси эллипса, ограничивающего профиль сечения корня зуба в норме, Н0 — высота корня зуба в норме, ^ — параметр, характеризующий высоту костной ткани, связанной с периодонтом (0 < ^ < 1). После несложных преобразований будем

иметь

U1 C1 + j2 (S13 X3 C1 + S311 X1 C13 ) P1,

U2 C2 + j1 (X3 C2 S23 S322 ) + j3 (S122 + S21 X1 C2 ) P2, (9)

U3 C3 + j2 (X3 C13 S133 + X1 C3 S31 ) P3-

Поскольку сила, приложенная в центре сопротивления в соответствующем направлении, вызывает только поступательное перемещение зуба, коэффициенты при

углах поворотов фк, к = \, з в уравнениях (9) приравниваем к нулю. В результате

будем иметь систему четырех уравнений для нахождения координат центров

(А) (В) (В) (С) -р,

сопротивления хз , Х{ ' и хз , х\ . Решая систему, находим

C13 ( S133 + S31 ) C3 ( S311 + S13 )

3 2

C13 - C1C3

х(B) _ S122 + S21 x(B) _ S322 + S23

1 C2 ’ 3 C2

г)

C13 ( s311 + s13 ) C1 ( s133 + s31 )

1 2

C13 - C1C3

Отсюда после интегрирования соответствующих коэффициентов (7) по поверхности (1) получим следующие выражения для координат центров сопротивления:

8a1a2 (a1 -a2)(3b2r1 + gH2 (l - 3p2 + 3p3 arctan (1/ p)))

9p (b2H2 + a1a2 (gH2 + 2b2r1)- H2p2r2 (b2 + ga1a2))

8a1a2 (a1 -a2)(3gb2r1 + H2 (1 - 3p2 + 3p3 arctan (1/ p)))

x( ) =----------------------------------------------------- (11)

1 9p(b2H2 + a1a2 (H2 + 2gb2r1)-H2p2r2 (b2 + a1a2))

х3А) = Н (Н2 (2 -3р2 -12р4)(а1а2 + уЪ2) + 2а1а2Ъ2 (1 + у+р2 (2-у)) + +р^ 1 + р2 (а1а2 (3Н2 (1 -4р2)-2Ъ2 (2-у)) + 3уЪ2Н2 (1 -4р2)) +

+3Н2рЧ (р (3 + 4р2 ) + (1 + 4р2 )>/1 + р2 )(а1а2 +УЪ"))/

(12)

3 (а1а2 (2Ъ2 + Н2г1) + Н2г1г2 (уЪ2 + р2 (а1а2 + уЪ2)))

в) = Н (Н2 (2 -3р2 -12р4 )(уа1а2 + Ъ2) + 2а1а2Ъ2 (1 + у+ р2 (2 -у)) + +рд/1 + р2 (а1а2 (3уН2 (1 -4р2)-2Ъ2 (2-у)) + 3Ъ2Н2 (1 -4р2)) +

2

+3Н2рЧ (р(3 + 4р2 ) + (1 + 4р2 )\11 + р2 )(уа1а2 + Ъ))/ (3 (а1а2 (2Ъ2 + уН\) + Н2Г1Г2 (Ъ2 + р2 (уа1а2 + ъ2 )))),

(13)

гДе Г1 = (>/1 + р2 - р) , г2 =1п (Vр2 +1).

Система (9), в случае если силы прикладываются в центрах сопротивления вдоль соответствующих осей координат, принимает вид

= рк, к=1,3.

Здесь коэффициент ск является жесткостью костной ткани при поступательном перемещении зуба вдоль координатной оси 0хк и численно равен силе, вызывающей перемещение корня, равное 1 м. Для нахождения жесткостей ск выполним интегрирование соответствующих выражений (7). В результате будем иметь

!.2„ , тт2 !_, „,1.2 \ тт2„2„ /_, „,1.2'

С1

(а1 + а2)Gя(2а1а2Ь2г1 + Н2 (а1а2 +уЪ2)-Н2р2г2 (а1а2 +уЪ2))

4ЪНа1а2 г1

(а1 + а2)Gя(2а1а2Ъ2г1 + Н2 (уа1а2 + Ъ2)-Н2р2г2 (уа1а2 + Ъ2))

С2 =-----------------------------------------------------------------------------;--, (14)

4а1а2ЪНг1

С3 =

(а1 + а2)Ок((а1а2 + Ъ2)Н2 + 2а1а2Ъ2уг -Н2р2г2 (а1а2 + Ъ2))

4а1а2ЪНг1

Заметим, что при ^ = 1 выражения (14) определяют жесткости в норме, при ^ = 0 жесткости равны нулю. Для промежуточных значений параметра ^ жесткости изменяются в соответствии с уравнением поверхности корня зуба (1).

Проведем расчет жесткостей на примере клыка (а10 = 2, а20 = 5, Ъ0 = 4,

Н0 = 15,7 мм, р = 0,5) и премоляра (а10 = а20 = 5,Ъ = 3,5,Н0 = 14,3 мм, р = 0,4) [3]. Упругие свойства костной ткани характеризуются константами Е = 16,1 ГПа, V = 0,25

[5]. На рис. 2. представлены зависимости жесткостей при поступательных перемещениях корней этих зубов от параметра ^, характеризующего атрофию костной ткани.

а

б

Рис. 2. Зависимости жесткостей костной ткани при поступательных перемещениях корней клыка (а) и премоляра (б) от параметра 5, характеризующего атрофию костной ткани:

1 - с ; 2 - с ; 3 - с

1’ 2 ’ 3

В зависимости от величин полуосей ак и Ь выполняются различные соотношения между жесткостями. В случае если а1 + а2 > 2Ь, имеем с2 > с1, что наблюдается для жесткостей костной ткани при поступательных перемещениях премоляра. При 2Ь > а1 + а2 получаем с1 > с2 (результаты вычислений для клыка).

Жесткости с1 и с2 превышают жесткость с3 независимо от значений полуосей эллипса.

Жесткости при поворотах

Для нахождения жесткостей костной ткани ц и ц , г' ^ ] = 1, 3 при поворотах корня зуба выделим коэффициенты при углах поворота фг. в уравнениях второй группы уравнений равновесия:

С(рЛ + ^ф12и2 + ^фІЗ^З + Міф1 + Мі2ф2 + Мі3ф3 Щ1,

Зф21^1 + Сф2и2 + ^ф23из + М"12ф1 +М"2ф2 + М"23ф3 _ Щ2,

,(°)

Sф31U1 + ^ф32^2 + Сф3из + Мі3ф1 + М*23ф2 + М-3ф3 Щ

Коэффициенты системы (15) определяются следующим образом:

(В) (С) (А)

Сф1 _ ^123 ^132 Х3 С12 , Сф 2 _ ^231 Х1 С23 ^123 + Х3 С12 :

(15)

ф3

(В)

: Х1 С23 + ^132 ^231 , ^ф12

(В)

■ х3 с2 ^23 ^322 :

>13 32

233

(В)

Х3 С23 .

ф23

(С) , (А)

' Х1 С3 ^31 + Х3 с13 ^133 :

(16)

(А) (С) (В)

^ф21 _ ^13 Х3 С1 + ^311 Х1 С13, ^ф31 _ Х1 С12 ^211 ^12 =

ф32 21

(В)

Ч С2 ■

122

ті = 0НЦі £ (Х3 - ^ ) + £3Х2 + 2 (1 - У) Х2 (Х3 - х3В))

1 ЭР эр

щ Эх2 Эх3 J

т = °Н Ц (£і (х3- х3А)) + £3 (хі- хі(С)) +

+2 (1 -у)

р

1 Эр ЭР

щ Эх1 Эх3

(х1 -х|С))(х -х

(А)

33

^3 = ^ Ц £2 ( х1 - х1(В) ) + £і х22 +2 (1 - У) х2 ( х1 - х1(В) )

ёр ~А,

і_ Эр ЭРл

щ Эх1 Эх2

ёР, (17)

А

(18)

ёр

А

—, (19)

((

^12 = т21 = -СН ГГ х2 (хі - хі )

** Щ ' '

іі ЭР І2 і ЭР л2 А

Эх

V 2 J

+ У

Эх

ЧаЛ3 J

- (!- у) (х3- х3А)) (х3- х3В)) Эхг Эх”+у (хі- х1С)) х2

23

+

(1 - У)ЭР Ч(х1 - х‘С ) (х3 " х3В ) ЭР + х2 (х3 - х3А)

(

ЭР

Эх Чохі J

лл

+

Эр * Эх1

JJ

ёр А :

(20)

і

м-13 = тві = -0НЦЩ (хі- хі(В)) (х3- х3В))

і эр л2

Эх

Vу3 J

+

+ (1 -У) х2 V“ ( х1 - х1(В))^ х

ЭР ЭР

л

Эх

3

Эх2 Эх1 J

+

( х3 - х3В)) ( х1 - х1(В))

Эх

Vа х1 J

+ У

ЭР

V Эх2 J

+ (1 -у)

х

Эр эр Эх1 Эх2

л

ёр А :

JJ

(21)

/

^23 = ^32 = -СН ГГ х2 (х3 - х3 )

Щ

і ЭР л2

Эх

ЧаЛ3 J

ЭР і, (в)\ ЭР ЭР л

(1 -У)( х1- х(С ,)эхг V(х1- х,< %- х2 Эх1у

+

+ ( х3 - х3А))

і эр л2

х

Эх

V 2 J

+

(і-У)(

(В)

11

эр эр Эх1 Эх2

+ Ух2

Эх

Ч°Л1 J

JJ

ёр А '

(22)

Здесь величины т и т являются жесткостями костной ткани при поворотах корня зуба, причем жесткость т численно равна моменту сил, который необходимо приложить к зубу, чтобы повернуть его на угол фг. = 1, а жесткости тг;- численно равны моменту сил, который необходимо приложить к корню зуба относительно оси х{, чтобы повернуть его относительно оси х}- на угол ф= 1.

р

)

|1;, кН-м

т, кН-м

20 ~| ■ 1 ■ ■ ■ 1 ■ 1— ■ 1 ■ г 15

15 2// 10

10 //'і

5 5

0 _| 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ■ |_ £ 0 Г| 1 » 1, 1. 4. ,1, 1 1 1 . * > ,1 1 4, > ■ , .1 >1 |"

О 0,2 0,4 0,6 0,8 1

а

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

б

Рис. 3. Зависимости жесткостей костной ткани при поворотах корней клыка (а) и премоляра (б) от параметра 5, характеризующего атрофию костной ткани: 1 - т1;

2 - т2;3- ^; 4- тп

Подставляя координаты центров сопротивления (10)—(13) в соотношения (16)-(22) и интегрируя полученные выражения в обобщенных цилиндрических координатах, получаем равенство нулю всех коэффициентов (16), а также выражения для жесткостей костной ткани при поворотах зуба (в силу громоздкости результаты интегрирования не приводятся). На рис. 3 приведены зависимости жесткостей т и т13,

г = 1,3 от параметра 5, характеризующего атрофию костной ткани, для клыка и премоляра (жесткости т12 и т23 равны нулю).

Как следует из рис. 2 и 3, численно жесткости при поворотах существенно меньше жесткостей при поступательных перемещениях. В частности, максимальное значение жесткости костной ткани т2 для клыка составляет » 21 кНм. Это указывает на более высокую подвижность зуба при поворотах, чем при поступательных перемещениях даже при незначительных нагрузках в виде моментов сил. При атрофии костной ткани более 50% (5 < 1/2) жесткости при поворотах существенно

уменьшаются. При профиле сечения корня зуба с одной осью симметрии все жесткости костной ткани при поворотах различаются между собой (см. рис. 3, а), тогда как при профиле корня с двумя осями симметрии жесткость т13 оказывается равной нулю.

Заключение

Представленный в настоящей работе подход к определению жесткостей периодонта при поступательных перемещениях и поворотах корня зуба позволяет корректно учитывать влияние атрофии костной ткани на их значения. В частности, при полном отсутствии костной ткани соответствующие формулы приводят к нулевым значениям для жесткостей. Выражения для констант сг, т и могут быть

непосредственно использованы для расчета перемещений корня зуба и напряжений в костной ткани, возникающих при действии на зуб сосредоточенной силы и момента сил.

Работа выполнена в рамках инновационного проекта «Разработать методику автоматизированного проектирования и оптимизации конструкций зубочелюстных протезов и ортодонтических аппаратов при аномалиях и деформациях челюстнолицевой области, обусловленных расщелинами губы и неба, с применением универсальных САО/САЕ/САМ-систем» Государственного комитета по науке и технологиям Республики Беларусь.

Список литературы

1. Лурье А.И. Теория упругости. - М.: Наука, 1970. - 940 с.

2. Наумович С.А., Крушевский А.Е. Биомеханика системы зуб-периодонт. - Минск: Экономические технологии, 2000. - 132 с.

3. Наумович С.А., Батура Р.А., Пархамович С.Н. Антропометрические данные коронок и корней зубов и их значение в стоматологии // Стоматологический журнал. - 2002. - № 2. - С. 21-22.

4. Чуйко А.Н., Вовк В.Е. Особенности биомеханики в стоматологии. - Харьков: Прапор, 2006. - 304 с.

5. Чумаченко Е.Н., Воложин А.И., Портной В.К., Маркин В.А. Гипотетическая модель биомеханического взаимодействия зубов и опорных тканей челюсти при различных значениях жевательной нагрузки // Стоматология. - 1999. - Т. 78, № 5. - С. 4-8.

DETERMINATION OF STIFFNESSES OF THE BONE TISSUE AT TRANSLATIONAL DISPLACEMENTS AND ROTATIONS OF THE TOOTH ROOT

S.M. Bosiakov, K.S. Yurkevich (Minsk, Belarus)

In the present work, results of a finding of stiffnesses of a bone tissue are presented at translational displacement and rotations of roots of the teeth arising at action on the tooth of concentrated force or the moment of forces, taking into account an atrophy of the bone tissue. As an example dependences of rigidity on the parameter which characterizes an atrophy of the bone tissue, for a canine and a single-root premolar are presented.

Key words: translational displacement of the fang, rotation of the fang, centers of strength, stiffness of the bone tissue, atrophy of the bone tissue.

Получено 15 марта 2010