Определение параметров многомерной по входу и выходу линейной динамической системы при наличии автокоррелированных помех в сигналах

Карпов Андрей Анатольевич; Кацюба Олег Алексеевич

УДК 519.254

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МНОГОМЕРНОЙ ПО ВХОДУ И ВЫХОДУ ЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ НАЛИЧИИ АВТОКОРРЕЛИРОВАННЫХ ПОМЕХ В СИГНАЛАХ

Рассматривается теория и методика решения задачи состоятельного оценивания параметров многомерных линейных разностных уравнений с автокоррелированными помехами во входных и выходных сигналах на основе обобщения метода наименьших квадратов (как наиболее распространенного в условиях априорной неопределённости). Доказывается состоятельность получаемых оценок неизвестных истинных значений параметров.

Линейные разностные уравнения, параметрическая идентификация, многомерный вход и выход, автокоррелированные помехи в сигналах.

Рассмотрим многомерную стационарную устойчивую линейную динамическую систему с дискретным временем ( = ..., -1, 0, 1, ...), описываемую следующим уравнением:

7, = о? + О? Zi-2 + ..яг Zi _г +

+о20) хг + а ? хг-1 + ...О2Г1) х-

Г = +*1(0, Ж, = X, + х 2(0,

(1)

где , Г, - ненаблюдаемый и наблюдаемый векторы состояний системы соответственно ( , Г, е Крг), а X,, Ж, - соответственно ненаблюдаемый и наблюдаемый векторные входные сигналы (X, ,Ж, е -Кр1). Идентификация объекта сводится к процедуре опреде-

л

п(г)

ления матриц неизвестных параметров О{ ,

О

(1)

по

{Г}, &}

при известных порядках

ностями независимых случайных векторов, поэтому представляет интерес случай аддитивных локальных автокоррелированных шумов в канале наблюдений.

Пусть выполняются следующие условия:

10. Множество, которому априорно принадлежат истинные значения матриц параметров устойчивой линейной многомерной системы, является компактным.

20. X, не зависит в совокупности от хк, где к = 1, 2.

30. Вектор входных сигналов X, и истинные параметры удовлетворяют условию

N-1 X

7

г и г1 и является задачей параметрического оценивания. В [1] рассмотрена задача идентификации параметров одномерной по входу и выходу линейной динамической системы.

В общем случае последовательности {х1 )} и {х 2 )} не являются последователь-

~.X7.

->н =

т I

I ут I IX. I

Xт

н___\н±

Н1 ! нх

где Н положительно определена.

40. Случайные последовательности {х 1 (,)} и {х 2 (,)} независимы в совокупности и удовлетворяют условиям:

П .Н

т

7

п .Н

£(2,(О/^)= 0 п.н., к(е2) = 0 п.н.,

е[2к (0)21 (о)]= Бк > 0, к = 1,2,

1\

N-1 £2 к (г)х к (г + т)

п .н.

N

►лх к(т)

< ¥ .

N -1 £

г=1

п .н. Г А Л2 21,2

N ®¥ ' 1 (О7 я 2 21,2 0

где

=

Л*, ! 0, размерности Л*: Р2 х Р2 г;

0: Р2 х Р, (г1 +1),

я: =

*1,2

я !

__

? ! я:

2

я 2

1 : Р2Г х Р2г;я2

0: Р2Г х Р1 (г1 + 1) ,

, размерности : Р1 (г +1)х Р1 (г1 +1);

я2

положительно определённая матри-

т = 0, к, г при к = 1;

т = 0,к, г1 при к = 2, (/):[ (7)/^ ]< №1,

£[: 2 (г): 2 (') / ^- ]< Ж2,

№1, Ж2 - случайные матрицы, Е - оператор

математического ожидания, Л*к - матрица локальных автокорреляционных функций.

^ } и ^ } - неубывающие последовательности а -алгебры:

Ъ = а{*1 (0),к, 21 (,)}, ^'=а{2 2 (0),к, 2 2 (' )}

Е [Ж ]<П , Е[Ж2 ] < П 2. 50. Пусть

2гЛ = (О,-2 (' ^ОДСО,-2 ( -Г))7 е^Р2(г+1)хй(г1+1)

ца, элементами которой являются значения локальных автокорреляционных и взаимокорреляционных функций в различные моменты времени.

Уравнение (1) можно записать в виде

У, - »1(7) = О®^ -2(7-1)) + О^ -Н1С -2)) +

+ .О Ч^-г -ЗД - г)) + О20)(№ -2 2(0) +

+ О«(ж,-1 - 22^ -1)) + ...О2Г1)(Ж-Г1 - 22^ - г)) или

г,. = оГг-1 + ОГУ,- + •••ОГу_г + ОгЖ + О2 Ж,- +

+ ...О2Г1)№,.-г1 + 21 (7) - О1(1)21 (7 - 1) - О1(2)21 (7 - 2) --..О,(г)21(7 - г) - О<0)22(7) - О«22(7-1)-...О2Г1)2(7 - Г1)

Представим данное уравнение в виде скалярных уравнений (7 = 1, р2 ):

У (7) = Ь ^-1 + ...6 ; • )Г - г + я (0 Ж + ...а^ № - г +

,(г)

(°)1

,(1)1

+х;у)(7) - Ь®2(, -1)-..Ь,(г)21(7 - г) - а^© -

(г1)2 22

(7 - г1) (2)

где

(1)

Ьу - 7 строка матрицы О1(

Ь(г) - 7 строка матрицы О(г),

а- 7 строка матрицы О а- 7 строка матрицы О(2г1).

Уравнение (2) можно записать следующим образом, если ввести обозначения:

(0)

67.=

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ь^ ;

! ь <:)

а,-. =

(0) 1 ау \

\а Л)

У (7 -1) = У-1 ¡У

Ж (7) =

ЖТ I ••• I Ж

Т -г1

2 г (7 -1) = 127 (7 -1) !•! 2 Т (7 - г)

2 г. (7) = 2 2(7)

1 77Т

л

(7 - О .

1,2

N

1,2

Т

г

Т

0

Т

2

Тогда

yj = \bj- ! Wlffl + X 1Ш(г) - bj.X r (i - 1) - aj-X „(i).

Введём следующую обобщённую ошибку для j - уравнения:

ределяемая выражением (3) и являющаяся сильно состоятельной оценкой:

b j. \a j

bj. i aj.

^ (bj.,aj.,i) = Xf (i) - bj.Sr (i -1) - aj.Sri (i).

Из условий 40 и 50 следует, что обобщённая ошибка имеет нулевое среднее, а её локальная дисперсия с вероятностью 1 равна:

1 N t - — \г 1 н

lim NZ(e(j'(bj• >aj-.i)) = lim NZ ((x 1j>(i))2 +

N N г = 1 N N I = 1

+ b>S,(i- 1)XT(i- 1)bj + ~aj-Xh (i)»T(0^ -2Xjj)(i)bj-Xr(i-1)) =

= d j + b j-HX1 b j• + a j-HX2 a j- - 2hX1j-b_,- • = w(b j-, a j-) пн-' djej =

Доказательство утверждения 1. Рассмотрим функцию:

1 1 N

— UN (bt., at. ) = — Z

N j j

N

N tri

y(J' - bj - ! a j-

Yr_(i -_1) (i)

А2

1 " / \2 =N Z(z(J) +x^')(i)-ZT (i-!) +Xj (i -1))j -(^ij(i) +X?(i))aT)

N /=1

1 N _T —T

= Nz(x(Ü)(i) + Zjt(i-1)bj- + K^aj- -Z(i-1)+xi(i-1))bj -

N i=1

1 N ~

-(X\(i) + x\(i))a].)2 = -Z(X1'')(/)-ZrT(i-1)bjT -Хг1(/)~Г- ■

N i=1

-Xj (i - 1)bj - Xj (i)ajj-)2 = V! + V2 + V3,

Определим оценки

b - a >

неизвес-

Z

j) - bj- I at

min

f Y (i - 1) V

W (i)

V r1y ' 00

1 (1)

f bj iTe*"*

V aj-0

d(1) + b,.HX bj. + a,.HX a' - 2hX ,^bj

ностью 1 существует оценка

b j - a j -

где bj- = bj- - bj-, ~j- = aj- - aj-;

тных истинных значений параметров

¿у. й;. из условия минимума суммы взвешенных квадратичных отклонений в{])(Ь:,,ау,,г) с весом ю(Ь,а):

1 N

V1 = l1 Z((Х1л(''))2 + bj-Xi(i- 1)XT(i- 1)bT- + aj-Xi. (i)Xj(i)aT- +

N i=1

+ 2bjXi (i - 1)Xj (i)aj - 2X(j) (i)Xj (i - 1)bj - X; (i)aj.

= ^Z V|bj- ! ~j-l\ZT(i-1) ! хТЧо|>Т(i-1) ; Xj-(i)||bj- I

(3)

Тогда справедливы следующие утверждения.

Утверждение 1.

Пусть стационарная динамическая система с нулевыми начальными условиями описывается уравнением (1) и помехи удовлетворяют предположениям 20, 40, 50. Кроме того, истинные значения параметров

Ь]. \ а. и входной сигнал удовлетворяют

условиям 10, 30. Тогда при N ® ¥ с вероят-

1 N ~ ~

V3 = 2-Z(-x1y)(i)ZT(i-Щ -х(J)(}')Xij(i)aT- + bj-xi(i-1)ZjT(i-1>~j^ +

N 1=1

+bj-Xi (i-1)X[(0~T+ aJ.•Xii(/)ZT (i-1)~T+ aJ.•Xii(/)Xi(/)йT ) Тогда из условий 40 и 50 получим, что:

v, —TT—® d(>1) + b-,HX bj. + at.HX aTj- - 2hX j-bT-

1 N jj j- X1 j- j- X 2 j- X1 j- j-

^j- ! aj-1 e

а из условия 20 следует:

2 N-

bj- 1 a j,

j- i j'

H

i ait

i j*

оп-

Первые два слагаемых в у3 в силу условий 20, 30, 40 удовлетворяют условиям леммы [1] и следовательно:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

л I

V

2

1=1

T

0( 1) е Я1,

N-})WT (i - )

i=1

п н.

N

->0

N , . п.н.

N - s(-xi} 40 T )——® 0.

Заметим, что N- £ 6. 2 г (7 -1^7 (7 - 1)~Т ) =

г=1

N * 1(1 - 1)zT-1 i • * 1(1 - 1)ZL

I bj. ■ 1 M 1 1 1

1=1 *1(7- "r)Zl~] • ■1* 1(1 -~r) ~ZL

(4)

Таким образом, (4) можно представить

2

в виде г слагаемых, каждое из которых в силу предположений 20, 30, 40 по лемме [1] сходится к нулю.

Аналогично доказывается сходимость к

нулю остальных слагаемых у3 :

V(0(1)) = min _V(b„,ü,,0(1))

\bj. I aj.\eß 1 1

Тогда

V(bj., a}., 0(j)) = d(1) (1 - 0(j)) + \b}. j ä}. H \b}. j ä}. i +

+ |b}. , ar

н; + h* -0(j)h*

H„

h'

- 2

h„ + h *2 -0(j) h.

(j)v i,*

b,.; j -

Hzzbj. + H^. + (l -0(} 0( А*}.)

= bj. + n^a}

\bi. ! ^

Дифференцируя V(b}.,a},,0(})) по

b}. ! a}. | и приравнивая производную к нулю, получим

b,(0(})) !a,(0(})) = H + H* -0(j)H*

4 ' I 4 Л -1,2 *1

HjJ. + H^äj. + (1 -0(j))(А*))

rT и T , и '

h'j;.+н^].

(6)

1 1 . i i i — Л, —--> 0, " b}. I a}. e B .

3 N i 1 i

Следовательно:

Тогда

V (0(j)) = df (1 - 0(j>) + |b}.. j üj. H |b}.. j üj.

1 i./.

—UNb ,a .) —--Kd(1) + b . H* bT . + a .H* aT , - 2А* .b3. +

N n\ }•; N®¥ v }} }• *1 }• }• *2 }• *j }•

+ |b}. j iHlbj. j I = (7 (bj., a}.)

HJJ. + Hzxäj. + (1 -0 (j))( А*})

~-T uT

H1 b1 +H ä

}• ж j

(j))( А * )3

или

U (bjaj.) = d) + ! aj.

Hz+ H* ! Hx

Hl H„ + H *

+ bj. i ajlHbj. i aj, - 2

ны + на. + (А* j. у

T1.T . TT -T

Hb + H^o;.

bj. ! üj.| +

Ibj. ! äj.

Покажем, что решение задачи min ш -1 (b}., a}. )U (b}., a}.) (5)

существует и достигается в единственной точке. Для этого вместе с задачей (5) рассмотрим функции:

V (Ь., ау., 0(1)) = ^ (Ьу., а}.,) - 0(1) ш(Ьу ., ау.),

н= + н * - 0(}) н * ! _ _____* 1________* 1__[_

н.

H;

н„ + H * -0 (}) н *

H;bJ. + H^ + (1 -0(}))( А* j.)

rT UT

( j) )(А* )T ttT

HLbjT + HxxäJ

Легко проверить, что уравнение V (0( г)) = 0 на интервале (-¥, 1 тт +1) имеет корень 0 = 1, если 1 шп - наименьшее собственное число регулярного пучка квадратичных форм, определяемых положительно определёнными матрицами Н и я2 , и

1 т1п > 0. Этот корень является единственным на интервале (- ¥, 1 т1п +1), что вытека-

T

ет из непрерывности функции V (©(j)) на

этом интервале и V(Q(j)) < 0 на

(-¥, l min +1), и из (6) непосредственно следует существование и единственность (5). В дальнейшем ход доказательства практически полностью аналогичен доказательству при

условии, что p1 = p2 = 1 [1].

Для получения численного метода вычисления оценок матриц из критерия (3) рассмотрим функции:

Vn (bj., üj.,©(j)) = UN (bj., aj.) - ©(j)w (bj., a^), VN (©(J)) = min Vn (bj., aj%, ©(J))

bJ. | aJ.eB j j j

©(J) e R1.

Критерий (3) можно записать в виде

. (гj-\Ar \ AW||bj. ; aj.\T,Yj -|Ar ! Aw||bj. j a^)

min

где

w(bj • ,aj.)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Y(j) = Уj) ! ••• ! yNT,

AT =

r

T I I t/T

Yl

___

• i • i •

: : :

yt i i YT

1 n-i i •" i 1N - r

aw =

Wjt ! 1 i • ! W1-r i 1 r1

• i : i WT ! N 1 • i • : i : ••• ! WT 1 ''N - r1

(Y(j) -IAr ! AJ\b1 . ! a1%\')-

-Г I • I "j.

-©(j)(d(1} + b HX bT + a. HX aT -2hX . bT ) =

Jj J• X1 J• J• X2 j* X1j* J*

ataY ' -hx ' aTaW

AWAr 1 AvAW -©(j)HX2

= (r«)TY(j) -©(j)dj1) + b. j aj.

• |bj. I aj/ -2|(Y(j>)TAr-©(j)hj ! (Y(j'))TAw||bj, ! aj.Г.

Дифференцируя VN (bj. ,aj. ,©(j -1) по i aJ и приравнивая производную к

|bj. ! a нулю, получим

А^Аг -©(j) H X '

huj..

At A ay aw

At A away

\AWAw -©(j)HX.

К ! j

Awr(j)-©( j )(hXi j% )t

TV ( j)

AWY

(8)

Тогда

VN (©(j)) = (Y(j))T Y(j) - ©(j)d j -

(7)

aWY (j) -©(j)(hX^ .)t awy"

away -©(j) h X 1

AWAW

T Л I ^(jb

^r I ''^W

awaw -©(j)HX

Ty (j)

AWY

(9)

Имеет место следующая лемма.

Для функции Уы(0(■"), связанной с задачей (3), имеет место:

1) все корни уравнения Уы (0( л) = 0

(если они существуют) неотрицательны;

2) уравнение (9) имеет на полусегменте

[0,1 тт(#)) не более одного корня 0(Л(N),

где 1 тт - минимальное обобщённое число матрицы, т.е. корень уравнения

r =

W; =

(1) 1 1 (p2) y, i ••• i y^

(1) 1 1 (pi) wy i ••• i w.

det

AT AY _j At AW

AT A \ AT A

-©

(j)

hx ! о

__X1 _l____

ot ! hX

= 0; (10)

Тогда

T

bj. I aj.leB

-1

2

ное условие существования единственного решения (7).

Доказательство.

Функция УЫ (0О)) непрерывна на

[0,1 тт (Ы)), к тому же 1 тт > 0 как обобщённое собственное число неотрицательно определённой матрицы. Далее, УЫ(0О)) < 0,

тогда на полусегменте [о, 1 т1п (Ы)) имеется не более одного корня, если он существует. Также УЫ (0) > 0 и, следовательно, УЫ (0(1)) > 0 (матрица

Шаг 0. 0(1 )(0) = 0.

Шаг 1. 0( 1)(,) = *т.(ы) + 0!1)(/-1),

1 2

1 т1п определяется из (10).

л

Шаг 2. Вычислить Ь г (ы,0(п(г)) и

л

а1 (N, 0(;)(/) ) из системы уравнений (8). Шаг 3. Вычислить

АТУ(1) -(((л(,-х1

1ы -

АТГУ(1)

~АТ~У (. )"

ашу

АТ АУ _[ Ат Аш

Т

ШАТ

АТ А ! АТ А

А^Т(1)

А~Т~Т1

идемпотентная).

Отсюда вытекает доказательство утверждения 1, 2 и достаточность 3. Необходимость 3 вытекает из экстремальных свойств характеристических чисел регулярного пучка форм [2].

Утверждение 2.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Пусть выполняются все условия 10-50, тогда с вероятностью 1 при N ® ¥ существует корень (0(1)(N) е[0, Ат1п) и единственное решение (8), которое является также решени-

уы (0 (1)(,)) = (т(л)тт(1) -0 (1)(, ^ 1

<_ I л

ь 1 • (n , 0(1)(,)) | а1. (n , 0011)(,))

Шаг 4. Проверить условие Уы (0(1)(,)) < 0.

Тогда, если уравнение УЫ (01О)) = 0 имеет корень 0(;)(Ы) е[0,Ят1П(Ы)), то последовательность 0l( 1 )(0), ...0(1 )(0) конечна и 0( 1 )(0) е[сЬ (1)(N), Атш( N)) , в противном случае {0( ;)(/')| - бесконечна.

Доказательство утверждения 3 немед-

ем задачи (7).

Доказательство утверждения 2 непос- ленно следует из леммы.

редственно следует из утверждения 1 и леммы.

На основании утверждения 2 может

Этот алгоритм позволяет определить начальное приближение 0(1 )(0), необходи-

мое для дальнейшего применения метода быть получен численный метод, который Ньютона, или определить, что корень

позволяет:

- ответить на вопрос, существует ли

единственная оценка

Ь г \ а}.

- определить начальное приближение, гарантирующее сходимость итерационного

процесса к единственной оценке

Ь г \ а}.

- вычислить с любой наперёд заданной точностью эту оценку. Утверждение 3.

Пусть последовательность )} определяется следующим алгоритмом.

Утверждение 4. Пусть существует

0(1)(0) е[0^N), Ятш(N)),

11т 0 (])(1) = 0 (;)(N)

11т Ь 1.(,, 0 (1)(,)) = Ь 1 •( N),

11т а}.(,, 00)(/)) = а}• (Ы) ,

тогда

Т

ределяются совместно следующим алгоритмом.

Шаг 1. Вычислить Ь (Ы, 0(1)(,)) и

а ]. (Ы, 0(1) (,)) из системы уравнений (8). Шаг 2. Вычислить

Vn (0(1 )(i + 1)J

<5,

где 5 - априорно заданная точность нахождения оценки.

Это утверждение непосредственно следует из метода Ньютона:

0(1 )(i +1) = 0(1) (i) -

- (Л( 1)/

0(j)(i + 1) =

«Л

я:1 ! 0 о"|я X

Vn (0(1 )(i)) Vn (0(1 )(i)) •

bf(N,0(i)) \ a,(N,0(i))

-2|hX , ! 0

i 51 ii

t\-1

bf(N,0(i)) j af(N,0(i))

1(7(1 ))ty(1) +00(1)(i)

bxn, @(i)) j 1n,0(i))

я:^ о

ot~]h 5" | X2

b ]■(N, (0(г)) I a,(N, (0(0)

- 2 !0I

br(N, 00(/)) I ar(N, 00(/))

ATY(1) -0(1)(i)(h: ,)3

aty (1)

b^( N, 00 (i)) i a A N, 0 (i))

Шаг 3. Переход к шагу 1. Вычисления заканчиваются, если выполняется условие:

Обоснованность использования метода Ньютона вытекает из того, что функция

VN (01) непрерывна на "0(1) е [о, l min(N)) и VN (01 )< 0 и VN (01 )< 0 на

"0(1) е[ l min (N)).

На основе вышеописанного алгоритма в среде Matlab создано программное обеспечение, позволяющее получать оценки матриц параметров. В качестве результата работы приложения Identification на рис. 1 приведены графики значений последовательности

{ }, а также значений последовательностей

. мнк

нмнк

моделей

и

1 output agnate

'40 5 1С* 16 £0 25 30 Э5 -Ю 50

Г Л мнк л Г Л нмнк

Рис. 1. Графики значений последовательностей \Zi }, iZi > и \Zi

Библиографический список

1. Кацюба О. А., Жданов А. И. О состоятельности оценок наименьших квадратов параметров линейных разностных уравнений при автокоррелированных помехах// Изв. АН СССР. Кибернетика. - 1983. - №5. -С. 102-107.

2. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1966. - 575 с.

References

1. Katsyuba O. A., Zhdanov A. I. Consistency of linear difference equation parameter least square estimates for autocorrelated interference // Bulletin of USSR Academy of Sciences. Cybernetics. 1983. No. 5. 102-107 pp.

2. Gantmakher F. R. Matrix theory. - Moscow: Nauka, 1966 - 575 pp.

DEFINING PARAMETERS OF A LINEAR DYNAMIC SYSTEM MULTIDIMENSIONAL AT THE INPUT AND OUTPUT GIVEN AUTORORRELATED SIGNAL INTERFERENCE

Samara State Communications University

The paper deals with the theory and method of solving the problem of consistent evaluation of multidimensional linear difference equation parameters with autocorrelated interference in input and output signals on the basis of least square method generalization (as the most common in conditions of a priori uncertainty). The consistency of the obtained estimates of unknown true parameter values is proved.

Linear difference equations, parametric identification, multidimensal input and output, autocorrelated signal interference.

Информация об авторах

Карпов Андрей Анатольевич, программист, кафедра «Мехатроника в автоматизированных производствах», Самарский государственный университет путей сообщения, e-mail: forkontakte@yandex.ru. Область научных интересов: математическое и компьютерное моделирование.

Кацюба Олег Алексеевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Мехатроника в автоматизированных производствах», Самарский государственный университет путей сообщения, e-mail: asoiy@samiit.ru. Область научных интересов: теория идентификации систем автоматического управления.

Karpov Andrey Anatolyevitch, programmer of the department "Mechatronics in automated production", Samara State Communications University, e-mail: forkontakte@yandex.ru. Area of research: mathematical and computer modeling.

Katsyuba Oleg Alexeyevitch, head of the department "Mechatronics in automated productions", doctor of technical science, professor, Samara State Communications University, e-mail: asoiy@samiit.ru. Area of research: theory of automatic control system identification.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Карпов Андрей Анатольевич, Кацюба Олег Алексеевич

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Карпов Андрей Анатольевич, Кацюба Олег Алексеевич

DEFINING PARAMETERS OF A LINEAR DYNAMIC SYSTEM MULTIDIMENSIONALAT THE INPUT AND OUTPUT GIVEN AUTORORRELATED SIGNAL INTERFERENCE