Тяговые расчеты на множестве Парето по двум показателям Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.42.05

В. В. ЛАГУТА (ДПТ)

ТЯГОВ1 РОЗРАХУНКИ НА МНОЖИН1 ПАРЕТО ЗА ДВОМА ПОКАЗНИКАМИ

Задача тягових розрахуншв розглядаеться як задача про розподш ресурсу у векторнш постановщ. Ршен-ня грунтуеться на динам1чному програмуванш з використанням безл1ч1 точок оптимальних за Парето зна-чень цшьово! функцп (енерпя, час).

Ключовi слова: оптимальш тягов1 розрахунки, динам1чне програмування, векторна оптим1зац1я в тягових розрахунках, ефективш траектори руху по!зда

Задача тяговых расчетов рассматривается как задача о распределении ресурса в векторной постановке. Решение основывается на динамическом программировании с использованием множества точек оптимальных по Парето значений целевой функции (энергия, время).

Ключевые слова: оптимальные тяговые расчеты, динамическое программирование, векторная оптимизация в тяговых расчетах, эффективные траектории движения поезда

The problem of train traction calculations is considered as the one of resource allocation in a vector formulation. The solution is based on dynamic programming using a set of points of the optimal Pareto objective function values (energy, time).

Keywords: optimum traction calculations, dynamic programming, vector optimization in traction calculations, effective paths of train motion

Тяговi розрахунки дозволяють виршувати численш практичш задач^ що виникають при проектуванш та експлуатаци залiзниць.

На залiзничному транспорт методи розроб-ки тягових розрахунюв i необхщш для !х вико-нання нормативи регламентуються Правилами тягових розрахунюв (ПТР) для по1зно! роботи [1 - 6].

Для математичного формулювання задачi необхщно враховувати фiзичну суть явищ, що супроводжують процес руху по!зда, основнi прийоми та способи тягових розрахункiв. У бшьшосп випадкiв тяговi розрахунки вимага-ють оперативностi !х проведення.

Сьогодш найактуальнiшою проблемою е проблема економп енергоресурсiв. У той же час необхщно вантаж доставляти шд час, а в бага-тьох випадках - в найкоротшi термiни.

Запропонований пiдхiд стосовно рiшення задачi оптимальних тягових розрахунюв розглядаеться як багатостадшний процес прийнят-тя ршень. На кожнiй стадii необхiдно прийняти рiшення так, щоб його результат був оптималь-ним з точки зору всього процесу. В задачi ста-дiями е iнтервали путь Задача управлшня шви-дкiстю i часом руху сформульована в термшах динамiчного програмування.

Метою роботи е розробка прогнозу результат i формування рекомендацiй по мож-ливим впливам на процес руху поiзда з метою ведення його в оптимальних умовах стосовно енергп i часу. Розробка чисельного методу оптимальних тягових розрахунюв з використанням векторноi оптимiзацii для двох показниюв.

Актуальнiсть

Одним з радикальних способiв, що забезпе-чуе стiйкiсть на ринку надання транспортних послуг, е економiя енергоресурсiв. Залiзнична мережа Украши зливаеться з залiзницями Росii, Бшоруси, Польщi, Чехословаччини, Румунii та ш. Географiчне розташування Украши мае великий потенщал до транзитних перевезень. Не-зважаючи на iстотне зниження обсягiв перевезень, умови роботи затзничних пiдприемств Украши залишаються важкими i це в першу чергу пов'язано iз щорiчним зростанням цш на енергоносii. Значна частка використання енергii припадае на забезпечення тяги поiздiв. Про-блемi економii енергоресуршв придiляеться по-стiйна i пильна увага у вшх галузях промисло-востi i не тiльки на транспорта

Сьогоднi важливою проблемою е створення компромiсно-оптимальних режимiв тяги поiздiв

© Лагута В. В., 2011

для показниюв споживання та часу доставки вантажу. Вартiснi показники ефективностi руху по!здiв вимагають нових пiдходiв до розробки методiв оптимального розрахунку режимних карт ведення по!здiв. Для аналiзу доцiльностi переходу на режими руху, оптимальш за варт> стю електроенерги, необхiдно виконати досл> дження ефективних для вектора показниюв:

- витрати електроенерги;

- вартосп електроенерги при заданому об-сязi перевезень;

- графк руху.

Ефективнi (компромiсно-оптимальнi) режими представляють набiр умовно-оптимальних режимiв руху (або ж дiльничних швидкостей), якi застосовуються залежно вiд задано! переваги характеристик векторно! цшьово! функ-ци [7].

Аналiз л^ературних джерел

Дослiдження в областi оптимiзацil управ-лiння тягою транспортних засобiв початi ще Охоцимським («К теории движения ракет», 1946 г.). Практичш застосування теори оптимального керування почались пiсля виходу робiт Л. С. Понтряпна [8], Болтянського [9], Беллма-на [10].

В розвиток теори тяги по!здiв внесли

A. М. Бабичков, В. Ф. Сгорченко, Д. А. Штанге, Д. К. Мшов, I. П. 1саев та шшь Динамiка тяги розвивалась в роботах С. А. Чаплигша,

B. А. Лазаряна, Н. А. Панькша, В. В. Деева,

C. П. Блохша, А. А. Босова, Г. К. Гетьмана.

Характерною особливютю робгг за оптима-

льними тяговими розрахунками е пристосуван-ня схем i методiв до обчислювально! технiки. В основу багатьох алгоршмв покладено принцип Беллмана. Експериментальш розрахунки сьогодш дозволили накопичити певний досвiд з оптимiзацil.

Одним з напрямiв впровадження методiв управлiння на транспортi, е розробка таких об-числювальних систем, як дозволяли б оптимально управляти по!здом, як в замкнутому цикл (автоматичне керування), так i в режимi реко-мендацiй (тдказок). Практика показала, що для бшьшо! ефективностi необхiдно розробити до-сить дiевi математичнi методи розв'язання задач оптимальних тягових розрахункiв, на шд-ставi яких можна було б розробити т чи iншi

алгоритми для конкретних iнженерних задач, з наступним уточненням i доробкою на реальних процесах керування поездами або в системах управлiння. Дана проблема висвгглена в роботах [11 - 14].

У роботах Костромша А. М. [15 - 17] вико-ристовуеться як класичне варiацiйне числення, так i методи математично! теори оптимального управлiння, що з'явилися у фундаментальних працях Понтряпна i Беллмана. Проблема оптимальних режимiв управлiння локомотивом роз-глядаеться як шженерне завдання. В основу методiв рiшення покладений в бшьшост випа-дкiв принцип максимуму.

Роботи [18 - 20] присвячеш, в основному, розробщ методiв ошташзаци режимiв водiння поlздiв, заснованих на використанш сучасно! математично! теорi! управлiння i обчислюваль-них засобiв. Критерiем оптимальносп в бшь-шостi виконаних робгг служить мiнiмум витрат енергi! на тягу по!здiв, хоча зустрiчаеться та-кож застосування iнших показникiв ефективно-стi органiзацi! перевiзного процесу, наприклад час руху по!зда по дшянщ, що використовуеть-ся в задачах на швидкодда або точнiсть вико-нання заданого часу ходу i т.п. Проте незалеж-но вщ прийнятого критерiю i параметра опти-мiзацi! задача вибору оптимальних режимiв водiння по!зда розглядалися в однокрш^аль-нiй постановцi.

Застосування методiв векторно! ошташзаци до вирiшення двокритерiально! задачi оптим> зацi! тягових розрахункiв викладеш в роботах [21 - 23]. У роботах дослщжуеться рiшення двокритерiальних задач методом векторно! оп-тимiзацi!. Для аналiзу можливих шляхiв вир> шення використовуеться метод параметризацi!, проводиться аналiз завдання тягових розрахун-юв як завдання векторно! оптимiзацi!. Запропо-нований метод оптимiзацi! грунтуеться на яюс-ному дослiдженнi режимiв руху на елементар-ному вiдрiзку коли. До недолтв можна вщнес-ти вщсутшсть чисельних методiв векторно! оптимiзацi! орiентованих до використання обчислювально! техшки що реалiзують даний метод.

1. Постановка задачi

Розглядаеться задача, яка змютовно вiдома як задача оптимальних тягових розрахунюв. Величини /(5), ^(^) - показники, що вщобра-

жають перевiзний процес i являють собою ви-трати енергоресурав (електроенергiя, паливо) i часу на доставку вантажу;

5 - координата коли. По1'зд розглядаеться як тверде тiло з масою зосереджено! в його центра Рiвняння руху потягу враховуються як в [24].

Вважаються заданими:

- поздовжшй профiль коли;

- обмеження швидкостi по коли проходжен-

ня;

- маса по!зда;

- тип вагошв, навантаження на вiсь;

- маса електровоза;

- тяговi характеристики електровоза;

- обмеження часу проходження;

- початкова i кiнцева швидюсть;

- довжина дiлянки коли.

З точки зору витрат енергоресyрсiв на рух виникае задача про побудову закону керування потягом, де критерiем оптимальност е витрата енергоресyрсiв. Критичним залишаеться вимога витрат часу на проходження по!зда для дано! дiлянки.

Нехай 5 - координата коли, 0 < 5 < l;

l - довжина дiлянки коли (значения кшце-во! координати дшянки);

v(5) - швидкiсть руху по!зда;

f (v(5)) - витрати енергоресyрсiв;

t (V(5)) - функщя витрат часу в залежносп вiд обрано! швидкостi руху;

T - час руху по дшянщ.

Задача на оптимальне управлшня рухом поезда з мiнiмальною витратою енерги коротко можна сформулювати так: знайти таке допус-тиме управлшня v(5), при якому вiдповiдний витрат енергоресyрсiв був би мшмальним i виконувався графiк руху на данш дiлянцi.

Зазвичай задача оптимального управлшня руху по!зда з мшмальним витратами енергоре-сyрсiв мае вигляд

min f (5) (2)

V ( 5 )

за умови

t(v(5)) = T , 0 < 5 < l. (3)

Управлшням е швидкiсть руху.

Модель (2)-(3) враховуе не всi обмеження. Необхщно при розрахунках ще врахувати й ш-

шi чинники: початкову та кшцеву швидкiсть, характеристики локомотива (обмеження на питому дотичну силу, обмеження на питому га-льмiвну силу, ККД й ш.), обмеження швидюс-ного режиму, переев тягового двигуна.

Пом'якшимо жорстку умову щодо часу проходження (3) i замiсть рiвностi (2) будемо роз-глядати обмеження

г(у(5)) < Т , 0 < 5 < I. (3')

Модель (2)-(3') е неперервною. Для побудо-ви схеми розв'язку задачi перейдемо до вщпо-вiдноi дискретно!' моделi.

Розiб'емо дiлянку колii 0 < 5 < I на N еле-

ментарних дшянок {[5]_1, 5] ]}, j = 1,...,N . У точках розбиття Sj швидкiсть V = у(5]) може приймати кiнцеву безлiч значень У}-, j = 1,•..,N :

V =Ь (5]')}, *=^т,

де Ш] - кшьюсть елеменпв у множит V].

Величина Ш] визначаеться обмеженнями на

швидюсть руху в точцi 5] та у спошб дискре-

тизацii v( 5]) (регулярний крок розбиття, нере-

гулярний крок розбиття, величина кроку розбиття). Залежно вщ вибраноi швидкостi руху V е V] в точцi розбиття колii 5] елементарна

дiлянка |5]_1, 5] ^ може бути прослiдувана за

час г - = г(V]) - невщ'емна величина, при цьому

витрати енергоресурав складуть / = /(V]) -

також невщ'емна величина. Витрати енергоре-суршв на дiлянцi 0 < 5 < I = 5N являють собою суму всiх витрат на елементарних дiлянках. Витрати часу для 0 < 5 < I = 5N представляють суму часу вщповщних встановленому енерго-ресурсу на елементарних дшянках. 1накше, функщя витрат енергоресуршв i функщя витрат часу е адитивш функцп, визначенi на кiнцевих множинах V].

Потрiбно вибрати такий режим руху потягу vk , к = 0...N и vN наданi), при якому су-марш витрати енергоресурсiв були б мшмаль-ними, i при цьому загальш витрати часу не ви-водили з встановленого графiка руху (сумарш

витрати часу не перевершували задано1 вели-чини T )•

Розглянута задача про оптимальний рух по-1зда з мiнiмальними витратами енергоресурсiв (2)-(3') е канонiчною задачею про розподiл ресурсу [25, 26] • Для ïï рiшення пропонуеться схема методу динамiчного програмування. За-мють рекурентних рiвнянь використовуеться покрокове обчислення безлiчi точок, оптимальних за Парето, на площиш значень цiльовоï фу-нкцiï й ресурсу.

У прийнятих позначеннях формальна постановка задачi запишеться так. Знайти мшмум суми:

X f (V ), V eVj., j = 1... N

(4)

j=i

при обмеженнях

(у,) < Т , V,. еУ} , 1 = 1...К. (5)

1=1

Передбачаеться, що безлiч (5) допустимих рiшень не порожня.

2. Схема динамiчного програмування

Задача (4)-(5) представляе собою вiдому задачу оптимального розподшу ресурсу, для ви-рiшення яко! використовуеться метод динамiч-ного програмування [11, 12]. Наведемо основш спiввiдношення цього методу. Позначимо через Б}- (и) оптимум наступно! задачi: знайти мiнi-

мум суми

X fk V)

k=1

J

при обмеженнях X ti (y ) < u vi eVi, j = 1... N,

i=1

де j приймае значення 1,..., N, 0 < u < T . Очевидно, величина BN (T ) дорiвнюе оптимуму вихiдноï задачi (4), (5). Ïï розрахунок проводиться за рекурентним рiвнянням

Bj (u) = mm {B]_1[u -1] (y )] + f] (y )}

' v .fV. \ t. (v ,)<u ^ ' ' ' 11)

Vj fVj \ tj (Vj )<u

0 < u < T j = 1,...,N.

(6)

При такiй органiзацiï обчислень необхiдно

покласти Б0(и) = +<х>, 0 < и < Т , i Б} (и) = 0,

якщо мшмум в (6) береться по порожнш без-лiчi.

При великих значеннях Т i N розрахунок з використанням рiвнянь (6) вимагае значного обсягу пам'ят i часу рахунку. Нижче пропонуеться пiдхiд, який дозволяе ютотно заощаджу-вати обчислювальш ресурси.

На площинi двох змшних введемо вщно-шення часткового порядку

(х, у) < (г, w) ^ х < у , г < w .

Нехай А - деяка безлiч точок на площинi. Точки з А, мшмальш щодо часткового порядку, називають оптимальними за Парето або просто паретовськими. Розглянемо безлiч точок вигляду

Р = Х ^ (V,), Т = Х ^ (V),

,=1 1=1

де вектор (у1, у2, ...,У1) проби-ае всi значення, що задовольняють умовам

X (V,.) < Т , V,. е¥г, 1 = 1... ] .

1=1

Сукупнiсть паретовських точок ще! множи-ни позначимо через S]■. З кiлькох рiвних паретовських точок у безлiч S]- включаеться тiльки одна. Позначимо через (Р]к,Т^) , к = 1,...,К1 точки безлiчi S]- , нумеруючи !х за зростанням координат, тобто

рп < 1 < .-Р*, , Т1 <Т2 < .ТК .

Неважко бачити, що Б ,(Т ) = Р,к, к = = 1,..., К1. Функщя Б,(и) е неспадною по аргументу и при даному 1. I! графш складаеться з дшянок постшносп i точок зростання, якi i складають безлiч S , . Таким чином, безлiч S]-

мiстить всю необхiдну iнформацiю про функци в мiнiмальному обсязi.

Безлiчi Sj, 1 = 1,..., N перераховуються по

кроках, аналогiчно рiвнянням (6). На початко-вому кроцi вважаемо S0 = {(0,0)}. Опишемо спiльний крок. Нехай вже побудовано безлiч

1 = {р-и, Т1-1,к, к = 1,., К1-1}.

Розглянемо безлiч точок (Р, Т) вигляду

Р = ^]_1.к + /] (V]), Т = Т] _1, к +О (V] ), де к = 1,...,К_1, а змiнна v. пробiгае вс зна-чення, що задовольняють умовам:

Т]_1.к + О (Vj) < Т, Vj е^ .

Видiляючи з цiеi множини паретовськi точки i залишаючи з рiвних точок тшьки одну, отри-муемо безлiч

^ = {(], ] ), к = ^ К} .

Цей процес завершуеться побудовою безлiчi

SN = {(РN ,к , ), к = 1,., KN } .

Величина дорiвнюе оптимуму почат-

ково! задачi. Вiдповiдне вказаному оптимуму значення Тше витратами часу. Тут викорис-

тано таку властивють рiшення: перспективнi пари (Р, Т) утворюють безлiч Парето, а вс ш-шi можна видалити (але можна i залишити). У реальнiй реалiзацii представленого алгоритму попередньо видiляються для кожного значення шдексу ] = 1,...,N паретовськi точки безлiчi

{/] (V] X О (V]), V] е^}

i використовуються в розрахунках тшьки вони.

Якщо перспективнi пари (Р, Т) не вилуча-ти, то серед безлiчi пар (Р, Т) можна знайти таю, яю оптимiзують час. У самому сприятли-вому випадку серед безлiчi паретовських пар можна вибрати найбiльш пiдходящi до умов графiку руху за витратами часу та енергоре-сурав.

Ефективним рiшенням багатокритерiальноi задачi називають оптимальне по Парето ршен-ня [27]. Пошук ефективного ршення називають ще програмуванням на множит Парето. Чисе-льна реалiзацiя методу динамiчного програму-вання на множинах Парето дозволяе застосову-вати обмеження на використання ресурсу.

Наведемо приклад пошуку ефективних тра-екторiй по Парето. Процедуру побудови ефективного ршення надамо для багатостадiйного процесу, що моделюеться графом (рис. 1), ана-логiчному топологи сггки, яка використовуеть-ся при оптимальних тягових розрахунках з до-помогою динамiчного програмування. Граф

(сггка) вiдображаe процес руху вiд стади Dk до

Dk+1, k = 1,...,11 (вiдрiзок пут [Dk,Dk+1] ) i 3mîh

стану (вiд швидкост vi до швидкостi Vj ) в на-

прямках, що задаш стрiлками (дуги). Процеси переходу вщ однieï стадiï руху до шшо1 харак-теризуеться парами (e, t), де e - витрати енер-

riï при переходi вщ швидкостi vi до швидкостi Vj, t - вщповщш витрати часу для подолання вiдрiзку пут [Dk, Dk+1]. Формально можна ска-зати, що кожнш дузi графа поставлено вщпов> дно пару чисел (вектор). Для наданого графа необхiдно визначити оптимальш траекторiï по Парето (ефективш траекторiï), що ведуть з по-чатковоï вершини v1 до кшцево1' v12 на множе-нi паретовських точок (ep, tp ), що характери-

зують процес руху.

На графi в кожнiй вершит проставлено не-зрiвняннi по Парето варiанти, якi вказують на-прямок руху (змши станiв для кожно1' стадiï) з дано1' вершини в початок пут (покажчик на по-передню вершину ^ vm ) i яю витрати енергiï e и ресурсу часу t при цьому будуть.

Оптимальш по Парето траекторп на графi видшено товстими лшями. Процедура оптим> зацiï проводилася ручними розрахунками i з допомогою розробленого програмного забезпе-чення. Для наданого прикладу ефективними траекторiями е:

- перша траекторiя проходить через послщов-нiсть вершин

v1 ^ v2 ^ v4 ^ v9 ^ v11 ^ v12 '

вщповщш витрати енерги e12 = 7, часу t12 = 7 ;

- друга траекторiя проходить через послщов-нiсть вершин

v1 ^ v3 ^ v5 ^ v9 ^ v11 ^ v12, вщповщш витрати енерги ё]2 = 6, часу t12 = 10 .

Даний приклад несе тшьки демонстратив-ний характер. Показники процесу (e, t) i кшь-юсть вершин в графi вибрано випадково. Задачi тягових розрахункiв вiдповiдае лише тополопя графу.

Слiд зазначити, що в випадку не виконання обмеження на ресурс часу t < T (взагалi якого-небудь ресурсу), така траекторiя не розгляда-еться, Стосовно прикладу, якщо маеться обме-ження t < 9, друга траекторiя до розгляду як ефективна не береться.

Рис. 1. Граф багатостадшного процесу задач1 тягових розрахуншв. Ефективш траекторп процесу.

) - Парето-оптимальш (ефективш) траекторп руху; - швидюсть руху; (е, - показники руху при переход! з1 стану в стан V.; Ик - стадй руху; (ё, Г ) —> \>т - покажчик (зворотний) руху по «паретовськш» траекторп та вщповщш значения витрат енергп ~ё \ часу Г в напрямку початково! вершини

Висновки

Задача на оптимальне управлшня рухом по-!зда з мiнiмальною витратою енерги та обме-женням часу можна звести до задачi оптимального розподшу ресурсу, для виршення яко! ви-користано метод динамiчного програмування на сукупностi паретовських точок безлiчi пар (Р, Т) = (енерг1я, час) . Ршення, засноване на паретовських точках, не едине. На безлiчi р> шень по Парето вибираеться одне, що найбiльш пiдходить за компромюом щодо органiзацi! пе-ревiзного процесу для дано! дiлянки.

Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК

1. Подвижной состав и тяга поездов [Текст] / под ред. Н. А. Фуфрянского и В. В. Деева. - М.: Транспорт, 1979.

2. Правила тяговых расчётов для поездной работы [Текст]. - М.: Транспорт, 1985.

3. Справочник по тяговым расчётам [Текст] / П. Т. Гребенюк [и др.]. - М.: Транспорт, 1987.

4. Подвижной состав и тяговое хозяйство железных дорог [Текст] / под ред. А. П. Третьякова. -М., 1971.

5. Кокурин, И. М. Эксплуатационные основы устройств железнодорожной автоматики и телемеханики [Текст] / И. М. Кокурин, Л. Ф. Кондратенко. - М.: Транспорт, 1989.

6. Тяговые расчёты [Текст]: методические указания к курсовому проектированию / под ред. Ю. Н. Ликратова. - Новосибирск, 1989.

7. Рекомендации по обеспечению энергооптимального процесса перевозок на основе информационных технологий управления системами электрической тяги: решение комиссии ОСЖД от 30 октября 2003 г. [Текст].

8. Математическая теория оптимальных процессов [Текст] / Л. С. Понтрягин [и др.]. - М.: Наука, 1983. - 392 с.

9. Болтянский, В. Г. Математические методы оптимального управления [Текст] / В. Г. Болтянский. - М.: Наука, 1966. - 307 с.

10. Беллман, Р. Динамическое программирование [Текст] / Р. Беллман. - М.: ИЛ, 1960. - 400 с.

11. Ковальський, А. Н. Система автоматического управления поездом метрополитена (САУ-М) и ее модернизация [Текст] / А. Н. Ковальский // Тр. МИИТ. - 1968. - Вып. 276. - С. 3-13.

12. Система автоведения пассажирского по!'зда [Текст] / Е. В. Ерофеев [и др.] // Тр. МИИТ. -Вып. 492. - С. 3-10.

13. Гаккель Е. Я. Автомашинист для грузового тепловоза [Текст] / Е. Я. Гаккель // Тр. ЛИИЖТ. -1964. - Вып. 232. - С. 3-8.

14. 3имарьков, Б. Д. Локомотивом управляет автомат [Текст] / Б. Д. 3имарьков // Электрическая и

тепловозная тяга. - 1973. - № 7. - С. 21-22.

15. Костромин, А. М. Методы определения оптимальных режимов вождения поездов [Текст] / А. М. Костромин. - Гомель: БелИИЖТ, 1974. -43 с.

16. Костромин, А. М. Об интегрировании уравнений движения поезда и расчете оптимальной траектории [Текст] / А. М. Костромин // Тр. БелИИЖТ. - 1974. - Вып. 132. - С. 3-11.

17. Костромин, А. М. Об оптимальном управлении локомотивом при электрической тяге [Текст] / А. М. Костромин // Тр. БелИИЖТ. - Вып. 156. -1977. - С. 3-23.

18. Погосов, В. Ю. Прогнозирование расхода электроэнергии на тягу поездов с учетом выброса параметров грузовых поездов и условий эксплуатации [Текст] : автореф. дис. ... канд. техн. наук: 05.09.93 / В. Ю. Погосов. - М.: МИИТ, 1990. - 23 с.

19. Гетьман, Г. К. Определение оптимальной по минимуму расхода энергии на движение поезда мощности локомотива [Текст] / Г. К. Гетьман // В1сник ХарДАЗТ. - Х., 2000. - Вип. 39. -С. 41-48.

20. Беляев, А. В. Алгоритм оптимального по расходу электроэнергии управления движения поезда [Текст] / А. В. Беляев, А. Г. Вольвич, Н. Ю. Федорова // Сб. науч. тр. Всерос. научн.-иссл. и проектно-конструкт. ин-та электровозостр. -М., 1998. - № 39. - С. 160-169.

21. Босов, А. А. Векторная оптимизация в задачах тяговых расчетов [Текст] / А. А. Босов, Г. К. Геть-ман // В1сник Харшвського держ. полггехн. ун-ту. - Вип. 73. -Х.: ХДПУ, 1999. - С. 23-27.

22. Гетьман, Г. К. Применение векторной оптимизации для решения задачи тяговых расчетов / Г. К. Гетьман // В1сник Харшвського держ. полггехн. ун-ту. - Вип. 62. - Х.: ХДПУ, 1999. -С. 12-19.

23. Босов, А. А. Параметризация в задачах векторной оптимизации [Текст] / А. А. Босов, Г. К. Гетьман // Транспорт: зб. наук. пр. -Вип. 5. - Д.: Наука 1 освиа, 2000. - С. 62-65.

24. Тяга поездов [Текст] / В. В. Деев [и др.]. - М.: Транспорт, 1987.

25. Беллман, Р. Прикладные задачи динамического программирования [Текст] / Р. Беллман, Дрейфус. - М.: Наука, 1965. - 458 с.

26. Вентцель, Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология [Текст] / Е. С. Вентцель. - М.: Дрофа, 2004. - 208 с.

27. Подиновский, В. В. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач [Текст] / А. В. Подиновский, В. Д. Ногин. - М.: Наука, 1982. - 256 с.

Надшшла до редколеги 11.05.2011.

Прийнята до друку 19.05.2011.