CC BY
47
Автоматика. Информатика. Управление. Приборы
УДК 621.1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСЛОВИЙ АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕПЛА В ПЛОСКОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ РЕАЛЬНОМУ ПРОЦЕССУ ПРИ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКОМ КОНТРОЛЕ Н.Ф. Майникова1, Н.П. Жуков2, А.А. Балашов2, С.С. Никулин2
Кафедры: «Теория механизмов машин и детали машин» (1), «Гидравлика и теплотехника» (2), ТГТУ
Представлена членом редколлегии профессором С.В. Мищенко
Ключевые слова и фразы: неразрушающий контроль; температурное поле; теплофизические свойства.
Аннотация: Описаны условия адекватности разработанной авторами математической модели реальному тепловому процессу при неразрушающем контроле теплофизических свойств материалов. Использовано численное моделирование температурных полей методом конечных элементов.
Обозначения
с - удельная теплоемкость, Дж/(кг К); q - тепловой поток, Вт/м2;
Я - радиус, м; г - расстояние, м;
Т - избыточная температура, °С;
е - тепловая активность, Вт-с0,5/(м2-К); 1 -теплопроводность, Вт/(мК); р - плотность, кг/м3; т - время, с.
При решении задач контроля теплофизических свойств (ТФС) материалов определенный интерес представляют методы неразрушающего контроля (НК) с использованием круглого плоского нагревателя постоянной мощности. ТФС материала находят на основании косвенных измерений и рассчитывают по определенным математическим моделям. В результате точность и надежность определения ТФС во многом обуславливается тем, насколько адекватно математическая модель описывает тепловые процессы, происходящие при измерении [1].
Разработанный авторами метод [2 - 4] входит в группу методов термического анализа, позволяет определять ТФС твердых материалов и регистрировать температурно-временные характеристики структурных переходов в полимерных материалах (ПМ) по изменениям тепловой активности с ростом температуры неразрушающим способом. Используется начальная стадия развития температурного поля при воздействии на исследуемое тело от плоского круглого источника тепла постоянной мощности (рис. 1, а).
Теоретическую основу метода составляют аналитические закономерности распространения одномерного плоского температурного поля от поверхностного круглого источника тепла постоянной мощности при локальной регуляризации
тепловых потоков в изделиях, которые могут быть отнесены к классу плоского полупространства [3]. Одномерное температурное поле было выбрано в связи с тем, что двух- и трехмерность полей обычно не обеспечивают заметного улучшения эксплуатационных показателей метода и при этом, как правило, ухудшают его метрологические возможности [1].
Согласно измерительной схеме (рис. 1, а) тепловое воздействие на исследуемое тело, имеющее равномерное начальное температурное распределение, осуществляется с помощью нагревателя постоянной мощности, выполненного в виде тонкого диска радиусом Я, встроенного в подложку измерительного зонда (ИЗ). Начальное температурное распределение контролируется одновременно тремя термоэлектрическими преобразователями (ТП), расположенными по оси нагревателя на расстояниях г1 и г2 от центра в подложке ИЗ. Центральным ТП в ходе эксперимента фиксируется термограмма - зависимость избыточной температуры Т (или температуры изделия Т ) от времени.
Из рассмотрения характера изменения теплового потока д1, поступающего в изделие от действия нагревателя, на экспериментальной термограмме выделено пять участков (рис. 1, в). Участки II и IV - рабочие и характеризуются тем, что в соответствующие им интервалы времени тепловой процесс проходит стадии регуляризации, т.е. тепловые потоки, поступающие в исследуемое тело и подложку зонда, сохраняются практически постоянными. На переходных участках I, III, V тепловой поток изменяется во времени. Авторами разработаны методики определения границ рабочих участков с использованием статистических критериев [2].
А.В. Лыковым [5] показано, что регулярные тепловые режимы первого и второго рода имеют общее свойство, которое характеризуется независимостью от времени отношения теплового потока в любой точке тела к потоку тепла на его поверхности. Математическая модель, описывающая термограмму в данном случае, чаще всего, является линейной по параметрам или легко линеаризуется. Однако основная часть этих методов базируется на моделях для тел конечных разме-
а)
Рис. 1 Измерительная схема системы изделие-зонд (а), схема тепловой системы (б) и экспериментальная термограмма (в), зафиксированная в центре нагревателя на изделии из коксонаполненного фторопласта
ров (пластина, цилиндр, шар), в то время как методы НК базируются на моделях полупространства (плоского, цилиндрического, сферического). Применительно к таким моделям следует говорить не о регулярном тепловом режиме для всего тела в целом (так как оно принимается неограниченным), а о регуляризации теплового процесса только для какой-то определенной области тела. Следовательно, если проводить НК ТФС, основываясь только на участках термограммы, соответствующих регуляризации теплового режима в области нагревателей и термоприемников, то расчетные соотношения будут простыми и во многих случаях линейными по параметрам.
Известные решения краевых задач нестационарной теплопроводности, описывающие процесс распространения тепла в твердых телах с различными ТФС [5, 6] от плоского круглого нагревателя постоянной мощности радиуса Я, имеют весьма сложный вид и малопригодны для их использования при реализации метода НК ТФС. Однако известно, что распределение температуры от плоского круглого источника тепла постоянной мощности радиуса Я при малых значениях времени х близко к распределению температуры в плоском полупространстве [1 - 4]. Поэтому для получения математической модели, описывающей процесс распространения тепла в исследуемой системе изделие-зонд на втором участке термограммы, измерительная схема с плоским круглым нагревателем постоянной мощности с радиусом Я заменена схемой с бесконечным плоским нагревателем. Это позволило получить следующее простое расчетное соотношение, описывающее термограмму на втором (рабочем) участке [2 - 4],
2дл/г
дсн
(ei +£2)л/Р (ej +e2)2
(1)
где Т1, е1, е2 - избыточная температура, тепловые активности материалов исследуемого изделия и подложки зонда, соответственно; q - тепловой поток (q = ^ + д^, см. рис. 1); х - время; сн - теплоемкость единицы площади нагревателя.
Для четвертого (рабочего) участка термограммы расчетное соотношение приведено в работах [2 - 4].
Для определения адекватности полученной математической модели (1) реальному тепловому процессу, соответствующему распространению тепла от круглого плоского нагревателя конечных размеров, воспользуемся численным моделированием температурных полей методом конечных элементов с помощью пакета БЬСИТ [7].
На рис. 2 показано распределение температуры Т от плоского круглого нагревателя постоянной мощности в системе двух полуограниченных тел (исследуе-
8 мм 0 8 мм
Рис. 2 Распределение температуры Т от плоского круглого нагревателя постоянной мощности в системе двух полуограниченных тел с одинаковыми ТФС
мое изделие из политетрафторэтилена (ПТФЭ) - подложка зонда из ПТФЭ) при идеальном тепловом контакте между ними при следующих условиях: t = 10 с; R = 0,004 м; q = 5000 Вт/м2; 11 = 12 = 0,25 Вт/(м-К); с1 = с2 = 1005 Дж/(кг-К); e1 = e2 = 743,47 Вт-с0,5/(м2-К); р1 = р2 = 2200 кг/м3; шаг изотерм = 0,5 К (индексы 1, 2 отнесены к материалам исследуемого тела и подложки ИЗ, соответственно).
С использованием пакета ELCUT и по выражению (1) проведены расчеты и построены термограммы, представленные на рис. 3.
2 (T — T )
Зависимость относительной погрешности температуры §T =—-----------—100 %
T + T2
от времени t, обусловленной применением различных математических моделей распределения тепла от ограниченного круглого и бесконечного плоского источников тепла, представлена на рис. 5. На рабочем участке термограммы относительная погрешность не превышает значения 8Т = 2 % (см. рис. 3 - 5).
Для случая, когда материалы контактирующих полуограниченных тел имеют разные ТФС, проведем аналогичные вычисления.
Рис. 3 Термограммы, построенные для системы двух полуограниченных тел с одинаковыми ТФС без учета теплоемкости нагревателя при следующих условиях: t = 10 с; R = 0,004 м; q = 5000 Вт/м2; 11 = 12 = 0,25 Вт/(м К); с1 = с2 = 1005 Дж/(кг К); e1 = e2 = 743,47 Втс0,5/(м2К); р1 = р2 = 2200 кг/м3:
1 — круглый источник тепла, расчеты выполнены с использованием пакета ELCUT;
2 — бесконечный плоский нагреватель, расчеты выполнены по зависимости (1)
Рис. 5 Зависимость 5Т=/(х), обусловленная Рис. 4 Рабочие участки термограмм, применением различных математических
представленных на рис. 3 моделей для системы двух полуограниченных
тел с одинаковыми ТФС
На рис. 6 показано распределение температуры Т от действия плоского круглого нагревателя постоянной мощности в системе двух полуограниченных тел, первое из которых изготовлено из ПТ ФЭ, второе - из рипора, при идеальном тепловом контакте между ними при следующих условиях: т = 10 с; К = 0,004 м; д = 5000 Вт/м2; 11 = 0,25 Вт/(м-К); с1 = 1005 Дж/(кг-К); р1 = 2200 кг/м3;
12 = 0,028 Вт/(м-К); с2 = 1270 Дж/(кг-К); р2 = 50 кг/м3; шаг изотерм = 0,5 К.
Визуализация поля плотности тепловых потоков в рассматриваемой системе двух полуограниченных тел при идеальной теплоизоляции между ними, полученная численным моделированием с помощью пакета ЕБСИТ, представлена на рис. 7.
Таким образом, вид распределения температуры от поверхностного круглого источника тепла постоянной мощности при регуляризации теплового процесса в локальной зоне исследуемого изделия может быть отнесен к классу плоского полупространства.
С использованием пакета ЕБСИТ и с помощью выражения (1) проведены расчеты и построены термограммы, представленные на рис. 8.
Относительная погрешность температуры 8Т, обусловленная различием математических моделей в случае различных ТФС материалов подложки зонда и исследуемого изделия, не превышает значения 8Т = 3 % (рис. 10).
8 мм 8 мм
Рис. 6 Распределение температуры Т от действия плоского круглого нагревателя постоянной мощности в системе двух полуограниченных тел с различными ТФС
Рис. 7 Поле плотности тепловых потоков от плоского круглого нагревателя постоянной мощности в системе двух полуограниченных тел при идеальной теплоизоляции между ними
Рис. 8 Термограммы, построенные для системы двух полуограниченных тел с различными ТФС без учета теплоемкости нагревателя при следующих условиях: t = 10 с; R = 0,004 м; q = 5000 Вт/м2; 11 = 0,25 Вт/(мК); с1 = 1005 Дж/(кгК); р1 = 2200 кг/м3; 1 = 0,028 Вт/(мК); с2 = 1270 Дж/(кгК); р2 = 50 кг/м3:
1 - круглый источник тепла, расчеты выполнены с использованием пакета ELCUT;
2 - бесконечный плоский нагреватель, расчеты выполнены по зависимости (1)
Рис. 9 Рабочие участки термограмм, Рис. 10 Зависимость 5Т=/(t), обусловленная
представленных на рис. 8 применением различных математических
моделей для системы двух полуограниченных тел с различными ТФС
Анализируя зависимости, представленные на рис. 5 и 10, можно сделать вывод о том, что несовпадение значений температуры, полученных по модели распространения тепла от плоского круглого нагревателя и по модели распространения тепла от бесконечного плоского нагревателя постоянной мощности, минимально при равных значениях тепловой активности материалов подложки зонда и исследуемого изделия.
Таким образом, адекватность математической модели распространения тепла в плоском полупространстве реальному тепловому процессу позволила рекомендовать применение зависимости (1) на рабочем участке термограммы в методе НК ТФС и структурных переходов в полимерных материалах [2 - 4].
Список литературы
1 Платунов, Е.С. Теплофизические измерения и приборы / Е.С. Платунов. -Л.: Машиностроение, 198б. - 25б с.
2 Пат. № 21б7412 РФ, МПК G 01 N 25/18. Способ комплексного определения теплофизических свойств материалов / Н.П. Жуков, Н.Ф. Майникова,
Ю.Л. Муромцев, И.В. Рогов. - № 99103718/28; заявл. 22.02.99; опубл. 20.05.2001 Бюл. № 14.
3 Об одном методе термического анализа для неразрушающего контроля теплофизических свойств полимеров / Н.Ф. Майникова, Ю.Л. Муромцев, И.В. Рогов, А.А. Балашов // Пластические массы. - 2001. - №2. - С.30 - 33.
4 Об одном методе исследования твердофазных переходов в полимерах / Н.Ф. Майникова, Ю.Л. Муромцев, Н.П. Жуков, А.А. Балашов // Пластические массы. - 2002. - №6. - С. 23 - 26.
5 Лыков, А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков. - М.: Высш. шк., 1967. - 599 с.
6 Козлов, В. П. Двумерные осесимметричные нестационарные задачи теплопроводности / В.П. Козлов. - Минск: Наука и техника, 1986. - 392 с.
7 БЬСИТ: Моделирование двумерных полей методом конечных элементов. Версия 5.1. Руководство пользователя. - СПб.: Производственный кооператив ТОР, 2003. - 249 с.
Identification of Conditions of Heat Distribution Model Adequacy in Flat Semi-Space to the Real Process by Thermophysical Control
N.F. Mainikova1, N.P. Zhukov2, A.A. Balashov2, S.S. Nikulin2
Departments “Theory of Machines and Machine Parts ”(1),
“Hydraulics and Heating Engineering ” (2), TSTU
Key words and phrases: non-destructive control; temperature field; thermophysical properties.
Abstract: Conditions of adequacy of mathematical model of heat distribution in flat semi-space to the real heat process in the course of non-destructive control over thermophysical properties of materials are shown. The numeric modeling of temperature fields by finite elements methods is used.
Bestimmung der Bedingungen der Angemessenheit des Modells der Verteilung der Warme im flachen Halbraum dem realen Prozess bei der warme-physikalischen Kontrolle
Zusammenfassung: Es sind die Bedingungen der Angemessenheit des matematischen Modells des Vertriebes der Warme im flachen Halbraum dem realen thermischen Prozess bei der nicht zerstorenden Kontrolle der warme-physikalischen Eigenschaften der festen Materialien bestimmt.
Definition des conditions de l’adequation du modele de la distribution de la chaleur dans un semi-espace pour le processus reel lors du controle thermophysique
Resume: Sont definies les conditions de l’adequation du modele mathematique de la distribution de la chaleur dans un semi-espace plat au processus calorifique reel lors du controle non-destructif des proprietes thermophysiques des materiaux solides.
