Определение положения эллиптической полости в упругом цилиндре по отражению звука Текст научной статьи по специальности «Физика»

Khryakov Kirill Stanislavovich, candidate of technical sciences, kirill-khryakov@,mail.ru, Russia, Moscow, Russian University of Transport (RUT - MIIT),

Sorokin Pavel Alekseevich, doctor of technical sciences, professor, pavalsorarambler. ru, Russia, Moscow, Russian University of Transport (RUT - MIIT)

УДК 593.3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ В УПРУГОМ ЦИЛИНДРЕ ПО ОТРАЖЕНИЮ ЗВУКА

С.А. Скобельцын, Н.Ю. Пешков

Предлагается метод определения положения центра эллиптической полости в упругом цилиндре по известному рассеянному полю плоской гармонической звуковой волны. Проведена проверка схемы идентификации положения центра полости в ряде численных экспериментов. Исследовано влияние погрешности измерительных приборов на точность определения параметра цилиндра. Предложенный алгоритм достаточно универсален и может быть использован для идентификации различных параметров упругого препятствия.

Ключевые слова: дифракция звука, обратная задача, смещение эллиптической полости, метод золотого сечения, датчики, погрешность измерения.

Определение параметров рассеянного звукового поля на основе известных параметров падающей волны, геометрических параметров упругого препятствия и свойств его материала, а также свойств материала содержащей среды, как правило, не может быть использовано непосредственно для решения практических задач.

Существенный практический интерес представляют задачи определения параметров упругого препятствия по полностью или частично известному рассеянному полю. Такие задачи относятся к классу обратных задач [1-3]. В теоретическом плане полное решение таких задач представляет существенные трудности. Влияние многих искомых параметров на результат решения задачи о рассеянии звука является нелинейным, что не позволяет использовать аппарат линейных интегральных уравнений. Для решения ряда практических задач достаточно эффективными оказываются вариационные методы, при использовании которых ищется приближенное решение, доставляющее экстремальное значение функционала, величина которого характеризует степень соответствия приближенного решения точному.

В работе рассматривается задача определения величины смещения центра эллиптической полости относительно оси упругого цилиндра вдоль одной из координатных осей декартовой прямоугольной системы Oxy (смещение Dx или Dy) по рассеянному полю плоской гармонической звуковой волны. Для общности обозначим смещение вдоль координатной оси через Dxy .

Предполагается, что бесконечный изотропный однородный упругий цилиндр I радиуса R, материал которого имеет плотность р, модуль Юнга E и коэффициент Пуассона v , содержащий эллиптическую полость II с полуосями a и b (a - большая, b - малая), находится в жидкой (газообразной) среде III с плотностью ро и скоростью звука cq (рис. 1). Обозначим координаты центра эллиптической полости в декартовой прямоугольной системе координат Oxy через (xq, уо).

Рис. 1. Геометрия обратной задачи

Из среды III на цилиндр по направлению нормали к его образующей падает монохроматическая гармоническая плоская звуковая волна единичной амплитуды, в которой потенциал смещений частиц жидкой (газообразной) среды имеет вид

Y = ei(k0 r-wt),

(1)

где r - радиус-вектор, w - круговая частота, t - время, а k 0 - волновой вектор, определяющий направление распространения падающей волны такой, что |ko| = ko = w/ со - волновое число в содержащей среде III. Положим, что направление оси Ox совпадает с направлением волнового вектора падающей волны. Тогда (1) примет вид

Y = ei(k о x-wt)

В результате взаимодействия с препятствием волна искажается и образуется рассеянная волна, в которой потенциал смещений частиц жидкой (газообразной) среды обозначим через Ys.

Предполагается, что в рассеянном поле известно полное акустиче-2

ское давление p = pw Yq , где Yq = Yp + Ys. Величина p фиксируется

конечным числом датчиков. Датчики расположены в узловых точках круговой границы Г радиуса r. Крестовыми маркерами и подписями Vk

(k = 1, K) изображены позиции датчиков. Предполагается, что сами датчики не вносят искажений в процесс рассеяния. Заметим, вместо p можно использовать потенциал Yq, который отличается от давления только постоянным множителем.

Для определения смещения Dxy по известному рассеянному акустическому полю воспользуемся подходом, использованным в работах [4, 5], где предлагается вариационная постановка обратной задачи рассеяния звука при определении параметров упругого препятствия.

Предполагается, что выполняется измерение полного акустического давления (значения модуля потенциала Yq ) в процессе рассеяния плоской звуковой волны упругим цилиндром в соответствии со схемой, приведенной на рис. 1, для нескольких фиксированных значений смещения центра

эллипса Dxyj (j = 1, J) из интервала [Dxy1, Dxy 2 ]. Требуется найти дейст-

*

вительное смещение центра эллиптической полости Dxy на основании измеренных данных.

Обозначим вектором Т o (Dxyj) совокупность измеренных значений

потенциала Yq для смещения Axyj в точках Vk, т.е.

Т o (Dxy j )= <

Yo j1

Yo j 2

Yq jK

(2)

Через Уojk будем обозначать фактическое значение потенциала ЧЪ, в точке Vk, рассчитанное для смещения Dxyj. Очевидно, что в случае отсутствия ошибок измерения

^ -к -у 0 -к.

В общем случае измеренные значения ^о— включают погрешность, которая может быть связана, например, с погрешностями используемых измерительных приборов. Кроме того, сами теоретические (расчетные) значения у о д могут содержать ошибки из-за неточности задания

параметров модели. Отнесем все погрешности в расчетах к измеренным значениям ^о д, представляя их в виде суммы

^0 к -У о к + е,

где е - некоторая случайная величина с нулевым математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением ео (полагается, что е имеет нормальное распределение N (о; е о)).

Совокупность рассчитанных значений для заданного смещения Аху- будем представлять вектором

V 0

(Аху 7 )=

У о 71 У о- 2

У о-к

построенным аналогично (2).

Близость выбранного для вычислений значения смещения Аху7 к

действительному можно охарактеризовать нормой

6(Лху7-)- Т о (Ахуу)-у о (ахУ* £ К- -Уо к ^

(г*)-[

к-1

* * Уо1 Уо2

отсутствия

Т о Лху - у о

|(лху*)

г.

ошибок

- о.

^ -М-

У о к\ . Очевидно, что при Аху- - Лху в слу-

(ео - о) получаем

где у 0 чае

б(Аху* )-

Таким образом, задачу определения смещения центра эллиптической полости можно сформулировать следующим образом: найти такое значение Аху из интервала [Аху^ Аху2 ], при котором совокупное отклонение расчетных значений потенциала ^о - у о от измеренных значений Т о будет минимальным, или формально

8(Аху) ® шт . Ахуе[Ахуь Аху 2 ]

Задача (3) является нелинейной задачей оптимизации. Ее решение

' *

Аху = Аху является оценкой действительного смещения Аху .

В качестве характеристики точности метода идентификации смещения Аху введем абсолютную погрешность

*

1

Лху — Лху

Для оценки влияния параметров схемы измерений на точность идентификации смещения центра эллиптической полости проведен ряд

численных экспериментов для различных сочетаний параметров K, £q

*

при действительном смещении Лху =±0.15 м. При каждом наборе значений параметров проводилась серия из 100 экспериментов с псевдослучайными значениями e. Определялись выборочные значения среднего квад-ратического отклонения s[X]. Заметим, что s[X] характеризует погрешность предложенного метода идентификации смещения Лху.

Предполагалось, что наблюдается рассеяние плоской звуковой волны для значений смещения Лху из интервала [— 0.3, 0.3].

Количество датчиков K предполагалось равным 16 или 32. Полярные углы датчиков фк определялись формулой

jk = (k — 1)Лф, где постоянный шаг Лф = 2я/K .

Параметр 80 принимал значения из интервала [0.0005, 0.0045] с постоянным шагом 0.0001 м .

Поиск локального минимума смещения Лху осуществлялся с помощью метода золотого сечения. Значения полного акустического давления Y0 на границе Г были получены численно в математическом пакете COMSOL Multiphysics.

При выполнении приближенного решения выбирались следующие механические и геометрические характеристики цилиндра:

геометрические параметры: радиус R = 0.5 м ;

механические параметры материала цилиндра - меди:

- плотность р = 8920 кг/м3 ,

- модуль Юнга E = 11 • 1010 Па,

- коэффициент Пуассона V = 0.3.

Предполагалось, что в среде III, имеющей внутренний r = 1 м и внешний Г0 = 5 м радиусы, а также заполненной водой с плотностью

Р0 = 1000 кг/м3, скоростью звука С0 = 1403 м/с распространяется плоская гармоническая звуковая волна с частотой, соответствующей волновому размеру k0R » 2.24 .

а

б

Рис. 2. Зависимости 5(Аху) при смещении центра полости вдоль Ох,

а - ео - о,оо15, К -16; б - ео - о,оо45, К -16 (начало)

114

в

г

Рис. 2. Зависимости 8(Аху) при смещении центра полости вдоль Ох:

в - ео = 0,0005, К = 32; г - е0 = 0,0025, К = 32 (окончание)

115

5х103

12 10 8 6 4 2

-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 лу> м

а

0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Ау, м

б

Рис. 3. Зависимости 6(Аху) при смещении центра полости вдоль Оу:

а - ео - о,ооо5, К -16 ; б - ео - о,оо35, К -16 (начало)

116

в

г

Рис. 3. Зависимости 8(Аху) при смещении центра полости вдоль Оу:

в - е0 = 0,0015, К = 32; г - е0 = 0,0045, К = 32 (окончание)

а

б

Рис. 4. Зависимость о(ео) при смещении центра полости вдоль оси Ох: а - К -16; б - К - 32 118

а

б

Рис. 5. Зависимость о(е0) при смещении центра полости вдоль

оси Оу: а - К = 16; б - К = 32 119

На рис. 2, 3 представлены зависимости 8(Axy). Пунктирная линия на графиках демонстрирует идеальную схему измерений с £q = 0. Сплошна линия показывает усредненную схему измерений по 100 экспериментам.

Вертикальный штрих-пунктирный отрезок указывает на оси абсцисс зна-

*

чение Axy , а вертикальный сплошной отрезок - значение Axy, соответствующее аргументу решения задачи (3), т.е. величину Axy, при которой 8(Axy) имеет минимальное значение. Круговыми маркерами на сплошной и крестовыми маркерами на пунктирной линиях отмечены расчетные значения d(Axyj), а промежуточные значения функции 8(Лху) были интерполированы кубическими сплайнами. Отметим, что зависимости, приведенные на рис. 2, 3, наглядно показывают, что уменьшение ошибки eo измерения потенциала Yo приводит к приближению графика 8(Axy) к идеальной зависимости и уменьшению погрешности измерения смещения

I *

Axy - Axy .

На рис. 4, 5 представлены зависимости о[£] от eo - s(eo). Круговыми маркерами отмечены расчетные значения Seo), а промежуточные значения функции o(e o) были интерполированы сплайнами. Рис. 4, 5 подтверждают тот факт, что увеличение ошибки eo измерения потенциала Yo приводит к увеличению выборочного значения среднего квадратического отклонения о[£].

Проведенный анализ показывает, что предложенная схема измерений может быть использована для идентификации смещения центра эллиптической полости Axy с удовлетворительной точностью. Точность оп-

*

ределения смещения Axy можно варьировать путем изменения количества датчиков K или ошибки измерения потенциала Yo - eo.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и Правительства Тульской области (проект № 16-41-7ioo83).

Список литературы

1. Агранович З.С., Марченко В.А. Обратная задача теории рассеяния. Харьков: Изд-во Харьковского ун-та, 196o. 268 с.

2. Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: Физматлит, 2oo7. 224 с.

3. Bui H.D. Inverse problems in the Mechanic of Materials: An Introduction. CRC Press, Boca Ration, FL, 1994. 318 p.

12o

4. Иванов В.И., Скобельцын С.А. Моделирование задачи идентификации положения полости в упругом препятствии по рассеянному звуковому полю // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 74 - 86.

5. Толоконников Л. А., Ходюшина Е.В. Определение радиуса концентрической полости упругой сферы по известному рассеянному акустическому полю // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 211 - 218.

Скобельцын Сергей Алексеевич, канд. физ.-мат. наук, доц., skbl@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Пешков Никита Юрьевич, инженер-программист, nikita.peshkoff@yandex.ru, Россия, Тула, Developer Express Inc.

DETERMINATION OF THE ELLIPTIC CAVITY POSITION IN AN ELASTIC CYLINDER

BY REFLECTION OF SOUND

S.A. Skobeltsyn, N. Y. Peshkov

The method of determining the center's position of the elastic cylinder's elliptic cavity by using the known scattered field of the plane harmonic acoustic wave has been developed. Verification of scheme for elliptic cavity's center's position identification in the series of experiments has been carried out. The influence of measuring instruments error on the accuracy of cylinder parameter determination has been researched. Explained algorithm is universal and can be appliedfor identification of elastic body's arbitrary parameter.

Key words: sound waves diffraction, inverse problem, displacement of the elliptic cavity, golden-section method, sensors, measurements error

Skobeltsyn Sergey Alekseevich, candidate of physical and mathematical sciences, do-cent, skbl@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Peshkov Nikita Yurievich, software engineer, nikita.peshkoff@yandex. ru, Russia, Tula, Developer Express Inc.