CC BY
121
УДК 531.001 С.И. Морозов
Морозов Станислав Иванович родился в 1929 г., окончил в 1952 г. Ленинградскую лесотехническую академию, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической механики Архангельского государственного технического университета, член-корреспондент РИА, заслуженный деятель науки и техники РФ. Имеет более 160 печатных работ в области изучения устойчивости температурно-напряженного рельсового пути, закрепления его от угона рельсов, удара тел, применения ЭВМ при решении задач механики.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА СЖАТИЕ И УДАР ДВУХ УПРУГОПЛАСТИЧНЫХ ТЕЛ
Приведена методика решения задач на контактное сжатие и соударение двух упругопластичных тел. Предложены расчетные выражения для определения параметров силовой функции на стадиях нагрузки и разгрузки взаимодействующих тел в зависимости от их твердости.
Ключевые слова: удар, упругость, деформация, силовая функция, показатели пластичности и нелинейности.
В 1881 г. немецкий ученый Г. Герц предложил новую (контактную) теорию удара [4]. Он установил, что упругое состояние тел вблизи поверхности удара за все его время весьма близко к такому же состоянию равновесия, которое возникло бы при сжатии тел. Таким образом, по мнению Герца, задача удара двух тел сводится к решению задачи на их сжатие.
Теория Герца не рассматривает упругих колебаний тел, возникающих при ударе. Такое предположение справедливо при условии, что скорости движения тел до удара значительно меньше скорости звука в материалах тел. Следовательно, это решение имеет силу лишь до предела упругости.
Используя теорию Герца, украинский ученый А.Н. Динник [1] определил, что 97 % деформации тел происходит вблизи точки удара (или сжатия), а в остальном пространстве тел - только 3%. Таким образом, сближение тел а зависит исключительно от их деформации вблизи поверхности взаимодействия.
Целью данной статьи является вывод расчетных зависимостей для определения силы удара на базе теоретических и экспериментальных исследований, приведенных в работах [1-4].
Сжатие (удар) упругих тел
Этот случай контактного удара теоретически исследовали Г. Герц и А.Н. Динник. Ими получено следующее основное уравнение (силовая функция) для упругого удара:
Е = Ка15, где Е - сжимающая (контактная) сила;
К — коэффициент пластичности (упругости) Г. Герца; а - деформация тел в точке их взаимодействия; 1,5 - показатель степени (коэффициент нелинейности). Коэффициент К можно вычислить по формуле [4]
(1)
к Л
3
1-и-г , 1-й-
2 V
Е
К1К2
я +
(2)
Е
М 2
где (.ц, (.ь - коэффициенты Пуассона;
Е1, Е2 - модули упругости (Юнга);
Я1, Я1 - радиусы шаров.
Выражение (2) можно рассматривать как произведение двух сомножителей:
К = К0 р, (3)
где К0 - основной коэффициент пластичности (упругости) Герца
- 3
'1-щ2
V
1-цГ1
Е.
(4)
2 У
зависящий от механических свойств взаимодействующих тел (шаров); р - приведенный радиус кривизны сферических тел,
К1К2
, (5)
Если материалы и радиусы тел одинаковы (Ц] = ц2, Е\ = Е2, = то для определения К0 и р получим следующие выражения:
2 Е
К0 =
3 1-ц2
(6)
(7)
Значения К0 зависят от механических свойств тел. Для некоторых тел они приведены в табл. 1.
С помощью данных табл. 1 можно найти значения К0 для любых размеров шаров. Например, для легированной стали при ц = 0,3, Е = = 2,15 • 1011 Па имеем: К,, = 157,5 • 1011 Па/м. В табл. 2 приведены значения К, вычисленные по формуле (4) в зависимости от К0 = 2,15 • 10 и приведенных радиусов шаров.
В частных случаях значения р находим по выражениям: - сжатие двух тел одинакового радиуса = Н2 = Я:
р = л/Д/2;
- сжатие двух тел разных радиусов Я] Ф Я2:
(8а)
2
(8б)
- сжатие круглого тела о плоскость Я\ = Я, Я2 =
р = 4Ё. (8в)
Таким образом, задача по определению сил сжатия для упругого удара тел решена до конца.
Таблица 1
Материалы Е-10-11, ц К>-10-11,
соударяющихся тел Па Па/м
Легированная сталь о сталь 2,15 0,30 1,575
Железо о железо 2,00 0,27 1,738
Чугун о чугун 1,15 0,27 0,821
Медь о медь 1,10 0,37 0,850
Бронза о бронзу 1,10 0,35 0,836
Алюминий об алюминий 0,70 0,36 0,576
Свинец о свинец 0,18 0,42 0,147
Таблица 2
Радиус шаров Я, м Приведенный радиус р, м Значения К-10-9 , Па Радиус шаров Я, м Приведенный радиус р, м Значения К-10-9 , Па
0,005160 0,05079 7,998 0,00928 0,06756 10,640
0,006350 0,05635 8,875 0,01111 0,07454 11,740
0,007938 0,06230 9,922 - - -
Сжатие (удар) упругопластичных тел
В данном случае коэффициенты пластичности и нелинейности находят экспериментально. Такие опыты были проведены Д.Н. Шостенко [2] в лабораторных условиях [3] на специальной установке, состоящей из универсального микроскопа УИМ-1 и динамического пресса. С помощью пресса к
группе из двух шаров прикладывали сжимающую силу Р, и под микроскопом определяли деформацию тел а в точке их соприкосновения.
Сжимающую силу Р прикладывали в диапазоне ее изменения от нуля до 10 кН, через 1 кН. После достижения максимальных значений Р шарики разгружали от 10 кН до нуля с тем же самым шагом. На каждой ступени разгрузки с помощью микроскопа определяли новые значения величины а. Каждый опыт повторяли три раза и в дальнейшем использовали средние значения а.
Всего, таким образом, было испытано пять групп стальных шаров различных радиусов, которые отличались друг от друга твердостью (шесть значений) их материала.
Результаты опытов аппроксимировали с помощью уравнений:
- на стадии нагрузки (при изменении F от 0 до 10 кН и а от нуля до максимального значения а,„)
F = Ва", (9а)
где В - коэффициент пластичности; п - коэффициент нелинейности; а - контактная деформация тел.
- на стадии разгрузки (при изменении i^OT 10 кН до 0 и а от а„, до
нуля)
F = В1(а -otj)"1, (96)
где Bi - коэффициент пластичности при разгрузке; П\ - коэффициент нелинейности при разгрузке; а - текущая контактная деформация тел; ОС] - остаточная деформация.
Экспериментальные графики F(a) зависят, помимо прочих величин, от твердости материалов тел Т. На рис. 1 приведен график для случая Т = 65 HRC, диаметр шаров 10,319 мм ' (1 - стадия нагрузки; 2 - разгрузки).
Результаты опытов по определению расчетных параметров приведены в табл. 3.
По аналогии со случаем упругого сжатия и удара (формула (3)) предположим, что значение F при постоянном значении Т можно выразить в виде про-
10 8 6 4
2
/V У
7 V /
~2
.ж'
X'
10
15 а-10,м
изведении:
Таблица 3
Рис. 1.
Твер- Диаметр Масса Нагрузка Разгрузка
дость шаров, шаров, В-10-9, n am -10-3, Вг10-9, П1 а1 -10-3,
Т, HRC мм кг Па м Па м
65 10,319 0,00448 2,512 1,447 0,195 2,245 1,396 0,053
12,700 0,00835 4,151 1,496 0,113 6,035 1,396 0,039
15,875 0,01634 7,924 1,485 0,112 6,185 1,500 0,042
18,256 0,02480 8,751 1,485 0,119 11,349 1,500 0,034
22,225 0,04484 9,273 1,492 0,099 12,806 1,500 0,027
60 10,319 0,00448 0,353 1,296 0,207 0,424 1,187 0,063
12,700 0,00835 0,657 1,241 0,158 0,675 1,210 0,045
15,875 0,01634 0,736 1,228 0,144 0,875 1,206 0,049
18,256 0,02480 1,806 1,306 0,134 1,726 1,268 0,053
22,225 0,04484 5,648 1,377 0,112 5,059 1,302 0,036
50 10,319 0,00448 0,297 1,033 0,227 0,244 1,109 0,105
12,700 0,00835 0,363 1,147 0,190 0,406 1,126 0,079
15,875 0,01634 0,471 1,106 0,189 0,828 1,197 0,080
18,256 0,02480 0,563 1,175 0,156 0,889 1,179 0,066
22,225 0,04484 1,529 1,190 0,138 1,050 1,136 0,044
38 10,319 0,00448 0,093 1,093 0,239 0,124 1,003 0,188
12,700 0,00835 0,108 1,141 0,213 0,229 1,163 0,166
15,875 0,01634 0,222 1,110 0,138 0,806 1,132 0,114
18,256 0,02480 0,375 1,107 0,163 0,713 1,103 0,123
22,225 0,04484 0,560 1,144 0,188 0,716 1,197 0,092
28 10,319 0,00448 0,043 1,103 0,232 0,082 1,170 0,209
12,700 0,00835 0,045 1,061 0,203 0,204 1,134 0,183
15,875 0,01634 0,165 1,091 0,133 0,287 1,180 0,119
18,256 0,02480 0,262 1,094 0,144 0,737 1,181 0,129
22,225 0,04484 0,365 1,094 0,212 0,888 1,122 0,110
НВ 166 10,319 0,00448 0,013 1,050 0,326 0,046 1,017 0,290
(при 12,700 0,00835 0,047 1,047 0,324 0,287 1,133 0,298
мерно 15,875 0,01634 0,118 1,109 0,226 0,212 1,002 0,198
Т=0 в 18,256 0,02480 0,234 1,087 0,245 0,258 1,065 0,177
ИЯС) 22,225 0,04484 0,302 1,041 0,286 0,282 1,105 0,205
на стадии нагрузки на стадии разгрузки
^ = В0 ра'
(10а)
(10б)
где В0, В10 - основные коэффициенты пластичности при нагрузке и разгрузке;
р - приведенный радиус кривизны взаимодействующих шаров. Предположим также, что значения В0, В10 для каждого значения
твердости постоянны, т. е.
В = В0 р; Вю =в1Р.
Все экспериментальные величины приведены в табл. 4. Зная их, можно найти значения В0, В10, которые зависят от радиусов шаров. Они приведены в графах 5 и 10.
Таблица 4
т, ШС Р, м Нагрузка Разгрузка
В ■ 10-9, Па В0 • 10-9 Воср • 10-9 -Врас ' 10"9, Па В1 ■ 10-9, Па Вю ■ 10-9 Вюср • 10-9 Врас • 10-9, Па
Па/м Па/м
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
65 0,0508 2,512 49,45 126,00 6,43 2,245 44,19 135,82 6,98
0,0564 4,151 74,60 7,13 6,035 107,00 7,65
0,0630 7,924 125,80 7,98 6,185 98,18 8,56
0,0675 8,751 129,60 8,52 11,35 175,84 9,17
0,0745 9,273 124,40 9,44 12,09 162,14 10,12
60 0,0508 0,353 6,75 38,06 1,43 0,424 8,35 26,58 1,35
0,0564 0,657 11,52 2,15 0,675 11,98 1,50
0,0630 0,736 11,68 2,40 0,875 13,89 1,67
0,0675 1,086 16,00 2,57 1,726 25,56 1,79
0,0745 5,648 75,81 2,84 5,059 67,87 1,98
50 0,0508 0,297 5,85 11,90 0,60 0,244 4,80 13,46 0,68
0,0564 0,363 6,44 0,67 0,406 7,20 0,76
0,0630 0,431 6,84 0,75 0,828 13,16 0,85
0,0675 0,563 8,33 0,80 0,889 13,10 0,91
0,0745 1,529 20,51 0,89 1,050 14,09 1,00
38 0,0508 0,093 9,83 4,01 0,20 0,124 2,44 9,17 0,52
0,0564 0,108 2,92 0,23 0,229 4,06 0,57
0,0630 0,222 3,52 0,25 0,706 9,62 0,64
0,0675 0,375 5,55 0,28 0,713 10,56 0,69
0,0745 0,560 7,52 0,25 0,710 10,33 0,76
28 0,0508 0,043 0,85 3,51 0,18 0,082 1,61 9,10 0,46
0,0564 0,045 0,80 0,19 0,204 3,62 0,51
0,0630 0,165 2,67 0,22 0,282 4,48 0,57
0,0675 0,262 2,99 0,24 0,737 10,91 0,62
0,0745 0,365 4,90 0,26 0,888 11,91 0,68
« 0 0,0508 0,013 0,26 3,13 0,16 0,046 0,91 3,57 0,18
0,0564 0,047 0,83 0,18 0,019 3,32 0,20
0,0630 0,118 0,87 0,16 0,212 3,37 0,23
0,0675 0,234 3,40 0,21 0,258 3,38 0,24
0,0745 0,302 4,05 0,23 0,282 3,78 0,27
Зависимость В0 от Т представ- лена на рис.2. Здесь 1 - экспериментальная кривая; 2 - расчетная кривая, которую приближенно можно аппроксимировать степенным уравнением вида
\=в0тк, (10)
где к - показатель степени Т кривой (к = 4,25). Для максимального значения Т
величина Вп
максимальна, по мере
уменьшения Т значения В0 снижаются и
стремятся к нулю.
При определении п исходим из следующих соображений. Если поверх-
120 100 80 60 40 20
О
/
и
Г -2
А /
—^ /
2 3 4 5 6 Г Рис. 2.
ность тел является твердой, то по решению Герца п = 1,5; если твердость мала, то«» 1.
ср
В общем случае имеем
1 <«<1,5.
Разобьем этот диапазон изменения п на пропорциональные части и
для каждого значения Т найдем соответствующие значения п по формуле
п = 1 + —-,
Т
где Т0 - наибольшее значение Т, Т0 = 1,5; Т - текущее значение Т; Дп - расчетный интервал.
Расчетные значения В и п приведены в табл. 5.
Таблица 5
Т, Нагрузка Разгрузка
HRC Воср^Ю"9, Па n Вюср^10"9, Па П1
65 126,0 1,50 135,0 1,50
60 38,0 1,46 26,0 1,46
50 12,1 1,38 13,0 1,38
38 9,0 1,29 9,0 1,29
28 3,5 1,22 4,0 1,22
0 3,0 1,00 3,5 1,00
Таким образом, имея данные, приведенные в табл. 4, можно определить расчетные значения В. Используя зависимость В(р), окончательно получим уравнение
В = (В0Т)кр, (11)
с помощью которого можно рассчитать все остальные величины.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Динник А.Н. Удар и сжатие твердых тел / А.Н. Динник // Избр. тр. Т. 1. -Киев: АН СССР, 1952. - С. 13-144.
2. Морозов С.И. Определение параметров силовой функции при сжатии и соударении упругопластичных тел / С.И. Морозов, Д.Н. Шостенко // Лесн. журн. -2004. - № 3. - С. 25-31. - (Изв. высш. учеб. заведений).
3. Шостенко Д.Н. Контактное сжатие и соударение двух упругопластичных тел: автореф. дис. ... канд. техн. наук / Д.Н. Шостенко. - Архангельск, 2004. - 22 с.
4. Hertz H. Über die Berühung fester elastuscher Körper und über die Harte / H. Hertz // Gesam. Werke. - Bd.1. - Leipzig, 1895.
Архангельский государственный технический университет
Поступила 08.04.05
S.I. Morozov
Solving Tasks in Compression and Impact of Two Elasto-plastic Bodies
Method for solving tasks in contact compression and impact of two elasto-plastic bodies is provided. Design expressions for determining parameters of forcing function at loading and unloading stages of interacting bodies depending on their hardness are proposed.
