CC BY
68
ISSN 1812-5123. Российский журнал биомеханики. 2014. Т. 18, № 4 : 452-470
УДК 531/534: [57+61]
Российский
Журнал
Биомеханики
www.biomech.ru
АНАЛИЗ РАЗВИТИЯ ПОНЯТИЯ «ЦЕНТР СОПРОТИВЛЕНИЯ ЗУБА»
А.Л. Дубинин, Ю.И. Няшин, М.А. Осипенко
Кафедра теоретической механики и биомеханики Пермского национального исследовательского политехнического университета, Россия, 614990, Пермь, Комсомольский проспект, 29, e-mail: aspalexey@rambler.ru
Аннотация. Целью данной статьи является обзор научных публикаций, посвященных исследованию ортодонтического перемещения зубов с помощью центра сопротивления зуба, и анализ накопившихся знаний для привлечения интереса к данной теме. Авторы постарались охватить весь период функционирования данного понятия в науке, начиная со статьи, в которой оно встречается впервые, включая период наибольшего развития в 80-х гг. и заканчивая современными и новейшими исследованиями. Практически все работы по этой тематике были опубликованы в иностранных научных журналах, однако имеется часть и русскоязычных статей. Обзор включает в себя различные трактовки понятия «центр сопротивления зуба», предложенные рядом авторов, исследовавших его свойства, упоминаются некоторые похожие (центр вращения, центр жесткости) и альтернативные приемы (область сопротивления, центр упругости, оси сопротивления) исследования перемещения зубов, их общие черты и отличия от понятия «центр сопротивления», его условия существования, зависимость положения данного центра от каких-либо факторов. Статья может быть интересна как практикующим врачам и ученым-ортодонтам, так и биомеханикам, так как при подготовке обзора внимание было уделено не только медицинским аспектам исследования центра сопротивления (свойства элементов зубочелюстной системы, подвижность зубов), но и теоретическим (необходимые и достаточные условия существования, математические модели).
Ключевые слова: биомеханика, центр сопротивления зуба, зубочелюстная система, ортодонтическое перемещение зубов, литературный обзор.
В беседе 2007 г. [19] между профессором Коннектикутского университета Charles Burstone, которого называют отцом биомеханики в ортодонтии, и профессором Ravinda Nanda на вопрос, как он заинтересовался биомеханикой, Burstone отвечает: «Будучи молодым врачом-ортодонтом, в ходе лечения пациентов я очень часто наблюдал возникновение нежелательных эффектов. Даже если зубы удавалось выровнять, они не располагались в том месте, где я планировал. Я тогда думал, что, возможно, проблема в самой корректирующей конструкции, однако потом все-таки понял, что допускал несколько ошибок биомеханического характера.
© Дубинин А.Л., Няшин Ю.И., Осипенко М.А., 2014
Дубинин Алексей Лаврентьевич, аспирант кафедры теоретической механики и биомеханики, Пермь Няшин Юрий Иванович, д.т.н., профессор кафедры теоретической механики и биомеханики, Пермь Осипенко Михаил Анатольевич, к.ф.-м.н., доцент кафедры теоретической механики и биомеханики, Пермь
Введение
Это побудило меня заново изучить основы физики. Таким образом, у меня появилась научная база для ортодонтической биомеханики. Иными словами, я начал как врач, который увидел эти проблемы, а затем попробовал понять, почему они появились и как их устранить». Данным ответом Burstone поднимает проблему, когда зачастую успешный исход лечения пациента зависит от личного опыта врача, который может ошибиться или допустить неточность. Ему также принадлежат слова [21]: «Клинический опыт - это не больше чем репетиция ошибок». Возможное решение проблемы он видит в необходимости использования методов биомеханики для постановки и решения задач ортодонтии. Подобно Burstone высказывался и Smith [53]: «Из-за индивидуальных особенностей человеческого организма в процессе лечения возможны нежелательные эффекты или результат будет недостаточно эффективным. Использование правил биомеханики позволит нам частично или полностью устранить их, а также предоставит возможность предсказывать и управлять движением зуба».
Между тем, основу ортодонтической науки составляют знания в области анатомии, физиологии, науки о росте, в частности, биомеханики - связи между системами сил и зубной или ортопедической коррекцией. Одним из главных вопросов ортодонтического лечения является приложение определенной системы сил для изменения положения зуба или для перестройки костной ткани [3, 12, 41]. В качестве примера стоит привести актуальную проблему наличия неправильного прикуса, беспокоящую огромное количество людей и влекущую за собой ряд проблем (от эстетических до инсульта) [5, 6, 10]. В настоящее время для ее решения, в зависимости от степени тяжести ситуации, достаточно успешно используются различные брекет-системы, эластопозиционеры, хедгиры (headgear), упругие элементы, действующие на отдельный зуб или зубной ряд по определенному принципу. Одним из них является центр сопротивления зуба.
Понятие «центр сопротивления зуба» было введено в начале ХХ в. учеными-ортодонтами. С помощью него было бы возможно управлять движением зуба, давать рекомендации относительно места приложения системы сил, прогнозировать результаты лечения. Предполагалось, что имеется некоторая мнимая точка, положение которой определялось еще достаточно условно, но все-таки известно, что она принадлежит части зуба, погруженной в кость, т.е. корню [29]. Рассматривая начальную подвижность зуба, если линия действия силы будет проходить через центр сопротивления, можно ожидать поступательного перемещения зуба без всякого его вращения. Для иллюстрации данного понятия можно рассмотреть следующий пример [39]. На рис. 1 представлена ситуация, когда необходимо повернуть клык и переместить его вверх, углубив в верхнюю челюсть, а любые движения моляра при этом нежелательны. Считаем, что у обоих зубов есть центр сопротивления CR. Стрелками обозначены направления движения зубов. Проволока 2 (2' - конечное положение проволоки), создающая силу, действует на моляр с помощью закрепления 1, а на клык -с помощью брекета 3. Если бы мы знали положение центра сопротивления для моляра, то можно было бы приложить систему сил (т.е. проволока должна действовать определенным образом в определенном месте), чтобы линия действия главного вектора сил 4 проходила через центр сопротивления моляра, при этом зуб начинал поступательное движение без нежелательного поворота. Вертикальное же его перемещение будет компенсироваться зубами-антагонистами, кроме того, подвижность зубов в вертикальном направлении больше, чем в любых других.
Рис. 1. Схематичный пример процесса начального движения зубов под действием брекет-системы
Понятие «центр сопротивления зуба» было бы полезно для планирования управляемого перемещения зуба в желаемое положение [19, 21, 30], позволило бы давать рекомендации по выбору места прикрепления брекета или созданию необходимой формы эластопозиционера для приложения определенной системы сил из расчета для каждого зуба, помогло бы сократить количество нежелательных эффектов [19, 21, 51], могло бы дать возможность прогнозировать результаты и в большей степени контролировать процесс лечения [33, 44, 59].
Данный раздел будет посвящен значительным датам и событиям в развитии теории центра сопротивления зуба.
Согласно статье [26], впервые понятие центра сопротивления зуба встречается в научной литературе в 1917 г. благодаря ученому Fish. Анализируя движение однокоренного зуба в медиальной плоскости, он заявил: «Предположим, что горизонтальная сила F приложена к щеке. Существует такая точка С где-то между кончиком корня и краем десны так, что если линия действия силы будет приложена на линии, проходящей через эту точку, то не будет никакого поворота зуба вокруг его продольной оси. Эту точку можно назвать центром сопротивления. Без сомнений, эта точка находится где-то между десневым краем и серединой длины корня. Конечно, эта точка может изменяться в зависимости от величины или направления силы» [29] (рис. 2).
Развитие теории центра сопротивления зуба
F
Рис. 2. Схематичный пример процесса движения группы зубов под действием брекет-системы
Следующее упоминание о центре сопротивления встречается лишь спустя почти полвека, в 1962 г. Burstone опубликовал книгу «The biomechanics of tooth movement» [20], в которой исследованию данного понятия отводится особое место. Он определяет центр сопротивления как точку, фиксированную с зубом, через которую должна проходить результирующая сила для поступательного перемещения зуба, а также он утверждает вразрез с самым первым определением, что данная точка не зависит от прикладываемых сил. Для модели корня зуба идеализированной параболической формы он впервые получил приблизительное значение положения центра сопротивления, равное 78 % от длины корня, отсчитывая от его апикального края [20].
Затем в 1963 г. выходит публикация «The science of mechanics and its importance to analysis and research in the field of orthodontics» [32], в которой отмечается полезность применения принципов (законов) механики для постановки и решения задач ортодонтии. Подобно Fish [29], Haack также пишет о поступательном перемещении зуба, которое может быть вызвано приложением силы к точке, называемой центром сопротивления. Однако он замечает, что данная точка не является доступной для приложения этой силы, так как принадлежит не коронке, к которой крепится брекет, а корню зуба. Применяя известный из механики прием параллельного переноса силы для абсолютно твердого тела, данную проблему автор сводит к определению величины и направления пары сил, которую нужно добавить к силе, прикладываемой к брекету, для того, чтобы получить результирующую, которая пройдет через центр сопротивления (рис. 3).
В 1965 г. в своей кандидатской диссертации «Ортодонтическое лечение и протезирование при недоразвитии верхней челюсти в сформированном прикусе» [2] Л.С. Величко отмечает: «Центром сопротивления является условная воображаемая точка на уровне 1/3 от края альвеолы, относительно которой равен нулю главный момент системы сил при поступательном перемещении зуба. При атрофических процессах в костной ткани альвеолы центр сопротивления перемещается вдоль корня к его кончику, что ведет к увеличению расстояния между точкой приложения силы и центром сопротивления зуба. Иными словами, увеличиваются размер клинической коронки зубов и рычаг воздействия на периодонт» (рис. 4).
В 1979 г. Pryputniewicz, Burstone [49] установили, что положение центра сопротивления варьируется в зависимости от длины корня зуба. Сравнивая клык и резец, они отмечали, что первый имеет более длинный корень, следовательно, расстояние от брекета, прикрепленного на одинаковом у обоих зубов уровне, до центра сопротивления у него будет больше. Это говорит о том, что одинаковая сила, приложенная к зубам с разными корнями, окажет разный эффект, в частности величина момента силы, действующего на клык, будет выше из-за увеличения расстояния, упомянутого выше.
Рис. 3. Схема параллельного переноса силы Рис. 4. Изменение положения центра
сопротивления из-за атрофии костной ткани
В 1981 г. Hocevar [34] отметил, что при приложении определенной системы сил зуб может совершать различные виды движения: поступательное, вращательное или комбинацию из первых двух в зависимости от того, как соотносятся линии действия сил и положение центра сопротивления зуба. Чистый поворот зуба способна вызвать лишь пара сил, причем данное вращение будет происходить именно вокруг центра сопротивления. Если же линия действия равнодействующей силы проходит через центр сопротивления, то зуб совершит поступательное движение, если через произвольную точку - зуб будет совершать движение, состоящее из поступательного и вращательного вокруг данного центра. Для его примерного поиска введено отношение M/F (где F -величина приложенной к зубу силы, M - это величина момента силы относительно центра сопротивления, равная произведению величины силы F и расстояния от линии действия силы до центра сопротивления). Кроме того, в своей работе Hocevar проводит аналогию между центром масс для свободного тела и центром сопротивления зуба ввиду «родственного» происхождения. Однако сразу же сам и отмечает, что поскольку зуб является погруженным в костную лунку, а также окружен тонкой прослойкой -периодонтальной связкой, соединяющей его с костью, то является несвободным телом, следовательно, аналогия с центром масс недостаточно точна.
Еще одной аналогией центру сопротивления является центр вращения [22, 25, 35, 42, 48, 53]. Данное понятие определяется как некоторая мнимая точка, относительно которой движение зуба при данной системе сил можно рассматривать как вращение вокруг нее. Достаточно точное определение вводится в работе [42] с приведением условий его существования и формулами нахождения его положения. В работе 1984 г. Smith et al. [53] говорят о том, что при вращательном движении центр сопротивления и центр вращения совпадают. При поступательном движении через центр сопротивления проходит линия действия силы, а центр вращения находится в бесконечности.
В статье «Holographic determination of centers of rotation produced by orthodontic forces» 1981 г. [22] авторами Burstone и Pryputniewicz центр сопротивления определен как точка, обладающая тем свойством, что если линия действия приложенной силы проходит через эту точку, то зуб переместится поступательно и, что интересно, в направлении приложенной силы. Однако через 10 лет в 1991 г. в статье «Centers of rotation with transverse forces: an experimental study» [40] тот же автор Burstone в соавторстве с Nägerl опровергают данное заявление, отмечая, что направление приложенной силы и получившееся поступательное перемещение не обязательно совпадают, что, вероятно, более соответствует истине. Далее, из экспериментов с моделями зубов у них возникают сомнения в правильности концепции центра сопротивления: «Можно предположить, что дальнейшие клинические исследования покажут, что центр сопротивления зависит от направления, в котором зуб будет перемещаться», пишут авторы.
В 1986 г. Dermaut et al. [28] отмечают, что на положение центра сопротивления влияют: анатомия зуба и распределение массы в зубе, структура периодонтальной связки, состояние альвеолярной кости, соседние зубы. При этом, исследуя трехкорневой зуб (моляр верхней челюсти), они находят, что центр сопротивления лежит между кончиком корня и местом трифуркации корней (место разделения зуба на три корня), и, следовательно, опровергают положение об обязательной принадлежности центра сопротивления телу зуба.
В 1987 г. появляется важная статья голландских ученых во главе с Van der Varst «On the existence of the orthodontic center of resistance» [56]. Ее следует считать основополагающей в теории центра сопротивления.
Кор( Кор^
Корень Периодонт
Кость
Рис. 5. Схема постановки задачи [56]
Здесь рассмотрена система «зуб-периодонт-кость». Введена система координат с началом в точке О, связанная с костью (рис. 5). Зуб и кость - абсолютно твердое тело, периодонт - линейно-упругая среда. Зуб нагружен силой Р, приложенной к точке
с компонентами р, р, р и тх, ту, тг относительно некоторой системы координат. Под действием приложенной системы сил движение зуба состоит из поступательных перемещений вдоль координатных осей их, иу, ыг и вращений вокруг координатных
осей на малый угол фх, фу, ф2. При этом поступательные перемещения равны
перемещениям некоторой точки (полюса), а вращения происходят вокруг осей,
проходящих через полюс. £п, £12, &22 - матрицы, зависящие от формы корня зуба и
упругих свойств периодонта Действие системы сил на абсолютно твердое тело, погруженное в упругую среду, авторы описывают исходя из матричных соотношений (1),
В данной работе фактически получены необходимые и достаточные условия существования центра сопротивления зуба, хотя его строгого определения не дается. С использованием введенных матричных соотношений теоретически показано, что для двумерного пространства данная точка существует всегда, однако под этим пространством авторы понимают «абстрактный двумерный мир». Теоретические рассуждения для трехмерного случая приводят к тому, что существование центра сопротивления в нем неочевидно и может быть найдено лишь в эксперименте.
В следующем десятилетии исследованию данной темы были посвящены в основном разработки различных методик определения центра сопротивления [16-18, 27, 31, 44, 45]. Например, рассматривались следующие вопросы: построение и расчет конечно-элементных моделей различной степени идеализации формы корня, исследование разброса механических характеристик костной ткани, зуба и периодонта, анализ размерностей и различных допущений. Применялись также
с радиусом-вектором r, и парой сил с моментом m . F и m являются векторами
(1)
лазерно-голографические и тензометрические методы, когда в исследуемом объекте устанавливается датчик и регистрируются его показания. Недостатком такого метода является то, что малейшие движения головы могут снизить точность исследования подвижности зуба. Также среди ученых-ортодонтов распространен метод оценки расстояния от точки приложения силы до центра сопротивления через отношение M/F, упоминавшееся ранее (где F - величина приложенной к зубу силы, M - величина момента силы относительно центра сопротивления, равная произведению величины силы F и расстояния от линии действия силы до центра сопротивления).
В 1999 г. появляется еще одна важная статья [42] российских авторов М.Ю. Осипенко, Ю.И. Няшина, М.Ю. Няшина, в которой наиболее строго дано математическое определение понятия центра сопротивления зуба: «Центром сопротивления зуба и периодонта, в который зуб погружен, назовем точку, удовлетворяющую условиям:
а) если R = 0, то u( rcre )=0 для любого M (если нагрузка приводится к паре сил, то зуб поворачивается вокруг центра сопротивления),
б) если M = rcre х R, то ф =0 для любого R (если нагрузка приводится
к равнодействующей, линия действия которой проходит через центр сопротивления, то зуб перемещается поступательно)».
Здесь R, M - вектор-столбцы, которые содержат компоненты главного вектора и главного момента системы сил относительно полюса соответственно; ф - вектор-столбец компонент малого поворота вокруг полюса; u - вектор-столбец компонент перемещения полюса; rcre - радиус-вектор центра сопротивления (рис. 6).
Из данного определения следует, что положение центра сопротивления не зависит от направления или величины нагрузки в противовес предположениям, присутствующим в некоторых ранних статьях [29, 40]. Зуб рассматривается как абсолютно твердое тело, периодонт - линейно-упругая среда (как и во всех предыдущих работах по данной теме), изучается начальная подвижность зуба.
Теория центра сопротивления здесь также строится на основании матричных уравнений (2) подобных (1), однако полученных независимо от работы [56]:
ff5vfà YYR "
чФ j Uг e A m .
j
(2)
y
0
Рис. 6. Схема постановки задачи [42]
Здесь р - вектор-столбец компонент перемещения полюса; ф - вектор-столбец компонент малого поворота зуба вокруг полюса; матрицы а, в, у определяются формой корня зуба и упругими свойствами периодонта; Я - главный вектор системы
сил; М - главный момент системы сил относительно полюса.
Также в статье [42] приводятся эквивалентные работе [56] необходимые и достаточные условия существования центра сопротивления зуба в общем трехмерном
случае: центр сопротивления зуба существует и единственен, если матрица уР-1 антисимметрична.
Иными словами, центр сопротивления гарантированно имеет место быть лишь в случае наличия оси симметрии у тела, т. е. для идеальных тел вращения, чему, по всей видимости, не удовлетворяет форма реального зуба.
В связи с этим в [42] введено новое понятие «центр сопротивления зуба в плоскости» для случая, когда у зуба имеется плоскость симметрии: «Центром сопротивления зуба (и периодонта, в который зуб погружен) в плоскости симметрии назовем точку этой плоскости, удовлетворяющую условиям а) и б), представленным в работе М.Ю. Осипенко, Ю.И. Няшина, М.Ю. Няшина, о которой упоминалось ранее, но лишь для Я, М, имеющих вид
f R ^ f 0 >
R = V0 J , M = 0 V M . (3)
Такой вид R, M будут иметь, если нагрузка лежит в плоскости симметрии [4, 42]. Это положение соответствует результатам работы [56] о гарантированном существовании точки, называемой центром сопротивления, в «абстрактном двумерном мире».
В начале 2000-х гг. исследований центра сопротивления стало меньше и выходившие работы в основном были посвящены совершенствованию методов определения положения центра сопротивления, построению конечно-элементных моделей зуба, численным экспериментам [15, 23, 36, 47, 52, 58, 60]. Однако новые интересные идеи появились в связи с более глубокими исследованиями периодонтальной связки [13, 24, 37, 46, 50, 54, 55]. В предыдущих работах по изучению подвижности зуба периодонт принимался как гомогенный изотропный материал, обладающий линейно-упругими характеристиками. Однако еще в 1954 г. [38] Mühlemann была опубликована работа, в которой была высказана оригинальная идея о нелинейном характере свойств периодонтальной связки.
Начиная с 1996 г. различными учеными (одними из первых: Middleton et al. (1996) [37], Qian et al. (2001) [50], Poppe et al. (2002) [46], Toms et al. (2002) [55], Шилько (2003) [13], Cattaneo et al. (2005) [24]) был опубликован ряд статей, в которых они обращали внимание на то, что при исследовании начальной подвижности зуба для более точных результатов необходимо учитывать нелинейный характер перидонтальной связки. В работе [24] Cattaneo заявляет о том, что механические свойства ткани на растяжение в 9 раз превышают их на сжатие. В работах [46, 50] проводились исследования по определению различных величин модулей упругости на разных стадиях процесса. Данные эксперименты выполнялись на трупных образцах сегментов зубочелюстного отдела человека или образцах, взятых у свиньи, относительно чего авторы отмечали недостаточную точность результатов ввиду резкого изменения свойств периодонта у моделей in vivo и in vitro. Также авторы, занимающиеся исследованием нелинейного характера периодонтальной связки,
У
0
Рис. 7. Эксперимент с нелинейным периодонтом
отмечают, что для учета этих условии при моделировании ситуации начальной подвижности зуба имеется огромная нехватка экспериментальных данных о свойствах периодонта, ориентации его волокон и их распространении, о механических свойствах ткани и о том, как они меняются в процессе движения зуба, что влияет на достоверность результатов.
Основываясь на некоторых из этих заявлений, М.А. Осипенко, М.Ю. Няшин, Ю.И. Няшин и др. получили первые результаты [43], вносящие некоторые изменения в представление о понятии «центр сопротивления зуба». Была поставлена двумерная задача, в которой зуб, принимаемый как абсолютно твердое тело, соединяется с альвеолярной костью посредством набора пружин, которые моделируют периодонтальную связку (по аналогии с амортизирующей функцией). Каждая пружина имела одинаковую длину в недеформированном состоянии и одинаковые нелинейно-упругие характеристики, задаваемые девятикратной разницей между свойствами на растяжение и сжатие [24]. Пружины принимались недеформированными при отсутствии какой-либо нагрузки. При приложении системы сил к зубу пружины деформировались и зуб испытывал определенное перемещение. Деформации пружин принимались малыми. Для решения поставленной двумерной задачи авторами была разработана программа, позволяющая моделировать данный процесс.
Из предыдущих исследований [42, 56] известно, что в двумерном случае для тела, погруженного в линейно-упругую среду, однозначно существует центр сопротивления зуба в плоскости. В статье [42] показано, что при приложении пары сил к зубу он будет совершать вращение вокруг центра сопротивления в плоскости независимо от знака пары сил. В свою очередь, все имеющиеся прямые поступательного воздействия будут пересекаться в данной точке. Однако, принимая во внимание нелинейно-упругие свойства пружин, авторы статьи приходят к выводу, что невозможно говорить о центре сопротивления в плоскости в его старом смысле слова, так как при приложении положительной и отрицательной пар сил зуб вращается вокруг разных точек (рис. 7).
x
Альтернативные понятия
Новейшие исследования за период 2012-2014 гг. обозначили новое направление развития теории центра сопротивления в связи с опубликованными в работах [42, 56] условиями существования данной точки. Согласно им, центр сопротивления существует для абсолютно твердых тел, погруженных в линейно-упругую среду, имеющих осесимметричную форму. Таким образом, появились работы [8, 14, 26, 30,
57], представляющие новый взгляд на вопрос о существовании центра сопротивления в качестве единственной точки для зуба как тела, не обладающего достаточной симметрией. В некоторых из этих статей были сформулированы новые понятия, или способные заменить термин «центр сопротивления», или позволяющие использовать его применительно к большему количеству случаев, с сохранением его основных свойств.
В работе [14] Юркевичем представлена математическая модель равновесия линейно-упругой периодонтальной оболочки, учитывающая начальные перемещения находящегося в ней корня зуба, который имеет форму эллиптического гиперболоида. Определены координаты двух точек, в которых следует приложить нагрузку параллельно координатным осям 0х и 0y, чтобы корень зуба перемещался только поступательно вдоль соответственных осей. Найденные точки в данной работе названы центрами сопротивления, вычислены для определенных геометрических параметров корня и упругих постоянных периодонтальной связки. Указано, что эти результаты достаточно хорошо согласуются с экспериментальными данными, полученными с помошью конечно-элементного моделирования.
Geiger et al. [30], исследуя зависимость положения центра сопротивления зуба от морфологических факторов, строят упрощенную трехмерную модель зуба, имеющую две плоскости симметрии (в сагиттальной плоскости - параболическая форма, во фронтальной - прямоугольная форма) (рис. 8). Периодонт традиционно моделируется линейно-упругой средой одинаковой толщины по всей длине корня зуба; внешняя сторона является закрепленной (контакт с альвеолярным отростком). Поочередно прикладывая силы в обеих плоскостях симметрии и оценивая характер получаемого движения зуба, авторы обнаруживают, что в разных плоскостях положение точек, называемых «центр сопротивления», не совпадает. Таким образом, в сагиттальной плоскости положение центра сопротивления было определено на расстоянии 49,6 % от длины корня (отсчет от десневого края), а во фронтальной плоскости - 44,1 % от длины корня. Далее был проведен следующий эксперимент: изменяя геометрические размеры зуба во фронтальной плоскости, а в сагиттальной плоскости оставляя их фиксированными, авторы определяли, как будет изменяться
Сй чО
а о^ Н
Я g о w Я
<u К Я
<D
О «
о С
я
<D «
И К н о а я о о
50
45
40
35
т
4 4
100 % 0 %
■ ■ -1---1—
5 10 15
Ширина зуба, мм
-1—
20
центр сопротивления в сагиттальной плоскости центр сопротивления во фронтальной плоскости
Рис. 8. Результаты эксперимента [30]
положение найденных точек. В результате центр сопротивления в сагиттальной плоскости не менял положения, а во фронтальной плоскости при увеличении ширины приближался к кончику корня.
В работе [26] Ва1кв в1 а1. заявляют, что понятие центра сопротивления, который «существует лишь в двумерном и в особых случаях наличия симметрии в трехмерном пространстве», необходимо заменить новым и более широким понятием «центр упругости» вместе с ограничительным параметром «радиус сопротивления». По идее авторов, новое понятие не должно зависеть от симметрии формы корня зуба.
Для демонстрации того, что центра сопротивления не существует в общем случае в трехмерном пространстве, проведен следующий физический эксперимент: твердое тело погружено в упругую среду, которая моделируется упругими элементами, прикрепленными, как изображено на рис. 9, а. В зависимости от прикладываемых сил оценивался характер движения подвешенного тела. Необходимо было получить поступательные перемещения. Исходя из результатов проведенного эксперимента, авторы заявляют, что для достижения искомых поступательных перемещений во всех трех направлениях линии действия сил должны: а) быть параллельны продольной оси и проходить через центр стержня для перемещения вверх/вниз; б) быть параллельны упругим элементам, но проходить выше середины стержня для перемещения в направлении вверх-влево/вниз-вправо (рис. 9, б); в) быть параллельны упругим элементам, но проходить ниже середины стержня для перемещения в направлении вверх-вправо/вниз-влево (см рис. 9, б). Таким образом, совокупность условий а) и б) говорит о том, что центр сопротивления может находиться на продольной оси выше геометрического центра стержня, в то время как совокупность условий а) и в) свидетельствует о том, что центр сопротивления может находиться на продольной оси ниже геометрического центра стержня, что приводит к противоречию, так как раньше центр сопротивления рассматривался как единственная точка.
Авторы отмечают, что предыдущие не совсем корректные заявления о существовании центра сопротивления в трехмерном пространстве могли быть сделаны на основании того, что в большинстве случаев рассматривается модель однокоренного зуба идеализированной формы параболоида вращения, для которой центр сопротивления существует. Поэтому в дальнейшем исследовании рассматривалась модель двухкорневого зуба (которая, стоит отметить, достаточно отдалена от реальной
а
б
Рис. 9. Схема постановки задачи работы [26]: а - конструкция, на которой проводился эксперимент; б - схематичное изображение конструкции и приложения сил
Рис. 10. Поверхность, полученная Dathe et al.
формы корня зуба и имеет две плоскости симметрии, судя по рисунку), не имеющего центра сопротивления. Зуб окружен упругой средой, представляемой набором подвесов, состоящих из тонких упругих слоев. Приведены механические характеристики этой среды. Таким образом, прикладывая различные пары сил, авторы находят винтовые оси («screw axes»») с некоторыми базовыми точками («base points»»), множество которых образует некоторую поверхность (рис. 10), которую можно вписать в сферу (довольно малых размеров по сравнению с самим корнем). Данную сферу авторы называют «область сопротивления с радиусом сопротивления» («region of resistance with radius of resistance»»). Однако о свойствах поверхности и области сопротивления не говорится. Отмечается, что центр сопротивления - это частный случай такой области, когда радиус сопротивления стремится к нулю.
Далее вводится определение нового понятия «центр упругости». Сила, действующая через центр упругости E и вызывающая лишь поступательное перемещение, эквивалентна действию нулевого момента (как функции от E) с нулевым
поворотом T (E) = 0 ^0 = 0. Крутящий момент, вызывающий лишь поворот вокруг оси, проходящей через центр упругости, эквивалентен действию нулевой силы (как функции от E) с нулевым поступательным перемещением F = 0 ^ d(E) = 0 . Приведены формулы (4) (без вывода), из которых, по-видимому, были получены данные о положении центра упругости: он расположен на оси Z, на расстоянии 67 % от длины корня.
§|f(E,F)|2do = min О0
= 0 и F = 0 о
Fl=i
§ |d (E, 0)
do = min.
(4)
0=1
где do - элемент поверхности единичной сферы. Явной связи между центром упругости и областью сопротивления не установлено.
В завершение авторы отмечают, что представленная ими модель достаточно груба в том плане, что периодонт необходимо учитывать как нелинейно-упругую среду. Предполагается, что центр упругости при данных условиях будет существовать, однако, возможно, будет зависеть от прикладываемой системы сил.
Хотелось бы заметить, что в сопротивлении материалов известно понятие «центр жесткости сечения балки» [1, 9, 11]. Согласно [1], если линия действия силы F проходит через данный центр, то как момент внешних сил, так и момент внутренних касательных усилий относительно центра жесткости будут равны нулю, т. е. кручение балки не произойдет. Из-за схожести названий центра жесткости и центра упругости интересно хотя бы приблизительно сопоставить эти два понятия.
В работе [7] подобное сравнение было проведено между центром жесткости и центром сопротивления зуба (по причине «родственного» происхождения). Однако на основании некоторых установленных различий (центр жесткости вводится для
твердого деформируемого тела, не помещенного в какую-либо среду, а центр сопротивления - для абсолютно твердого тела, помещенного в упругую среду) было установлено, что математически точной аналогии провести не удается. Возвращаясь к сопоставлению с центром упругости, отметим следующее: даже исходя из материала, представленного в [26], можно утверждать, что сходство этих двух понятий на названии и заканчивается.
В следующей работе [57] авторами УгвеПМ & а1. также ставится вопрос: существует ли центр сопротивления в трехмерном пространстве? Сразу же отрицательно отвечая на поставленный вопрос, они объясняют это геометрической асимметричностью корня зуба и периодонтальной связки.
Была создана конечно-элементная модель верхнего моляра (достаточно точно отражающая реальную форму зуба), имеющего три корня, окруженного периодонтом, свойства которого принимались линейно-упругими (хотя в статье и отмечается необходимость использования нелинейной модели для получения более точных результатов, но ввиду недостаточности экспериментальных данных о поведении зуба в рамках данного условия было принято использовать линейную модель периодонта). Приведены механические характеристики, используемые при моделировании компонентов зуба и периодонта.
Далее, рассуждая о том, что в двумерном пространстве центр сопротивления существует всегда, попытались найти его у трехмерного тела в трех взаимно перпендикулярных плоскостях (щечная, медиальная и окклюзионная) путем приложения пары сил в каждой. Таким образом, авторы получали оси поворота парой X', У', Z', параллельными соответствующим координатным осям X, У, Z. При исследовании характера их взаимодействия предполагалось, что в случае существования центра сопротивления оси поворота для каждой плоскости должны пересечься в этом центре. Как показали результаты расчета, данный факт установлен не был, что авторы объясняют отсутствием центра сопротивления у рассматриваемой модели зуба. Однако некоторая связь между полученными осями в работе [57] представлена (рис. 11).
В каждой из трех рассматриваемых плоскостей находилось по две точки: первая -это точка пересечения двух осей поворота, лежащих в данной плоскости; вторая -точка пересечения оси поворота, перпендикулярной данной плоскости. Данные точки необходимы для осуществления поступательного перемещения. Например, сила, приложенная вдоль оси X перпендикулярно оси поворота Z', вызовет поступательное перемещение в направлении оси X, но и одновременно вызовет поворот вокруг оси У. Данного поворота можно избежать, если приложить силу в точке пересечения проекций осей 2' и У' на плоскость ХУ (рис. 12).
а б в
Рис. 11. Приложение пар сил в трех взаимно перпендикулярных плоскостях: а - плоскость ХУ; б - плоскость ХУ; в - плоскость XX
Я
в
Рис. 12. Оси поворота (оси сопротивления) в трех плоскостях: а - плоскость ХУ; б - плоскость ХУ; в - плоскость XX
Осям XУ', X' авторы дали название «оси сопротивления», и идея заключается в том, что в тех случаях, когда центра сопротивления не существует в трехмерном пространстве, можно пользоваться этим новым предложенным методом.
Следующее понятие, введенное в статье [8] М.А. Осипенко и др., является естественным обобщением понятия центр сопротивления зуба для трехмерного случая, когда его не существует. Оно сохраняет некоторые основные свойства данного центра и называется областью сопротивления зуба.
Как и в ранней работе [42], здесь принимается следующая постановка: зуб является абсолютно твердым телом, погруженным в периодонт - линейно-упругую среду. К данной системе «зуб-периодонт» приложена система сил, под действием которой зуб совершает начальное перемещение. Центр сопротивления определен как точка, обладающая следующими свойствами: всякая прямая поступательного воздействия проходит через данную точку и всякая прямая, проходящая через эту точку, является прямой поступательного воздействия (рис. 13). Однако за исключением случаев наличия оси симметрии, единственной точки пересечения таких линий не существует. В свою очередь, представляет интерес совокупность всех прямых поступательного воздействия, образующих некоторую область, которую предложено назвать областью сопротивления (рис. 14).
Продолжая теоретические рассуждения, начатые в [42], авторы вводят
следующие обозначения: пусть 5 - симметричная часть матрицы уР-1; в -
антисимметричная часть матрицы уР-1; в - вектор, соответствующий матрице в. Тогда
если симметричная часть равна нулю (5 = 0), то центр сопротивления существует, единственен и его координаты определяются компонентами вектора в. Если
симметричная часть отлична от нуля (5 ^ 0), центра сопротивления не существует, и можно говорить об области сопротивления. Областью сопротивления зуба называется область минимального диаметра, имеющая следующие свойства: всякая прямая поступательного воздействия проходит через эту область и через всякую точку этой области проходит прямая поступательного воздействия.
б
а
Рис. 13. Центр сопротивления
Рис. 14. Область сопротивления
Рис. 15. Виды областей сопротивления: а - эллипс; б, г, д - одна точка; в - две точки
Далее исследованы типы данной области в зависимости от вида множества прямых поступательного воздействия (рис. 15). Таким образом, область сопротивления может быть представлена в виде эллипса, двух точек, одной точки. Однако связь с формой корня зуба в данной статье не установлена. Это будет являться предметом будущего исследования.
Интересно заметить, что экспериментальный результат, полученный Geiger et al. в [30], коррелирует с видом области сопротивления, состоящей из двух точек, изображенной на рис. 15, в, полученной теоретически в указанной работе. Данный вид
б
а
в
д
г
области сопротивления характерен для тел, имеющих две плоскости симметрии, как и представлено в [30]. По сути, она состоит из двух центров сопротивления в плоскости симметрии.
Следует сказать, что понятия области сопротивления в работах [8] (июнь 2013) и [26] (август 2013), опубликованных практически одновременно, вероятно, введены независимо друг от друга и, возможно, по существу, являются разными понятиями.
Заключение
На основании проведенного обзора научных публикаций, посвященных исследованию темы ортодонтического перемещения зуба с помощью центра сопротивления, можно сделать несколько заключений касательно перспектив развития данной проблемы.
1. Центр сопротивления зуба вводится как понятие, которое необходимо для планирования движения зуба на начальном этапе перемещения. Знание положения данной точки (или родственного понятия) является полезным и необходимым для осуществления правильного приложения нагрузки, создаваемой ортодонтическим аппаратом.
2. Для получения количественных характеристик, рассчитываемых в задачах модели системы «зуб-периодонт-кость», необходимо взять во внимание следующее:
а) современный уровень развития технологий позволяет строить модели, учитывающие индивидуальные особенности и в точности повторяющие геометрию объекта исследования;
б) для большей достоверности результатов необходимо учитывать нелинейные и вязко-упругие свойства периодонтальной связки.
3. Необходимо принять во внимание новейшие исследования в данной области (период 2012-2014), отражающие тенденцию к пересмотру понятия центра сопротивления в старом смысле и возможному расширению количества случаев применения его основных свойств.
Список литературы
1. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. - М.: Наука, 1976. - 608 с.
2. Величко Л.С. Ортодонтическое лечение и протезирование при недоразвитии верхней челюсти в сформированном прикусе: дис. ... канд. мед. наук. - Минск, 1965. - 146 с.
3. Куцевляк В.И., Самсонов А.В., Скляр С.А. Ортодонтия: учеб. пособие, 2005. - Харьков: Изд-во ХГМУ. - 464 с.
4. Няшин М.Ю. Математическая модель периодонта: дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Пермь, 1999.
5. Няшин Ю.И., Еловикова А.Н., Коркодинов Я.А., Никитин В.Н., Тотьмянина А.В. Взаимодействие зубочелюстной системы с другими системами человеческого организма в рамках концепции виртуального физиологического человека // Российский журнал биомеханики. - 2011. - Т. 15, № 3. -С. 8-26.
6. Няшин Ю.И., Рогожников Г.И., Рогожников А.Г., Никитин В.Н., Асташина Н.Б. Биомеханический анализ зубных имплантатов на основе сплава титана и оксида циркония. - 2012. - Т. 16, № 1. -Р. 102-109.
7. Осипенко М.А., Няшин Ю.И., Няшин М.Ю. О соотношении понятий «центр сопротивления зуба» и «центр жесткости сечения балки» // Российский журнал биомеханики. - 2009. - Т. 13, № 3. -С. 89-93.
8. Осипенко М.А., Няшин Ю.И., Няшин М.Ю., Дубинин А.Л. Область сопротивления зуба: определения и свойства // Российский журнал биомеханики. - 2013. - Т. 17, № 2. - С. 31-38.
9. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1979. - 744 с.
10. Селянинов А.А., Тотьмянина А.В., Подгаец Р.М. Биомеханическое сопровождение коррекции зубного ряда с применением эластопозиционеров // Российский журнал биомеханики. - 2012. - Т. 16, № 1. - С. 57-79.
11. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. - 592 с.
12. Шварц А. Д. Биомеханика и окклюзия зубов. - М.: Медицина, 1994. - 208 с.
13. Шилько С.В. Биомеханический анализ периодонтальной связки. Ч. 1 // Российский журнал биомеханики. - 2003. - Т. 7, № 3. - C. 29-34.
14. Юркевич К.С. Биомеханическое моделирование напряженно-деформированного состояния системы зуб-периодонт при ортодонтическом лечении: дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Минск, 2012.
15. Bosiakov S., Yurkevich K., Dosta A. The calculation of teeth roots displacement which appears during orthodontical treatment // Theses of World Congress on Medical Physics and Biomedical Engineering, 7-12 September. - Munich, 2009.
16. Bourauel C., Freudenreich D., Vollmer D., Kobe D., Drescher D., Jäger A. Simulation of orthodontic tooth movements // Journal of Orofacial Orthopedics. - 1999. - Vol. 60, № 2. - P. 136-151.
17. Bulcke van den M.M., Dermaut L.R., Sachdeva R.C.L., Burstone C.J. The center of resistance of anterior teeth during intrusion using the laser reflection technique and holographic interferometry // American Journal of Orthodontic and Dentofacial Orthopaedics. - 1986. - Vol. 90. - P. 211-220.
18. Bulcke van den M.M., Burstone C.J., Sachdeva R.C., Dermaut L.R. Location of the centers of resistance for anterior teeth during retraction using the laser reflection technique // American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopaedics. - 1987. - Vol. 91, № 5. - P. 375-384.
19. Burstone C.J. Part 2: Biomechanics: Interview by Dr. Nanda. Charles J. Burstone // Journal of Clinical Orthodontics. - 2007 - Vol. 41, № 3. - P. 139-147.
20. Burstone C.J. Biomechanics of Tooth Movement. - Philadelphia: Vistas in orthodontics, 1962. - 213 p.
21. Burstone C.J. Orthodontics as a science: The role of biomechanics // American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopaedics. - 2000. - Vol. 117, № 5. - P. 598-600.
22. Burstone C.J., Pryputniewicz R.J. Holographic determination of centers of rotation produced by orthodontic forces // American Journal of Orthodontics. - 1980. - Vol. 77. - P. 396-409.
23. Burstone C.J., Pryputniewicz R.J., Weeks R. Center of resistance of the human mandibular molars // Journal of Dental Research. - 1981. - Vol. 60. - P. 515.
24. Cattaneo P.M., Dalstra M., Melsen B. The finite element method: a tool to study orthodontic tooth movement // Journal of Dental Research. - 2005 - Vol. 84. - P. 428-433.
25. Christiansen R.L., Burstone C.J. Centers of rotation within the periodontal space // American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopaedics. - 1969. - Vol. 55. - P. 353-369.
26. Dathe H., Nägerl H., Kubein-Meesenburg D. A caveat concerning center of resistance // Journal of Dental Biomechanics. - 2013. - Vol. 4. - P. 1-7.
27. Demange C. Equilibrium situations in bend force systems // American Journal of Orthodontic and Dentofacial Orthopaedics. - 1990 - Vol. 98. - P. 333-339.
28. Dermaut L.R., Kleutghen J.P.J., De Clerck H.J.J. Experimental determination of the center of resistance of the upper first molar in a macerated, dry human skull submitted to horizontal headgear traction // American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopaedics. - 1986 - Vol. 90. - P. 29-36.
29. Fish G.D. Some engineering principles of possible interest to orthodontists // Dental Cosmetics. - 1917. -Vol. 59. - P. 881-889.
30. Geiger M.E., Schmidt F., Lapatki B.G. Centre of resistance of constructed tooth models of various morphologies // 18th Symposium on Computational Biomechanics in Ulm, 13-14 May 2013. - Ulm, 2013.
31. Göz G., Rahn B. Die Bedeutung des Widerstandszentrums für die Biologie der Zahnbewegung // Fortschritte der Kieferorthopädie. - 1992. - Vol. 53. - P. 137-141.
32. Haack D.C. The science of mechanics and its importance to analysis and research in the field of orthodontics // American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopaedics. - 1963. - Vol. 49, № 5. -P. 330-344.
33. Halazonetis D.J. Computer experiments using a two-dimensional model of tooth support // American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopaedics. - 1996. - Vol. 109. - P. 598-606.
34. Hocevar R.A. Understanding, planning and managing tooth movement: orthodontic tooth system theory // American Journal of Orthodontics. - 1985 - Vol. 80, № 5 - P. 457-477.
35. Hurd J.J., Nikolai R.J. Centers of rotation for combined vertical and transverse tooth movements // American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopaedics. - 1976. - Vol. 70. - P. 551-558.
36. Kojima Y., Fukui H. A finite element simulation of initial movement, orthodontic movement, and the centre of resistance of the maxillary teeth connected with an archwire // European Journal of Orthodontics. -2014. - Vol. 36, № 3. - P. 255-261.
37. Middleton J., Jones M., Wilson A. The role of the periodontal ligament in the bone modeling: the initial development of a time-dependent finite element model // American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopaedics. - 1996. - Vol. 109. - P. 155-162.
38. Mühlemann H.R., Zander H.A. Tooth mobility III. The mechanism of tooth mobility // Journal of Periodontology. - 1954. - Vol. 25. - P. 128-137.
39. Mulligan T.F. Common sense mechanics // Journal of Clinical Orthodontics - 1979. - Vol. 13, № 9. -P. 588-595.
40. Nägerl H., Burstone C.J., Becker B., Kubein-Messenburg D. Centers of rotation with transverse forces: an experimental study // American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopaedics. - 1991. - Vol. 99. -P. 337-345.
41. Nyashin M.Y., Pechenov V.S., Rammerstorfer F.G. Determination of optimal orthodontic forces // Russian Journal of Biomechanics. - 1997. - Vol. 1, № 1. - P. 84-96.
42. Osipenko M.A., Nyashin M.Y., Nyashin Y.I. Center of resistance and center of rotation of a tooth: the definitions, conditions of existence, properties // Russian Journal of Biomechanics. - 1999. - Vol. 3, № 1. -P. 1-11.
43. Osipenko M.A., Nyashin M.Y., Nyashin Y.I., Rammerstorfer F.G., Lokhov V.A., Dubinin A.L. Center of resistance and center of rotation of a tooth: Theoretical background of a procedure for their experimental determination (в печати Journal of Mechanics in Medicine and Biology).
44. Papageorgiou I.S. The center of resistance of teeth in orthodontics // Hellenic Orthodontic Review. - 2005. -Vol. 8. - P. 43-57.
45. Pedersen E., Isidor F., Gjessing P., Andersen K. Location of centres of resistance for maxillary anterior teeth measured on human autopsy material // European Journal of Orthodontics. - 1991. - Vol. 13, № 6. -P. 452-458.
46. Poppe M., Bourauel C., Jäger A. Determination of the elasticity parameters of the human periodontal ligament and the location of the center of resistance of single-rooted teeth: a study of autopsy specimens and their conversion into finite element models // Journal of Orofacial Orthopedics. - 2002. - Vol. 63, № 5. -P. 358-370.
47. Provatidis C.G. A comparative FEM-study of tooth mobility using isotropic and anisotropic models of the periodontal ligament. Finite element method // Medical Engineering and Physics. - 2000. - Vol. 22, № 5. -P. 359-370.
48. Provatidis C.G. Numerical estimation of the centres of rotation and resistance in orthodontic tooth movement // Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering. - 1999. - Vol. 2, № 2. -P. 149-156.
49. Pryputniewicz R.J., Burstone C.J. The effect of time and force magnitude on orthodontic tooth movement // Journal of Dental Research. - 1979. - Vol. 58. - P. 1754-1764.
50. Qian H., Chen J., Katona T.R. The influence of PDL principal fibers in a 3-dimensional analysis of orthodontic tooth movement // American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopaedics. - 2001. -Vol. 120, № 3. - P. 272-279.
51. Ravinda N. Biomechanics and estetic strategies in clinical orthodontics. - St. Louis: Elsevier, 2009. - 396 p.
52. Sia S., Koga Y., Yoshida N. Determining the center of resistance of maxillary anterior teeth subjected to retraction forces in sliding mechanics. An in vivo study // Angle Orthodontics. - 2007. - Vol. 77, № 6. - P. 999-1003.
53. Smith R.J., Burstone C.J. Mechanics of tooth movement // American Journal of Orthodontics. - 1984. - Vol. 85. - P. 294-307.
54. Toms S.R., Eberhardt A.W. A nonlinear finite element analysis of the periodontal ligament under orthodontic tooth loading // American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopaedics. - 2003. -Vol. 123, № 6. - P. 657-665.
55. Toms S.R., Lemons J.E., Bartolucci A.A., Eberhardt A.W. Nonlinear stress-strain behavior of periodontal ligament under orthodontic loading // American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopaedics. -2002. - Vol. 122, № 2. - P. 174-179.
56. Varst van der P.G., Peters M.C.R.B., Boer de A. On the existence of the orthodontic center of resistance // Biomechanics: Basic and Applied Research. - Dordrecht: Martinus Nijhoff Publishers, 1987. - P. 751-756.
57. Viecilli R.F., Budiman A., Burstone C.J. Axes f resistance for tooth movement: does the center of resistance exist in 3-dimensional space? // American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopaedics. - 2013. -Vol. 143, № 2. - P. 163-172.
58. Vollmer D., Bourauel C., Maier K., Jäger A. Determination of the centre of resistance in an upper human canine and idealized tooth model // European Journal of Orthodontics. - 1999. - Vol. 21, № 6. -P. 633-648.
59. Yoshida N., Jost-Brinkmann P.G., Koga Y., Mimaki N., Kobayashi K. Experimental evaluation of initial tooth displacement, center of resistance and center of rotation under the influence of an orthodontic force // American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopaedics. - 2001. - Vol. 120. - P. 190-197.
60. Yoshida N., Koga Y., Mimaki N., Kobayashi K. In vivo determination of the centres of resistance of maxillary anterior teeth subjected to retraction forces // European Journal of Orthodontics. - 2001. -Vol. 23. - P. 529-534.
ANALYSIS OF DEVELOPMENT OF THE CONCEPT "CENTER OF RESISTANCE OF TOOTH"
A.L. Dubinin, Y.I. Nyashin, M.A. Osipenko (Perm, Russia)
The aim of this paper is a review of scientifical publications devoted to the study of orthodontic tooth movement by using the center of resistance of tooth, analysis of the accumulated knowledges for attracting attention to this theme. Authors tried to consider the whole period of development of this concept, beginning from the article, where it occured for the first time, including the period of the greatest development in 80's up to the modern and newest researches. Almost all articles on this subject were published in the foreign journals, but there are some the Russian language articles. This review includes the various interpretations of the concept of center of resistance of tooth given by different authors who investigated its properties. Some similar (center of rotation, center of rigidity) and alternative (region of resistance, center of elasticity, axes of resistance) approaches to investigation of tooth movement, their similarities and differences from the concept of center of resistance, conditions of existence, dependences of the position of center of resistance on any factors are mentioned. This paper may be interesting both to the clinicians, orthodontists, medical scientists and biomechanicists as well, because review includes medical (features of the dentition elements, tooth mobility) and theoretical (necessary and sufficient conditions of the existence, mathematical models) aspects of the concept of center of resistance of tooth.
Key words: biomechanics, center of resistance of tooth, dentition, orthodontic tooth movement, literature review.
Получено 1 ноября 2014
