Оптимальное планирование эксперимента при идентификации процессов теплообмена сенсоров теплового потока Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕПЛОВЫЕ РЕЖИМЫ И НАДЕЖНОСТЬ ПРИБОРОВ И СИСТЕМ

УДК 536.62

Н. В. Пилипенко, Я. В. Казарцев

ОПТИМАЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛООБМЕНА СЕНСОРОВ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА

Предложен метод оптимального планирования эксперимента на основе решения обратных задач теплопроводности при идентификации процессов теплообмена в сенсорах теплового потока. Метод позволяет разрабатывать конструкции сенсоров для измерения нестационарных тепловых потоков в соответствии с характеристиками, предусмотренными техническим заданием.

Ключевые слова: тепловой поток, сенсоры теплового потока, оптимальное планирование, идентификация тепловых процессов.

Введение. Современный уровень развития теории теплообмена, методов проектирования и экспериментальной отработки технических систем, а также технологических процессов предполагает использование системного подхода к их созданию, при этом важную роль играет моделирование процессов переноса тепла в различных конструкциях. Применение методов моделирования требует увязки математического и физического (экспериментального) моделирования процессов теплопереноса, тепловых режимов и результатов исследования технических объектов на различных этапах проектирования и испытаний [1].

Неотъемлемой частью моделирования является оптимальное планирование эксперимента. В литературе рассматриваются различные подходы к оптимальному планированию эксперимента при идентификации процессов теплообмена [2]. В настоящей работе оптимальное планирование включает разработку соответствующих техническому заданию сенсоров теплового потока, составление математических моделей процесса переноса и измерений, определение динамических характеристик и передаточных функций сенсоров, проведение имитационного моделирования с различными законами воздействия, оценку совместных доверительных областей искомых параметров.

Сенсоры, математические модели теплопереноса в них, результаты исследований. В качестве сенсоров рассмотрены высокотемпературные градиентные приемники теплового потока (ВПТП) [3].

На рис. 1 представлены общий вид (а), устройство (б) и топология (в) высокотемпературных приемников теплового потока (1 — платиновые термометры сопротивления, 2 — корундовая пластина, 3 — корпус, 4 — выводы, 5 — защитная пластина).

В корпусе 3 установлена корундовая подложка 2 с платиновыми термометрами сопротивления на ее поверхностях 1. Для получения необходимого номинала термометров сопротивления при их изготовлении к платине добавлялась тонко измельченная керамика, затем

смесь вжигалась в подложку, чем обеспечивалась высокая механическая прочность чувствительного элемента.

а)

^ V

{ | | А 5 В 7 8 Э 10 11 II 15 1* 1Ъ

в)

б)

д(т)

I I

л/4 г

Ф22 \0

о\ /о

30

у

I ' II ч 1

^пз.

3 2 4

Л/2

л л л л л л л л л

л/2

Рис. 1

Теплоперенос в ВПТП может быть описан системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно составляющих вектора состояния Т(т), который в векторно-матричной форме имеет вид [3]:

О- Т(т) = БТ(т) + Ои(т). (1)

а т

При граничных условиях второго рода ^(т) векторы состояния Т(т) и управления и(т), матрицы обратных связей Б и управления О имеют вид [3]:

4* 4*

А^Д +3с,Р2) л2(с1Р1 +3с2Р2)

а

Л2

2а

Л2

0 •

а

л2

• •

а

• Л2

2а

л2

4*2

0 0

а

Л2

Л(С1Р1 +32Р2)

4*2

Л2(с1р1 +3с2р2) Щ(с1Р1 +3с2Р2\

4

5

3

1

10

0

т

, т = [ г2 • гхх ]т, и = [ гк ], (3)

где — поток, поглощенный ВПТП сверху; , Р1 и е^, , Р2 — удельная теплоем-

кость, теплопроводность, плотность термометра и пластины соответственно; а = Х2 / С2Р2 — температуропроводность пластины; ^ — температура корпуса; А — толщина элементов

пластины; Я — контактное тепловое сопротивление между пластиной и корпусом. Общее решение уравнения (1) может быть записано в виде

Т(т) = Ф(т, то )Т(т) + Г Ф(т, 0)Ои(0)Л0, (4)

где Ф(т, то) — переходная (и*и)-матрица (матрица Коши, матрициант).

Переходная матрица Ф(т,то) характеризует внутренние тепловые связи в приемниках теплового потока (ПТП), так как ее элементы представляют собой переходные за время Ат = т - То процессы каждой составляющей вектора состояния от единичных возмущений по

остальным его составляющим, протекающие в свободной системе (и = 0).

При численном решении уравнения (1), в соответствии с требованиями к его точности, устанавливается малый временной шаг Ат. Тогда матрица Ф(т, то) описывается следующим бесконечным рядом:

Ф(т, то) = I + ЕАт +1 Е2 (Ат)2 +... + — Ер (Ат)р, (5)

2! р!

где I — единичная матрица, а решение имеет вид [1]:

Т+1 = ФТ^ + 2(1+Ф)ои к Ат, (6)

где Т = Т(т£), ик = и(т£), а тк = кАт, к = о, 1, 2...

Дифференциально-разностная модель в виде (1) описывает процесс нестационарного теплопереноса в ПТП. При этом измерению подлежат либо значения температуры в отдельных точках, либо градиенты этих температур, либо среднеобъемные значения температуры чувствительных элементов. Эта информация, а также сведения о характере и величине погрешностей измерений отражаются в следующей математической модели измерений ПТП:

¥к = НТк +8к, (7)

где Ук и 8к — векторы измерений и погрешностей измерений, Н — матрица измерений.

Полученные результаты матрицы обратных связей Б, управления О и измерений Н позволяют, используя программный комплекс Ма1ЬаЬ, установить все динамические характеристики ВПТП, а именно: переходную, импульсно-переходную, логарифмические амплитудо- и фазочастотные характеристики, а также передаточную функцию Ж. В качестве примера на рис. 2 приводятся указанные характеристики для рассматриваемого ВПТП (а — переходные, б — импульсно-переходная, в — логарифмические амплитудо- и г — фазочастотные характеристики ВПТП без защитной пластины 1 и с защитной пластиной 2).

- о • о

А(С1Р1 + ЗС2Р2)

4

о • о -

АЯ(с1р1 + ЗС2Р2)

Рис. 2

Анализ рис. 2 позволяет сделать вывод о соответствии динамических характеристик рассматриваемого ВПТП техническому заданию. В частности, логарифмическая амплитудо- и фазочастотная характеристики показывают, что в ВПТП без защитной пластины при достижении частоты 1 рад/с (о,16 Гц) выходной сигнал сдвигается по фазе относительно входного на 54°. Входной сигнал ослабляется на 75 дБ. В диапазоне от 1 до 1о Гц наблюдается постепенное ослабление сигнала. При частоте 62,8 рад/с (1о Гц) выходной сигнал сдвигается по фазе относительно входного на 7о°. Входной сигнал ослабляется на 87 дБ.

Метод априорного оптимального планирования основан на учете зависимости ковариационной матрицы ошибок и совместных доверительных областей (СДО) от всех значимых факторов эксперимента, а именно: вида и параметров теплопереноса в ПТП, количества точек измерения температуры и их местоположения, а также погрешностей измеряемых величин, характеристик входных воздействий, количества участков измерений по времени и количества N измерений на этих участках.

Перечисленные факторы влияют на вид функций чувствительности иф г'-го элемента к

ф-му воздействию в к-й момент времени. Для некоторых ПТП функции чувствительности могут быть определены аналитическим путем, а в общем случае — численно на основе математической модели теплопереноса в ВПТП [4].

Критерием оптимальности планирования является условие получения оптимальных в смысле минимума среднеквадратичной функции невязки Ф(О) оценок идентифицируемых параметров.

N

ф(О)= Е [Ук - Ук (Ок )]т *-1[Ук - Ук (0)1 (8)

к=1

где Ук — вектор измерения температуры ПТП, включающий вектор 8к случайных погрешностей измерений; Ук (Ок) — модельные (расчетные) значения вектора измерений; Я —

ковариационная матрица вектора случайных погрешностей е^ измерений значений температуры; к — дискретное время [4, 5].

В работе рассмотрено влияние всех значимых факторов на погрешность восстановления теплового потока при оптимальном планировании эксперимента. Ниже приведены результаты влияния одного из факторов, а именно полной теплоемкости термометров сопротивления 1 (рис. 1, б), на точность восстановления потока.

На рис. 3 приведены результаты восстановления теплового потока: эталонный (1) и восстановленный (2) тепловые потоки с заданными (а) и проектируемым (б) чувствительными элементами; в — вид совместных доверительных областей.

а) д, Вт/м2 б) д, Вт/м2

в) Лда, Вт/м2

Рис. 3

Как видно из рис. 3, погрешность восстановления потока при уменьшении теплоемкости термометров сопротивления в три раза существенно уменьшается.

Заключение. Рассмотрена конструкция сенсоров для измерения нестационарных тепловых потоков с характеристиками, предусмотренными техническим заданием; созданы математические модели процессов теплопереноса и измерений; определены динамические характеристики и передаточные функции сенсоров; проведено имитационное моделирование при различных законах воздействия на сенсоры; оценена погрешность восстановления теплового потока, показаны способы оптимального планирования эксперимента при идентификации процессов теплообмена.

Работа выполнена в рамках госконтракта № 02.740.11.0169 от 25.06.09.

Авиационный теплопеленгатор

93

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алифанов О. М. и др. Основы идентификации и проектирования тепловых процессов и систем: Учеб. пособие. М.: Логос, 2001. 400 с.

2. Артюхин Е. А. Оптимальное планирование эксперимента при идентификации процессов теплообмена // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1987. № 7/2. С. 28—32.

3. Пилипенко Н. В., Кириллов К. В. Определение нестационарных условий теплообмена в энергетических установках // Приборы. 2008. № 9. C. 21—25.

4. Пилипенко Н. В. Методические погрешности определения нестационарных условий теплообмена при параметрической идентификации // Измерительная техника. 2007. № 8. С. 54—59.

5. Pilipenko N. Parametrical identification of differential-difference heat transfer models in non-stationary thermal measurements // Heat Transfer Research. 2008. Vol. 39, N 4. P. 311—315.

Николай Васильевич Пилипенко

Ярослав Валерьевич Казарцев

Рекомендована кафедрой компьютерной теплофизики и энергофизического мониторинга

Сведения об авторах д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра компьютерной теплофизики и энергофизического мониторинга; E-mail: [email protected]

ФГУП „ВНИИМ им. Д. И. Менделеева", лаборатория калориметрии и высокочистых органических веществ метрологического назначения, Санкт-Петербург; младший научный сотрудник; E-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 18.05.10 г.

УДК 535.31;53.072;62.51

А. В. Демин, А. В.Сорокин, Д. М. Гордеев, М. А. Белянский, А. С. Птицына, А. Г. Шалковский, А. Б. Чуриков, А. С. Смолин

АВИАЦИОННЫЙ ТЕПЛОПЕЛЕНГАТОР

Приведены результаты работ по созданию авиационного теплопеленгатора для обнаружения и пеленгации высокоскоростных летательных аппаратов.

Ключевые слова: теплопеленгатор, летательный аппарат, помехи, инфракрасный диапазон излучения, фотоприемное устройство, объектив.

Теплопеленгаторы относятся к классу пассивных оптико-электронных систем, позволяющих в инфракрасном диапазоне спектра излучения решать задачи обнаружения, идентификации и пеленгации путем выявления искомого объекта на фоне помех на основе выбранной совокупности критериев.

Одной из основных характеристик теплопеленгаторов (ТП) является дальность, на которой объект с требуемой вероятностью и достоверностью может быть обнаружен, определяемая параметрами приемника излучения и объектива, а также конструкцией теплопеленга-тора в целом.

В настоящей работе приведены результаты разработки авиационного теплопеленгатора для обнаружения высокоскоростного летательного аппарата на фоне помех. В процессе полета высокоскоростного летательного аппарата (ЛА) вследствие торможения воздушного потока в пограничном слое и в ударных волнах происходят сложные нестационарные процессы тепломассообмена с изменением свойств воздуха (диссоциация, ионизация, рекомбинация),