Определение плотности тепловых стационарных потоков на поверхностях гильзы цилиндра ДВС методом оптимальной фильтрации Калмана Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вюник Придшпровсько! державно! академп будiвництва та архиектури, 2016, № 1 (214) ISSN 2312-2676 УДК 621.43

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТЕПЛОВЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ПОТОКОВ НА ПОВЕРХНОСТЯХ ГИЛЬЗЫ ЦИЛИНДРА ДВС МЕТОДОМ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ КАЛМАНА

ЗАРЕНБИН В. Г., д. т. н, проф.

Кафедра эксплуатации и ремонта машин, Государственное высшее учебное заведение «Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры», ул. Чернышевского, 24-а, 49600, Днепропетровск, Украина, тел. +38 (0562) 47-59-82, e-mail: [email protected]

Аннотация. Постановка проблемы. При исследовании теплонапряженности и термической усталости двигателей внутреннего сгорания (ДВС) определяющими являются знание и анализ локальных температур и тепловых потоков в основных деталях, образующих камеру сгорания. Теоретически задача заключается в решении уравнения теплопроводности при заданных особенностях протекания тепловых процессов на границе тел. При этом возникает проблема точности решения, т. к. она зависит от точности задания реальных граничных условий, которые можно получить только с помощью физического эксперимента и соответствующего метрологического обеспечения. В отличие от температуры, тепловой поток не может быть измерен непосредственно, поэтому его определяют по разнице температур (градиентный метод) или по изменению во времени энтальпии (калориметрический метод). Наиболее распространено определение плотности потоков с помощью, так называемых датчиков теплового потока, когда измеренные температуры используются при решении обратной задачи теплопроводности для выбранного теплометрического элемента. В этом случае, кроме требования одномерности распределения температур, линейности и минимального искажения температурных полей тепловой системы, возникают значительные трудности вычисления производной от измеряемой температуры. К перспективным можно отнести методы исследований, которые принято называть кибернетической диагностикой или идентификацией систем. Суть их заключается в том, что сравнивается искаженная (зашумленная) информация об объекте с его математической моделью и затем определяются его состояние, параметры или входные воздействия путем минимизации квадратичной функции невязки. В работе дано определение плотности тепловых стационарных потоков на поверхностях гильзы цилиндра ДВС методом оптимальной фильтрации Калмана, а также оценка их достоверности и точности. Показана возможность применения фильтрации Калмана при экспериментальных исследованиях в ДВС. Цель статьи -- определение плотности стационарных тепловых потоков на поверхностях гильзы цилиндра ДВС методом оптимальной фильтрации Калмана, а также оценка их достоверности и точности. Выводы. Показана возможность определения плотности стационарных тепловых потоков методом оптимальной фильтрации Калмана для разработанной модели теплопередачи через гильзу цилиндра ДВС. Результаты математического моделирования показали постоянную устойчивость и сходимость идентификации с окончательными предельными относительными погрешностями оценок максимальной плотности теплового потока и коэффициента аппроксимации, не превышающими 5 %.

Ключевые слова: гильза цилиндра ДВС, плотность теплового потока, фильтр Калмана, достоверность, точность

ВИЗНАЧЕННЯ ГУСТИНИ ТЕПЛОВИХ СТАЦ1ОНАРНИХ ПОТОК1В НА ПОВЕРХНЯХ Г1ЛЬЗИ ЦИЛ1НДРА ДВЗ МЕТОДОМ ОПТИМАЛЬНО?

ФШЬТРАЦП КАЛМАНА

ЗАРЕНБ1Н В. Г., д. т. н, проф.

Кафедра експлуатацп та ремонту машин, Державний вищий навчальний заклад «Придшпровська державна академш будiвництва та архггектури», вул. Чернишевського, 24-а, 49600, Дшпропетровськ, Укра!на, тел. +38 (0562) 46-93-68, тел. +38 (0562) 47-59-82, e-mail: [email protected]

Анотащя. Постановка проблеми. Для дослвдження теплонапруженосп й термiчноl утоми двигушв внутршнього згоряння (ДВЗ) визначальним е знання й аналiз локальних температур i теплових потоков в основних деталях, що утворюють камеру згоряння. Теоретично завдання полягае в розв'язку рiвняння теплопроввдносп при заданих особливостях перебиу теплових процейв на межi тш. При цьому виникае проблема точносп розв'язання, тому що вона залежить ввд точносп завдання реальних граничних умов, яш можна одержати тшьки за допомогою фiзичного експерименту й ввдповщного метролопчного забезпечення. На ввдмшу ввд температури, тепловий потж не можна вимiряти безпосередньо, тому його визначають за рiзницею температур (градiентний метод) або за змшою в чай ентальпп (калориметричний метод). Найпоширешше визначення густини потоков за допомогою так званих датчиков теплового потоку, коли вимiрянi температури використовуються для розв'язання зворотно! задачi теплопроввдносп для обраного теплометричного елемента. У цьому випадку, ^м вимоги одновимiрностi розподшу температур, лшшносп й мшмального спотворення температурних полiв теплово! системи, виникають значш труднощi обчислення похвдно! ввд вимiрюваноl

температури. До перспективних можна вiднести методи дослвджень, яш прийнято називати к1бернетичною дiaгностикою або шентифшащею систем. Суть !х полягае в тому, що порiвняються спотворена (зашумлена) iнформaцiя про об'ект i3 його математичною моделлю й попм визначаються його стан, параметри або вхвдш впливи шляхом мiнiмiзaцi! квадратично! функци вiдхилу. У стaтгi даеться визначення густини теплових стaцiонaрних потоков на поверхнях гiльзи цилiндрa ДВЗ методом оптимально! фiльтрaцi! Калмана, а також оцiнкa !х вiрогiдностi й точность Показано можливiсть застосування фшьтрацп Калмана в експериментальних дослвдженнях у ДВЗ. Мета cmammi - визначення густини стацюнарних теплових потошв на поверхнях гшьзи цилiндрa ДВЗ методом оптимально! фшьтрацп Калмана, а також оцшювання !х вiрогiдностi й точность Висновки. Показано можливiсть визначення густини стацюнарних теплових потоков методом оптимально! фшьтрацп Калмана для розроблено! моделi теплопередaчi через гiльзу цилiндрa ДВЗ. Результата математичного моделювання показали постшну стiйкiсть i збiжнiсть iдентифiкaцi! з остаточними найбшьшими ввдносними похибками оцшок максимально! густини теплового потоку й коефщента aпроксимaцi! такими, що не перевищують 5 %.

Ключовi слова: гыьза цилтдра ДВЗ, густина теплового потоку, фыьтр Калмана, вiрогiднiсть, точшсть

DEFINITION OF DENSITY OF THE THERMAL STATIONARY STREAMS ON A SURFACES OF A SLEEVE OF CYLINDER INTERNAL COMBUSTION ENGINE BY A METHOD OF OPTIMUM FILTRATION KALMANA

ZARENBIN V. G., Dr. Sc. (Tech.), Prof.

Chair of maintenance and repair of cars, State Higher Education Establishment «Pridneprovsk State Academy of Civil Engineering and Architecture», 24-A, Chernishevskogo str., Dnipropetrovsk 49600, Ukraine, тел. +38 (0562) 47-59-82, e-mail: [email protected]

Summary. Problem statement. At research warmly intensity and thermal weariness of internal combustion engines (ICE) the knowledge and the analysis of local temperatures and thermal streams in the basic details forming the chamber of combustion is defining. Theoretically the problem consists in the decision of the equation of heat conductivity at the set features of course of thermal processes on border of bodies. Thus there is a problem of accuracy of the decision since it depends on accuracy of the task of real boundary conditions which can be received only by means of physical experiment and corresponding metrological maintenance. Unlike temperature the thermal stream cannot be measured directly, therefore it define on a difference of temperatures (thermal gradient a method) or a calorimetric method. Definition of density of streams with the help as named gauges of a thermal stream when the measured temperatures are used at the decision of a return problem of heat conductivity for chosen thermometric an element is most extended. In this case, except the requirement of one-dimensionality of distribution of temperatures, linearity and the minimum distortion of temperature fields of thermal system, there are considerable difficulties of calculation derivative of the measured temperature. To perspective it is possible to carry methods of researches which it is accepted to name cybernetic diagnostics or identification of systems. Their essence consists that the deformed information on object is compared to its mathematical model and then are defined its condition, parameters or entrance influences by minimization of square-law function are nonviscous. In work definition of density of thermal stationary streams on surfaces of a sleeve of cylinder ICE by a method of optimum filtration Kalmana and also an estimation of their reliability and accuracy is made. Possibility of application of filtration Kalmana is shown at experimental researches in ICE. The purpose. Definition of density of stationary thermal streams on surfaces of a sleeve of cylinder ICE a method of optimum filtration Kalmana, and also an estimation of their reliability and accuracy. Conclusions. Possibility of definition of density of stationary thermal streams by a method of optimum filtration Kalmana for the developed model of a heat transfer through cylinder ICE sleeve is shown. Results of mathematical modelling have shown constant stability and convergence of identification with definitive limiting relative errors of estimations of the maximum density of a thermal stream and factor of approximation not exceeding 5 %.

Keywords: a sleeve cylinder ICE, a density thermal stream, filtration Kalman, reliability, accurac

Постановка проблемы. При исследо- ча заключается в решении уравнения тепло-

вании теплонапряженности и термической проводности при заданных особенностях про-

усталости двигателей внутреннего сгора- текания тепловых процессов на границе тел.

ния (ДВС) определяющим является знание При этом возникает проблема точности реше-

и анализ локальных температур и тепловых ния, т. к. она зависит от точности задания ре-

потоков в основных деталях, образующих альных граничных условий, которые можно

камеру сгорания [1; 2]. Теоретически зада- получить только с помощью физического экс-

перимента и соответствующего метрологического обеспечения.

В отличие от температуры, тепловой поток не может быть измерен непосредственно, поэтому его определяют по разнице температур (градиентный метод) или по изменению во времени энтальпии (калориметрический метод). Наиболее распространено определение плотности потоков с помощью так называемых датчиков теплового потока, когда измеренные температуры используются при решении обратной задачи теплопроводности для выбранного теплометрического элемента [3; 4]. В этом случае, кроме требования одномерности распределения температур, линейности и минимального искажения температурных полей тепловой системы, возникают значительные трудности вычисления производной от измеряемой температуры.

К перспективным можно отнести методы исследований, которые принято называть кибернетической диагностикой или идентификацией систем [5; 6]. Суть их заключается в том, что сравнивается искаженная (зашумленная) информация об объекте с его математической моделью и затем определяются его состояние, параметры или входные воздействия путем минимизации квадратичной функции невязки.

Теоретические и практические основы кибернетической диагностики тепловых систем некоторых конструктивных элементов теплоэнергетических устройств изложены в работе [6]. Однако в ней не рассматривается использование разработанных методов применительно к деталям ДВС. Частный случай оценки граничных условий теплообмена через поршневые кольца ДВС с помощью алгоритма дискретного фильтра Калмана приведен в работе [7].

Цель статьи - определение плотности стационарных тепловых потоков на поверхностях гильзы цилиндра (ГЦ) ДВС методом оптимальной фильтрации Калмана (ФК), а также оценка их достоверности и точности.

Основной материал. Математическая модель рассматриваемой тепло-

измерительной системы при постоянстве тепловых потоков во времени может быть записана в следующем виде:

X = 0,

где: х =

qm0

C 2П

t = f (X о) + е,

- вектор истинных значений

искомых параметров, включающий максимальную плотность теплового потока qmo по высоте гильзы и коэффициент аппроксимации

С20 ; t - вектор измерений температур в N точках ГЦ; е - вектор погрешностей с нулевым математическим ожиданием и диагональной ковариационной матрицей.

Для вычисления прогноза вектора измерений / в виде функции параметров Xис-пользовано аналитическое решение стационарной теплопроводности при граничном условии (ГУ) q=qme^C2z на внутренней поверхности и ГУ третьего рода на наружной поверхности ГЦ [8-10]:

t = (1+0). tw,

где

0(z,V) = ZCn cos(«»z)

Т1+£Бт uß)—

m=1 £mn

(1)

m

Kin = C2. Kim

1-e"c2cosßm

C22 +£

Kim = am R ,

^fw

= T>1 •Klm(1-BiwAi^), Cn1 = 1 прид, = 0, Biw

иначе СП1 = 0,5.

б1=-m 2

+ß)-Kßrt

uß) =

Yß) - fYß)

Jo(ßmV) -

Biw

Jß) ß jo(ß:

Yß),

£mn = ßm Biw=a„RH$=(Rh/H)2, ri=R/Rh, z=h/H,

4 = R /Rh, 0 = (tk - tw)/tw■

J0, J1, Y0, Y1 - функции Бесселя соответственно первого и второго рода, нулевого и первого порядка; ¡л„, ßm - корни характеристических уравнений:

г

sin М„ = 0 Uo (ßm V\) = 0.

t - температура ГЦ с координатами R и h; aw, tw - коэффициент теплоотдачи и температура охлаждающей среды со стороны внешней поверхности ГЦ; Хц - коэффициент теплопроводности материала ГЦ; RBH, RH, H - соответственно внутренний, наружный радиусы и высота ГЦ.

Рис. 1. Движение оценок С т (сплошные линии) и С2 (пунктирные линии) к своим эталонным значениям при начальном значении С 2 0 = 0,8 и различных начальных величинах С :

" т о

1 - 1*105 Вт/м2,

2 - 6*105 Вт/м2

Рис. 2. Движение оценок с (сплошные линии) и С 2 (пунктирные линии) к своим эталонным значениям при начальном значении С 2 о = 0,2 и различных начальных величинах С т :

1 - 1*105 Вт/м2,

2 - 6*105 Вт/м2

Для оценки вектора неизвестных параметров X к выбранной модели был применен ФК, который описывается уравнениями [5]:

Хк+1 = Хк + Кк+1 +1 - Ч+1 , Кк+1 = Рк • н 1+1 [як+1 РкНкт+1 + ЕI1,

Р = Р - К • н • Р

1 к +1 1 к ^ к +1 11 к +1

где Хк+1 - оценка вектора неизвестных параметров, полученная на (к + 1) шаге вычисления на основании вектора измерений

температур ГЦ Хь

X,

'к + 1

оценка вектора неизвестных па-

раметров на к-м шаге вычисления,

Хк+1 - прогноз вектора измерений, определяемый путем решения принятой

модели при оценке вектора Xк ,

Кк+1 - весовая матрица фильтра, Рк, Рк+1 - ковариационные матрицы ошибок оценок параметров на к и (к + 1) шагах вычислений;

Е - матрица дисперсий погрешностей измерений температур о2,

н+1

н

матрица измерений в виде:

д/

к + 1

дX

где Я Я

д с

/ъ -

составляющие вектор - функции /(X); N - размерность

вектора прогноза измерений Г .

Элементы матрицы Нк+1 (функции

чувствительности) найдены аналитически с использованием уравнения (1):

де

дСт

= £ Сп С05С«,Л)

41 +Х Бтиа (Рл) -2-

т=1 Ьтп

де | ^ С ( ) где:

41с 2 +1 Бтио (РЛ) •-С2

т=1 Ьтп

41, = Л

(1 - Ым> )1пл1

Вт

К11„

К/1Ч = С2

Rн(1 - е-с2 008 цп)

(С 22 + М2п) :

• К1, л • и0 (Рл);

I т

4 1с 2 = Л

(1 - Biw Iп л)

Вт

К1С

К1С2 = Кт

1- е-С2 • соъцп С22 +£

+С2 • Кт

е С2 • со^п[С22 +£] -2• С2(1-е-С2 собд,)

2

бС 2 Kil

С 2 ^ Р 2 С 2

г т

(С22 +^2)2

Л1ио (РтЛ1 ) .

Математическое моделирование процедуры идентификации выполнено для следующих начальных оценок искомых величин: ,т0 = 1 • 10 5 и 6105 Вт/м2, С, = 0,2 и 0,8.

Значения остальных параметров: Хц = 52 Вт/(мК), Хт = 60 0С, Ян = 0,057 м, Н = 0,095 м; Вiw = 5, щ1 = 0,9.

Предварительными расчетами установлено, что с погрешностью не более 2 % можно ограничиться двумя корнями рт и шестью корнями Предполагалось, что измерению подлежат температуры в точках на расстоянии 0,5 мм от внутренней поверхности ГЦ с матрицей относительных высот = [0 0,25 0,5 0,75 1].

В качестве эталонных величин были взяты = 3105 Вт/м2, С2Э = 0,5. При этих значениях параметров по уравнению (1) определялись температуры гильзы цилиндра 0 (2, пО, которые затем искажались помехой 8.

Ковариационные матрица ошибок начальных оценок параметров Р0 и матрица дисперсий погрешностей измерений температур Е принимались в следующих диагональных формах:

Ро = ^ [1011 1], Е = ^ [1 1 1 1 1].

На рисунке 1 изображены движения оценок С и (С 2 к своим эталонным значениям

1т

при начальном значении С20 = 0,8 и различных начальных величинах ,т , а на рисунке 2 соответственно при С20 = 0,2.

Как видно из графиков, для всех исходных величин наблюдается устойчивая сходимость оценок их эталонным значениям. Погрешность оценки максимальной плотности теплового потока , т при числе шагов вычисления не более 20 не превышает ±3 % независимо от неточности задания начальной оценки , т 0, разброс которой может достигать 100

%.

Несколько худшая сходимость получена для оценки С2, которая при числе шагов до

+

к

20 составляет ±16 %, а при числе шагов более 60 может уменьшиться до ±5 %.

Для приближенного определения достоверности оценок д т и с 2 была исследована форма квадратичной функции невязки [5; 6]:

N

ф (х) = x [а (хо) -а (x)]т[а (хо) -а (x)].

1=1

Анализ линий уровней функции невязки в плоскости параметров д т и с 2 показал, что в диапазоне параметров 1105 Вт/м2< д < 6105 Вт/м2 и 0,2 < С2 < 0,9 имеется

один глобальный экстремум, т. е. система глобально идентифицируема. Это подтверждается априорной оценкой их дисперсий и ковариаций.

Ковариационная матрица возможных ошибок записывается следующим образом:

Р (X) = а1 А-1,

где

А =

N

и

11

N

и 21 и 11

N

I = 1

и 1 и

N

I

I = 1

и

.А

д Г

и^, =

д С 2,

- функции чувстви-

искомых параметров Х0; о - дисперсия ошибок измерения.

После обращения матрицы А найдено: а2 = 1 -Ю7;^ = 4,6 • 10-4, и соответственно

предельные относительные погрешности 8а = 3%, 5с2 = 5 %.

Чт

Таким образом, выполненный априорный анализ идентифицируемости и результаты моделирования процедуры идентификации подтвердили возможность получения необходимой оценки точности определения стационарных плотностей тепловых потоков на поверхностях гильзы цилиндра и целесообразность применения метода оптимальной фильтрации Калмана при экспериментальных исследованиях в ДВС.

Выводы

1. Показана возможность определения плотности стационарных тепловых потоков методом оптимальной фильтрации Калмана для разработанной модели теплопередачи через гильзу цилиндра ДВС.

2. Результаты математического моделирования показали постоянную устойчивость и сходимость идентификации с окончательными предельными относительными погрешностями оценок максимальной плотности теплового потока и коэффициента аппроксимации, не превышающими 5 %.

тельности для истинных значений вектора

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Конструирование двигателей внутреннего сгорания / Н. Д. Чайнов, Н. А. Иващенко, А. Н. Краснокутский, Л. Л. Мягков ; под ред. Н. Д. Чайнова. - Москва : Машиностроение, 2008. - 496 с.

2. Марченко А. П. Двигуни внутршнього згоряння. Т. 1 : Розробка конструкцш форсованих двигушв наземних транспортних машин / Марченко А. П., Рязанцев М. К., Шеховцов А. Ф. - Харшв : Прапор, 2004. - 384 с.

3. Бек Дж. Некорректные обратные задачи теплопроводности : монография / Дж. Бек, Б. Блакуэлл, Ч. Сент-Клэр мл. ; пер. с англ. Е. А. Артюхина, И. И. Павловца ; под ред. В. П. Мишина, О. М. Алифанова. - Москва : Мир, 1989. - 312 с.

4. Темкин А. Г. Обратные методы теплопроводности / А. Г. Темкин. - Москва : Энергия, 1973. - 464 с.

5. Медич Дж. Статистически оптимальные линейные оценки и управление / Дж. Медич. - Москва : Энергия, 1973. - 440 с.

6. Симбирский Д. Ф. Температурная диагностика двигателей (пленочная термометрия и оптимальные оценки) / Д. Ф. Симбирский. - Киев : Техшка, 1976. - 208 с.

7. Успенская Л. Н. Оценка граничных условий теплообмена через поршневое кольцо ДВС / Л. Н. Успенская, В. Г. Заренбин // Вюник Придншровсько! державно! академп будiвництва та архггектури : зб. наук. праць. -Дшпропетровськ, 1998. - № 7. - С. 45-48.

8. Кошляков Н. С. Уравнения в частных производных математической физики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. - Москва : Высшая школа, 1970. - 710 с.

9. Мотовиловец И. А. Теплопроводность пластин и тел вращения / И. А. Мотовиловец. - Киев : Наукова думка, 1969. - 143 с.

10. Заренбш В. Г. Розрахунки i вибiр рацюнальних режимiв обкатки двигушв шд час капитального ремонту : монографiя / В. Г. Заренбш, Л. М. Волчок. - Дшпропетровськ : 1МА-прес, 2007. - 72 с.

2

1

2

2

REFERENCES

1. Chainov N.D., Ivachenko N.A., Krasnokytskyi A.N. and Miagkov L.L. Konstruirovanie dvigatelei vnytrennego sgoraniya [Construction of combustion engines]. Moskva: Mashinostpoenie, 2008, 496 p. (in Russian).

2. Marchenko A.P., Riazantsev M.K. and Chexovtsev A.F. Dvyguny vnutrishnogo zgorannia. T. I. Rozrobka konstruktsii forsovannyx dvyguniv nazemnyx transportnyx mashyn [Internal combustion engines. Volume 1: Development of constuction of uprated engine of land]. Kharkov, Prapor, 2004, 384 p. (in Ukrainian).

3. Bek Dzh., Blakiem B. and Sent-Kler Ch.Ml. Nekorrektnye obratnye zadachi teploprovodnosti [Incorrect inverse heat conduction problems]. Moskva: Mir, 1989, 312 p. (in Russian).

4. Temkin A.G. Obratnye metody teploprovodnosti [Inverse methods of thermal conductivity]. Moskva: Energiya, 1973, 464 p. (in Russian).

5. Medich Dzh. Statisticheski optimalnye lineinye otsenki i upravlenie [Statistically optimal linear estimation and management]. Moskva: Energiya, 1973, 440 p. (in Russian).

6. Simbirskij D.F. Temperaturnaya diagnostika dvigatelei [Thermal engine diagnostics]. Kiev: Texnika, 1976, 208 p. (in Russian).

7. Uspenskaya L.N. and Zarenbin V.G. Otsenka granichnykh uslovij teploobmena cherez porshnevoe koltso DVS [Assessment of the boundary conditions of heat transfer through the piston ring DVS]. Visnyk Prydniprovskoi derzhavnoi akademii budivnyctva ta arhitektury [Bulletin of Pridneprovs'ka State Academy of Civil Engineering and Architecture]. Dnepropetrovsk, 1998, no. 7, pp. 45-48. (in Russian).

8. Koshlyakov N.S., Gliner E.B. and Smirnov M.M. Upavneniya v chasnykh proizvodnykh matematicheskoj fiziki [Partial differential equations of mathematical physics]. Moskva: Vysshaya shola, 1970, 710 p. (in Russian).

9. Motovilovets I.A. Teploprovodnost' plastin i tel vrashcheniya [The thermal conductivity of the plates and the ob-jacts rotation]. Kiev: Naukova dumka, 1969, 143 p. (in Russian).

10. Zarenbin V.G. and Volchok L.M. Rozrakhunky i vybir rattsionalnykh rezhymiv obkatky dvyguniv pid chas kapitalnogo remontu [Calculations and selection of rational modes of engines running-in at overhaul]. Dnipropetrovsk: IMA-pres, 2007, 72 p. (in Ukrainian).

Рецензент: д-р т. н., проф. А. В. Плеханов

Надшшла до редколеги: 28.10.2015 р. Прийнята до друку: 11.11.2015 р.