CC BY
29
В.Е. ПОДКОВЫРОВ
аспирант Иркутского государственного университета
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИРОДНОЙ РЕНТЫ В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО ИСТОЩЕНИЯ ПРИРОДНЫХ РЕСУРСОВ
В литературе по оптимизационному моделированию экономических систем1 широко распространена интерпретация двойственных переменных как теневой цены, характеризующей маргинальный (предельный) вклад того или иного фактора производства в прибыль предприятия или любой другой критерий качества. Сопоставление маргинальных оценок с внешними рыночными ценами применяется при определении стоимости использования капитала, трудовых ресурсов и пр. Попытки же перенесения подобного подхода в экономику природных ресурсов с целью определения природной ренты признаны несостоятельными2.
Это не удивительно, так как культивируемое в моделях управления природно-экономическими системами3 уравнение динамики добычи ресурса
(1)
где q(t) — количество ресурса, добываемого в единицу времени; R(t) — количество ресурса, добытого к рассматриваемому моменту времени t, не учитывает самой сути горной дифференциальной ренты — условий ее образования.
Как писал Ю.В. Разовский, дифференциальная горная рента — это дополнительный незаработанный доход от использования недр, обусловленный их лучшими характеристиками4. Однако в рассматриваемом случае уравнение динамики извлечения ресурса (1), а значит, и соответствующие значения сопряженных переменных будут одинаковыми что для случая высокопродуктивных залежей, что для трудноизвлекаемых запасов.
Попытки привести в соответствие формальную математическую модель с реальными условиями недропользования были произведены М.З. Борщевским, A.A. Макаровым и В.Н. Ханаевой5. Рассмотрим и скорректируем применительно к рыночным реалиям предлагаемую ими модель недропользования в условиях плановой экономики
и, используя экономическую интерпретацию сопряженных переменных задачи оптимального управления, определим значение дифференциальной горной ренты.
Пусть добыча (выпуск) ресурсов записывается с помощью дифференциальных уравнений
(2)
где — количество ресурса /'-го вида, добываемое в единицу времени; x (t) — количество ресурса, добытого к рассматриваемому моменту времени t; s/(x/) — функция истощения; u (t) — затраты добычи; n — число различных видов добываемых ресурсов.
Истощаемому ресурсу соответствует убывающая функция истощения s (x ), неисто-щаемому — s (x ¡) = const. Именно благодаря введению в рассмотрение данной функции появляется возможность отражения в модели условий добычи и характеристик месторождения, что недостижимо при использовании уравнения динамики ресурса (1).
Дополнительно введем в модель терминальное ограничение вида
(3)
где V/ — запас ресурсов на /-м источнике.
В отличие от граничного условия для сопряженной переменной у ¡(T) = 06, терминальное ограничение (3) дополняет описание модели требованием принципа устойчивого развития о комплексном и наиболее полном извлечении из недр природного сырья.
Добавляя в модель ресурсное ограничение вида
(4)
где p ¡(t) — цена единицы /-го ресурса в момент времени t; c (t) — собственное потребление недропользователя, мы в упрощенной форме (без учета рынка заемного капитала) вводим в рассмотрение рыночный механизм формирования затрат добычи, в отличие от модели Борщевского, Макарова и Ханаевой, где данные затраты определялись лишь областью допустимых значений, что присуще
© В.Е. Подковыров, 2007
В.Е. ПОДКОВЫРОВ
моделям плановой экономики. Экономический смысл соотношения (4) состоит в расходовании недропользователем выручки от продажи ресурса на покрытие затрат добычи и на собственное потребление (например, выплата дивидендов акционерам).
Выражая затраты добычи и из соотношения (4) как
(5)
Р, (^)^1 (X)-1 '
заметим, что условия неотрицательности управлений и (), с,(/), вытекающие из экономического смысла переменных, будут выполнены в случае
(6)
где г/(х,-) = 1 / s¡(x¡) — функция удельных затрат добычи.
При этом условие р¡(/) > г^х) будем считать выполненным в модели в любой момент времени t, так как в случае его нарушения добыча ресурса невозможна ввиду ее убыточности.
В качестве функционала будем использовать одну из наиболее распространенных функций полезности — функцию полезности с постоянной эластичностью замены, или изоэластичную функцию полезности7:
1
(9)
1
(7)
Jnc, (t), Y = 1
где — коэффициент
относительного неприятия риска (coefficient of relative risk aversion). Функцию полезности (7) называют также CRRA функцией полезности.
Таким образом, критерий качества управления будет иметь вид
(8)
_
0 I = 1
где р — норма предпочтения недропользователя.
Приступая к качественному анализу полученной модели недропользования, по причине сепарабильности задачи относительно вида добываемого ресурса исключим из дальнейшего рассмотрения индексы, определяющие вид добываемого ресурса.
Максимизируя (8) при условиях (2)-(7), получим следующее уравнение Эйлера:
откуда,интегрируя с учетом условий (2)-(3), получим, что оптимальное потребление недропользователя имеет траекторию
с(() = , (10)
где
------------------
/ в-'” ш - 2(х))-'а (11)
I
Как видно из (9)—(11), собственное потребление недропользователя экспоненциально снижается с темпом ру.
Уравнение для определения сопряженной переменной, получаемое из условия максимума гамильтониана по управлению, будет иметь вид
(12)
Соотношение (12) позволяет сделать вывод о том, что сопряженная переменная у(^, трактуемая Борщевским и др. как рента за истощение, является величиной неположительной.
Вывод же данных ученых о равенстве нулю ренты за истощение для неистощае-мого ресурса в рассматриваемой модели не подтверждается. Это обусловлено использованием в качестве функционала вместо тривиального случая прибыли недропользователя нелинейной CRRA функции полезности. Впрочем, и сам вывод о тождественном равенстве нулю сопряженной переменной, базирующийся на следующих соотношениях:
■у (Г) = о
безоснователен для случая задачи оптимального управления с терминальным ограничением (3), так как в этом случае граничное условие для сопряженной переменной у(Т) = 0 исключается из условий задачи8.
Дополнительным преимуществом использования функционала (8) является возможность включения в пределы модели ранее не укладывавшихся в подобную схему видов природопользования, таких как водопользо-вание9.
Само по себе понятие ренты за истощение не является общепринятым термином экономики природных ресурсов10 и не имеет
Известия ИГЭА. 2007. № 6 (56)
ничего общего с величиной природной ренты. Ее изъятие у недропользователя вместе со всеми доходами, превышающими текущую норму процента или нормальную прибыль (что эквивалентно определению ренты в понимании Н. Сениора, Ф. Уокера), как это предлагается Борщевским11, возможно лишь, пожалуй, в условиях централизованной экономики бывших социалистических стран. В современных условиях рыночной экономики такое изъятие ренты за истощение привело бы к снижению доходности капитала в топливно-сырьевом секторе до уровня, меньшего текущей нормы процента, и не позволило бы вкладывать туда капитал потенциальным инвесторам.
С точки зрения проблемы исчисления природной ренты больший интерес представляет нахождение сопряженной переменной, характеризующей предельный вклад в функцию полезности недропользователя не единицы ресурса кумулятивного выпуска , а единицы ресурса фактического выпуска в единицу времени, т.е. .
Произведя замену переменных ,
где q(t) — выпуск ресурса в единицу времени, введем в рассмотрение, наряду с исходным уравнением динамики запаса ресурса , х(0) = 0, х(Т) = V, уравнение
динамики интенсивности добычи ресурса
(13)
с граничными условиями:
1
С учетом инвариантности найденного на предыдущем этапе решения задачи относительно данного преобразования приведенное значение сопряженной переменной, соответствующей дифференциальному уравне-
нию (13) и выражающей предельный вклад единицы добытого ресурса в полезность недропользователя, будет находиться как
1
Так как функция удельных затрат добычи z'(x) возрастающая, то приведенное значение сопряженной переменной ф(/) является величиной неотрицательной, что позволяет нам трактовать ее как значение природной ренты, получаемой недропользователем.
Примечания
’ Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М., 2002; Turnov-sky S.J. Macroeconomic Dynamics. Cambridge, 2000.
2 Данилов-Данильян В.И. Природная рента и управление использованием природных ресурсов // Экономика и математические методы. 2004. Т. 40, № 3.
3 Dasgupta P., Heal G. The optimal depletion of exhaustible resources // The review of economic studies. 1974. Vol. 41; Pindyck R.S. The optimal exploration and production of nonrenewable resources // The journal of political economy. 1978. Vol. 86, nr. 5.
4 Разовский Ю.В. Горная рента. М., 2000.
5 Борщевский М.З., Макаров А.А., Ханаева В.Н. Динамическая задача рационального использования энергетических ресурсов // Оптимальное управление природно-экономическими системами. М., 1980; Борщевский М.З. Исследование стратегии оптимального использования ресурсов в энергетике: ди^ ... канд. техн. наук. Иркутск, 1986.
6 Там же.
7 Blanchard O.J., Fisher S. Lectures on macroeconomics. Cambridge, 1993.
8 Дыхта В.А., Деренко Н.В. Модели оптимального управления в макро- и микроэкономике. Иркутск, 2003.
9 Данилов-Данильян В.И. Указ. соч.
10 Матвеев Ю.Ф., Субботин М.А. Рентный подход в недропользовании. М., 2003.
11 Борщевский М.З. Указ. соч.
.
Известия ИГЭА. 2007. № 6 (56)
