CC BY
50
УДК 621.9.22
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В МЕТОДЕ НЕРАЗРУШАЮЩЕГО ТЕПЛОФИЗИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ.
ЧАСТЬ I. СТАДИЯ НАГРЕВА*
Н.Ф. Майникова1, Н.П. Жуков2, А.С. Чех2, С.С. Никулин2
Кафедры: «Теория механизмов машин и детали машин» (1), «Гидравлика и теплотехника» (2), ГОУВПО «ТГТУ»
Представлена членом редколлегии профессором Ю.В. Воробьевым
Ключевые слова и фразы: неразрушающий контроль; сферическое полупространство; температурное поле; тепловая активность; теплоемкость; теплопроводность.
Аннотация: Исследуется адекватность математической модели распространения тепла в сферическом полупространстве реальному тепловому процессу при неразрушающем теплофизическом контроле. Рассматривается стадия нагрева от плоского круглого источника тепла постоянной мощности. Выполняется визуализация температурных полей в системе изделие - зонд.
Обозначения
а - температуропроводность, м2/с; с - удельная теплоемкость, Дж/(кг К); q - плотность теплового потока, Вт/м2; Яп - радиус плоского нагревателя, м;
Я - радиус сферического нагревателя, м; г, z - пространственные координаты, м;
Т - избыточная температура, °С;
Тн - начальная температура опыта, °С; е - тепловая активность, Втс0,5/(м2К);
1 - теплопроводность, Вт/(мК); р - плотность, кг/м3; т - время, с.
Разработанный авторами метод входит в группу методов термического анализа и позволяет определять теплофизические свойства (ТФС) твердых материалов и температурно-временные характеристики структурных переходов в полимерных материалах [1, 2].
Согласно измерительной схеме метода (рис. 1) тепловое воздействие на исследуемое тело с равномерным начальным распределением температуры осуществляется с помощью нагревателя постоянной мощности, выполненного в виде тонкого диска радиуса Кп и встроенного в подложку измерительного зонда (ИЗ). Распределение температуры фиксируется тремя термоэлектрическими преобразователями (ТП), один из которых расположен в центре нагревателя, два других -на расстояниях г1 и г2 от центра.
При рассмотрении характера изменения теплового потока, поступающего в изделие, на каждой из трех экспериментальных термограмм выделено несколько участков, на которых в соответствующие интервалы времени тепловой процесс проходит стадии регуляризации, то есть тепловые потоки, поступающие в исследуемое тело, сохраняются постоянными. Так, для термограммы, зафиксированной центральной термопарой, например, на изделии из политетрафторэтилена [1], характерны восемь участков (рис. 2).
Первому (I) участку термограммы соответствует одномерное температурное поле. Тепловые потоки, поступающие в исследуемое изделие и подложку измери-
* Принято к печати 04.10.2006 г.
I II III IV V VI VII VIII
Рис. 2. Термограмма с выделенными рабочими участками:
Т* - температура изделия, Т* = Тн + Т
тельного зонда, изменяются во времени, так как нагреватель обладает инерционностью, часть тепла тратится на нагрев проводов, имеет место термическое сопротивление между нагревателем и исследуемым изделием.
Второму (II) участку термограммы соответствует температурное поле, близкое к одномерному плоскому. Процесс вышел на стадию регуляризации (тепловые потоки, поступающие в исследуемое изделие и ИЗ, становятся практически неизменными), что позволяет использовать для этого участка математическую модель описания процесса теплопереноса в плоском полупространстве [3].
Третьему (III) участку термограммы соответствует двухмерное температурное поле, так как нельзя пренебрегать распространением тепла в радиальном направлении. Тепловые потоки, поступающие в исследуемое изделие и ИЗ, вновь становятся переменными.
Четвертому (IV) участку термограммы соответствует температурное поле, близкое к одномерному сферическому. Тепловой процесс вышел на стадию регуляризации (тепловой поток, поступающий в исследуемое изделие, вновь становится практически постоянным). Это позволяет использовать для этого участка математическую модель описания процесса теплопереноса в сферическом полупространстве.
Пятому (V) участку термограммы соответствует тепловой процесс, в котором нарушаются условия полуограниченности исследуемого тела. Тепловые потоки, поступающие в исследуемое изделие и в подложку ИЗ, изменяются во времени.
После отключения нагревателя (на стадии остывания) выделены шестой (VI), седьмой (VII) и восьмой (VIII) участки термограммы. Седьмой участок термограммы соответствует тепловому процессу, вышедшему на стадию регуляриза-
ции. Математическая модель описания процесса теплопереноса в сферическом полупространстве может быть использована для его аналитического описания на седьмом участке термограммы. На шестом и восьмом участках тепловой процесс изменяется во времени, нарушаются условия регуляризации.
Таким образом, II, IVи VII участки термограмм являются рабочими. Математические модели, описывающие термограммы на рабочих участках, использованы в разработанном методе неразрушающего контроля (НК) [1].
Адекватность модели распространения тепла в плоском полупространстве реальному процессу при теплофизическом контроле подробно рассмотрена ранее в работе [3].
В данной статье рассмотрим стадию нагрева, реализуемую в методе, и определим условия адекватности модели распространения тепла в сферическом полупространстве реальному тепловому процессу. На рис. 2 данной стадии соответствует четвертый участок термограммы.
Известно [1], что распределение температурного поля в исследуемом теле от плоского круглого источника тепла постоянной мощности радиуса Яп при т >> 0 близко к распределению температурного поля в сферическом полупространстве со сферической полостью радиуса Я, через которую осуществляется заданное тепловое воздействие с тем же тепловым потоком.
Расчетное уравнение, описывающее термограмму на четвертом участке (рабочем), получено решением следующей краевой задачи.
Два полуограниченных тела с различными ТФС (рис. 3) находятся в идеальном тепловом контакте с поверхностным сферическим источником тепла постоянной мощности радиусом Я и удельной поверхностной мощностью q при температуре Т (г, 8, 0) = 0. Вне сферы, в плоскости соприкосновения двух тел, существует тонкая идеальная теплоизоляция. Математически данная задача записывается следующим образом:
ЭТ\ (r, 0, t) (d 2T1 (r, 0, t) 2 Э7\ (r, 0, t) 1 d (. jT1(r, 0, t)
■ = a I----—--------1-------:-------+ —------—I sin0
dt
dr2
r dr r2 sin0Э0^
Э0
r > R, 0 <0<—, t > 0;
2
dT2 (r, 0, t) (Э2T2 (r, 0,t) 2dT2 (r, 0,t) 1 Э (. dT2 (r, 0,t)
■ = I--------- ------1---------------1— ---------1 sin0
dt
dr2
r dr
r2 sin0d0
d0
(1)
r > R, — < 0 < p, t > 0: 2
Ti (r,0,0)
r>R
0<0<P
= 0, T2 (r,0,0)
r>R
P
-<0<p
= 0,
(2)
T1 (¥, 0, t) t>0 = T2 (¥, 0, t) t>0 = 0, T1 (R,0,t) t>0 = T2 (R, 0, t) t>0
0<0<p 2 p -<0<P 2 0<e<p 2 p -<e<P 2
dT1 (r, 0, t) p dT2(r, 0, t) p A dT[ (r, 0,t) , d0 dT2( r, 0, t)
d0 e=p-0 d0 0=0 d0
r >R r >R r >R
t>0 t>0 t>0
0=p
r>R
t>0
= 0 .
-l i
dT1 (R, 0, t)
dr
P
0<e<—0 2
= q1, -l
dT2 (R,0,t)
dr
= q2, q1 + q2 = 2q , t> 0.
-+0<e<p
(3)
2
2
2
Решение задачи для первого тела имеет вид:
Tl( r, t) = -
2qR2 (r-R) 2qR3 (e1 +e2 ) | 1
2qR2
0 <0<—, t> 0, (4) 2
+12 ) 4%Г (11 +12 )2 )Л (11 + 12 )г
где 1Ь е1, 12, е2 - соответственно теплопроводности и тепловые активности первого (исследуемого материала) и второго (подложки зонда) тел; Т1 - избыточная температура исследуемого тела.
В полученное выражение (4) входит параметр К, представляющий собой эквивалентный радиус поверхностного сферического нагревателя, создающего в исследуемой системе температурное поле, близкое к температурному полю от плоского круглого источника тепла радиуса Кп.
Для определения условий адекватности модели сферического полупространства реальному тепловому процессу, необходимо найти такое соотношение радиусов Кп и К, при котором температурные поля, создаваемые круглым плоским и сферическим поверхностным нагревателями, будут идентичными.
Согласно схеме метода нагревателем в единицу времени генерируется суммарное количество теплоты Q. Плотность теплового потока, поступающего в изделие и подложку зонда от плоского круглого источника тепла постоянной мощности, q = Q/Sп , где £п =%Я^ - площадь поверхности плоского нагревателя [4]. Плотность теплового потока от поверхностного сферического источника тепла - q* = ^8, где £ = 4% К - площадь поверхности сферического нагревателя. При условии равенства величин плотностей тепловых потоков от круглого плоского и поверхностного сферического источников тепла (д = q*) соотношение радиусов нагревателей будет
Яп/Я = 2. (5)
Воспользуемся формулой (5) для сравнения соотношения (4) с решением краевой задачи нестационарной теплопроводности для системы двух полуограни-ченных тел при наличии в плоскости их контакта плоского круглого источника тепла постоянной мощности, полученным В.П. Козловым [4]. Также воспользуемся численным моделированием двухмерных полей методом конечных элементов с помощью пакета БЬСИТ [5].
Закон изменения избыточной температуры в центре плоского круглого источника тепла постоянной мощности, при действии этого источника в системе двух полуограниченных тел с одинаковыми ТФС [4], имеет вид
T =
q4t f 1
— - ierfc VP
R„
2л[ах
(б)
Решение (4), полученное авторами для поверхностного сферического источника тепла на стадии нагрева при г = Я и плотности теплового потока q, имеет вид
2qЯ 2qЯ2 (е1 +Є2 ) 1
T (R, t) =
(11 +12 ) VP(l1 + 12 )2 ^
(7)
В критериальной форме, с учетом условия (5), решения (6) и (7) запишутся следующим образом:
Рис. 3. Тепловая схема системы с поверхностным сферическим нагревателем
T = qR"JTo f-L - ierfc
1 IVP
1
2VFo.
(8)
T(Fo) = qRп - qкп(el +e2)4a~l (11 +12) 2VP(1 +12 )2VFo
По математическим моделям (8), (9) и с использованием пакета БЬСИТ выполнены расчеты и построены термограммы, представленные на рис. 4, при следующих условиях: q = 5000 Вт/м2; ^ = 0,004 м; а = а1 =а2 = 0,113-10-6 м2/с; е = е1 = е2 = 743,47 Вт-с0,5/(м2-К); 1 = 11 = 12 = 0,27 Вт/(м-К); К = 0,002 м.
Зависимость относительной погрешности отклонения температуры
T — T 2
§T =Л----------3-100% от Бо (где Бо = / Rп ), обусловленной различием математи-
T Tl
ческих моделей распространения тепла от плоского круглого и поверхностного сферического нагревателей, представлена на рис. 5, Т1, Т3 - значения температуры, определенные по первой и третьей термограммам (см. рис. 4). При значениях Бо > 2 относительная погрешность 5Т не превышает 1 %.
Для случая, когда контактирующие полуограниченные тела имеют разные ТФС, результаты расчетов по моделям распространения тепла от плоского круглого и поверхностного сферического нагревателей, а также результаты численного моделирования с использованием пакета ББСИТ представлены в работе [1].
На рис. 6 представлено распределение температурного поля T от поверхностного сферического нагревателя постоянной мощности в системе двух полуогра-ниченных тел при идеальном тепловом контакте между ними при следующих условиях: q = 5000 Вт/м2; К = 0,002 м; а1 = а2 = 0,113-10-6 м2/с; р1 = р2 = 2200 кг/м3; 11 = 12 = 0,27 Вт/(м-К); е1 = е2 = 743,47 Вт-с0,5/(м2-К); С1 = с2 = 1005 Дж/(кг-К); X = 500 с; шаг изотерм - 0,5 К.
На рис. 7 представлено распределение температурного поля от плоского круглого нагревателя постоянной мощности в системе двух полуограниченных тел при идеальном тепловом контакте между ними при следующих условиях: q = 5000 Вт/м2; ^ = 0,004 м; а! = а2 = 0,113-Ю-6 м2/с; р! = р2 = 2200 кг/м3;
1! = 12 = 0,27 Вт/(м-К); е! = е2 = 743,47 Вт-с0,5/(м2-К); с, = с2 = 1005 Дж/(кг-К); X = 500 с; шаг изотерм - 0,5 К.
Определение условий адекватности математической модели сферического полупространства реальному тепловому процессу от плоского круглого источника тепла позволило применить расчетную зависимость (4) на рабочих участках термограмм в методе НК ТФС и структурных переходов в полимерных материалах [1, 2].
а) б)
Рис. 4. Термограммы, построенные для системы теплового контакта двух полуограниченных тел с одинаковыми ТФС. В плоскости контакта действует:
1 - плоский круглый нагреватель, расчеты выполнены по зависимости (8) (а, б);
2 - плоский круглый нагреватель, численное моделирование (а); 3 - сферический поверхностный нагреватель, расчеты выполнены с использованием математической модели (9) (б)
Рис. 5. Зависимость 5Т=f (Fo)
40 мм
0
40 мм
Рис. 6. Температурное поле Т от поверхностного сферического нагревателя постоянной мощности в системе двух полуограниченных тел
40 мм
/0,5 К
/Л,0 К
'~^у/у'А,5 К
—/4^2,0 К
ШШЛ
40 мм 0 40 мм
Рис. 7. Температурное поле Т от плоского круглого нагревателя постоянной мощности в системе двух полуограниченных тел
Математическая модель, описывающая термограмму на VII участке, адекватность модели реальному тепловому процессу будут детально представлены в части II статьи, опубликование которой планируется в одном из последующих номеров журнала «Вестник Тамбовского государственного технического университета».
Список литературы
1. Жуков, Н.П. Многомодельные методы и средства неразрушающего контроля теплофизических свойств материалов и изделий / Н.П. Жуков, Н.Ф. Майни-кова. - М. : Машиностроение-1, 2004. - 288 с.
2. Пат. 2167412 РФ, МПК О 01 N 25/18. Способ комплексного определения теплофизических свойств материалов / Н.П. Жуков, Н.Ф. Майникова, Ю.Л. Муромцев, И.В. Рогов ; заявитель и патентообладатель Тамб. гос. техн. ун-т. -№ 99103718/28; заявл. 22.02.99; опубл. 20.05.2001, Бюл. № 14. - 5 с.
3. Определение условий адекватности модели распределения тепла в плоском полупространстве реальному процессу при теплофизическом контроле / Н.Ф. Майникова, Н.П. Жуков, А.А. Балашов, С.С. Никулин // Вестн. Тамб. гос. техн. ун-та. - 2006. - Т. 12, № 3А. - С. 610-616.
4. Козлов, В.П. Двумерные осесимметричные нестационарные задачи теплопроводности / В.П. Козлов ; под ред. А.Г. Шашкова. - Минск : Наука и техника, 1986. - 392 с.
5. БЬСИТ: Моделирование двумерных полей методом конечных элементов. Версия 5.1. Руководство пользователя. - СПб. : Производственный кооператив ТОР, 2003. - 249 с.
Modeling of Heat Transfer in Non-Destructive Thermophysical Control. Part I. Heating Stage
N.F. Mainikova1, N.P. Zhukov2, A.S. Chekh2, S.S. Nikulin2
Departments: “Theory of Machine Mechanisms and Machine Parts ” (1), “Hydraulics and Heat Engineering ” (2), TSTU
Key words and phrases: heat capacity; heat conduction; non-destructive control; spherical semi-space; temperature field; thermal activity.
Abstract: Adequacy of mathematicl model of heat transfer in spherical semispace to actual heat process under non-destructive thermo-physical control is studied. Heating stage from flat round heating source of permanent power is considered. Visualization of temperature fields in the item - probe system is implemented.
Modellierung der Warmeubertragung in der Methode der nichtzerstorenden warme-physikalischen Kontrolle. Teil I. Stadium der Erwarmung
Zusammenfassung: Es wird die Adaquatheit des matematischen Modells des Vertriebes der Warme im spharischen Halbraum dem realen thermischen Prozess bei der nichtzerstorenden warme-physikalischen Kontrolle untersucht. Es wird das Stadium der Erwarmung von der flachen runden Quelle der Warme der standigen Leistung be-trachtet. Es ist die Visualisierung der Temperaturfelder im System - die Erzeugnis -Sonde erfullt.
Modelage de la chaleur dans la methode du controle thermophysique non-destructif. 1-ere partie. Stade du chaufage
Resume: Est etudiee l’adequation du modele mathematique de la repartition de la chaleur dans le semi-espace spherique au processus thermique reel lors du controle thermophysique non-destructif. Est examine le stade du chauffage a partir de la source de chaleur plate et ronde avec la puissance constante. Est executee la visualisation des champs thermiques dans le systeme article - sonde.
