CC BY
15
v, - толщина,
v2 - пористость, плотность, vc - температура сваривания, v9 - влажность.
Вариант 3:
доминирующее множество V'3 = {v(, v2, vs, v9}; v, - толщина,
v2 - пористость, плотность, v6 - температура сваривания, vs - влажность.
Сопоставляя априорную информацию и результаты математического моделирования, можно сказать, что ведущие свойства кожевой ткани (толщина, пористость, температура сваривания, влажность), полученные в результате использования задачи нахождения минимального доминирующего множества вершин в графе, выявлены достаточно объективно. Например, от толщины кожевой ткани зависят практически все показатели пушно-мехового полуфабриката, содержание влаги влияет на физико-механические свойства меха (толщину, упруго-пластические свойства, плотность), температура сваривания является количественной характеристикой устойчивости структуры кожи к действию тепла и влаги, а также основным показателем номенклатуры качества по ГОСТ 4.420-86 "Шкурки меховые выделанные. Номенклатура показателей", пористость существенным образом влияет на воздухо-. водо- и паропрони-цаемость. Полученные результаты математического моделирования согласуются с мнениями экспертов.
Литература
1. Еремеев A.B., ЗаозерскаяЛ.А., Колоколов A.A. Задача о покрытии множества: сложность, алгоритмы,
экспериментальные исследования. // Дискретный анализ и исследование операций. 2000. — сер. 2, Т.7. - С. 22-46.
2. Карманов В. Г. Математическое программирование: Учеб.пособие. — 5-е изд., стереотип. — М,: ФИЗ-МАТЛИТ, 2001. - 264 с.
3. Кормен Т., ЛейзерсонЧ., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. — М.: МЦНМО, 2001. — 960с.
4. Рубинштейн М.И. Оптимальная группировка взаимосвязанных объектов. — М.: Наука, 1989. — 168с.
5. Церевитинов Б.Ф., Беседин А.Н. Товароведение пушно-меховых товаров. — Учебник для товаровед, фак. торг. вузов. - М.: "Экономика", 1977,- 151с.
6. ГОСТ 4.420-86. Шкурки меховые выделанные. Номенклатура показателей. Введ. в действие 01.01.87. — М.: Издательство стандартов, 1985.
7. ГОСТ 15467-79. Управление качеством продукции. Основные понятия. Термины и определения. Взамен ГОСТов 15467-70,16431-70,1734171,17102-71. — М.: Издательство стандартов.
КОЛОКОЛОВ Александр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией дискретной оптимизации Омского филиала Института математики им. С. Л.Соболева РАН. НАГОРНАЯ Зоя Егоровна, кандидат технических наук, доцент, заведующая кафедрой технологии швейных изделий Омского государственного института сервиса.
КОВАЛЕВА Наталья Ивановна, аспирант кафедры технологии швейных изделий Омского государственного института сервиса.
ПРИВАЛОВАЮлия Ивановна, аспирант Омского государственного университета.
УДК 519.17.001.57:53 Н< П. БЫКОВА
Н.Г. РЫЖЕНКО
Омский государственный аграрный университет
Омский государственный педагогический университет
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЛОЖНОСТИ УЧЕБНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПУТЕМ МОДЕЛИРОВАНИЯ СТРУКТУРЫ ИХ РЕШЕНИЯ
В статье рассматривается использование графовых моделей для систематизации учебных физических задач по степени возрастания сложности их решения.
Важную роль в обучении играет решение задач. Это связано с тем, что решение задач выступает и как цель, и как средство обучения [ 13]. Использование задач в естественнонаучном обучении диктует необходимость рассмотрения понятия «задача» в методике преподавания естественных наук. Анализируя понятие «задача», будем иметь в виду учебную задачу.
Учебная задача отличается по своей структуре от понятия задачи. «Учебная задача требует определенных способов умственной деятельности, ориентированных на овладение наиболее общими отношениями предметной деятельности» [5]. Так в математике «всякую знаковую модель проблемной ситуации мы будем называть задачей», — отмечаетФридманЛ.М. [13].В
Рис. 1.
химии определение задачи идет через ее структуру [15]. Физической задачей в учебной практике обычно называют проблему, которая в общем случае решается с помощью логических умозаключений, математических действий и эксперимента на основе законов и методов физики [7]. Несмотря на разнообразие определений понятия «задача», можно считать общепризнанным, что понятие «задача»может быть дано на структурном и функциональном уровнях. В методике преподавания естественных наук на структурном уровне задача рассматривается «как сложная дидактическая система», «компоненты которой (заданная и решающая система) состоят из находящихся в динамической зависимости элементов: предмета, условия и требования задачи, с одной стороны, методов, способов и средств ее решения — с другой» [4]. Понятие «сложная система» относится к общенаучным понятиям. Однако в настоящее время общепринятого определения этого понятия не существует [3]. «Чаще всего оно дается на структурном уровне (большое количество взаимосвязанных и взаимодействующих между собой элементов, обеспечивающих выполнение некоторой достаточно сложной функции» [12]. Задачная система содержит условия и требования, данные и искомые величины, которые составляют содержание задачи, и сюжетную оболочку (форму), в которой заключено содержание. «Характер отношений между условием и требованием раскрывается путем использования определенного аппарата, в частности, устанавливается логическая или математическая функциональная зависимость» [4]. При решении задач используются алгоритмические и эвристические методы, причем на определенных этапах преобладает либо тот, либо другой метод. Методы, способы, средства, приемы решения составляют решающую систему задачи. «Известны два типа структур в описании решения задач: внешняя и внутренняя. Внешняя структура описывает решение задачи через логические схемы, алгоритмические и эвристические предписания, тем самым определяя последовательность преобразований заданной системы. Использование мыслительных операций предполагает построение внутренней структуры» [11]. Структура задачи представлена на рисунке 1.
Внешняя структура решающей структуры задач определяет структуру решения задачи. Структура решения задачи отлична от структуры задачи и является основой такой важной характеристики задачи, как понятие «сложность». При построении модели сложность структуры решения задачи отождествляется со сложностью решения задачи. Сложность решения задачи является объективной характеристикой, не зависящей от субъекта, она определяется структурой решения задачи. Сложность решения задачи является логической категорией, зависящей от числа элементов, входящих в структуру решения задачи и числа связей между элементами. В литературе учебные задачи по сложности решения классифицируются на
простые и сложные. Практически отсутствуют исследования определения сложности решения задач, пригодные для их практического применения. «Фактор объективной сложности задач может определяться по любым методикам, согласно которым увеличение числа понятий, или числа отношений, или числа необходимых для решения задачи преобразований понятий и отношений — соответствует увеличению значения фактора сложности» [8]. Мы использовали качественную оценку сложности структуры решения задач, основанную на использовании метода математического моделирования, рассмотренную в [6]. Данная методика с успехом применяется одним из авторов для определения сложности структуры решения математических задач.
2. Графовое моделирование структур решения физических задач
Моделирование — это изучение на моделях явлений, по своей сложности плохо поддающихся исследованию, теоретическому изучению и расчетам. Математическое моделирование, как научный метод, нашло широкое применение во всех отраслях знания. Среди моделей подобия, суждения, аналогии, структуры, функционирования и коммуникации информации, широко применяющихся в науке вообще и в дидактике в частности, особое место занимают логико-математические модели. Роль логико-математического аппарата при моделировании заключается в том, что: 1) он позволяет придать абстрактное выражение (поддающееся математическому моделированию) тому или иному конкретному содержанию; 2) он является средством строго операционного решения поставленной задачи; 3) он обеспечивает простоту построения теории на основе связи количественных и качественных показателей [1].
При моделировании задач нужно учитывать, что любая задача имеет состав и структуру. Состав — это множество элементов, структура — это способ связи между элементами. А свойства структуры лучше всего поддаются изучению с помощью графовых моделей. При построении графовых моделей сложность решения задачи отождествляется со сложностью дерева, которое является моделью структуры решения задачи. Графом С(У, Е) называют совокупность двух множеств — непустого множества V (множества вершин) и множества Е неупорядоченных пар различных элементов множества V (Е — множество ребер): Е) = = <У; Е>, V* 0, Е с УхУ, Е = Е"'. Если в графе ориентировать все ребра, то получится орграф, который называется направлением. Деревья являются самым распространенным классом графов. Ориентированные (упорядоченные) деревья являются абстракцией иерархических отношений. Ориентированным деревом (или ордеревом, или корневым деревом) называется орграф со следующими свойствами:
1. Существует единственный узел, полустепень захода которого равна нулю. Он называется корнем дерева.
2. Полустепень захода всех остальных узлов равна 1.
3. Каждый узел достижим из корня (для орграфа числа дуг, исходящих из вершины, называется полустепенью исхода, а входящих — полустепенью захода).
Для дерева существует несколько числовых характеристик, одна из которых характеризует сложность конечного дерева. Нахождение сложности дерева покажем на конкретном примере (рис. 2).
Сложность вершины 1:
ст, = 3x9 = 27,
гдеЗ — число дуг, выходящих из 1,9 — число всех вершин, включая и саму вершину 1.
Аналогично,
ст2 = 1x4 = 4 ст3 = 2 хЗ = 6 ст4 = 2 хЗ = 6
Суммарная сложность всех вершин и дает сложность дерева:
а = о, + ст, + ст3 + ст4 = 27 + 4 + 6 + 6 = 43
Более подробно с этим и с другими понятиями в теории графов можно ознакомиться в [2,9].
Деревом моделируются лишь бинарные отношения, в задаче же отношения в основном тернарные.
Л.М.Фридман [14] выделил следующие виды отношений, связывающих величины и их значения: отношения соединения, отношения отнимания, отношения сравнения (если величина задана двумя своими значениями); разностное отношение или кратное отношение двух значений величин, отношение разбиения (разделения), отношение — зависимость. Для моделирования тернарных отношений вводится понятие семантического дерева [6], которое отличается от понятия дерева тем, что в каждую вершину привнесена некоторая семантическая информация — одно из значений величин предметной области задачи. В дереве отмечается свойство, по которому установлено отношение равенства. Моделирование учебных задач с помощью дерева рассмотрим на примере структурирования простейших задач. Структурирование — мыслительная деятельность по установлению отношений между величинами задачи.
Задача 1. Какова масса 50 моль углекислого газа?
Предметная область задачи состоит из 3-х величин: ц — молярная масса; V — число молей ига - масса газа, Эти величины связаны тернарными отношениями равенства ш = ^ V, установленным по мультипликативному свойству. Из трех элементов задачи один эле-
мент — ш — является неизвестным, при этом он является и искомым, а два других элемента уиц — являются известными. Граф структуры решения задачи представлен на рис. 3. Он называется графом кратного сравнения. В силу обратимости операций умножения и моделью взаимно обратных задач ц=т/у и V = т/|д.
т
Рис. 3. Граф кратного сравнения.
Сложность графа а = 2 х 3 = 6.
Для выделения других отношений рассмотрим другую задачу.
Задача 2. Газу сообщили количество теплоты ЮМДж. Определить работу расширения газа, если приращение его внутренней энергии составило 6,2 МДж.
Моделью структуры решения задачи является граф (рис. 4). Граф на рис. 4 называется графом разности сравнения. Сложность решения задачи ст = 2x3 = 6.
А
Рис. 4. Граф разностного сравнения.
Граф является моделью и взаимно обратных задач ДО = ли + А.
Рассмотренные графы (рис. 5) называются графами I порядка сложности.
Модели решений более сложных задач строятся с использованием графов I порядка сложности.
Задача 3. В идеальной тепловой машине за счет каждого килоджоуля энергии, получаемого от нагревателя, совершается работа 300 Дж. Определить КПД машины и температуру нагревателя, еслитемпература холодильника 280 К.
Модель структуры решения задачи показана на рис. 6.
п_ -Т| 5;
О,
1 / \ П
Рис. б.
о,-о2
о,
Т -Т
•I_•1
з.т,=
1-7
Каждое дерево моделирует одну из заданных ситуаций. Совокупность деревьев образует лес. Сложность леса находится как суммарная сложность деревьев, его составляющих:
а = с, + а, = 2x3 + 2x5 + 2x3 = 22
Мы привели несколько примеров выявления структуры решения задач и определения сложности их решения с помощью деревьев. Очевидно, что метод графового моделирования может использоваться для определения сложности решения задач независимо от их тематического содержания. Количественная же оценка сложности является основной для систематизации задач по степени возрастания сложности их решения.
3. Система задач в обучении
Обучение — это целенаправленный процесс взаимодействия учителя и ученика. В настоящее время перед дидактикой и методикой обучения учебным предметам встает проблема разработки таких педагогических технологий, «целью которых является не накопление знаний, умений, а постоянное обогащение опытом творчества, формирование механизма самоорганизации и самореализации личности» ученика (17]. Опыт творчества проявляется, в частности, в деятельности по решению задач. Чтобы деятельность по решению задач обеспечивала заданный уровень усвоения содержания, необходимо, чтобы система задач удовлетворяла дидактическим принципам. В основу построения дидактической системы задач положены следующие принципы: целостность, структурность, иерархичность, многоуровневость, множественность [4 ]. Систематизация учебных задач по степени возрастания сложности их решения соответствует такому системному принципу как иерархичность, т.е. последовательность расположения задач в системе осуществляется на основе упорядоченности. Сложность предъявляемых учащимся задач должна находиться в зоне их близлежащего действия, т.е. постоянно нарастать. Доказательство этого принципа содержится в теории развивающегося обучения. Довольно часто при построении отдельных систем учебных задач, а также при расположении их в учебниках забывают об общедидактических принципах, ограничиваясь лишь предметным содержанием этих задач [ 16]. Системы задач, обладающие свойством структурной полноты, т.е. построенные с учетом принципов целостности и иерархичности, повышают эффективность и качество обучения и создают определенную экономию времени, необходимого для формирования у учащихся заданного уровня знаний, умений и навыков. Чтобы построить систему задач, удовлетворяющую принципам целостности и иерархичности, необходимо провести структурный анализ системы задач в сборниках задач по физике для средней школы. Структурный анализ задач по молекулярной физике и термодинамике, атакже по электромагнетизму, приведенный нами в сборнике задач [10], выявил: 1) распределение задач по сложности решения N — число задач по соответствующей теме о — сложность решения задачи. Диаграмма распределения задач по сложности ре-
шения по теме «Молекулярная физика и термодинамика» приведена на рис. 7. Диаграмма распределения задач по сложности решения по теме «Электростатика, постоянный ток, электромагнетизм» приведена на рис. 8;
140 120 100 80 60 40 20 0
■ N
68%
(122)
22% 9,5% 0,0% 0,5%
(41) (17) (0) (1)
50
100 150 Рис. 7.
200
250
120 100 80 60 40 20
N
56% (104)
27% (55)
14% (24)
1,8% 1,2% (3) (2)
-1-
О 50 100 150 200 250 а Рис. 8.
2) большое число повторов задач малой сложности;
3) с повышением сложности структуры решения снижается число соответствующих задач. Очевидно, что проблема построения оптимальной дидактической системы физических задач решается с помощью метода математического моделирования.
Заключение
Подводя итог всему вышеизложенному, можно сделать следующие выводы:
1. Графовое моделирование структуры решения задач по физике позволяет ввести количественный критерий сложности структур решения физических задач.
2. Количественный критерий сложности структуры решения задач позволяет систематизировать задачи по степени возрастания сложности структур их решений.
3. Эффективность обучения может быть повышена за счет совершенствования его содержания на основе методически целесообразной системы задач, составленной с учетом сложности структур решения, а также при использовании графовых моделей как средства обучения.
4. Решение задач требует от учащихся большой и достаточно сложной мыслительной работы. Построение графовых моделей в ходе решения задачи является опорой их мыслительной деятельности. Графовая . модель обеспечивает активизацию скрытых резервов мышления и способствует более глубокому и осмысленному усвоению.
Литература
1. Архангельский С.И. Кибернетические аналоги в обучении. — М.: Просвещение, 1968. — 65 с.
2. Березина Л.Ю. Графы и их применение. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1979. — 191 с.
3. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем.
- М.: Наука, 1978. -400 с.
4. Бухарова Г.Д. Теоретико-методологические основы обучения решению задач студентов вуза. Монография. — Екатеринбург, изд.; Урал. Гос. проф.-пед. ун-та, 1995. - 136с.
5. Давыдов В.В. Виды ообощения в обучении. — М.: Педагогика, 1972. -424 с.
6. Жигачева H.A., Рыженко Н. Графовое моделирование структур решений сюжетных задач. Математические структуры и моделирование. —Омск, ОмГУ, 1999. -Вып.4. - С. 104-107.
7. Каменецкий С.Е., Орехов В.Т. Методика решения задач по физике в средней школе. Книга для учителя. — М.: Просвещение, 1987. —356 с.
8. Касымов Р.Я. Модель как средство научной организации обучения. Дисс. канд.пед. наук. — М., 1983.
- 265 с.
9. Ope О. Теория графов. -М.:Наука, 1968. -352с.
10. РымкевичА.П., РымкевичП.А. Сборник задач по физике. — М.: Просвещение, 1982. — 191 с.
11. Тихомиров O.K. Структура мыслительной деятельности человека. — МГУ, 1968. — 304 с.
12. ФлейшманБ.С.,БрусиловскийП.М., Розенберг Т.С. О методах математического моделирования сложных систем. Системные исследования. Методологические проблемы. Ежегодник. — М.: 1982. —С. 65-79.
13. Фридман Л.М. Дидактические основы применения задач в обучении. Дисс. д-ра пед. наук. — М.: 1971. -423с.
14. Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. — М.: Педагогика, 1977. - 208 с.
15. Ходаков Ю.В. Преподавание химии в 7-8 классах. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1969. -318с.
16. Щедровицкий Г. П. К анализу процессов решения задач. Доклады АПН РСФСР. — М.: АПН, 1960. -№5. - С. 25-28.
17. Якиманский И.С. Разработка технологии лич-ностно-ориентированного обучения. //Вопросы психологии. -1995. -№2. - С. 31-42.
БЫКОВА Наталья Павловна, старший преподаватель кафедры физики Омского государственного аграрного университета.
РЫЖЕНКО Николай Григорьевич — кандидат педагогических наук, доцент кафедры теории и методики преподавания математики Омского государственного педагогического университета.
w 513 05 К. Л. ПАНЧУК
Омский государственный технический университет
ПРОЕКТИВНЫЕ СВОЙСТВА И КОНСТРУКТИВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ДУАЛЬНЫХ РЯДОВ И ПУЧКОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА_
Рассматриваются принадлежащие линейчатому пространству дуальные аналоги рядов и пучков второго порядка на проективной плоскости. Исследуются проективные свойства этих аналогов и отмечаются их конструктивные особенности.
В развитие решения проблемы синтеза линейчатых фигур пространства Р3 на основе принципа перенесения А. П. Котельникова{1], рассмотрим конструктивно-геометрические аспекты образования дуальных рядов и пучков второго порядка.
При образовании дуального ряда второго поряд-4 каН2 при помощи двух проективных щеток была отмечена принадлежность осей этих щеток ряду И2 [2]. Покажем, что любая прямая ряда К2 может быть принята в качестве оси образующей щетки. Докажем следующую теорему:
прямые дуального ряда второго порядка образуются двумя проективным» щетками, осикоторых -любые две прямые этого ряда.
Пусть дуальный ряд образуется проективными щетками у,2 и у\ и пусть а, 6, в, р - прямые этого ряда (рис.1). На прямых а и 3 построим щетку (а, £)' первого порядка, а на прямых Р и 6 -также щетку (/?,<?)' первого порядка. Между дуальными пучками 1 -го порядка у,2 (у,2- щетка второго порядка) и(а,5)', также как между у\ и {р,5), можно установить соответствие
