Определение рациональных маршрутов движения поездов в сети дорог Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 656.222.3

А. А. БОСОВ, Ю. В. ЧИБИСОВ (ДПТ)

ВИЗНАЧЕННЯ РАЦЮНАЛЬНИХ МАРШРУТ1В РУХУ ПО1ЗД1В НА МЕРЕЖ1 ДОР1Г

Запропоновано використання мультиграфiв у рацюнальному розподiлi по!здопотошв як задачi векторно! оптишзаци.

Предложено использование мультиграфов в рациональном распределении поездопотоков как задачи векторной оптимизации.

There was suggested the use of multigraphs in the rational distribution of trainflows as a task of vector optimiza-

tion.

Метою 6ано1 роботи е розробка математи-чно! модел! формування рацюнальних компо-зицш состав!в вантажних по!зд!в на шдстав! векторно! оптишзаци з метою задоволення по-питу замовниюв з перевезень вантажу залежно в!д час руху та затрат мехашчно! роботи при рус! по!зд!в.

Мета роботи полягае у визначенш оптима-льних маршрута руху та розподшення по!здо-потоюв по цим маршрутам м!ж вщповщними пунктами.

Класична транспортна задача полягае у ви-значення обсяпв перевезень вщ постачальниюв до споживач!в, щоб транспорта! витрати були мшмальними.

Основш недолши транспортно! задач!

- завдання виршуеться для однородного вантажу;

- не враховуеться пропускна спроможшсть перегошв.

Пропонуеться перейти в!д вантажiв до по!з-д!в { розглядати по!здопот!к.

Метою дано! роботи е реал!защя математи-чно! модел! визначення простих, допустимих маршрут!в та формування рацюнальних компо-зицш состав!в вантажних по!зд!в по маршрутам на шдстав! векторно! оптим!заци.

Обмеження. Враховуеться пропускна спроможшсть колш та заданий по!здопот!к на ме-режi затзнищ.

Розподш по!здопотоку по мереж! будемо оцшювати за допомогою бшарного вщношення Парето, яке визначаеться за допомогою вектора, компоненти якого - час руху та витрати мехашчно! роботи.

Предметною областю задач! е мережа затз-нищ з п станцш. В задач! враховано особли-в!сть перегону, м!ж двома сусщшми станц!ями. Перег!н може мютити в соб! в!д одн!е! до трьох

колш, вщповщно кожна колш матиме свою характеристику:

- напрям руху;

- середнш час руху по!зда;

- пропускна спроможн!сть по!зд!в за певний пер!од часу;

- затрати мехашчно! роботи одного по!зда при рус! по кол!!.

У данш задач! моделлю мереж! затзнищ е мультиграф [1, 2] (рис. 1). Мультиграф - це граф, в якому м!ж двома заданими вершинами може бути декшька дуг. Дуги, що з'еднують одну й ту ж пару вершин, прийнято називати паралельними. Мультиграф будемо задавати наступним чином - О (V, Е), де V - пункти

мереж!, тобто станц!!, Е список дуг (вщповщш кол!!) м!ж пунктами.

Вихiднi дан! та !х позначення:

еп - дуга, еп е Е;

^(еп) - час руху по!зда по дуз! еп ; г (еп) - механ!чна робота по!зда по дуз! еп ; I (еп) - довжина дуги еп ; N(еп) - пропускна спроможн!сть дуги еп . Вх!дною !нформац!ею е задан! по!здопотоки на граф! О(V, Е)- Рц 7, у еV , вщповщно з ве-

ршини 7 в у - парний напрям та навпаки з у в 7 - непарний напрям.

Нехай Wiу е набором простих шлях!в з 7 у

у, а ю = {е } - деякий простий шлях з Wi]■.

Позначимо через Х7]ю частину потоку Ру, який реал!зуеться на шляху ю , тод! мае мюце:

X Xm = Pj i = 1, n -1, i +1 < j < n. (1)

© Босов А. А., Чибисов Ю. В., 2010

Введемо iндикатор дуги е на шляху ю тобто

Е Хю ■ 1ю (е).

(2)

юеЩ

I ю (е) = ■

1, якщо е ею; 0, якщо е ¿ю,

тодi сумарний потiк по дузi е для набору шля-хiв Щ складе

Загальний потш по данiй дузi е буде дорiв-нювати

N (е) = Е Е Хую-1ю (е); е е Е . (3)

г,]еУ юеЩ

Рис. 1. Модель

Якщо N(е) - максимально допустимий потш для дуги е, то повинно виконуватися обме-ження по пропускнш спроможностi

N(е) < N(е), е е Е . (4)

Якщо покласти Т (ю) - час руху по!зда по шляху ю , Т (ю) = Е * (е), де t (е) - час руху по

еею

дузi е , то величина

Р =Е Е X * • Т(ю)

г,¿еУ юеЩ ^

(5)

мережi зал1зниц1 фi О (V, Е).

Введемо позначення Е* - набiр ребер, якi були використанi для побудови набору простих шляхiв мiж усiма вершинами. Тобто мае мюце завдання: визначити такий розподiл потоюв, щоб показники Р*, Рг були якомога меншими, i виконувалися умови (1) i (4).

1ншими словами приходимо до задачi век-торно! оптишзаци [3 - 7]

( Рг(Е,) > Р*( Е,)

■ Ш1П

(7)

характеризуе витрати часу на реатзащю по1з-допотоку Рц (г, j е V) на графi О(V,Е).

Позначимо Я(м>) - затрати мехашчно! робо-

ти по!зда по шляху ю , Л(ю) = Е г(е), де г(е)-

еею

затрати мехашчно! роботи по дузi е , тодi величина

Рг =Е Е х * • ^(ю)

г,jеV юеЩ j

(6)

представлятиме собою також ощнку мехашчно! роботи при реатзаци потокiв Рц г, j е V, на гра-

за умов X * > 0, (1) i (4).

Рiшення дано! задачi дозволяе значно скоро-тити число всшяких варiантiв розв'язкiв i до-помогти особi, що приймае рiшення, серед не-зрiвнянних за Парето варiантiв вибрати ращо-нальний.

Декомпозицiя задачi

При розв'язаннi задачi з визначення опти-мальних маршру^в руху по!здопотоюв виникае необхiднiсть розбиття задачi на окремi тдза-дачь

Декомпозищя задачi на пiдзадачi полегшить реатзащю головного завдання.

У даному випадку можна видiлити такi ос-новш пiдзадачi:

- побудова всiх простих допустимих марш-рутiв мiж станщями;

- розподiлення по!здопотоку по отриманих маршрутах.

При цьому кожна пiдзадача може складати-ся з окремих проспших пiдзадач.

Ви\1дн1 дан1

Для задачi з визначення оптимальних маршрута руху по!здопотоюв вихвдними даними е:

- назва станци в текстовому формату

- назви двох сумiжних станцiй;

- номер коли мiж двома сусiднiми станщя-ми - число вщ 1 до 3;

- напрям руху по коли - парний чи непар-ний;

- пропускна спроможшсть коли (по!здiв за добу);

- середнш час руху по коли (хв);

- затрати мехашчно! роботи по!зда при рус по коли (МДж).

Результати

Результатами, яю отримае користувач при розрахунку маршрута та розподшу по них по-!здопотоку, е:

- список оптимальних маршрута та значен-ня по!здопотоку, який реалiзуеться на кожному з маршрута;

- залежшсть часу руху вщ затрат механiчно! роботи у виглядi графiка для задано! дшянки залiзницi та по!здопотоку, що реалiзуеться на нiй;

- таблиця з навантаження на кожну колда, вказаний номер колi! та кшьюсть по!здiв, що про!де по нш.

Побудова економжо-математичноТ моделi

У сучасних умовах ринково! економiки ос-новним напрямком стабiлiзацi! вантажного комплексу е створення ново! системи оргашза-ци управлiння його господарською дiяльнiстю, а головними завданнями ще! системи повинш бути комплексне управлiння витратами, глибо-ке i постiйне вивчення ринку перевезень i запи-тiв контрагента на перевезення вантажу. Така система поряд з задоволенням запитiв спожи-вачiв послуг дозволить забезпечувати отриман-ня вiд даного виду дiяльностi максимального прибутку i зниження собiвартостi перевезень.

Задача з визначення оптимальних маршрута руху та розподшення по!здопотоюв по цих маршрутах мiж вiдповiдними пунктами представлена у вигщщ задачi векторно! оптимiзацi! за двома параметрами - час руху (Р*(х)) та робота з перемщення по!зда (Рг(х)). Кожен з показниюв бажано зробити якомога меншим, формальний запис ще! вимоги представляе собою:

(

Рг ( х) Р* ( X)

Л

• Ш1П

на значения х накладаеться певна умова, на-приклад, х е Х с Яп та х > 0. Припустимо:

УЛ х) = Рг (х);

у2( х) = Р* (х),

отримуемо можливють вiдобразити множину X в множину У с Я2 i вихiдну задачу сформулю-вати у виглядк

(у1 ^

У 2

■ Ш1П

(8)

за умови у е У . Задача (8) е задачею векторно! ошгашзаци [7, 8].

Найважлившим шструментом розв'язання багатокритерiальних задач е принцип Еджвор-та-Парето (принцип Парето), який стали усш-шно застосовувати ще в XIX ст. Проте до самого недавнього часу цей принцип не був чггко сформульований. Принцип Еджворта-Парето мае цшком певш меж1 застосування та його ви-користання при вирiшеннi деяких завдань ри-зиковано або ж взагалi неприпустимо.

Для того щоб сформулювати принцип Еджворта-Парето, постановку звичайно! багатокри-терiально! задачi, що включае безлiч можливих рiшень i набiр критерi!в (векторний критерiй), необхщно доповнити бiнарним вiдношенням уподобання особи, що приймае ршення (ОПР). Розширена подiбним чином багатокритерiальна задача названа задачею багатокрш^ального вибору. I! ршення полягае у вiдшуканнi так звано! множини вибраних рiшень, яка може складатися з одного елемента, але, в загальному випадку, вона е тдмножиною множини можливих ршень.

У рамках розглянуто! моделi багатокритерi-ального вибору принцип Еджворта-Парето мо-же бути сформульований у вигщщ твердження

про те, що множина вибраних ршень м!ститься в множин! Парето. 1накше кажучи, кожне виб-ране ршення е Парето-оптимальним. Матема-тичний екв!валент цього висловлювання -включення одше! множини в !ншу. Для того щоб довести це включення, слщ певним чином обмежити весь клас задач багатокритер!ального вибору, наклавши спещальш вимоги, теореми чи акс!оми.

Застосування принципу Еджворта-Парето дозволяе з множини вс!х можливих р!шень ви-ключити свщомо неприйнятн! р!шення, тобто т!, як! н!коли не можуть виявитися обраними, якщо виб!р зд!йснюеться досить «розумно». П!сля такого вилучення залишаеться множина, яку називають множиною Парето або областю компром!с!в. Вона, як правило, е досить широкою, ! в процес! прийняття р!шень неминуче постае питання про те, яке саме ршення мож-ливо вибрати серед Парето-оптимальних. Кажучи шакше, як! з Парето-оптимальних р!шень слщ видалити для того, щоб провести подальше звуження област! компром!с!в !, тим самим, отримати б!льш точне уявлення про шукану множину вибраних ршень. Це питання при ви-р!шенн! практичних багатокритер!альних задач е найбшьш важким ! найменш опрацьованим.

Отже розв'язком задач! (8) векторно! опти-м!зац!! е така множина Y*, що вс! !! точки не-зр!внянн! за Парето.

В статп [11] запропонований та описаний метод розв'язку дано! задач! векторно! оптим!-зацп двох змшних.

Нехай K - конус, вершина якого знахо-диться в точщ у* е У*, причому для будь-якого у е K виконуеться умова

де ы1, u2 - компоненти одиничного вектора ы, такого що

Г У1* = Ы1 • V; уу2* = ы2 • t,

тод1 мае м1сце

K П Y = {У*} .

(9)

Надал! будемо припускати, що множина Y задаеться наступним чином:

Y = {y е R2: ht (y) < 0, i = l^fc}. (10)

Нехай y(1) е розв'язок задач!

y1 ^ min,

за умови y е Y, а y(2) за ще! ж умови е розв'язок задач! y2 ^ min .

Рис. 2. Геометрична штерпретащя умови (9)

Дал! перенесемо початок координат в точку 01, в якосп осей координат в!зьмемо 01А1 та 01А2, тод! область Y е К0 (рис. 3). У цш систем! координат мае мюце в!дображення «старих» координат через «нов!» у1 !

[ yi = yi + У(1); 1 y2 = .Р2 + у(2).

(11)

Умова (9) е необх!дною ! достатньою, щоб у* належав розв'язку задач! (8).

Геометрична штерпретащя умови (9) дана на рис. 2.

Рис. 3. Геометрична штерпрета^ розв'язання задач y1 ^ min; y2 ^ min

Вектор з компонентами (y1,y2) будемо по-значати через (y1, y2), що екв1валентно допу-щенню, зм1ст якого очевидний з рис. 4.

Рис. 4. Геометричне уявлення областi тсля перетворення

Нехай вектор u мае координати

fu = cos ф, П

11 0<ф<

I u2 = sin ф,

2

а точка А, що лежить на промеш, що породжу-еться вектором u, мае координати

a = ui • t;

LУ2A = U2 • t,

0 < t.

Введемо функщю H (у), яка визначаеться за формулою

H (у) = m ax {h (у)}.

1<i< k

(12)

Суть умови (14) описуеться, використовую-чи рис. 4.

1. Будь-яка вертикальна лшя, що мае пере-тин з кордоном Y , мае точку, у яко! друга компонента (у2) мшмальна i не перевершуе другу компоненту точки A2 .

2. Будь-яка горизонтальна лшя, що мае пе-ретин з кордоном Y, мае точку, у яко! перша компонента (у,) мшмальна i не перевершуе першу компоненту точки A1 .

Або в математичних термшах:

Нехай min у2 - мшмальна друга компонента точок перетину вертикально! прямо! з межею обласп Y , а min у, - мшмальна перша компонента точок перетину горизонтально! прямо! з межею обласп Y , тодi умову (14) можна сфор-мулювати у виглядi

(min у1,т1п у 2 )i Y , (min у1,т1п у2 )е Ко. (14)

Конус К0 мiстить в w6i область Y .

Розглянемо приклад для лшшно! задачi век-торно! оптимiзацi!.

Дане завдання для двох показниюв мае ви-гляд

(У, ^ у2

■ min

за умови

Ау < b ; у > 0.

Зауважимо, що мае мiсце

> 0, якщо у i Y; H (у) = 0, якщо у е Y;

= 0, якщо у е границ Y.

Задавши кут ф, розглянемо задачу

L = t ^ min . (13)

за умови

H (u • t) = 0.

Нехай t* е рiшенням задачi (13), тодi мае мi-сце наступна теорема.

Теорема 1. Якщо множина Y випукла, то цього достатньо, щоб точка у = u • t* належала Y* [11].

Зауважимо, що задача (13) дозволяе визна-чати точку у* i для невипукло! областi Y, якщо вона задовольняе умов^ що накладаеться на область, яку позначимо як умова (14).

Оскшьки область в данш постановщ пред-ставляе собою випуклу множину, то може бути застосована теорема 1, i приходимо до задачi типу (13).

L = t ^ min , Au • t - b < 0 .

У задачi (13) введено вектор, що дозволяе будувати конус i користуватися необхщною i достатньою умовою (9).

На пiдставi викладеного можна зробити ви-сновок:

- якщо множина Y задовольняе умовi (14), то визначення множини Парето Y* зводиться до послщовносн рiшення задач типу (13);

- якщо множина Y не задовольняе умовi (14), то виршуючи послщовшсть задач (13), отримаемо множину Y , яка мютить в собi Y*.

Отже маемо задачу векторно! оптимiзацi!, задану в наступному виглядi (рис. 5):

(L1 ) vL2 ,

■ min .

(15)

В якш L1 та L2 витрати часу та мехашчно! роботи вщповщно, при

L1 =1 I t;

i, jeV weWij

L2 =I I m(w)Xjw ,

i, jeV weWj

де t (w) - час руху по шляху w, та m (w) - витрати мехашчно! роботи по шляху w, та за

умов Xjjw ^ 0 >

I Xm= Pj i = 1, n -1, i +1 < j < n

aeW,,

та обмеження за пропускною спроможн!стю

N(e) < N(e), e e E ,

L2

u

Ф

L1

де N(е) = £ Е Х^ 4 (е); е е Е

7, jеV юеWij

можемо сформулювати алгоритм розв'язку.

Геометрична штерпреташя задач! (15) в простор! функшонал!в.

Необхщна та достатня умова оптимальносп за Парето:

Рис. 5. Геометрична штерпретацш задач! (15)

П3. За L1 - min i L2 - min визначаеться ш-тервал |ф, ф^ змши кута ф.

П4. Для кожного фе|^ф, ф^ з кроком Дф вирiшуеться завдання

t - min

KP (A)n S = {A},

де A = u ■ t, t - min . Алгоритм:

П1. Виршуеться задача: L1 ^ min

за умови w e DW.j , DW, - набiр простих, допу-

стимих шляхiв.

П2. Виршуеться задача:

L2

Ш1П

за умови w e DW, .

за умов (14), (15), поповнених нер!вностями Ь1 < ы^; Ь2 < ы2?; ы =[ы1, ы2 ] - одиничний вектор.

П5. Будуеться залежн!сть Ь1 в!д Ь2 ! дру-куеться р!шення Парето.

Зм!нн! х7]№ визначають ту кшьюсть по!зд!в,

яку потр!бно пропустити по маршрутах.

Також користувач отримуе зображення у вигляд! графша залежност! затрат часу в!д ви-конано! механ!чно! роботи по!зд!в у масштабах вс!е! д!льниц!.

З економ!чно! точки зору цю !нформац!ю можна використовувати при встановленн! та-риф!в на перевезення вантаж!в. Для кожного значення часу доставки вантаж!в, який буде

влаштовувати замовника, можливо отримати значення величини виконано! мехашчно! робо-ти i вiдповiдно встановити тариф. А також роз-рахувати маршрути руху при заданому часi та композицiю составiв вантажних по1зщв.

Це дасть змогу якнайкраще задовольнити попит контрагентiв залiзницi з перевезення ва-нтажiв.

Приклад. Розглядаеться мережа, що скла-дасться з п'яти станцiй i перегошв, наведених на рис. 6.

Рис. 6. Граф мережi зал1зниць

Характеристика мережк

> N:=5:

> new(G):

VG:=addvertex(1,2,3,4,5,G),•

EG:=addedge([U,2},{3,2},{4,3},U,3},{3,5},U,5},U,4}],weights=[[4,7]

,[6,4],[2,10],[5,4],[1,20],[4,3],[3,3]]^);

draw(G),•

УО := 1,2,3,4,5

ЕО := е1, е2, е3,е4, е5, еб, е7

Обмеження за пропускною спроможшстю перегонiв туда := [120,220,220,150,121,220,220]

> Рр:=та^^х^^,[0,0,0,23,21, 10,0,8,0,17, 20,8,0,5,40, 7,16,5,0,11, 0,17,40,0,0]); Потш пасажирських по1здв.

" 0 0 0 23 21"

10 0 8 0 17

Рр := 20 8 0 5 40

7 16 5 0 11

0 17 40 0 0

>Q:=matrix(N,N,[0,10,0,22,20, 10 ,0, 9,0 ,13, 20

3,15,42,0,0]); Потш вантажних по]дщв.

" 0 10 0 22 20"

10 0 9 0 13

Я := 20 8 0 5 41

7 16 5 0 12

3 15 42 0 0

XP :=

> ff:=50; Кут мiж вектором U та вiccю Pr 1.

ff := 50

Розподш пасажирських i вантажних noi^ÏB

> XP:=Rasp_potok(N,G,E,Nmax_туда,u1,u2,Pp,Q);

Показники pa^OHmbHOcmi розподту пог'здопотоюв:

Prl = 1450,727; P1 = ul • T ; 1450,727; Pr 2 = 172S,943; P2 = u2•T ; 172S,943

Уз,5,2 =41,0; У2,з,1 = S,0; Уз,5,1 =l7,53; У4,5,1 =l2,0; Уз,4,1 = 5,0; y141 = 23,0; t = 2256,96; узД2 = 22,47; умд = 5,0; у2,5Д = 13,0;

У4,5,1 = 11,0; у i ,5,1 = 20,0; у23Д = 9,0; у,4Д = 22,0; у,,, = 10,0;

У2,5,1 = 17,0.

Рoзпoдiл поУздопотоюв по простих шляхах ПоУздопотж

Поездопотоку3 5 2 = 41.00000000 по пути [e4, e6]

Поездопоток x2 31 = S.00000000 по пути [e2] Поездопоток x3 51 = 17.53405S40 по пути [e5] Поездопоток у451 = 12.00000000 по пути [e7, e6] Поездопоток x3 41 = 5.00000000 по пути [e3] Поездопоток xl 41 = 23.00000000 по пути [e7] Поездопоток x3 5 2 = 22.46594161 по пути [e4, e6]

Поездопоток у341 = 5.00000000 по пути [e3] Поездопоток у251 = 13.00000000 по пути [el, e6] Поездопоток x4 51 = 11.00000000 по пути [e7, e6] Поездопоток yj 5 j = 20.00000000 по пути [e6] Поездопоток xl 4 j = 23.00000000 по пути [e7] Поездопоток xj 5 j = 21.00000000 по пути [e6] Поездопоток у2 3 j = 9.00000000 по пути [e2] Поездопоток yj 4 j = 22.00000000 по пути [e7] Поездопоток yj 2 j = 10.00000000 по пути [el] Поездопоток x2 5 j = 17.00000000 по пути [el, e6]

У даному приклащ ф = 42 , ф = 74 градуси.

У вщповщносп до алгоритму з кроком у 5 гра-душв вирiшуeмо задачi типу (15) i отримуемо варiанти рацiонального розподшу по1здопото-KiB, а значення показниюв L1 та L2 наведено в наступнш таблицi:

Таблиця 1

ф L1 L2

1 42 1639,91 1476,54

2 43 1603,12 1494,94

3 45 1556,71 1556,71

4 50 1450,73 1728,94

Таблиця 1 (заынчення)

5 55 1338,39 1911,49

6 60 1217,23 2108,37

7 65 1084,01 2324,86

8 70 938,00 2579,11

9 73 885,77 2897,36

10 74 865,62 3018,27

II-II пг

Графiчне зображення цих результатiв наведено на рис. 7.

Scatterplot (Spreadsheet 3v*12c) L2 = 4467,6223-1,8745*x

800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700

L1

Рис. 7. Взаемозв'язок мгж показниками

Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК

1. Андерсон, Дж. А. Дискретная математика и комбинаторика [Текст] / Дж. А. Андерсон; [пер. з англ.]. - М.: Изд. дом «Вильямс», 2004. -960 с.

2. Березина, Л. Ю. Графы и их применение [Текст]: пособие для учителей / Л. Ю. Березина. - М.: Просвещение, 1979. - 143 с.

3. Ногин, В. Д. Принятие решений в много критериальной среде: количественный поход [Текст] / В. Д. Ногин. - М.: Физмат, 2002. - 144 с.

4. Соболь, И. М. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями [Текст] / И. М. Соболь, Р. Б. Статников. - М.: Наука, 1981. - 210 с.

5. Поденоский, В. В. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач [Текст] / В. В. Поденоский, В. Д. Ногин. - М.: Наука. Главн. ред. физ.-мат. лит-ры, 1982. - 256 с.

6. Машунин, Ю. К. Методы и модели векторной оптимизации [Текст] / Ю. К. Машунин. - М.: Наука, 1986. - 141 с.

7. Ларичев, О. И. Теория и методы принятия решений [Текст] / О. И. Ларичев. - М.: Логос, 2000. - 295 с.

8. Парето-оптимальное моделирование инженерных задач [Текст] / В. И. Седых [и др.] // Комп'ютерний журнал. - 2004. - 22 с.

9. Опис систем МОП, «Д1СО» [Електрон. ресурс] : опис. - Режим доступе: http://www.psi-movi.com

10. Система IOSO NM 1 [Електрон. ресурс] : опис. -Режим доступе: http://www.iootech.com

11. Bosov, A. A. Vector Optimization by Two Objective Junctions [Electron. resource] : description / A. A. Bosov, G. N. Kodola, L. N. Savchenko. -Access Mode: http://arxiv.org/pdf/0708.4307v1

Надшшла до редколегп 12.05.2010. Прийнята до друку 28.05.2010.