CC BY
29
УДК 531.001
С.И. Морозов, Д.Н. Шостенко
Морозов Станислав Иванович родился в 1929 г., окончил в 1952 г. Ленинградскую лесотехническую академию, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической механики Архангельского государственного технического университета, член-корреспондент РИА, заслуженный деятель науки и техники РФ. Имеет более 160 печатных работ в области изучения устойчивости температурно-напряженного рельсового пути, закрепления его от угона рельсов, удара тел, применения ЭВМ при решении задач механики.
Шостенко Денис Николаевич родился в 1978 г., окончил в 2000 г. Архангельский государственный технический университет, аспирант кафедры теоретической механики АГТУ. Имеет 1 печатную работу в области теории удара.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СИЛОВОЙ ФУНКЦИИ ПРИ СЖАТИИ И СОУДАРЕНИИ УПРУГОПЛАСТИЧНЫХ ТЕЛ
Приведены результаты обработки данных лабораторных исследований по контактному сжатию двух тел. Методами математической обработки найдены значения параметров пластичности и нелинейности.
Ключевые слова: твердость, пластичность, радиусы тел, силовая функция, коэффициенты пластичности и нелинейности.
Методика экспериментального определения параметров (коэффициентов) пластичности В и нелинейности п рассмотрена в работах [3, 5]. Эти параметры относят к основным характеристикам силовой функции, которые выражают связь между сжимающей силой Е и деформацией тел а в точке их соприкосновения: Е = Е(а).
Цель данной статьи - проанализировать экспериментальные данные и определить с их помощью параметры силовой функции при сжатии упруго-пластичных тел.
Экспериментальные графики зависимости Е(а) показана на рис. 1. Точка А с координатами а т и Гт делит эту зависимость на две части. Левую (кривая 1) называют фазой нагрузки, правую (кривая 2) - фазой разгрузки. Буквой а обозначена остаточная, а т - полная (максимальная) деформа-
Рис. 1. Экспериментальная зависимость Е(а)
4*
ция; Ет - максимальная сжимающая сила.
Для первой фазы силовую функцию принято [4] выражать по уравнению
^ = Ба"; (1)
для второй фазы - по уравнению
^ = Б (а-а (2)
где В, п - коэффициенты пластичности и нелинейности для первой фазы удара;
Вь п1 - то же для второй фазы.
Такие исследования ранее были выполнены А.Н. Динником. Результаты их приведены в работе [1], материалы математической обработки - в работе [2]. В наших экспериментах использована в основном эта же методика [5]. Рассмотрено сжатие двух подшипниковых шариков из стали ШХ15, которые имели шесть различных значений твердости и пять значений радиусов. Каждый опыт проводили три раза в два этапа: 1) нагрузка от нуля до 10 000 Н с шагом 1000 Н; 2) разгрузка в обратном порядке от 10 000 Н до нуля.
В качестве примера в табл. 1 приведена часть экспериментального материала.
Таблица 1
Сжимающая сила Е, кН Нагрузка Разгрузка
Деформация тел а-10-6, м, при диаметре шаров, мм
10,319 12,700 10,319 12,700
0 0 0 5,3 3,9
1 2,4 1,1 7,4 5,2
2 3,5 2,5 8,5 5,7
3 6,6 3,7 11,0 6,5
4 8,3 4,9 12,6 7,2
5 10,4 5,6 13,7 7,8
6 12,3 6,3 15,4 8,6
7 14,1 7,2 16,5 9,6
8 15,9 7,9 17,2 10,3
9 17,2 9,4 18,8 11,1
10 19,5 11,3 19,5 11,3
Математическая обработка данных этих и других опытов состояла в их аналитическом и графическом сглаживании, а также аппроксимации значений а по методу наименьших квадратов.
Принятая обработка не дает возможности полностью устранить погрешность экспериментальных данных, очевидно, из-за недостаточной центровки шаров при их сжатии. Однако экспериментальные материалы в принципе правильно отражают физические закономерности процессов сжатия (и разгрузки) шаров, хотя сомнения в точности определения расчетных величин остаются.
Результаты опытов по определению расчетных параметров В и п, а также деформации тел ат и а1 приведены в табл. 2.
Твердость Т материалов шариков изменяли в диапазоне от исходного состояния ИЯС 65 до конечной ИЯС 0 за счет термической обработки (отпуск или отжиг). Диаметры шариков определяли с помощью микрометра (с точностью ± 0,001мм) по стандартной методике. Значения максимальной ат и остаточной а деформации тел найдены с точностью ± 1 • 10-6 м. Такую же точность имеют опыты А.Н. Динника [1].
Эти данные использованы в дальнейших расчетах, поэтому зависимости а (Т) и а (Т) аппроксимированы по методу наименьших квадратов уравнениями прямой линии
ат = а - а2Т\ (3)
а = К - Ъ-Т■ (4)
Значения коэффициентов а и Ь для отдельных диаметров шариков приведены в табл. 3.
Графики зависимости коэффициентов пластичности В и В1 от твердости Т приведены на рис. 2. Каждый график имеет примерно гиперболический вид.
При большой твердости материала шариков (Т = 62 ... 66 ИЯС) значения В достаточно велики. По мере снижения твердости значение В резко уменыпается. В большинстве случаев при 0 < /'< 50 оно сравнительно
ВЮ'.Па В,10',П1
0 10 20 30 40 50 60 Т.НИС 0 10 20 30 40 50 60 Т, ННС
а б
Рис. 2. Зависимость В = В(Т) для случаев загрузки (а) и разгрузки (б) при диаметре шариков: 1 - 10,319; 2 - 12,700; 3 - 15,875; 4 - 18,256; 5 - 22,225 мм
188К 0536 - 1036. ИВУЗ. «Лесной журнал». 2004. № 3
51
Таблица 2
Коэффициент восста-
Т, Диаметр Нагрузка Разгрузка Смятие, м Скорость, м/с новления 8
ияе шариков, мм В-109, Па п В1-109, Па П1 ат-10-6 аг10-6 Аа-10-6 Vn Ып в опытах средний
65 10,319 2,512 1,447 2,245 1,396 195 53 142 6,140 3,942 0,642 0,718
12,700 4,151 1,396 6,035 1,396 113 39 74 3,791 2,752 0,726
15,875 7,924 1,485 6,185 1,500 112 42 70 2,421 1,670 0,690
18,256 8,751 1,485 11,349 1,500 119 34 85 2,224 1,659 0,746
22,225 9,273 1,492 12,806 1,500 99 27 72 1,312 1,033 0,788
60 10,319 0,353 1,296 0,424 1,187 207 63 144 4,850 3,536 0,729 0,652
12,700 0,657 1,241 0,675 1,210 158 45 113 4,592 3,212 0,700
15,875 0,736 1,228 0,875 1,206 144 49 95 3,318 2,289 0,698
18,256 1,806 1,306 1,726 1,268 134 53 81 2,143 1,179 0,550
22,225 5,648 1,477 5,059 1,402 112 36 76 1,478 0,884 0,598
50 10,319 0,297 1,033 0,244 1,109 227 105 122 11,164 5,325 0,477 0,614
12,700 0,363 1,147 0,406 1,126 190 79 111 6,414 3,823 0,596
15,875 0,431 1,106 0,828 1,192 189 80 109 5,965 4,557 0,764
18,256 0,563 1,175 0,889 1,179 156 66 90 3,285 2,102 0,690
22,225 1,529 1,190 1,050 1,236 138 44 94 3,064 1,660 0,542
38 10,319 0,093 1,093 0,124 1,003 239 188 51 8,938 2,163 0,242 0,279
12,700 0,108 1,141 0,229 1,163 213 166 47 3,658 1,043 0,285
15,875 0,222 1,210 0,806 1,232 138 114 29 1,709 0,461 0,270
18,256 0,375 1,207 0,713 1,203 163 123 40 2,428 0,711 0,293
22,225 0,560 1,144 0,716 1,197 188 92 96 3,437 1,052 0,306
28 10,319 0,043 1,103 0,082 1,170 232 209 23 4,521 0,515 0,114 0,143
12,700 0,045 1,261 0,204 1,234 203 183 20 2,455 0,390 0,159
ISSN 05З6 - 1036. ИВУЗ. «Лесной журнал». 2004. № З
52
15,875 G,168 1,G91 G,287 1,38G 133 119 14 2,76G G,326 G,118
18,256 G,262 1,G94 G,737 1,381 144 129 15 2,995 G,34G G, 112
22,225 G,365 1,G94 G,888 1,222 212 11G 22 2,4G3 G,5G7 G,211
HB 166 1G,319 G,G13 1,G5G G,G46 1,G17 326 29G 36 4,454 G,828 G,186
(Т « G 12,7GG G,G47 1,G47 G,287 1,133 324 298 26 4,22G G,726 G,172
в HRC) 15,875 G,118 1,1G9 G,212 1,GG2 226 198 28 3,718 G,6G2 G,162
18,256 G,234 1,G87 G,258 1,G65 245 177 68 3,G93 G,551 G,178
22,225 G,3G2 1,141 G,282 1,1G5 286 2G5 81 3,GG9 G,584 G,194
G,179
Таблица 3
Диаметр шариков, мм ат, м aj м
аг10"6 а2-10"6 br10"6 b2 -10"6
10,319 311,1 1,829 305,0 3,829
12,700 313,9 2,832 303,2 4,226
15,875 205,9 1,218 196,1 2,383
18,256 227,3 1,670 186,5 2,228
22,225 290,5 2,937 197,5 2,810
невелико, что свидетельствует о высокой пластичности материала. Примерно такой же вид имеет зависимость В\(Т).
Графики зависимости F = F(а) показаны на рис. 3. При твердости Т= 63 ... 65 HRC показатель п близок к 1,5 (кривая 1), j1 д при Т —> 0 имеем
n ^ 1. В последнем случае зависимость F(a) аппроксимируется уравнением прямой линии (кривая 2)
F = Ва. (5)
Значение В при n = 1 можно найти по формуле F
B = . (6)
а_
Таким образом, экспериментальный материал и его анализ дают обоснование параметров упругопластичного удара. С помощью найденных величин В, В1 , п, п1 можно решать различные задачи упругопла-стичного удара различных тел.
В частности, для оценки достоверности экспериментальных величин проведем дополнительные вычисления (см. табл. 2). В ней, помимо полученных ранее величин В, п, Вг и п15 приведены экспериментальные значения сжатия шариков (ат и а1) и их разности Аа = ат — ах.
По формулам, приведенным в работе [3], можно рассчитать также максимальные значения относительной скорости шариков до удара (на первой фазе) V п и после удара ип:
Рис. 3. Принципиальная зависимость F = F(a)
2Ba1
i
(1 + n)M '
2B Aa
1+n
(1 + n )M
где М - масса шариков, зависящая от их диаметров:
(7)
(8)
2R, мм 10,319 12,700 15,875
М, кг 0,0045 0,0084 0,0163
2R, мм 18,256 22,225
М, кг 0,0248 0,0448
Затем для каждого опыта определяли коэффициенты восстановления 8 по формуле
6 = Un.
Bi(l + n)Aa1+"'
B(1 + ni)amn '
Таким образом, экспериментальные значения B, n, Вь щ и вычисленные по ним значения s соответствуют условию задачи на сжатие и соударение упругопластичных тел.
Например, по опытам А.Н. Динника [1], s = 0,638 ... 0,670, что соответствует нашим опытам при Т = 65 HRC. В работе [3, с. 19] для случая соударения стали о сталь имеем: для закаленной стали s = 0,738, для мягкой s = 0,615, т. е. получаем практически те же самые значения, что и в табл. 2.
Это позволяет считать результаты выполненных лабораторных работ вполне достоверными, соответствующими выводам работы [2].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Динник А.Н. Удар и сжатие твердых тел: Избр. тр. Т.1. - Киев: АН СССР, 1952. - С. 13-144.
2. Морозов С.И. Экспериментальное определение параметров силовой функции // Лесн. журн. - 2001. - № 3. - С. 57-63. - (Изв. высш. учеб. заведений)
3. Морозов С.И., Попов М.В., Морозов В.С. Курс лекций по теории удара: Учеб. пособие. - Архангельск: Изд-во АГТУ, 2003. - 110 с.
4. Пановко Я.Г. Введение в теорию механического удара. - М.: Наука, 1997.
- 224 с.
5. Шостенко Д.Н. Методика экспериментального определения параметров силовой функции // Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки: Тр. 4-й Междунар. конф. молодых ученых и студентов. Ч. 1-3: Математика. Механика. Машиностроение. - Самара: Изд-во СамГТУ, 2003. - С. 121-124.
Архангельский государственный технический университет
Поступила 30.03.04
S.I. Morozov, D.N. Shostenko
Determination of Potential Function Parameters under Compression and Collision of Elasto-plastic Bodies
Data processing results of laboratory research for contact compression of two bodies are provided. Values of plasticity and nonlinearity parameters are found by methods of mathematical processing.
