Многомодельный метод неразрушающего определения теплофизических свойств твердых материалов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.2.08:620.22 - 419

МНОГОМОДЕЛЬНЫЙ МЕТОД НЕРАЗРУШАЮЩЕГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ТВЕРДЫХ МАТЕРИАЛОВ

Н.П. Жуков, Н.Ф. Майникова, И.В. Рогов, С.С. Никулин

Рассматривается многомодельный метод неразрушающего определения теплофизических свойств твердых материалов, подвергающихся тепловому воздействию от плоского круглого источника тепла постоянной мощности. Для разработки математических моделей определения теплофизических свойств материалов использована следующая аналогия развития теплового процесса: на начальной стадии развития теплового процесса рассматривается задача о распространении тепла от бесконечного плоского нагревателя с удельной поверхностной мощностью в плоском полупространстве (модель А); при больших значениях времени в предположении, что плоский круглый нагреватель заменен эквивалентным ему поверхностным сферическим, рассматриваются задачи о распространении тепла в сферическом полупространстве (при нагреве и остывании - модели В и С). Показана процедура корректного сопоставления эксперимента с применяемыми моделями. Использование математических моделей, полученных в данной работе, позволяет определить ряд теплофизических свойств.

Ключевые слова: информационно-измерительная система, измерительный зонд, математическая модель, теплофизические свойства.

Измерительная и тепловая схемы метода [1-4] представлены на рисунках 1 и 2. Тепловое воздействие на исследуемое тело осуществляется с помощью нагревателя, выполненного в виде тонкого диска радиусом Лпл , встроенного в подложку измерительного зонда (ИЗ). Температурное распределение на поверхности исследуемого объекта контролируется несколькими (не менее трех) термоприемниками (ТП) с помощью информационно-измерительной системы (ИИС) [4].

Анализ известных процессов измерения, их моделей и источников погрешностей показывает, что в пределах временного интервала измерения в тепловой системе происходят существенные изменения, которые не позволяют описывать весь процесс теплопе-реноса одной аналитической моделью с неизменными ограничениями и условиями. Неучет этого обстоятельства при определении теплофизических свойств (ТФС) ведет к существенному увеличению погрешностей.

Рис. 1. Измерительная схема

Рис. 2. Тепловая схема системы

Наиболее точно систематические и случайные составляющие погрешности могут быть учтены в методах определения ТФС, основанных на регулярном тепловом режиме. Академиком А.В. Лыковым доказано, что регулярные тепловые режимы первого и второго рода имеют общее свойство, характеризующееся независимостью от времени отношения теплового потока в любой точке тела к потоку тепла на его поверхности.

Математическая модель, описывающая термограмму, в данном случае чаще всего является линейной по параметрам или легко линеаризуется [5]. Однако основная часть этих методов базируется на моделях для тел конечных размеров (пластина, цилиндр, шар). В то время как большая часть методов базируется на моделях полупространств (плоского, цилиндрического, сферического).

Применительно к таким моделям следует говорить не о регулярном тепловом режиме для всего тела (так как оно принимается неограниченным), а о регуляризации теплового процесса только для какой-то определенной области тела. Следовательно, если проводить определение ТФС, основываясь только на участках термограммы, соответствующих регуляризации теплового режима в области нагревателей и термоприемников, то, во-первых, расчетные соотношения будут более простыми и во многих случаях линейными по параметрам, во-вторых, систематические составляющие погрешности будут либо значительно меньшими, чем случайные, либо будут носить постоянный характер, т.е. не зависеть от времени. Причем, чем больше таких характерных участков будет найдено и описано аналитически, тем больше возможностей у ИИС, реализующей метод, осуществлять самоконтроль, т.е. за одну реализацию эксперимента появляется возможность определить комплекс ТФС исследуемого объекта с использованием различных математических моделей, адекватно отражающих реальные процессы теплопереноса в определенные интервалы времени.

На рисунке 3 представлены термограммы, полученные экспериментально на изделии из политетрафторэтилена (ПТФЭ) при следующих условиях: начальная температура Тн = 23 °С; Т * - температура изделия, Т* = Тн + Т; радиус плоского нагревателя Япл = 4 мм; мощность нагревателя Ж = 0,6 Вт; временной интервал измерения температуры Ах = 0,25 с.

Рис. 3. Термограммы для ПТФЭ: 1 - в центре зонда; 2, 3 - на расстояниях 7 и 9 мм от центра

В общем случае на каждой из трех термограмм можно выделить несколько участ-

ков, соответствующих различным состояниям температурного поля исследуемой системы. Так, для термограммы, зафиксированной центральным ТП на поверхности изделия, характерны восемь участков (рис. 4).

Рис. 4. Термограмма 1 с выделенными участками

Первому участку соответствует одномерное температурное поле в локальной области исследуемого тела (вблизи нагревателя). Тепловые потоки, поступающие в изделие (д1, Вт/м2) и зонд (д2, Вт/м2), изменяются во времени, так как между нагревателем и исследуемым телом имеется термическое сопротивление, нагреватель обладает инерционностью. Второму участку отвечает одномерное температурное поле, но процесс проходит стадию регуляризации в локальной области исследуемого тела, расположенной вблизи нагревателя и термоприемников. Третьему участку соответствует двухмерное температурное поле в образце, поскольку нельзя пренебречь распространением тепла в радиальном направлении. Четвертому участку соответствует тепловой процесс, вышедший на стадию регуляризации. В локальной области исследуемого тела формируется температурное поле, близкое к одномерному полусферическому. На пятом участке нарушаются условия полуограниченности исследуемого тела.

После отключения нагревателя (х > хоткл), на стадии остывания, можно выделить шестой участок, когда тепловые потоки д и д2 изменяются во времени, седьмой участок термограммы, тепловой процесс в котором проходит стадию регуляризации, и восьмой участок, где тепловой процесс изменяется.

Участки термограммы II, IV и VII - рабочие, так как возможно однозначно определить значения ТФС исследуемого материала в зависимости от параметров аналитических моделей, описывающих термограмму на данных

температурно-временных интервалах, используя регулярные тепловые режимы на моделях плоского и сферического полупространств.

Для разработки математических моделей определения ТФС материалов использована следующая аналогия развития теплового процесса: на начальной стадии развития теплового процесса рассматривается задача о распространении тепла от бесконечного плоского нагревателя с удельной поверхностной мощностью q в плоском полупространстве (модель А); при больших значениях х - в предположении, что плоский круглый нагреватель заменен эквивалентным ему поверхностным сферическим, рассматриваются задачи о распространении тепла в сферическом полупространстве (при нагреве и остывании - модели В и С).

Постановка краевой задачи теплопроводности по модели А представлена в ранее опубликованной работе [6]. Решение задачи, описывающее процесс распространения тепла в исследуемом объекте контроля (первое тело) по модели А для поверхностного слоя (х = 0) (рис. 2), имеет следующий вид:

Г1(0,г) = ^ --^ , х > 0, (1)

(£ + £2 Н П (£1 + £2 )

где сн - теплоемкость нагревателя, Дж/(кг-К-м2); Т - температура, К; q - плотность теплового потока, Вт/м ; е1, в2 - тепловые активности первого и второго тел, (Вт-с0,5)/(м2-К); х - время, с.

Выражение (1) описывает термограмму на температурно-временном интервале, со-

ответствующем модели плоского полупространства на стадии нагрева исследуемого изделия.

Постановка краевой задачи теплопроводности по модели В следующая.

Модель В. Два полуограниченных тела с различными ТФС находятся в идеальном тепловом контакте с поверхностным сферическим источником тепла постоянной мощности радиуса Я и удельной поверхностной мощностью q при температуре Т(г, 9, 0) = 0. Вне источника тепла, в плоскости соприкосновения тел, существует идеальная теплоизоляция (рис. 5).

с поверхностным сферическим нагревателем

Необходимо найти математическую модель описания процесса теплопереноса в данной системе.

Постановка задачи:

дТ1(г,в,т) _ ^ ( д2Т1(г, в,т) | 2 дТ1(г,в,т) , 1 д ( ^дТх(г, вт)

дт

дг 2

г дг

г2 ятв дв

дв

дТ2(г,в,т) (д2Т2(г,в,т) 2 дТ2(г,в,т) 1 д( пдТ2(г,в,т)

—^--^---^---1 ятв-2--

дт Т1(г, в, 0)

V

дг2

г дг

г2 ятв дв

дв

г > К, 0 < в < к/2, т > 0 .

г > К, к/2 < в < к т > 0 ,

г>К = 0 Т2 (г,в,0)

0<в<П 2

Г>_К = 0, ф,в,т)

к/ 2<в <к

т >0 = Т2 (ю,в,т)

0<в <П 2

т>0 = 0 , фАт)

к/ 2<в <к

т >0 = Т2 (К,в,т)

0<в 2

т >0

к2<в<к

дТ1(г,в,т)

дв

дТ2(г,в,т)

в=к/ 2-0 г>К т >0

дв

дТ1(г,в,т)

в=к/ 2+0 г> К т>0

дв

дТ2(г,в,т)

в=0 г> К т >0

дв

в=к г>К т >0

(2)

(3) , (4)

(5)

- Л

дТ1(К,в,т)

дг

т >0

0<в <к/ 2-0

= 41, - ^2

дТг (К,в,т)

дг

т >0

к/ 2+0<в <к

= 42, 41 + 42 =

2

0

где а - коэффициент температуропроводности, м2/с; А - коэффициент теплопроводности, Вт/(мК); г, 9 - координаты.

При условии, что градиент температуры в каждом из рассматриваемых полуограниченных тел не зависит от координаты 9, с учетом (5), решение для объекта контроля (первое тело) имеет вид

T(r,T) = -

2qR 2

IqR2 (r - R) 2qR3 (e, + e2 ) (1 + ) Jn r (ij +i2 )2

l

4~т

(l1 + h )r'

r > R, т > 0, 0 < в < п/2 .

(6)

Выражение (6) описывает термограмму на температурно-временном интервале, соответствующем распространению тепла по модели сферического полупространства на стадии нагрева с учетом теплоотдачи в материал подложки ИЗ.

Модель C. Два полуограниченных тела с различными ТФС при температуре T(r, 9, 0) = 0 находятся в идеальном тепловом контакте с поверхностным сферическим источником тепла постоянной мощности радиуса R и удельной поверхностной мощностью q. Вне источника тепла, в плоскости соприкосновения тел, существует идеальная теплоизоляция (рис. 5). Источник тепла действует заданный период времени, затем отключается и система остывает.

Необходимо найти математическую модель описания процесса теплопереноса в данной системе.

Конечное распределение температур после окончания действия источника тепла принимается близким к стационарному и находится из предельного соотношения

lim (pTlL (r,e ,p)) = 2qR 2 /[(l + k2 )r], (7)

p^ü

где Тц - решение (6) в области преобразования Лапласа.

Постановка задачи аналогична предыдущей (2) - (5). Отличия заключаются в начальных и граничных условиях, которые для модели С имеют вид

T (r,в,ü)| r,R = f(r), T2 (r, в, ü) r,R = f(r) ,

10<в <n 2 nj 2<в<п

Ii

dT(R,e, t)

dr

= ü,

t>0

0 <в <П 2-0

dT2 (R,ß,t)

dr

t >0

nj 2+0<в <п

=ü,

где /(г) - функция начального распределения температуры в каждом из полуограниченных тел после отключения нагревателя, т.е. / (г )= 2дК 2 ¡[{к, + ^ )г] .

Решение для первого тела (объекта контроля) имеет вид

2дК~ (е, + е, ■ 1 ' ^

Т^г,т)= 2qR3(ei + e2) f (r-_R)ßi + Ъ) +1

r*fn (l +12) .J^R fei + e2 ) r > R, т > 0, 0 < в < п/2 .

при r = R значение

1

Tr

(8)

Г1(К,т) = 2дК-(е, + ^ -1,, т > 0, 0 < в < П.

Ып (к, + к2)2 у т 2

Математическая модель (8) описывает термограмму на температурно-временном интервале, соответствующем распространению тепла по модели сферического полупространства на стадии остывания, с учетом теплоотдачи в материал подложки ИЗ.

Для удобства пользования математическая модель (1) преобразуется к виду:

T1(t') = d0 + d1t',

где ^ =-/ Л ,2

(eH + ell )

d1 = -

A

eTT + ei

модели,

описывающей

2q

(9)

- параметры

термограмму e'„ - посто-

на II участке; А1 = —^=, Бх = ден, еп уп

янные ИЗ, определяемые его конструктивными особенностями и режимами опыта; Г = 4г , с0,5; в! = еп; 82 = е^ .

Параметры модели ё0, й1 определяются из термограмм. Значения постоянных ИЗ: А1, В1, е 'п для II участка определяются с помощью градуировочных экспериментов на образцах с известными значениями ТФС (достаточно двух образцовых мер).

Выражения для расчета тепловой активности материала исследуемого изделия и постоянных ИЗ имеют вид:

A

- e 1

djjdj

A1 = J 11 j,2 (e01 e02^,

dl d12 - d11 e01d11 - e02d12

en =-

d12 d11

(10)

Математическая модель (6) преобразуется к виду

T1(r,T) = bo + \t", (11)

en =

1

2

где h = -

ХIV + ХIV

-, h = —

СБеiv tB2 (siv + s'y )

(Ху + X'y )X A(Xy + l'y )2

параметры модели, описывающем термо-

грамму на IV участке; A =

2qVnR

B =

2qR2

X'iy .

, - постоянные ИЗ, определяемые его конструктивными особенностями и режима-

ми опыта; С =

(r - R )■ 2

■jn

t =т< • с

J,i А * XI

е2 = ; А1 = А1У; = е1У-

Параметры модели Ъ0 и Ь1 определяются из термограмм. Значения постоянных ИЗ: А, В, Х'ш , е'1У определяются из градуировочных экспериментов.

Значения А,™ (для г > К), е1У (для г = К) и постоянных ИЗ находятся из выражений:

X

Б

IV

= — - XIV , SIV = 72 A - s'iv ■

К

h

о

A =

Б =

sIV

h2 h2

е01 е02) ,

, , 2 , , 2 1 "01 02 h12h01 hllh02

h01h02 Л j \

--—— (X01 - X02>,

h02 h01

_ s01h01h12 - s02h02h11

h — h h02 h01

M 01^01 — Mm h

02h02

h02 — h01

(12)

где Ъ01, Ъ02, Ь11, Ъ12 - коэффициенты, определяемые из термограмм, зафиксированных на двух образцовых мерах.

Таким образом, метод позволяет найти значение коэффициента теплопроводности А при любом г (в центре нагревателя или на некотором расстоянии от него). При г = К можно определить тепловую активность е и коэффициент теплопроводности А.

Последовательность операций по расчету ТФС в методе, использующем несколько ТП, следующая:

1. Градуировка ИИС. Фиксирование термограмм для двух образцовых мер. Идентификация рабочих участков термограмм. Расчет постоянных ИЗ.

2. Фиксирование термограмм для материала исследуемого изделия.

3. Идентификация рабочих участков термограмм. Расчет параметров математических моделей Ъ0, Ъ1. Определение значений ТФС по II и IV участкам.

Искомые коэффициенты теплопроводности А, температуропроводности а, тепловую активность е, объемную теплоемкость ср находят по формулам:

(13)

sII = , sII d1

е = — в'

sIV = 2 A sIV hn

втт + вп

J - Bn Хп/„ =-

L xv

— XIV,n , X ="

= ^, e = L., (14)

X s2

здесь Ец, Е1у - значения тепловой активности, определенные по II и IV участкам термограммы, зафиксированной центральным ТП; е'ц, е*1У, А1, А - постоянные ИЗ на II и IV участках термограммы; А1У,п - коэффициент теплопроводности, полученный на IV участке термограммы для п-ого ТП (п - порядковый номер ТП, считая от центра нагревателя); Вп, Ъ0, п - постоянная ИЗ и параметр модели для п-ого ТП.

На стадии остывания (VII участок термограммы) определяется значение теплофизиче-ского комплекса ц, позволяющего осуществлять контроль результатов, получаемых на стадии нагрева, избежать случайных промахов и ошибок, повысить достоверность измерений.

Математическая модель (8) преобразуется к виду

T(R,t) = ht,

(15)

где h = /D - параметр математической мо-

из термограммы;

2qR2

дели, определяемый

^ _ 2qR 2 .

D = —— , в,

4П

VII ■

1 '

XVI

- постоянные ИЗ, опре-

деляемые из градуировочных экспериментов;

_ еУШ + Ё¥11 • ^ _ 1 (Хуц + ¿¡ц У у[т

Выражения для вычисления комплекса ц и постоянной Б имеют вид:

м = D = hX2L

D вп,

(16)

Для проверки корректности проведения эксперимента находится разница между теп-лофизическим комплексом ц, определенным по VII участку термограммы, и в/А2, определенным с использованием математических моделей (1) и (6) для II и IV участков термограммы. Эксперимент признается корректным, если эта разница составляет менее 15%.

Таким образом, использование математических моделей, полученных в данном мето-

B

r

r

c

р

h

n

0,n

де, позволяет определить X и е. Определение ТФС по экспериментальным данным, где реально выполняются аналитические зависимости (9) и (11), дает возможность существенно снизить методическую составляющую погрешности измерения. Так как ТФС определяются по участкам термограмм, а не по отдельным точкам, снижается влияние случайных составляющих погрешности. Вследствие того, что математические модели (9) и (11) являются линейными по параметрам, появляется возможность на основе классических статистических методов провести оценку случайных составляющих погрешности определения ТФС для отдельного опыта. Использование в методе нескольких (например, трех) датчиков температуры в ИЗ позволяет повысить точность и достоверность определения ТФС за счет: 1) более точного фиксирования начального распределения температуры поверхности исследуемого изделия; 2) осуществления самоконтроля работы ИИС, так как для определения X используются три рабочих участка (по одному с каждой из термограмм) и два рабочих участка - для определения в; 3) исключения влияния на величину ТФС тепловых эффектов структурных превращений, которые могут проявляться при исследовании изделий из полимеров, так как появляется возможность зафиксировать как твердофазные, так и релаксационные переходы.

Литература

1. Пат. 2167412 РФ, G 01 N 25/18. Способ комплексного определения теплофизических свойств материалов / Жуков Н.П., Майникова Н.Ф., Рогов И.В. [и др.]. № 99103718; заявл. 22.02.1999; опубл. 20.05.2001, Бюл. № 14.

2. Пат. 2328725 РФ, G 01 N 25/18. Способ нераз-рушающего определения теплофизических свойств твердых материалов / Жуков Н.П., Майникова Н.Ф., Рогов И.В. [и др.]. № 2006140757; заявл. 17.11.2006; опубл. 10.07.2008, Бюл. № 19.

3. Пат. 2287152 РФ, G 01 N 25/18. Способ нераз-рушающего определения теплофизических свойств твердых материалов / Жуков Н.П., Майникова Н.Ф., Никулин С.С. № 2005114237; заявл. 11.05.2005; опубл. 10.11.2006, Бюл. № 31.

4. Жуков Н.П., Майникова Н.Ф. Многомодельные методы и средства неразрушающего контроля теплофизических свойств материалов и изделий. М.: Машиностроение-1, 2004.

5. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967.

6. Жуков Н.П. Моделирование процесса тепло-переноса от плоского источника тепла постоянной мощности при теплофизических измерениях // Инженерно-физический журнал. 2005. Т. 78. № 6. С. 56-63.

References

1. Pat. 2167412 RF, G 01 N 25/18. Sposob kom-pleksnogo opredeleniya teplofizicheskikh svoystv materialov / Zhukov N.P., Maynikova N.F., Ro-gov I.V. [i dr.]. № 99103718; zayavl. 22.02.1999; opubl. 20.05.2001, Byul. № 14.

2. Pat. 2328725 RF, G 01 N 25/18. Sposob nerazru-shayushchego opredeleniya teplofizicheskikh svoystv tverdykh materialov / Zhukov N.P., Maynikova N.F., Rogov I.V. [i dr.]. № 2006140757; zayavl. 17.11.2006; opubl. 10.07.2008, Byul. № 19.

3. Pat. 2287152 RF, G 01 N 25/18. Sposob nerazru-shayushchego opredeleniya teplofizicheskikh svoystv tverdykh materialov / Zhukov N.P., Maynikova N.F., Nikulin S.S. № 2005114237; zayavl. 11.05.2005; opubl. 10.11.2006, Byul. № 31.

4. Zhukov N.P., Maynikova N.F. Mnogomo-del'nye metody i sredstva nerazrushayushchego kontrolya teplofizicheskikh svoystv materialov i izdeliy. M.: Mashinostroenie-1, 2004.

5. Lykov A.V. Teoriya teploprovodnosti. M.: Vys-shaya shkola, 1967.

6. Zhukov N.P. Modelirovanie protsessa teplope-renosa ot ploskogo istochnika tepla postoyannoy moshchnosti pri teplofizicheskikh izmereniyakh // Inzhenerno-fizicheskiy zhurnal. 2005. T. 78. № 6. S. 56-63.

MULTI-MODEL METHOD OF NONDESTRUCTIVE DETERMINATION OF THERMAL PROPERTIES OF SOLID MATERIALS

N.P. Zhukov, N.F. Maynikova, I.V. Rogov, S.S. Nikulin

To develop mathematical models for determining the thermal properties of the materials used an analogy of the thermal process. At the initial stage of the thermal process, model A based on the propagation of heat from the endless flat heater with a capacity of specific surface in a flat half. At large time, for Models B and C is assumed that flat circular heater replace by an equivalent spherical surface. For the model B (heating) and model C (cooling) we consider the problems of heat conduction in a spherical half. Paper shows the procedure for correct comparison of the experiment with the applicable models. Mathematical models to determine the several of thermo-physical properties.

Key words: information and measurement system, measuring probe, mathematical model, thermal and physical properties.