CC BY
16
УДК 62-83:621.313.33
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОКОВ СТАТОРА И РОТОРА В КАСКАДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПРИВОДЕ
© 2008 г. В.Ю. Карандей, Б.К. Попов
Рассмотрена проблема конструирования управляемого каскадного электрического привода. За основу взят уже существующий электрический привод. Для определения моментов предложен метод, основанный на электромеханическом преобразовании энергии. На примере существующей конструкции были найдены значения токов статора и ротора и фазные углы этих токов. Это позволяет найти накопленную устройством энергию в данный момент времени и определить мгновенный момент. Представленная математическая модель была реализована в виде программы в среде Delphi. Получен расчет для приближенных значений магнитных сопротивлений. Погрешность для контрольного примера не превышала 10-15 %.
The problem of constructing of a controlled cascade electric driving is reviewed. For a basis the existing electric actuator driving is taker already. For definition of the moments the method grounded on electromechanical transforming of energy is proposed. On an example of an existing construction the values of currents stator and rotary table and phase angles of these currents were retrieved. It allows to find the energy, accumulated by the system, in the given instant. That allows to find the instantaneous moment. The introduced mathematical pattern realized by the way programs in environment Delphi. The account for approximate values of relativities is obtained. The inaccuracy for an audit example did not exceed 10-15 %.
Ключевые слова: электромеханическое преобразование энергии, магнитный поток, индукция, мгновенный момент, ось поля статора, ось поля ротора, потокораспределение, магнитное сопротивление, потокосцепление, катушка, электрический привод.
В управляемом каскадном электрическом приводе [1] основной проблемой при проектировании готового изделия является расчёт развиваемого им момента. Так как рассматриваемый привод представляет собой пакет аксиальных асинхронных электродвигателей, то применение существующих методов расчёта без соответствующей экспериментальной корректировки затруднительно. Наиболее целесообразным методом определения момента в данном случае является метод, основанный на электромеханическом преобразовании энергии, который даёт удовлетворительное совпадение расчёта с экспериментальными данными.
Основной трудностью в определении момента указанным способом является вычисление накопленной устройством электромагнитной энергии в рассматриваемый момент времени. Для этого необходимо знать токи в роторе и статоре, фазные углы этих токов, а также взаиморасположение осей поля статора и ротора. Решению данной проблемы и посвящена предлагаемая статья. При этом, используя существующие конструкции как контрольный пример, мы проверили точность выведенной математической модели, что и позволило нам считать применимой её в нашей конструкции.
В соответствии с программой, рассчитывающей распределение индукции в зазоре машины [2], при токах в фазах:
iA = sin(ю t-ф сэ),
iB = sin(ю t +120° - ф сэ), (1)
iC = sin(юt + 240° - ф сэ), распределение индукции в зазоре подчиняется закону
X
В8с = В5тс -фСэ), (2)
2т
где В8тс - амплитуда индукции; х - координата вдоль окружности ротора; фсэ - угол между током и напряжением в статоре.
Углы в последующих формулах и в формуле (2) -электрические.
Несложно показать, что при t > 0 формула (2) примет вид
%
В 8с = В 8тс С^( +-Х-Ф сэ^ т
где ю1t - круговая частота тока ротора, определяемая скольжением.
Определим поток на полюсное деление
Ф = _m j B Sc (x) dx = _m j B Smc с^(ю 11 +-x -ф сэ) dx =
I Х
= —В&та Ип(— + Л - Фсэ) " «п(— " Фсэ)] . (3)
П
Учитывая то обстоятельство, что поле в статоре при токах по формулам (1) движется влево, а ротор вправо, максимум ЭДС будет наступать в следующем витке ротора с отставанием на электрический угол
y t
Ф p =
2—p
Ф 1kA = _m j B Sp( X) dX =
0
y t
—
= lm j B Smp sin(®t +-x-Ф рэ) dx =
= _ 1ш1в 5ир [с0<5(— +Л У-Ф рэ) - с°>(—-Ф Рэ)] ,
где у - отношение шага обмотки к полюсному делению.
Определим поток, приходящийся на вторую катушку фазы А,
У х+ п 2а Ах Ф 2кА = 1т | В 8р(Х) =
п 2 А Ах
где zp - число пазов ротора.
Следует учесть, что фазы в статоре в соответствии с формулами (1), будут включаться слева направо, а фазы в роторе - справа налево. Отсюда следует, что выражение (3) для любого контура ротора примет вид
l t
ф = b
п Smc
—
2— pn
sin(ra1t + —---ф сэ) -
2— pn
- sln(®it--¡— -ф сэ)
где п - номер паза, отсчитываемый вправо.
Теперь можно определить ЭДС в витке, равном полюсному делению
e = dФ = ю1 lm t B v
-e = —TT =-B Smc v
dt —
2— p n , 2— pn cos(ra it + —--^--Ф сэ) - cos(ra it--^--ф сэ)
(4)
Упростим выражение (4)
-e = -
2Ю1lmt
BSmc ^K1 -фp n -фсэ). (5)
Уt+n2A Ax
= lm j BSmpsln(rot + "x-фрэ) dx =
I Ax
_l_ml B
Smp
— n 2 A Ax ^(ю/ + — y +--—--ф p) -
— n 2 A Ax - ^(ю/ +-—--ф p)
где п2А - сдвиг второй катушки относительно первой в зубцовых делениях; Ах - длина одного зубцового деления.
Теперь можно определить ЭДС первых двух катушек фазы А:
-е1кА =— 1ш ХВ5тр [яп(— +Л у -фрэ) - ЯП(—-фрэ)] Vк ;
- = Ю _ B
e 2kA = _m t B Smp — F
sln(rot +—y +— n2A Ax-ф) -t
- sln(rot + — n 2A Ax-ф ) t
где wk - число витков одной катушки.
Определим суммарную ЭДС в двух катушках фазы А
ю
-(e1kA + e 2kA ) = — _m t B Smp Wk [sln(fflt + — у-ф pэ) -—
Как показала программа расчета распределения потока по поверхности ротора, эта зависимость имеет синусоидальный характер распределения вдоль окружности ротора.
Можно показать, что распределение индукции от токов ротора в зазоре будет
p^
- sln(rot -ф ) + sln(rot +—y +— n2A Ax -ф ) -
-sln(rat+ — n2A Ax-фpэ)].
Упростим последнее выражение
B Sp(x) = B Smp sln ( Ю 1 +~ x-ф pэ ) '
Smp
. ю
e1kA + e2kA = 2 — _m tBSmp Wk (1 + slnanep)sln(rot-Фpэ) > (6)
где ВШр - максимальное значение индукции поля ротора.
Определим поток, приходящийся на первую катушку фазы А ,
где апер - угол перекрытия первой и второй катушки.
Для примера будем рассматривать машину с двумя парами полюсов. Используя принцип наложения для беличьей клетки, фазу, соответствующую первому пазу ротора, можно представить в виде схемы (рис. 1).
z
p
n
t
—
z
X
p
p
v
z
z
p
p
n
t
X
Для других пазов схема будет та же, но токи и ЭДС там будут сдвинуты на угол, соответствующий сдвигу на один паз и т.д.
Ic
0,25 RK,
0,5 Ic
Рис. 1. Схема беличьей клетки ротора
На рис. 2 представлена схема, полностью эквивалентная предыдущей схеме по токам, напряжению источника и потокам и позволяющая упростить расчёты.
0,5Ic
0,25 Rk
0,5 Ic= Ip
При рассмотрении магнитного поля нужно обратить внимание на то, что во всех проводниках, показанных на рисунке, токи одинаковы по величине и фазе. Поэтому магнитные потоки в каждом полюсе равны по величине и фазе, но по направлению чередуются (рис. 3).
/'ftr
// / //' / / / /
II®// %
1
®
m
__I
' I У"4 ' 1
/'/© / / / » J
iz// /7 //
ic ^
О ^
Рис. 3. Направление магнитного потока в полюсе
В рассматриваемой фазе (и = 0) поток определяется не только самой фазой, но и всеми другими фазами беличьей клетки. Опишем это обстоятельство математически.
Определим поток самой фазы
4 i p w p 41 p w p ФРФ = = —,t - фp3),
R
цк
R
цк
Рис. 2. Схема фазы беличьей клетки ротора
ЭДС, наведенная в контуре abcd ротора по выражению (5) для фазы, соответствующей первому пазу ЭДС, будет равна (при п = 0)
2и, .
p =-1 lm X BSmc c0s(® 1t).
П
Учитывая индуктивность контура abcd, ток в нём будет
' р = 1 р -Ф pэ),
где фрэ - угол между вр и ip.
Отсюда можно найти падение напряжения на активном сопротивлении
и а = ' pRk = RkIp -Ф pэ),
где Rk - активное сопротивление контура ротора.
где Я|к - магнитное сопротивление потоку контура ротора; - число витков контура ротора = 1).
После сложения всех потоков, пересекающих рассматриваемую фазу, и соответствующих преобразований получим окончательное выражение
41 p wp
Ф^ =—Р—^[4,359cos(roit-фрЭ) -
-рЕ ■
R
цк
-0,0414sin(ro1t-фрэ)].
(7)
Из формулы (7) получаем ЭДС самоиндукции катушки ротора
ег =-
d Ч _ 41p wp и,
цк
[4,359sin(ro,t -ф pc) +
dt R
+0,0414^(ю^ -ф рс)].
Составим уравнение для контура ротора. Для этого обратимся к схеме замещения (рис. 4):
41р ю,
0 = 1р Як со^ -фрс)--^^[4,359яп(ю^ - фрэ) -
Я,
цк
2 и,
-0,0414 cos(D ,t - ф pэ)]--1 lm х Bgmc cos(D ,t) . (8)
n
b c
eL
3 5 3
вш(<— + 240°) — вш(<— + 240°) — вш(<— + 240°)] =
7 2 4
= Ф ш [1 ^ вш(га 0 -1 ± вш(га t +120°) - ^ вш(га t + 240°)].
(11)
Определим потокосцепление для этой катушки
Рис. 4. Схема замещения цепи ротора
Аналогично ротору рассмотрим статор. Для примера возьмём однослойную эвольвентную обмотку статора, имеющую 48 пазов [3]. Рассмотрим рис. 5. Выходящий из катушки поток раздваивается, и каждая половина уходит в соответствующую соседнюю катушку. При этом поток возбуждается двумя согласно включёнными катушками, через поперечное сечение которых проходит рассматриваемый поток. Учитывая эти обстоятельства, МДС, возбуждающая данный поток, будет равна:
2ikwk >
(9)
7
^ кат 1.1А =Ф ш^т^М®'0 -
2 4
-1- вш(<— +120°) - - вш(<— + 240°)].
Аналогично можно определить поток второй катушки первой катушечной группы фазы А
7
кат1.2 A =Ф m[^sln(ro/) -
4 .
9 2 .
- - вш(га t +120°) -1 - вш(га t + 240°)]. (12) Соответственно потокосцепление для этой катуш-
ки
где 1к - ток, протекающий по катушке; wk - количество витков катушки.
Катушка ik wk
ф
X
V \ \\
X
X
X
% V
-к •
•
; | I !
R
ц кат
Общий магнитный поток, пересекающий первую катушку первой катушечной группы фазы А
7 1
£Ф кат 1. 1 a = Ф m [sm(fflt) + ^ш(ю/) + +120°) -
5 7 1
- - sln(ra t +120°) - - sln(rat +120°) + - sln(ra t + 240°) +
7
^ кат1.2 А =Ф ш^ат[19вт(—) -
42 --вш(<— +120°) - 1-вш(<— + 240°)].
Найдем суммарное потокосцепление первой катушечной группы фазы А
,32 .
~9
Т катгр 1A =Ф mwкат^sln(юt) -
15 2
- "9[- sln(at)]} = 59 Ф mW кат sln(at).
(13)
Рис. 5. Потокораспределение статора
Магнитное сопротивление катушки кат следует рассчитывать исходя из того, что поток проходит через половину поперечного сечения катушки и по средней магнитной линии 1м ср, [4], как показано на рис. 5.
Следовательно, поток, пересекающий плоскость катушки, будет равен
Ф_= 2 2= 2Ф = Фш вт(—0. (10)
Если рассмотреть вторую катушечную группу фазы А , то видно, что поток первой катушки определяется выражением (11), а второй катушки - выражением (12). Следовательно, потокосцепление второй катушечной группы будет определяться аналогично уравнению (13)
2
^ кат гр 2 А = 59 Ф ш ^ат 0 . (14)
Такие же вычисления будут для третьей и четвертой катушечных групп фазы А .
Учитывая рассуждения относительно формул (13), (14), можно остановиться на рассмотрении одной катушечной группы фазы А при составлении электрического уравнения. Это обусловлено идентичностью и последовательным соединением катушечных групп.
ЭДС самоиндукции первой катушечной группы фазы А будет
d Т
k 2.1A
.2
1 , = -5„ Ф mcw кат Ю с^(ю/). (15)
dt 9
Из (10) следует
и w w
Ф кат = 4 -Rw^ = 4Imc sln(at) = Ф mc ^(ю/) .
ц кат ц кат
e
p
I
l
i w
e, = —
L
4I w Здесь Ф mc = mc кат
R
цкат
Тогда (15) примет вид 2 4 w
eL = "5Ö WKaT Ю1 mc COs((t) = ~CКат Ю Jmc COs((t) .
9 R,™
где kp - коэффициент, показывающий, во сколько раз амплитуда индукции синусоидального распределения поля ротора больше средней индукции одной фазы. Отсюда выражение (5) примет вид
2 и1
-e =-- m X BSmc cos(и1t -ф pn -ф cэ) =
Напряжение источника питания на первой катушечной группе фазы А
и кат 1гр.А = ^ 8Ш(ю0.
= (^ kc 4^)/mc cos(ra1t -ф р П -ф сэ). (17)
Л У R цкат
Аналогично преобразуем (6)
Падение напряжения на активном сопротивлении первой катушечной группы фазы А, учитывая, что ток в фазе А iA = Im sin^t-ф ra),
UAc = 2R кат I mc sin(иt -ф cэ).
Можно показать, что в магнитосвязанных системах, когда поле статора и поле ротора движутся синхронно, углы сдвига между током и напряжением неизменно переносятся из ротора в статор и обратно. Поэтому в выражениях (5) и (6) были введены соответствующие углы сдвига фрэ и фсэ 2и1
-e =--lm XBSmc c°s(ffl 1t - фp n - фcэ),
n
e1kA + e2kA = 2ИПlm XBSmp Wk (1 + sin«пер^О^ ^э -фсэ).
(16)
Определим BSmc и В8отр, входящие в формулу (16). Соответственно, Ф^ - это поток в катушке статора. Средняя индукция, соответствующая этому потоку,
, ю
B
Ф Ф
mc _ mc
5m кат с
S кат lm y Х
BSm с и BSm кат с связаны между собой соотношением
Ф
R = kB = k mc
5m с ~ KcD 5m кат с ~ Kc
lmy Х
e1kA + e2kA = 2-lmxB5mpWкат(1 + Sinапер^п((Ю-фрЭ -фсэ) =
2 ю 4 wKam .
-k р^кат~ (1 + sin а пер)
л R №
Im psin(rot-ф рэ -Ф Сэ).
Составим уравнение для электрической цепи статора (рис. 6)
^п(ю0 = 2Якат 1тс -фсэ ) + Скатю1тс -фсэ) +
2 ю , 4 w^ „
-+ Sin а пер)
Л ^кат
Impsin^t -фрэ -фсэ).(18)
Рис. 6. Схема замещения цепи статора Для ротора, учитывая (8) и (17), получим уравнение
4 ™ р
0 = Як1трС0^Ю11: -фрэ -фсэ) -Ю11 р Х
Я цк
где кс - коэффициент, показывающий во сколько раз амплитуда индукции синусоидального распределения поля статора больше средней индукции в одной катушке.
Пусть Фтр - поток в одной фазе ротора
x[4,359sin((1í-фрэ -фСэ)-0,0414cosK¿-фрэ -фсэ)]-
2 Ю , 4 Wкат Wp
-К
Ю 1Jmc cos((V-фсэ).
(19)
41 w
Ф =_
mP г>
R цр
Запишем (18) и (19) в символическом виде. Для этого преобразуем cos в sin и учтем, что
Тогда средняя индукция в этой фазе
Ф
B
5m кат р
lm Х
BSm р и BSm кат р связаны между собой соотношением
Bs„„ = kB
5m р c 5m кат р c
Ф
= К m
lm Х
Уфсэ = J J о ~1(фрэ+фсэ) = т- U m
I о - ;фсэ = j j о 1 mc 1 с ' -1 mp
= I , = и , 4
U = 2R кат 1 с + C кат j Ю 1 с +
2 ю 4 w w
k кат р
^ R цкат
(1 + sin а пер )
1 р;
(20)
71
+
+
• 4 w p
0 = jRkIp - (- p
R
4,359)ю, Ip-
4w
_(_ P
цк
2
R
0,0414)j-ю, Ip- (— к
4w w
кат p
цк
ny
R
) jю1 I mc .(21)
цкат
Из (21) определим I p
Представленная математическая модель реализована в виде программы в среде Delphi. В результате серии расчётов были определены токи для различных скольжений для конструкции, приведённой в литературе [5]. Несмотря на использование приближённых значений магнитных сопротивлений, различие в расчётах по нашей модели и для контрольного примера не превышали 10 - 15 %.
2 ю, 4 w кат w p • (^"J1 к p \ f
I p =-
ny R
c „ ) I c
4 wp 4 wp
Rk + j® 1 (—± 4,359) - ю 1 (—± 0,0414)
R\ik R цк
Подставим (22) в (20) и определим I c
L = и/\2 ^кат + СКаТ J ® +
+
2 Ю , 4 WKaT wp п .
■К-(1 + sin а пер)
R
цкат
2 Ю 4 w w
А О) 1 ^ кат p V ( кС D )
ПУ R|iKaT
4 wp 4 wp Як + М(—-4,359)-ю^—40414)
"цк Кцк
(22) Литература
1. Гайтов Б.Х., Попов Б.К., Попова О.Б. Управляемый каскадный электрический привод: Патент на изобретение № 2173927 от 20 сентября 2001 г.
2. Попов Б.К., Попова О.Б., Карандей В.Ю. Программа для расчета магнитной системы статора методом магнитных цепей: Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2006610548 от 8 февраля 2006 г.
3. Костенко М.П., Пиотровский Л.М. Электрические машины. В 2 ч. Ч.2: Машины переменного тока: 3-е изд., перераб. Л., 1973.
4. Карандей В.Ю., Попов Б.К. Концепция расчета магнитной системы асинхронного двигателя специального электропривода // Изв. вузов. Пищевая технология. 2008. № 1. С. 101-103.
5. Копылов И.П., Клоков Б.К., Морозкин В.П., Токарев Б. Ф. Проектирование электрических машин: Учебник для вузов: 3-е изд., испр. и доп. М., 2002.
c
и кат
X
n
1 апреля 2008 г.
Карандей Владимир Юрьевич - аспирант Кубанского государственного технологического университета, г. Краснодар. Тел. (861)259-55-58.
Попов Борис Клавдиевич - канд. техн. наук, доцент кафедры электроснабжения промышленных предприятий Кубанского государственного технологического университета, г. Краснодар. Тел. (861)251-79-18.
